北师大版八年级下册数学-3第三章水平测试卷 33页

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(1)写出旋转角的度数； (2)求证：∠A1AC=∠C1. （1）解：旋转角的度数为60°. （2）证明：∵点A,B,C1在一条直线上, ∴∠ABC1=180°. ∵∠ABC=∠A1BC1=120°,∴∠ABA1=∠CBC1=60°. ∴∠A1BC=60°. 又∵AB=A1B，∴△ABA1是等边三角形. ∴∠AA1B=∠A1BC=60°.∴AA1∥BC. ∴∠A1AC=∠C. ∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C=∠C1.∴∠A1AC=∠C1. 23. 在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一 个轴对称图形，请在图3-18中画出你的4种方 案．（每个4×4的方格内限画一种） 要求： （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视 为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影 图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后 能够重合，均视为一种方案） 解：如答图3-4． 五、解答题（三）(本大题2小题，每小题10分，共20分) 24. 如图3-19，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将 △BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与 点A重合，得到△ACE. （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系， 并说明理由； （3）若AD=2，CD=3，试求出 BD的长. 解:（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE， ∴△BCD'≌△ACE.∴AC=BC. 又∵∠ABC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°. ∴∠ACB=90°，故旋转角的度数为90°. （2）AE⊥BD. 理由如下: 如答图3-5，设AC，AE与BD分别交于点M，N. 在Rt△BCM中，∠BCM=90°，∴∠MBC+∠BMC=90°. ∵△BCD≌△ACE，∴∠DBC=∠EAC，即∠MBC=∠NAM. 又∵∠BMC=∠AMN，∴∠AMN+∠CAE=90°. ∴∠AND=90°，∴AE⊥BD. （3）如答图3-5，连接DE. 由旋转图形的性质可知，CD=CE，BD=AE，旋转角 ∠DCE=90°. ∴∠EDC=∠CED=45°. ∵CD=3，∴CE=3. 在Rt△ECD中，∠DCE=90°， ∴DE= . ∵∠ADC=45°，∴∠ADE=∠ADC+∠EDC=90°. 在Rt△BCD中，∠ADE=90°， ∴AE= . ∴BD= . 25. 如图3-20，已知AD是△ABC的中线. （1）画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形； （2）找出与AC相等的线段； （3）探索：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间的关系， 并说明理由； （4）若AB=3，AC=5，则线段 AD的取值范围为多少？ 解：（1）如答图3-6，△A′BD即为所求. （2）根据中心对称的性质可得A′B=AC. （3）AB+AC>2AD.理由如下： ∵AC=A′B,∴AB+AC=AB+A′B. 又∵AD=A′D,∴AB+AC>AD+A′D=2AD. （4）根据三角形的三边关系定理,得 5-3＜A′A＜5+3. ∴1＜AD＜4.