人教版初中数学八年级下册课件18.2.2 菱 形第1课时 菱形的性质 30页

18.2.2 菱 形 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 导入新课 情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧. 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩 形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边 形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 讲授新课 菱形的性质一 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大 小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这 个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳总结 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角 线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B CO D 证一证 （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 1 2 1 2  2 2 2 23 6 3 5 cm .AB AO BO     5 5 典例精析 例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌ △ACF. ∴AE＝AF. 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线 都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 归纳 例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌ △BEA ， ∴AO＝BE . 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB ＝ 5，则△ABD的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、 BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段 OE的长为_______. 第1题图 第2题图 6cm 菱形的面积二 问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平 行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直, 那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? 能.过点A作AE⊥BC于点 E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. E 问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 1 2 1 2 1 2 1 2 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与 BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱 形ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30， ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. ∵ 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h， ∴13h＝120，得h＝ . 2 2 2 25 12 13,AB AO BO     1 2 1 2 120 13 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两 对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形 的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两 条对角线长度乘积的一半． 归纳 例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC ＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确 到0.01m和0.1m2 ）. A　 B　 C　 D　O　 解：∵花坛ABCD是菱形， 1 30 .2AC BD ABO ABC      ， 1Rt 10m2OAB AO AB  在 中， ，  2 2 2 220 10 10 3 mBO AB AO     ，  2 20m 2 20 3 34.64 m .AC AO BD BO    ，  214 200 3 346.4 m .2OABABCDS S AC BD    菱形∴ 【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与 ∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC= ×180°=60°， ∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形. ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， 1 2 1 3 ∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm； （2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）． 1 2 2 2 cm3 ,OB AB OA    2 3 1 2 1 2 2 3 2 3 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或 等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分 为以60°为顶角的两个等边三角形. 归纳 练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm， 则这个菱形的高DE为（　　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则 △ABD的周长等于 （　　） A.18 B.16 C.15 D.14 当堂练习 B 3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 ______. （2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC ＝ _______. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为______.44cm (5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1∶ 2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8cm2 A B C O D 4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm. 求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°, (2)菱形ABCD的面积 ∴AC=2AE=2×12=24(cm). DB C A E 5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF 交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． 又 CE=CE， ∴△BCE≌ △DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． A D C B F E 6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm； (2)∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴平行四边形OBEC为矩形. ∵OB＝OD＝3cm， ∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)． 课堂小结 菱形的 性质 菱 形 的 性 质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条 对角线乘积的一半 角 对 角 线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻 角互补邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角