八年级数学上册第13章全等三角形专题课堂四等腰三角形课件新版华东师大版 16页

第13章　全等三角形 专题课堂(四)　等腰三角形 方程思想在等腰三角形中的应用 类型　 (1) 利用方程求角的度数； (2) 利用方程 ( 组 ) 求边的长度． 例 1 　如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝ 20° ， AD ＝ AE ，求∠ CDE 的度数． 解：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C.∵AD ＝ AE ，∴∠ ADE ＝∠ AED. 设∠ CDE ＝ x ，∠ B ＝∠ C ＝ y ，则∠ AED ＝ x ＋ y ，∴∠ ADE ＝ x ＋ y ，∵∠ ADC ＝∠ B ＋∠ BAD ，∴ x ＋ y ＋ x ＝ y ＋ 20° ，解得 x ＝ 10° ，∴∠ CDE ＝ 10° 分析： 由已知易得 ∠ B ＝ ∠ C ， ∠ ADE ＝ ∠ AED ， 设 ∠ CDE ＝ x ， ∠ B ＝ ∠ C ＝ y ， 则 ∠ AED ＝ x ＋ y ， ∴∠ ADE ＝ x ＋ y ， 由 ∠ ADC ＝ ∠ B ＋ ∠ BAD ， 得 x ＋ y ＋ x ＝ y ＋ 20° ， ∴ x ＝ 10°. 【 对应训练 】 1 ．在等腰△ ABC 中，一腰上的中线把三角形的周长分为 12 cm 和 6 cm 两部分，求此三角形各边的长． 解：各边长为 8 cm ， 8 cm ， 2 cm 分类讨论在等腰三角形中的应用 类型　 (1) 与边有关的问题； (2) 与角有关的问题； (3) 与中线有关的问题； (4) 与高有关的问题； (5) 与垂直平分线有关的问题． 例 2 　等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20° ，则这个等腰三角形的底角为 ___________________________ ． 55° ， 55° 或 35° ， 35° 提示：当高在三角形内部时，如图 ① ， ∠ A ＝ 90° － 20° ＝ 70° ， ∴∠ B ＝ (180° － 70°)÷2 ＝ 55° ；当高在三角形外部时，如图 ② ， ∠ BAC ＝ 90° ＋ 20° ＝ 110° ， ∴∠ B ＝ (180° － 110°)÷2 ＝ 35° ，所以答案是 55° ， 55° 或 35° ， 35° 分析： 根据高在三角形内部或外部两种情况画出图形 ， 再求解． 【 对应训练 】 2 ．一个等腰三角形的两边长分别为 6 cm 和 3 cm ，则它的周长为 ______ ． 3 ．已知一等腰三角形的周长是 24 cm ，一腰上的中线把等腰三角形分成两个三角形，这两个三角形周长的差是 3 cm ，则等腰三角形各边的长是 ___________________________________________ ． 4 ．已知等腰△ ABC ， CA ＝ CB ，过点 A 作△ ABC 的高 AD ，若∠ ACD ＝ 30° ，求∠ B 的度数． 解： 75° 或 15° 15 cm 9 cm ， 9 cm ， 6 cm 或 7 cm ， 7 cm ， 10 cm 等腰三角形的判定 类型　 (1) 角平分线＋平行线＝等腰三角形； (2) 角平分线＋垂线＝等腰三角形． 例 3 　 如图， AD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 作直线 DF∥BA ，交△ ABC 的外角平分线 AF 于点 F ， DF 与 AC 交于点 E. 求证： DE ＝ EF. 证明：∵ AD ， AF 分别平分∠ BAC 和∠ GAC ，∴∠ BAD ＝∠ EAD ，∠ GAF ＝∠ EAF.∵DF∥BA ，∴∠ EDA ＝∠ BAD ，∠ EFA ＝∠ GAF ，∴∠ EAD ＝∠ EDA ，∠ EAF ＝∠ EFA ，∴ DE ＝ AE ， EF ＝ AE ，∴ DE ＝ EF 分析： 题目中有角平分线和平行线的条件 ， 据此可确定 △ AED 与 △ AEF 均为等腰三角形 ， 从而使问题很快得到解决． 巧用等腰三 角形的 “ 三线合一 ” 解题 类型　 (1) 已知等腰三角形 ， 可作底边上的中线、高或顶角的平分线； (2) 若题目中没有等腰三角形 ， 可作辅助线构造等腰三角形 ， 再利用 “ 三线合一 ” 解决问题． 例 4 　 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 E 在 AC 上， 点 D 在 BA 的延长线上，且 AD ＝ AE ，连结 DE ，求证： DE⊥BC. 证明：过点 A 作 AM⊥BC 于点 M ，∵ AB ＝ AC ， AM⊥BC ，∴∠ BAC ＝ 2∠BAM( 等腰三角形的 “ 三线合一 ” ).∵AD ＝ AE ，∴∠ D ＝∠ AED ，∴∠ BAC ＝∠ D ＋∠ AED ＝ 2∠D ，∴ 2∠BAM ＝ 2∠D ，∴∠ BAM ＝∠ D ，∴ AM∥DE ，∴ DE⊥BC 分析： 过点 A 作 AM ⊥ BC 于点 M ， 只需证 DE ∥ AM 就可证 DE ⊥ BC. 【 对应训练 】 6 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E ， F 分别在 BC ， AB ， AC 上，且 BD ＝ CF ， BE ＝ CD ， G 是 EF 的中点．求证： DG⊥EF. 证明：连结 ED ， FD ，∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C.∵BD ＝ CF ， BE ＝ CD ，∴△ BDE≌△CFD( S . A . S .) ，∴ DE ＝ DF.∵EG ＝ GF ，∴ DG⊥EF 7 ．如图，在△ ABC 中， AC ＝ 2AB ， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ， E 是 AD 上一点，且 EA ＝ EC. 求证： EB⊥AB. 证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F ，∵ AE ＝ CE ， EF⊥AC ，∴ AF ＝ FC. 又∵ AC ＝ 2AB ，∴ AB ＝ AF.∵AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝∠ FAE. 又∵ AE ＝ AE ，∴△ ABE≌△AFE( S . A . S .) ，∴∠ ABE ＝∠ AFE ＝ 90° ，∴ EB⊥AB