数学人教版八年级上册课件13-3等腰三角形（第3课时） 31页

第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第3课时 1．探索等边三角形的性质和判定．（重点） 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明．（难点） 学习目标 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长 度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设 计出几种形状的三角形？ 问题引入导入新课 等腰三角形 等边三角形一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与 腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都 相等的三角形叫作等边三角形. 名 称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等 的三角形叫做 等腰三角形 讲授新课 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C 内角和 为180° =60° 等边三角形的性质 结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边 三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平 分线都“三线合一”. 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 　 性 质 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 知识要点 例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE， 求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 典例精析 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个 内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的 问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角 和与外角的性质. 变式训练： 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长 BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意 一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN， BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？ 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形 的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判 定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的 性质，求角度或证明边相等. 类比探究 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形 是等边三角形 等边三角形 从角看：两个角相等的三 角形是等腰三角形 从边看：两条边相等的 三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形 小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60° 的三角形也是等边三角形”，你同意吗？ u等边三角形的判定 ： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6）（5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不 一 定 是 例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A CB D E 典例精析 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A DE B C 变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A CB D E 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 例4 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且 ∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？ 试证明你的结论． 解：△APQ为等边三角形． 证明如下：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形． 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方 法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形 三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形， 再证明有一个内角等于60°. 针对训练： 如图，等边△ABC中，D、E、F分 别是各边上的一点，且AD=BE=CF． 求证：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形，且 AD=BE=CF ∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是等边三角形． 当堂练习 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O， DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A CB D EO 1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则 ∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边 三角形，已知△ABC的周长为 18cm,EC =2cm,则△ADE的周长 是 cm. A CB D E 12 B 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为 边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长 交AD于F．求证：△AEF≌△BEC． 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°-90°-30°=60°， ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE． 又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（ASA）． 6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等 边三角形，求∠AEB的大小. C B OD A E解：∵△OAB和△OCD是两个 全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是 等边三角形． (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF 的形状，并证明你的结论． 拓展提升： 图① 图② 解：(1)AN＝BM. 理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝BM. 图① (2)△CEF是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°， ∴∠ECF=60°. ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB. ∵AC＝MC， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形． 图② 课堂小结 等 边 三 角 形 定 义 底=腰 特殊性 性 质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条 边上都具有“三线 合一”性质 判 定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法