八年级上册数学人教版第11章 三角形 测试卷（1） 24页

第 1页（共 24页） 第 11 章 三角形 测试卷（1） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给的 4 个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案前的英文字母填在题后括 号内） 1．（3 分）三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组 成三角形的是（ ） A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，9 cm 2．（3 分）以长为 13cm、10cm、5cm、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可 以画出三角形的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（3 分）下列说法错误的是（ ） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 4．（3 分）给出下列命题： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角； ③三角形的角平分线是射线； ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线； ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 正确的命题有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．（3 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC 上两点，且 BD=DE=EC，则图中 面积相等的三角形有（ ）对． 第 2页（共 24页） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（3 分）如图，一面小红旗，其中∠A=60°，∠B=30°，则∠BCA=90°．求解的直 接依据是（ ） A．三角形内角和定理 B．三角形外角和定理 C．多边形内角和公式 D．多边形外角和公式 7．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，AC≠AB，AD 是斜边上的高，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为 E、F，则图中与∠C（∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 8．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D，E 分别在边 AC，AB 上．若∠B= ∠ADE，则下列结论正确的是（ ） A．∠A 和∠B 互为补角 B．∠B 和∠ADE 互为补角 C．∠A 和∠ADE 互为余角 D．∠AED 和∠DEB 互为余角 9．（3 分）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B．5 C．2 D．1 第 3页（共 24页） 10．（3 分）n 边形内角和公式是（n﹣2）×180°．则四边形内角和为（ ） A．180°B．360°C．540°D．720° 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．把答案写在答题卡中 的横线上） 11．（3 分）已知 a，b，c 是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|= ． 12．（3 分）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 6cm，则底边长为 cm． 13．（3 分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的 3 倍，则这个多边形的边 数是 ． 14．（3 分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度． 15．（3 分）如图，点 D，B，C 点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°， 则∠1= 度． 16．（3 分）如图，△ABC 中，∠A=40°，∠B=72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D， DF⊥CE，则∠CDF= 度． 17．（3 分）如果将长度为 a﹣2，a+5 和 a+2 的三根线段首尾顺次相接可以得到 一个三角形，那么 a 的取值范围是 ． 18．（3 分）如图，△ABC 中，∠A=100°，BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB，则∠ 第 4页（共 24页） BIC= ，若 BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线，则∠M= ． 19．（3 分）如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5= ． 20．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别是三条边上的点，EF∥AC，DF ∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD 的大小为 ． 三、解答题（共 9 题，每题 10 分，满分 90 分） 21．（10 分）如图所示，求∠1 的大小． 22．（10 分）如图，把△ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现 的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性． 第 5页（共 24页） 23．（10 分）如图所示，直线 AD 和 BC 相交于 O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°， 求∠A 和∠D． 24．（10 分）如图，经测量，B 处在 A 处的南偏西 57°的方向，C 处在 A 处的南 偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 82°方向，求∠C 的度数． 25．（10 分）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒．如 果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多 少？ 26．（10 分）已知，如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线， 若∠B=30°，∠C=50°． （1）求∠DAE 的度数； （2）试写出∠DAE 与∠C﹣∠B 有何关系？（不必证明） 27．（10 分）如图，已知 D 为△ABC 边 BC 延长线上一点，DF⊥AB 于 F 交 AC 于 E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD 的度数． 第 6页（共 24页） 28．（10 分）如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED， 求∠CDE 的度数． 29．（10 分）在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC，DF 平分∠CDA． （1）作出符合本题的几何图形； （2）求证：BE∥DF． 第 7页（共 24页） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给的 4 个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案前的英文字母填在题后括 号内） 1．（3 分）三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组 成三角形的是（ ） A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，9 cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵2+3=5，∴不能组成三角形，故本选项错误； B、∵10﹣5＜6＜10+5，∴能组成三角形，故本选项正确； C、∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形，故本选项错误； D、∵3+4=7＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误． 故选 B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 2．（3 分）以长为 13cm、10cm、5cm、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可 以画出三角形的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】三角形三边关系． 【分析】从 4 条线段里任取 3 条线段组合，可有 4 种情况，看哪种情况不符合三 角形三边关系，舍去即可． 【解答】解：首先可以组合为 13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再 根据三角形的三边关系，发现其中的 13，5，7 不符合，则可以画出的三角形有 3 个． 故选：C． 第 8页（共 24页） 【点评】考查了三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第 三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系． 3．（3 分）下列说法错误的是（ ） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质分析各个选项． 【解答】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点， 故本选项说法正确； B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确； C、直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误； D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记概念是解 题的关键． 4．（3 分）给出下列命题： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角； ③三角形的角平分线是射线； ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线； ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 正确的命题有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】命题与定理；三角形；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定 第 9页（共 24页） 理；角平分线的性质． 【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过 举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【解答】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； 三角形的角平分线是线段，故③错误； 三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故④错误； 所以正确的命题是②、⑤、⑥，共 3 个． 故选 C． 【点评】此题综合考查三角形的定义以及三角形的三条重要线段． 5．（3 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC 上两点，且 BD=DE=EC，则图中 面积相等的三角形有（ ）对． A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】三角形的面积． 【分析】根据三角形的面积公式知，等底同高的三角形的面积相等，据此可得面 积相等的三角形． 【解答】解：等底同高的三角形的面积相等，所以△ABD，△ADE，△AEC 三个 三角形的面积相等，有 3 对，又△ABE 与△ACD 的面积也相等，有 1 对，所以共 有 4 对三角形面积相等． 故选 A． 【点评】本题考查了三角形的面积，理解三角形的面积公式，掌握等底同高的三 角形的面积相等是解题的关键． 6．（3 分）如图，一面小红旗，其中∠A=60°，∠B=30°，则∠BCA=90°．求解的直 接依据是（ ） 第 10页（共 24页） A．三角形内角和定理 B．三角形外角和定理 C．多边形内角和公式 D．多边形外角和公式 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】三角形已知两个角的度数，利用三角形内角和为 180 度可得第三个角的 度数． 【解答】解：∵∠A=60°，∠B=30°， ∴∠BCA=180°﹣60°﹣30°=90°（三角形内角和定理）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握三角形内角和为 180 度． 7．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，AC≠AB，AD 是斜边上的高，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为 E、F，则图中与∠C（∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【考点】直角三角形的性质． 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD= ∠ADE． 【解答】解：∵AD 是斜边 BC 上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°， ∴∠C=∠BDF=∠BAD， ∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°， ∴∠C=∠ADE， ∴图中与∠C（除之 C 外）相等的角的个数是 3， 故选：A． 第 11页（共 24页） 【点评】此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角 互余是解题的关键． 8．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D，E 分别在边 AC，AB 上．若∠B= ∠ADE，则下列结论正确的是（ ） A．∠A 和∠B 互为补角 B．∠B 和∠ADE 互为补角 C．∠A 和∠ADE 互为余角 D．∠AED 和∠DEB 互为余角 【考点】余角和补角． 【分析】根据余角的定义，即可解答． 【解答】解：∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠B=∠ADE， ∴∠A+∠ADE=90°， ∴∠A 和∠ADE 互为余角． 故选：C． 【点评】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记余角的定义． 9．（3 分）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B．5 C．2 D．1 【考点】三角形三边关系． 【分析】直接利用三角形三边关系得出 AC 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：AB﹣BC＜AC＜AB+BC， ∵AB=6，BC=4， ∴6﹣4＜AC＜6+4， 即 2＜AC＜10， 第 12页（共 24页） 则边 AC 的长可能是 5． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出 AC 的取值范围是解题关键． 10．（3 分）n 边形内角和公式是（n﹣2）×180°．则四边形内角和为（ ） A．180°B．360°C．540°D．720° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】将 n 换成 4，然后计算即可得解． 【解答】解：（4﹣2）×180°=2×180°=360°． 故选 B． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，准确计算是解题的关键． 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．把答案写在答题卡中 的横线上） 11．（3 分）已知 a，b，c 是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|= 2a ﹣2b ． 【考点】三角形三边关系；绝对值；整式的加减． 【分析】先根据三角形的三边关系定理得出 a+c＞b，b+c＞a，再去掉绝对值符号 合并即可． 【解答】解：∵a，b，c 是三角形的三边长， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜1， ∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|=（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）=a﹣b+c﹣b﹣c+a=2a﹣2b， 故答案为：2a﹣2b． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题 的关键是能正确去掉绝对值符号． 12．（3 分）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 6cm，则底边长为 6 或 8 cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 第 13页（共 24页） 【专题】分类讨论． 【分析】分 6cm 是底边与腰长两种情况讨论求解． 【解答】解：①6cm 是底边时，腰长= （20﹣6）=7cm， 此时三角形的三边分别为 7cm、7cm、6cm， 能组成三角形， ②6cm 是腰长时，底边=20﹣6×2=8cm， 此时三角形的三边分别为 6cm、6cm、8cm， 能组成三角形， 综上所述，底边长为 6 或 8cm． 故答案为：6 或 8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 13．（3 分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的 3 倍，则这个多边形的边 数是 8 ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【解答】解：多边形的外角和是 360°，根据题意得： 180°•（n﹣2）=3×360° 解得 n=8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可 以转化为方程的问题来解决． 14．（3 分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360 度． 第 14页（共 24页） 【考点】三角形内角和定理． 【专题】计算题． 【分析】利用三角形外角性质可得∠AHG=∠A+∠B，∠DNG=∠C+∠D，∠EGN= ∠E+∠F，三式相加易得∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而 ∠AHG、∠DNG、∠EGN 是△GHN 的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F． 【解答】解：如右图所示， ∵∠AHG=∠A+∠B，∠DNG=∠C+∠D，∠EGN=∠E+∠F， ∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F， 又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN 是△GHN 的三个不同的外角， ∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 故答案为：360°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是三角形内角和定理与三角 形外角性质的联合使用，知道三角形的外角和等于 360°． 15．（3 分）如图，点 D，B，C 点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°， 则∠1= 45 度． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得． 【解答】解：∵∠ABD 是△ABC 的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°， 第 15页（共 24页） ∴∠1=180°﹣∠ABD﹣∠D=180°﹣110°﹣25°=45°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单． 16．（3 分）如图，△ABC 中，∠A=40°，∠B=72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D， DF⊥CE，则∠CDF= 74 度． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°， ∴∠ACB=68°， ∵CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D， ∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°， ∵DF⊥CE， ∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°． 故答案为：74． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是 180 度，求角的度数常常要用到 “三角形的内角和是 180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和 它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起． 17．（3 分）如果将长度为 a﹣2，a+5 和 a+2 的三根线段首尾顺次相接可以得到 一个三角形，那么 a 的取值范围是 a＞5 ． 【考点】三角形三边关系． 【分析】先判断三边的大小，再根据三角形的三边关系：较小两边之和大于第三 边，列不等式求解． 【解答】解：因为﹣2＜2＜5， 第 16页（共 24页） 所以 a﹣2＜a+2＜a+5， 所以由三角形三边关系可得 a﹣2+a+2＞a+5， 解得：a＞5． 则不等式的解集是：a＞5． 故答案为：a＞5． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，此题关键一要注意三角形的三边关系， 二要熟练解不等式． 18．（3 分）如图，△ABC 中，∠A=100°，BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB，则∠ BIC= 140° ，若 BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线，则∠M= 40° ． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】首先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据角平分线的性 质得到∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，求出∠IBC+∠ICB 的度数，再次根据三角 形内角和求出∠I 的度数即可； 根据∠ABC+∠ACB 的度数，算出∠DBC+∠ECB 的度数，然后再利用角平分线的性 质得到∠1= ∠DBC，∠2= ECB，可得到∠1+∠2 的度数，最后再利用三角形内 角和定理计算出∠M 的度数． 【解答】解：∵∠A=100°， ∵∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°， ∵BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= ×80°=40°， ∴∠I=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°； 第 17页（共 24页） ∵∠ABC+∠ACB=80°， ∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣ 80°=280°， ∵BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线， ∴∠1= ∠DBC，∠2= ECB， ∴∠1+∠2= ×280°=140°， ∴∠M=180°﹣∠1﹣∠2=40°． 故答案为：140°；40°． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的性质，关键是根据 三角形内角和定理计算出∠ABC+∠ACB 的度数． 19．（3 分）如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5= 360° ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180° ﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理， 求出五边形 ABCDE 的内角和是多少，再用 180°×5 减去五边形 ABCDE 的内角和， 求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 第 18页（共 24页） =（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180° ﹣∠DEA） =180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900°﹣（5﹣2）×180° =900°﹣540° =360°． 故答案为：360°． 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：（1）n 边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且 n 为整数）．（2）多边形 的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外 角和永远为 360°． 20．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别是三条边上的点，EF∥AC，DF ∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD 的大小为 75° ． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由 EF∥AC，DF∥AB 得出 四边形 AEFD 是平行四边形，进而可得出结论． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°． ∵EF∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEFD 是平行四边形， ∴∠EFD=∠A=75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180°是解答此题 的关键． 第 19页（共 24页） 三、解答题（共 9 题，每题 10 分，满分 90 分） 21．（10 分）如图所示，求∠1 的大小． 【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角． 【分析】先根据邻补角的定义求得∠ACB，再根据三角形外角性质，求得∠1 的 度数即可． 【解答】解：如图所示，∵∠ACB=180°﹣140°=40°，且∠1 是△ABC 的外角， ∴∠1=∠A+∠ACB=80°+40°=120°． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个内角的和． 22．（10 分）如图，把△ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现 的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性． 【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠得出∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，求出 2∠ADE=180°﹣∠1， 2∠AED=180°﹣∠2，推出∠ADE=90°﹣ ∠1，∠AED=90°﹣ ∠2，在△ADE 中， ∠A=180°﹣（∠AED+∠ADE），代入求出即可． 第 20页（共 24页） 【解答】解：2∠A=∠1+∠2， 理由是：延长 BD 和 CE 交于 A′， ∵把△ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部， ∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED， ∴2∠ADE=180°﹣∠1，2∠AED=180°﹣∠2， ∴∠ADE=90°﹣ ∠1，∠AED=90°﹣ ∠2， ∵在△ADE 中，∠A=180°﹣（∠AED+∠ADE）， ∴∠A= ∠1+ ∠2， 即 2∠A=∠1+∠2． 【点评】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式 ∠ADE=90°﹣ ∠1，∠AED=90°﹣ ∠2，∠A=180°﹣（∠AED+∠ADE）． 23．（10 分）如图所示，直线 AD 和 BC 相交于 O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°， 求∠A 和∠D． 【考点】三角形的外角性质；平行线的性质． 【专题】计算题． 【分析】先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠A，再 根据两直线平行，内错角相等得到∠D 等于∠A． 【解答】解：在△ABO 中，∵∠AOC=95°，∠B=50°， ∴∠A=∠AOC﹣∠B=95°﹣50°=45°； ∵AB∥CD， ∴∠D=∠A=45°． 第 21页（共 24页） 【点评】本题主要考查三角形的外角性质和两直线平行，内错角相等的性质，熟 练掌握性质是解题的关键． 24．（10 分）如图，经测量，B 处在 A 处的南偏西 57°的方向，C 处在 A 处的南 偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 82°方向，求∠C 的度数． 【考点】方向角；三角形内角和定理． 【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得∠ABC、∠ BAC，根据三角形的内角和公式，可得答案． 【解答】解：因为 BD∥AE， 所以∠DBA=∠BAE=57°． 所以∠ABC=∠DBC﹣∠DBA=82°﹣57°=25°． 在△ABC 中，∠BAC=∠BAE+∠CAE=57°+15°=72°， 所以∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣25°﹣72°=83°． 【点评】本题考查了方向角，方向角是相互的，先求出∠ABC、∠BAC，再求出 答案． 25．（10 分）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒．如 果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多 少？ 【考点】三角形三边关系． 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样 就可求出第三边长的范围； 第 22页（共 24页） 再结合整数这一条件进行分析． 【解答】解：设第三根的长是 xm． 根据三角形的三边关系，则 3＜x＜13． 因为 x 是整数，因而第三根的长度是大于 3m 且小于 13m 的所有整数，共有 9 个数． 答：小颖有 9 种选法．第三根木棒的长度可以是 4m，5m，6m，7m，8m，9m， 10m，11m，12m． 【点评】本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题． 26．（10 分）已知，如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线， 若∠B=30°，∠C=50°． （1）求∠DAE 的度数； （2）试写出∠DAE 与∠C﹣∠B 有何关系？（不必证明） 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型． 【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC=100°，由角平分线的性质知∠ BAE=50°，在 Rt△ABD 中，可得∠BAD=60°，故∠DAE=∠BAD﹣∠BAE； （2）由（1）可知∠C﹣∠B=2∠DAE． 【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°． ∵AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE=50°． 在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°﹣∠B=60°， ∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50=10°； （2）∠C﹣∠B=2∠DAE． 【点评】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质 第 23页（共 24页） 求解． 27．（10 分）如图，已知 D 为△ABC 边 BC 延长线上一点，DF⊥AB 于 F 交 AC 于 E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD 的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵∠AFE=90°， ∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°， ∴∠CED=∠AEF=55°， ∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°． 答：∠ACD 的度数为 83°． 【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为 180°． 28．（10 分）如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED， 求∠CDE 的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】在这里首先可以设∠DAE=x°，然后根据三角形的内角和是 180°以及等腰 三角形的性质用 x 分别表示∠C 和∠AED，再根据三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角和进行求解． 【解答】解：设∠DAE=x°，则∠BAC=40°+x°． ∵∠B=∠C，∴2∠C=180°﹣∠BAC 第 24页（共 24页） ∴∠C=90°﹣ ∠BAC=90°﹣ （40°+x°） 同理∠AED=90°﹣ ∠DAE=90°﹣ x° ∴∠CDE=∠AED﹣∠C=（90°﹣ x°）﹣[90°﹣ （40°+x°）]=20°． 【点评】这里注意利用未知数抵消的方法解出了正确答案． 29．（10 分）在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC，DF 平分∠CDA． （1）作出符合本题的几何图形； （2）求证：BE∥DF． 【考点】平行线的判定． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据四边形内角和为 360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后再根据角平分线定 义可得∠ADF=∠FDE= ADC，∠EBF=∠EBC= ABC，再证明∠DFA=∠EBF 可 得结论． 【解答】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠CDA， ∴∠ADF=∠FDE= ADC，∠EBF=∠EBC= ABC， ∴∠FBE+∠FDE=90°， ∵∠A=90°，∴∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠AFD+∠EDF=90°，∴∠DFA=∠EBF，∴DF∥EB． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及四边形内角和，关键是掌握同位角 相等，两直线平行．