沪科版八年级数学上册全册精品教案（共135页）第 11 章 平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第 1 课时 平面直角坐标系 135页

1 第 11 章 平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第 1 课时 平面直角坐标系 【知识与技能】 理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征. 【过程与方法】 经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实 数对的平台. 【情感与态度】 认识直角坐标系的作用，体现现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣. 【教学重点】 重点是认识直角坐标系，感受有序实数对的应用. 【教学难点】 难点是对有序实数对的理解. 一、创设情境，导入新知 1.回顾交流. 教师提问：什么叫做数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？ 学生思考后回答： （1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. （2）数轴上的点同实数建立了一一对应的关系. 教师引申：实际上这个实数可以称为这个点在数轴上的坐标. 【教学说明】学生通过思考问题，复习旧知识，为新知识建立铺垫. 2.问题提出. 提问：请同学们观看屏幕投影片，你发现了什么？ 投影显示有关有序实数对的情境. 【情境 1】 我们都有过去电影院看电影的经历.大家知道，影剧院对所有观众的座位都按“几排几 号”编号，以便确定每一个座位在剧院中的位置，这样观众就能根据入场券上的“排数”和 “号数”准确地“对号入座”. 学生活动：通过观察，发现了电影院中的“几排几号”是有序实数对. 2 【情境 2】 请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试： （1， 4），（2， 3），（5， 4），（2， 2），（5， 7）. 【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：确定一个 位置需要两个数据，体会认识有序实数对的重要性. 二、建立表象，数形结合 新知探究：平面直角坐标系相关概念 小明：音乐喷泉在中山北路西边 50 米，北京西路北边 100 米. 小丽能根据小明的提示从图中用“·”标出音乐喷泉的位置吗？ 思考： 1.确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2.既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型来表示平面上 任一点的位置呢？ 【教学说明】教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置， 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系. 确定水平的数轴称为 x 轴（横轴），习惯上我们取向右为正方向;竖直的数轴称为 y 轴（纵 轴），取向上方向为正方向；两轴交点为原点，这样就形成了坐标平面. 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示. 引导观察：如下图中点 P 可以这样表示：由 P 向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，点 P 向 y 轴作垂线，垂足 N 在 y 轴的坐标是 3，于是就说点 P 的横坐标是-2，纵坐标是 3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2， 3），即 P 点坐标（-2， 3）. 引导练习：写出点 A、B、C 的坐标. 3 学生相互交流，得出正确答案. (强调点的坐标的有序性和正确规范书写) 教师提问：请同学们想一想：原点 O 的坐标是什么？x 轴和 y 轴上的点坐标有什么特点？ 学生观察发现：O 的坐标（0， 0），x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0. 三、运用新知，深化理解 1.（广西北海中考）在平面直角坐标系中，点 M（-2，1）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平面直角坐标系中，若点 P（a-3，a+1）在第二象限，则 a 的取值范围为（ ） A.-1＜a＜3B.a＞3 C.a＜-1D.a＞-1 3.如图为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵为坐标原点，建立平面直角坐标 系，则玉王宫岩所在位置的坐标为. 4.写出图中点 A、B、C、D、E、F 的坐标.（注：每小格的长度代表单位“1”.） 【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新 知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有了更加明确的认 识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题. 【参考答案】1.B 2.A 3.（2， 4） 4.解：A（-3， -2），B（-5， 4），C（4， -4），D（0， -3），E（2， 5），F（-3， 0）. 四、师生互动，课堂小结 本节课我们学习了平面直角坐标系.学习本节我们要掌握以下三方面的知识内容： 1.能够正确画出直角坐标系. 2.能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.坐标平面内的点和有序实数对 是一一对应的. 3.掌握象限内、x 轴及 y 轴上点的坐标的特征： 4 第一象限：（＋，＋）第二象限：（－，＋）第三象限：（－，－）第四象限：（＋，－）； x 轴上的点的纵坐标为 0，表示为（x， 0）； y 轴上的点的横坐标为 0，表示为（0， y）. 4.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流. 【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行 很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化. 1.课本第 5 页练习 1、2、3. 2.完成练习册中相应的作业. 基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法 和总结法相结合.通过学习使学生理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征，经 历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的 平台，体会现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣. 第 2 课时 坐标平面内的图形 【知识与技能】 充分应用平面上点的坐标的有关知识，进一步认识坐标系中的图形. 【过程与方法】 经历由坐标描点，绘制图形，让学生体会数学之生动美感. 【情感与态度】 培养学生合作交流意识和探索精神，体验数、符号是描述现实世界的重要手段. 【教学重点】 重点是理解平面直角坐标形成的图形. 【教学难点】 难点是对平面上点的坐标的理解. 一、回顾交流，检测所学 1.在平面直角坐标系中，标出下列各点： (1)点 A 在 y 轴上，位于原点上方，距离原点 2 个单位的长度； (2)点 B 在 x 轴上，位于原点右侧，距离原点 1 个单位的长度； (3)点 C 在 x 轴上方，y 轴右侧，距离每条坐标轴都是 2 个单位的长度； 5 (4)点 D 在 x 轴上方，位于原点右侧，距离原点 3 个单位长度； (5)点 E 在 x 轴上方，y 轴右侧，距离 x 轴 2 个单位长度，距离 y 轴 4 个单位长度，依 次连接这些点，你能得到什么图形？ 2.在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置，看看 它们在第几象限. (1)点 M（x, y）的坐标 xy<0; (2)点 M（x, y）的坐标 xy=0; (3)点 M（x, y）的坐标 xy>0. 【教学说明】将上节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化. 二、范例学习，理解新知 例 1 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段顺次连接起来，说说 你得到了什么图形，并计算它们的面积. (1)A（5， 2），B（2， 2），C（2，－2）. (2)A（－1，2），B（－2，－1），C（2，－1），D（3， 2）. 【解】（1）得到的是一个直角三角形，如图①，它的面积是 1 2 ×3×4=6. （2）得到的是一个平行四边形，如图②，它的面积是 4×3=12. 【教学说明】教师给出规范解答步骤，学生模仿，便于今后在解决数学问题时有章可循. 例 2 如图（1），正方形 ABCD 的边长为 4，请建立一个平面直角坐标系，并写出四边形 的四个顶点 A,B,C,D 在这个平面直角坐标系中的坐标. 【解】如图（2），以顶点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面 直角坐标系.此时，正方形的四个顶点 A,B,C,D 的坐标分别为：A（0,0），B（4,0），C（4,4）， 6 D（0,4）. 教师提问：你还能另建立一个平面直角坐标系吗？并写出 A、B、C、D 坐标. 【教学说明】此题可以另建立平面直角坐标系，培养学生一题多解，从不同角度分析问 题的习惯. 三、运用新知，深化理解 1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1），（-1， 2），（3，-1）， 则第四个顶点的坐标为（ ） A.（2， 2） B.（3， 2） C.（3， 3） D.（2， 3） 2.如图在正方形网格中，若 A（1， 1），B（2， 0），则 C 点的坐标为（ ） A.（-3，-2） B.（3，-2） C.（-2，-3） D.（2，-3） 3.已知点 A（0， 4），B（0， 2），C（m， 5），且△ABC 的面积为 12，则 m 的值 是 . 4.（青海中考）如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-2，-2）， “马”位于点（1，-2），则“兵”位于点. 5.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形 OABC 的面积. 【参考答案】1.B 2.B 3.±12 4.（-4， 1） 5.解：分别过 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，如图，四边形 OABC 的面 积=S△AOD+S 梯形 ABED+S 梯形 BCFE-S△COF＝ 1 2 ×2×4＋12（4＋6）×4＋ 1 2 （6＋2）×2－ 1 2 ×8×2＝4 ＋20＋8－8＝24 四、师生互动，课堂小结 7 由学生自己归纳. (1)怎样理解平面直角坐标系中的图形? (2)四个象限点的特点？ (3)如何描点，又如何找出点的坐标？ 1.课本第 7 页练习 1. 2.完成练习册中相应的作业. 这是一节比较容易让学生感到乏味的课程，采用多媒体辅助教学的手段，让整节课生动 起来，极大地提高了学生的学习兴趣.通过学习使学生充分应用平面上点的坐标的有关知识， 进一步认识坐标系中的图形，经历由坐标描点，绘制图形，让学生体会数学之生动美感，培 养学生合作交流意识和探索精神，体验数、符号是描述现实世界的重要手段. 11.2 图形在坐标系中的平移 【知识与技能】 在同一坐标系中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系. 【过程与方法】 经历图形在坐标系中的平移过程，培养学生形象思维能力和数形结合意识. 【情感与态度】 调动学生学习的主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价 值. 【教学重点】 重点是探究点或图形的平移引起的坐标变化的规律，另一个是研究图形上的点的坐标的 某种变化引起的图形的平移变换. 【教学难点】 难点是对图形在坐标中的平移变化的理解. 一、创设情境，导入新知 1.复习回顾 探究：根据下面条件画一副示意图，标出学校和小强家、小敏家、小刚家的位置. 小刚家：出校门向东走 150m，再向北走 200m. 8 小强家：出校门向西走 200m，再向北走 350m，最后向东走 50m. 小敏家：出校门向南走 100m，再向东走 300m，最后向南走 75m. 选取直角坐标系的方法很多，在让学生充分交流的基础上，引导学生选择最优方案，那 就是：选学校所在位置为原点，分别取正东、正北方向为 x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系， 并取比例尺 1：10000（图中 1cm 相当于实际中 10000cm 即 100m）.依题目所给的已知条件， 取得小刚家的位置是（150， 200），类似地，小强和小敏家的位置分别是（－150， 350） 和（300，－175）. 2.教师归纳 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： (1)建立直角坐标系,选择一个适当的参照为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向. (2)依据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度. (3)在坐标平面的内部画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称. 二、问题牵引，引入研究 【问题】如图,△ABC 在坐标平面上平移后得到新图形△A1B1C1. （1）△ABC 移动的方向怎样？ （2）写出△ABC 与△A1B1C1 各点的坐标，比较对应点坐标，看有怎样的变化？ （3）如果△ABC 向下平移 2 个单位，得到△A2B2C2.写出这时各顶点坐标，比较两者对应 点坐标，看有怎样的变化？ 观察比较△ABC 与△A1B1C1：对应点的纵坐标都不变,横坐标移动后改变了，即：将横坐 标都减去 5 可得到移动后的点的坐标. 请同学们解答完第（3）个问题后，将图形向上平移 2 个单位再探究一下. 【归纳结论】 平移规律： 描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x,y）的变化来表示. （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：（x,y）→(x±a, y)(a>0) (2)在坐标系内,上下平移的点的坐标规律：（x,y）→(x, y±b)(b>0) 9 (3)在坐标系内，上下、左右平移的点的坐标规律：（x,y）→(x±a, y±b)（a＞0，b ＞0） 三、范例学习，理解新知 例 1 如图，将△ABC 先向右平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位，得到△A1B1C1，写出各 顶点变动前后的坐标. 【解】得到结论有： A(-2, 6)→(4, 6)→A1(4, 4) B(-4, 4)→(2, 4)→B1(2, 2) C(1, 1)→(7, 1)→C1(7, -1) 例 2 说出下列由点 A 到点 B 是怎样平移的？ （1）A(x, y)B(x-1, y+2) （2）A(x, y)B(x+3, y-2) （3）A(x+3, y-2)B(x, y) 【解】（1）点 A 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点 B； （2）点 A 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到点 B； （3）点 A 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点 B. 【教学说明】逆向思维训练,给出变化的坐标，让学生了解点的位置的变化，会使学生 更为清晰地掌握图形在平面上平移的意义. 四、运用新知，深化理解 1.（内蒙古呼伦贝尔中考）将点 A（-2， -3）向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 所处的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平面直角坐标系中，将点 P（-2， 1）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单 位长度得到点 P′的坐标是（ ） A.（2， 4） B.（1， 5） C.（1， -3） D.（-5， 5） 3.（广西梧州中考）已知线段 AB 的 A 点坐标是（3，2），B 点坐标是（-2， -5），将线 10 段 AB 平移后得到点 A 的对应点 A′的坐标是（5，-1），则点 B 的对应点 B′的坐标 是 . 4.如图，把△ABC 放置在网格中，点 A 的坐标为（-3，1），现将△ABC 先向右平移 4 个 单位，再向上平移 2 个单位后得到△A′B′C′，则点 A′的坐标是. 5.三角形 ABC 中，A（-2， 2），B（-4， -2），C（1， 0），把三角形平移后，三角形某 一边上的点 P（x， y）对应点为 P′（x+4， y-2），求平移后所得三角形各顶点的坐标. 【参考答案】1.D 2.B 3.（0， -8） 4.（1， 3） 5.解：∵点 P（x， y）的对应点为 P′（x+4， y-2）， ∴平移变换规律为向右平移 4 个单位，向下平移 2 个单位， ∵A（-2， 2），B（-4， -2），C（1， 0）， ∴平移后 A 的对应点坐标为（2， 0），B 的对应点坐标为（0， -4），C 的对应点坐标为 （5，-2）. 五、师生互动，课堂小结 1.本节课学习了哪些内容？ 2.把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移，那么图形上任一点的坐标（x, y）是如何变化的? ①向左或向右移动 a(a>0)个单位； ②向上或向下移动 b(b>0)个单位； ③向左或向右移动 a 个单位，再向上或向下移动 b 个单位（a＞0，b＞0）. 1.课本第 14 页练习 2、3. 2.完成练习册中的相应作业. 本节课是在学生学习了平移的概念和性质的基础上，探究图形在坐标系内平移的变化规 律.主要是引导学生运用分类思想，依次通过对点和图形的平移的观察、画图、猜想、验证、 归纳、比较、分析等活动，最终探究出点的坐标变化与点平移的关系、图形各个点的坐标变 11 化与图形平移的关系.然而，一堂课下来，我感触颇深，认为本节课离高效课堂“把课堂还 给学生、激发学生自主学习的积极性、提高学生自主学习的能力、切实提高课堂教学效益” 的要求还很远. 第 11 章 平面直角坐标系 【知识与技能】 复习平面直角坐标系和图形在坐标系中的平移这两个内容. 【过程与方法】 理解和掌握坐标系有关概念，体会图形的变换规律，学会运用平移变换规律进行描点作 图. 【情感与态度】 培养合作交流、数形结合的思想，体会坐标系的实际应用价值. 【教学重点】 重点是点的表示及描点方法、点的特征、平移的应用. 【教学难点】 难点是平移前后的坐标变化规律及点的坐标特征、应用. 一、知识框图，整体把握 平面直角坐标系概括有序数对坐标系画法平面内的点的坐标坐标应用表示地理位置平 移 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识 及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图. 二、释疑解惑，加深理解 确定平面内点的位置的两种方法： （1）平面直角坐标系法 建立平面直角坐标系时应注意以下几点： 12 ①建立平面直角坐标系的方法很多，由于坐标系的选择直接影响着计算的繁简程度，所 以建立平面直角坐标系时，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则. ②由点的坐标也可以确定点所在的平面直角坐标系，其方法是采用“逆向思维”，通过 在已知平面直角坐标系中描点来寻求问题的解题思路. （2）方向角和距离定位法 用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离. 用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方 向角与距离也随之变化. 无论在平面内用何种定位法确定点的位置，一定要注意用两个数据表示，二者缺一不可. 三、典例精析，复习新知 1.利用点的坐标特点解题 （1）利用坐标符号特征； （2）利用对称点的特征； （3）象限夹角平分线上点的坐标特点. 例 1（多媒体显示）已知 A（a-1, 5）和 B(2,b-1)关于 x 轴对称,求 a+b 的值. 拓展练习：一变：改为“关于 y 轴对称”； 二变：改为“关于原点对称”； 三变：“直线 AB 平行 x 轴，求 b”； 四变：“A 点在第二象限，求 a 范围”； 五变：“B 点在第一、三象限夹角平分线上，求 b”. （学生独立完成，上黑板演示或口答） 2.确定物体的位置 (1)用平面内的坐标确定物体的位置； (2)用角度和距离确定物体的位置. 例 2（多媒体显示）教材第 9 页习题 11.1 第 4 题. 拓展练习：一变：“书城在人民广场的什么位置”（方向和距离）； 二变：“若用（2， 1）表示人民广场位置，则其余建筑位置如何确定”. 3.动手操作题 教材第 12 页例题（多媒体显示） 拓展练习：一变：“将三角形 ABC 沿 y 轴正向平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位”； 二变：画出三角形 ABC 关于 y 轴对称的图形. 【教学说明】复习平移规律，拓展学生视野与思维，培养动手能力. 4.数形结合解题 例 3（多媒体显示）在坐标系中，点到 x 轴距离为 2，到 y 轴距离为 1，求该点坐标. 13 变化题：点(m-1, m+1)到 x 轴距离为 2，求 m 值. 【教学说明】考察数形结合和分类讨论思想，指导学生学会分析、解决问题. 四、复习训练，巩固提高 1.（广西梧州中考）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于 y 轴对称的点的坐标是 （ ） A.（-1， 2） B.（1， -2） C.（-1， -2） D.（-2， -1） 2.若点 A（-2，n）在 x 轴上，则点 B（n-1，n+1）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位，那么点 D 的对应 点 D′的坐标是（ ） A.（0， 1） B.（6， 1） C.（6， -1） D.（0， -1） 4.若点 P（m-3， m-9）在第四象限，则 m 的取值范围是 . 5.如图，平面直角坐标系中，A、B 的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段 AB 平移 至 A1B1，则 a+b 的值为 . 6.若点 M（5-a，2a-6）在第四象限，且点 M 到 x 轴与 y 轴的距离相等，试求（a-2）2014-a-2015 的值. 7.（1）在直角坐标系中用线段依次连接点（1， 0），（1， 3），（5， 3），（5， 0），（1， 0）和（0， 3），（6， 3），（3， 5），（0， 3），两组图形共同组成一个什么图形？ （2）如果将上面各点的横坐标都加上 1，纵坐标不变，那么同样方式连接相应各点， 所得的图形发生了哪些变化？ 14 【参考答案】1.A 2.B 3.D 4.3＜m＜9 5.2 6.解：由题意得，5-a+2a-6=0，解得 a=1. 所以，（a-2）2014-a-2015=（1-2）2014-1-2015=1-1=0. 7.解：（1）如图，两组图形共同组成一个房子； （2）所得的图形向右平移了 1 个单位. 五、师生互动，课堂小结 让学生口述本节课的主要内容，教师帮助梳理成系统知识. 1.课本第 17~18 页 A 组复习题第 1~5 题，B 组 1、2 题. 2.完成练习册中相应复习课的练习. 本节复习课通过教师提问，学生独立思考，相互交流，回答问题的方式对本章知识进行 了小结，回顾了平面直角坐标系及相关的基础知识和基本方法，以及它的简单应用.对于学 生易出错、应该强调的问题，如果只是泛泛而谈，效果不大 因此，在复习了本章的主要知 识后，出了一组典型例题，通过具体的题目，强调有关问题，将给学生留下更深的印象，学 习效果会更好. 在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使 学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系. 第 12 章 一次函数 12.1 函数 第 1 课时 变量与函数 15 【知识与技能】 了解变量与常量，初步理解函数的概念. 【过程与方法】 经历函数概念的探索过程，感悟变量. 【情感与态度】 鼓励探索方式的多样化，培养激发学生学习的兴趣. 【教学重点】 重点是理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式. 【教学难点】 难点是对函数意义的准确理解. 一、创设情境，导入新知 活动一：乘热气球探测高空气象 用热气球探测高空气象，热气球从海拔 1800 m 处的某地升空，在一段时间内，它匀速 上升.它上升过程中到达的海拔高度 h(m)与上升时间 t(min)的关系记录如下表： 观察上表： （1）这个问题中，有哪几个量？ （2）热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少？ （3）你能求出上升 3min,6min 时气球到达的海拔高度吗？ 【教学说明】学生通过思考问题，为新知识建立铺垫. 活动二：用电负荷曲线图 S 市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示. 16 看图回答 （1）这个问题中，涉及哪几个量？ （2）任意给出这天中的某一时刻 x，能找到这一时刻的负荷 y（×103 兆瓦）是多少吗？ （3）这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？ 活动三：汽车刹车距离 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分 析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s（m）与车速 v（km/h） 之间有下列经验公式：s＝v2/256 （1）式中涉及哪几个量？ （2）当刹车时速 v 分别是 40、80、120km/h 时，相应的滑行距离 s 分别是多少？ 【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：哪些是常 量，哪些是变量.从而为引出函数概念做铺垫. 二、达成共识，构建新知 新知探究：函数的概念 ［交流］：在活动一至三中，哪些量是常量？哪些量是自变量？哪些变量是因变量？与 同伴交流. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个值，y 都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.如果当 x=a 时，y=b,那 么 b 叫做当自变量为 a 时的函数值. 引导发现：热气球上升后到达的海拔高度 h 是自变量时间 t 的函数；用电负荷 y 是自变 量时间 t 的函数；制动距离 s 是自变量车速 v 的函数. 引导练习： 1.说出下列各个过程中的变量与常量： （1）铁的质量 m（g）与体积 V（cm3）之间的关系式是 m＝ρV.（ρ是铁的密度） （2）长方形的长为 2cm，它的面积为 S（cm2）与宽 a（cm）的关系式是 S=2a. 2.已知函数 y=3x-5，当 x=2 时，y= 1 . 三、运用新知，深化理解 1.寄一封质量在 20g 以内的市内平信，需邮资 0.80 元，则寄 x 封这样的信所需邮资 y 17 （元）.试用含 x 的式子表示 y，并指出其中的常量和变量. 2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化， 探索它们的变化规律.如果弹簧原长 10 cm，每 1 kg 重物使弹簧伸长 0.5 cm，怎样用含有重 物质量 m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 y（cm）？ 【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固 新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认 识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题. 【参考答案】1.解：根据题意，得 y=0.8x，所以 0.8 是常量，x、y 是变量. 2.y=0.5m+10 四、师生互动，课堂小结 掌握函数的概念，能根据问题背景确定函数关系式，会确定自变量的取值范围. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个值，y 都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.如果当 x=a 时，y=b,那 么 b 叫做当自变量为 a 时的函数值. 【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行 很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化. 1.课本第 23 页练习 1、2. 2.完成练习册中相应的作业. 函数第一课时主要讲的是函数及其有关概念，它是所有函数的基础.这节课是通过三个 活动理解函数这一概念，在上课过程中对三个问题进行分析，分析问题中的变化过程，进而 得知常量、变量、自变量、因变量，通过观察和计算发现因变量与自变量之间的对应关系， 从而理解函数概念.情景设置激发学生学习兴趣，体现学生是数学学习的主人，教师是组织 者、引导者与合作者. 第 2 课时 函数的表示方法——列表法与解析法 【知识与技能】 了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定 函数关系式，会确定自变量取值范围. 【过程与方法】 学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题. 18 【情感与态度】 培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值. 【教学重点】 重点是进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围. 【教学难点】 难点是确定函数关系. 一、提出问题，创设情境 我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化，同一问题中的变量之间 有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？ 这将是我们这节研究的内容. 活动一 在计算器上按照下面的程序进行操作. 下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结果： 所按的第三、四两个键是哪两个键？y 是 x 的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含 有 x 的式子表示 y）. 让学生思考后回答（或小组讨论） 【教学说明】学生通过思考问题，为掌握新知识函数的表示方法：列表法做铺垫. 活动二 用 10 cm 长的绳子围成矩形，设矩形的长度为 x cm，面积为Ｓcm2.怎样用含有 x 的式 子表示Ｓ？ 【教学说明】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律. 二、导入新课 上述活动一、活动二反应了两个变量间的函数关系，函数关系式的表示方法主要有三种 方法：列表法、解析法、图象法. 19 在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数的表达式有意义. 例 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围； 【分析】在（1）（2）中，x 取任何实数时，2x+4 与-2x2 都有意义；在（3）中，当 x=2 时， 1 2x  没有意义；在（4）中，当 x＜3 时，x-3 没有意义. 【解】（1）x 为全体实数. （2）x 为全体实数. （3）x≠2.（4）x≥3. 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意 义.如函数 S=πR2 中自变量 R 可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积 S 与圆半径 R 的关系，那么自变量 R 的取值范围是 R＞0. 例 2 当 x=3 时，求下列函数的函数值： 【解】（1）当 x=3 时，y=2x+4=2×3+4=10. （2）当 x=3 时，y=-2x2=-2×32=-18. （3）当 x=3 时，y= 1 2x  =1. （4）当 x=3 时，y= 3x  =0. 例 3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以每时 25 m3 排出量排水. （1）写出游泳池内剩余水量 Q （m3）与排水时间 t（h）间的函数关系式； （2）写出自变量 t 的取值范围； （3）开始排水后的第 5 h 末，游泳池中还有多少水？ 20 （4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多少时间？ 【解】（1）排水后的剩水量 Q 是排水时间 t 的函数，有 Q=-25t+300 （2）由于池中共有 300 m3 水，每时排 25 m3，全部排完只需 300÷25=12（h），故自变 量 t 的取值范围是 0≤t≤12. （3）当 t=5，代入上式得 Q=-5×25+300=175（m3），即第 5h 末池中还有水 175 m3. （4）当 Q=150 时，由 150=-25t+300，得 t=6，即已经排水 6 h. 【教学说明】通过例题理解列表法和解析法的意义及表示方法，并与实际问题相结合. 三、运用新知，深化理解 1.（广西来宾中考）函数 y= 3x  中，自变量 x 的取值范围是（ ） A.x≠3 B.x≥3 C.x＞3 D.x≤3 2.（四川遂宁中考）在函数 y= 1 1x  中，自变量 x 的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x＜1 C.x≠1 D.x=1 3.函数 y= 2 1 x x   中，自变量 x 的取值范围是 . 4.如图，根据流程图中的程序，当输出数值 y=5 时，输入数值 x 是（ ） 5.水箱内原有水 200 升，7 点 30 分打开水龙头，以 2 升/分的速度放水，设经 t 分钟时， 水箱内存水 y 升. （1）求 y 关于 t 的函数关系式和自变量的取值范围； （2）7：55 时，水箱内还有多少水？ （3）几点几分水箱内的水恰好放完？ 【参考答案】1.B 2.C 3.x≥-2 且 x≠1 4.C 5.解：（1）∵水箱内存有的水=原有水-放掉的水， ∴y=200-2t， 21 ∵y≥0， ∴200-2t≥0， 解得：t≤100， ∴0≤t≤100， 所以 y 关于 t 的函数关系式为： y=200-2t（0≤t≤100）； （2）∵7：55-7：30=25（分钟）， ∴当 t=25 时， y=200-2t=200-50=150（升）， ∴7：55 时，水箱内还有水 150 升； （3）当 y=0 时， 200-2t=0， 解得：t=100 分钟=1 小时 40 分钟， 7：30+1 小时 40 分钟=9 点 10 分， 答：故 9 点 10 分水箱内的水恰好放完. 四、师生互动，课堂小结 学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际 问题的能力. 1.课本第 26 页练习 1、2、3、5. 2.完成练习册中相应的作业. 通过本节课学习让学生了解函数的表示方法：列表法、解析法，并领会它们的联系和区 别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.学会用不同方法表示函数， 会应用综合的思维、思想分析问题，培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的构建在实 际生活中的应用价值. 第 3 课时 函数的表示方法——图象法 【知识与技能】 学会用列表、描点、连线画函数图象. 【过程与方法】 通过画函数图象，提高对函数的理解. 【情感与态度】 22 直观感受函数，体会数形结合思想. 【教学重点】 重点是函数图象的画法. 【教学难点】 难点是准确画出函数图象. 一、提出问题，创设情境 我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数 关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关 系. 对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰. 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题. 二、导入新课 已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？ 画出函数 y＝2x 的图象. 对于自变量 x 的每一个确定的值，可得出对应函数 y 的唯一值.列表如下： 各组对应值作为点的横纵坐标在平面直角坐标系中描出各点，得到函数 y＝2x 的图象， 如下图. 23 【教学说明】引导学生通过列表描点连线，体会如何画函数图像. 例 画出前面第 1 课时活动三中的函数 s=v2/256 的图象. （1）列表：因为这里 v≥0，我们分别取 v=0,10,20,30,40,求出它们对应的 s 值,列成 表格： （2）描点：在坐标平面内描出（0, 0），（10, 0.4），（20， 1.6），（30, 3.5），（40, 6.3） 等点. （3）连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了 s=v2256 的图象，如图所示. 【教学说明】通过列表——描点——连线体会函数图象的形成过程，体会数形结合思想. 三、运用新知，深化理解 1.如图是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小 24 孔漏出，壶壁内画出刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.用 x 表示时间，y 表示壶底到 水面的高度.下面的哪个图象适合表示 y 与 x 的函数关系？ 2.a 是自变量 x 取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画 y 轴的平行线，与图中曲线 相交.下列哪个图中的曲线表示 y 是 x 的函数？为什么？ 3.画出下列函数的图象： (1)y＝4x－1；(2)y＝4x＋1. 【参考答案】1.（2）2.（1）符合函数定义 3.略 四、师生互动，课堂小结 本节课通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思 想. 1.课本第 28 页练习 1、2. 2.完成练习册中相应的作业. 运用三个环节讲解用图象法表示函数，通过本节学习让学生学会用列表、描点、连线画 函数图象；经历画函数图象，体会数形结合思想. 第 4 课时 从图象中获取信息 【知识与技能】 25 学会观察、分析函数图象信息. 【过程与方法】 通过观察，分析函数图象信息 ，提高识图、分析等函数图象信息能力. 【情感与态度】 体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力. 【教学重点】 观察分析图象信息. 【教学难点】 分析概括图象中的信息. 一、提出问题，创设情境 活动一 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间 t 的变化而 变化.你从图象中得到了哪些信息？ 学生思考后回答（或小组讨论） 【教学说明】引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义.可以指导学 生找出一天内最高、最低气温及其对应的时间；也可以分析气温在某些时间段的变化趋势， 从而认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……. 活动二 下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中 x 表示时间， y 表示小明离他家的距离. 根据图象回答下列问题： １.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ ２.小明给菜地浇水用了多少时间？ 26 ３.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ ４.小明给玉米地锄草用了多长时间？ ５.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？ 学生思考后回答（或小组讨论） 【教学说明】引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于 x 轴的线 段的意义. 二、导入新课 1.如图所示是记录某人在 24 h 内的体温变化情况的图象. （1）图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？ （2）在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？ （3）21:00 时此人的体温是多少？ （4）这天体温达到 36.2 ℃时是在什么时候？ （5）此人体温在哪几段时间上升？在哪几段时间下降？在哪几段时间变化最小？ 2.一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输图（1），只行驶一个来回，中间经过丙港，图（2） 是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线. 27 （1）观察曲线回答下列问题： ①从甲港（O）出发到达丙港（A），需用多长时间？ ②由丙港（A）到达乙港（C），需用多长时间？ ③图中 CD 段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时，多长时间到达丙港（B）？ ④从丙港（B）返回到出发点甲港（E），用多长时间？ （2）你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？ （3）如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？ 【教学说明】通过例题培养学生分析图象、提取信息的能力. 三、运用新知，深化理解 1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑到公园，打了一会儿太极拳，然 后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离 y（米）与时间 t（分钟）之间关系 的大致图象是（ B ） 2.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水 面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示（图中 OABC 为一折线）.这个容 器的形状是下列选项中哪一个（ C ） 3.小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物 送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本 次去舅舅家所用的时间 x（分钟）与离家的距离 y（米）的关系示意图. 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小红家到舅舅家的距离是________米，小红在商店停留了________分钟. （2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？ （3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 28 【解】（1）1500，4. （2）观察图象，当 12≤x≤14 时，直线最陡，小红在此段骑车速度最快，最快速度 =450（米/分）. （3）观察图象可知小红共行驶了 1500+2×（1200-600）=2700（米），共用了 14 分钟. 四、师生互动，课堂小结 本节课学会了分析图象信息，解答有关问题.通过解决实际问题体会数形结合的思想. 完成练习册中相应的作业. 通过本节学习让学生学会观察，分析函数图象信息，提高了识图、分析函数图象信息能 力，体会数形结合思想并利用它解决问题，提高解决问题能力. 12.2 一次函数 第 1 课时 正比例函数的图象和性质 【知识与技能】 了解正比例函数的定义、图象、性质及画法. 【过程与方法】 经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质. 【情感与态度】 通过交流合作解决实际问题，培养学生的数学交流能力和团队协作精神. 【教学重点】 重点是理解正比例函数意义及解析式特点,掌握正比例函数图象的性质特点. 【教学难点】 难点是正比例函数图象性质特点的掌握. 一、提出问题，创设情境 一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环.4 个月（按每月 30 天 算）零 1 周后人们在 2.56 万千米外的澳大利亚发现了它. 1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到 0.1 千米）？（201.6 千米） 2.这只燕鸥的行程 y（千米）与飞行时间 x（天）之间有什么关系？（y＝201.6x） 3.这只燕鸥飞行 1 个半月的行程大约是多少千米？（9072 千米） 29 【教学说明】通过具体情境引发思考，为本节内容作准备. 二、导入新课 首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些 函数有什么共同特点？ １.圆的周长 L 随半径 r 的大小变化而变化. ２.铁的密度为 7.8 g/cm3，铁块的质量 m（g）随它的体积 V（cm3）的大小变化而变化. ３.每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（cm）随着练习本的 本数 n 的变化而变化. ４.冷冻一个 0℃的物体，使它每分钟下降 2℃.物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间 t（分） 的变化而变化. 【参考答案】1.L＝2πr 2.m＝7.8V 3.h＝0.5n 4.T＝-2t 引导发现：上述函数的表达式都可以写成 y=kx 的形式. 一般地，形如 y=kx+b（k、b 是常数，且 k≠0）的函数叫做一次函数（其中 k 叫做比例 系数）.当 b=0 时，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数.正比例函数是一次 函数的特殊情形. 我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ 由上节可知： 正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是经过原点的直线，通常我们把正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象叫做直线 y=kx. 思考：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样 画最简单？为什么？ 画正比例函数图象的方法：经过原点与点（1，k）. 例在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象： （1）y= 1 2 x；（2）y=x；（3）y=3x. 【解】列表：（为便于比较，三个函数值计算表排在一起） 如图，过两点（0, 0），(1， 1 2 )画直线，得 y= 1 2 x 的图象； 30 过两点（0, 0），（1, 1）画直线，得 y=x 的图象； 过点（0, 0），（1, 3）画直线，得 y=3x 的图象. 尝试练习： 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较. 1.y= 3 2 x 2.y=-3x 【教学说明】让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关 系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理. 【归纳结论】 一般地，正比例函数 y=kx(k 为常数，且 k≠0)有下列性质： 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小（图象是自左向右下降的）. 三、运用新知，深化理解 1.下列函数中，是正比例函数的是（ ） A.y＝-8x B.y＝-8x＋1 C.y＝8x2＋1 D.y＝- 8 x 2.（湖南湘西州中考）正比例函数 y=x 的大致图象是（ ） 3.已知正比例函数 y=kx（k≠0），点（2，-3）在函数上，则 y 随 x 的增大而（增大或 31 减小）. 4.已知 y＝ 2 32 1 －（ － ） mm x 是正比例函数，且函数图象经过第一、三象限，求 m 的值. 5.已知 y 与 x-3 成正比例，当 x=4 时，y=-3.求 y 与 x 之间的函数关系式. 【参考答案】1.A2.C3.减小 4.解：根据题意得： 2 3 1 2 1 0＞ m m       ，解得：m=2. 5.解：∵y 与 x-3 成正比例，设出函数的关系式为：y=k（x-3）（k≠0）， 把当 x=4 时，y=-3 代入得：-3=k（4-3），∴k=-3， ∴y 与 x 之间的函数关系式为：y=-3（x-3）. 四、师生互动，课堂小结 本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与 关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法及图象的 简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础. 1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ （1）长为 8cm 的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm)；（L＝2（8＋b），一次函数） （2）食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y（吨）；（y＝120－5x，一 次函数） （3）汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s（km）和时间 t（h）；（s＝40t，正比例函数） （4）汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 y（km）与行驶时间 x（h）之间的 关系式；（y＝60x，正比例函数） （5）一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 月后这棵树的高度为 y（厘米）. （y＝50＋2x，一次函数） 2.已知函数 y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求 k 的值.若它是一次函数，求 k 的值. 解：由题意和正比例函数、一次函数的定义可知： ①当 k－2≠0，2k＋1＝0，即 k＝- 1 2 且 k≠2 时，该函数为正比例函数； ②当 k－2≠0，即 k≠2 时，该函数为一次函数. 3.完成练习册中相应的作业. 本节课内容是在学生学习了变量和函数的基本概念的基础上进行的，由于刚接触函数， 学生对于变量之间的关系理解得还不是很透彻，对于这节课学习有关于正比例函数图象的性 32 质，有一定的困难，而且这节课中两个变量成正比例和正比例函数这两个概念之间的联系和 区别是学生较难理解的内容.通过本节学习让学生了解正比例函数的定义、图象、性质及画 法，经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质，通过合作解决实际问题的能力 培养学生的数学交流能力和团队协作精神. 第 2 课时 一次函数的图象和性质 【知识与技能】 1.进一步掌握一次函数图象的画法； 2.掌握一次函数系数 k,b 与图象位置的关系； 3.掌握一次函数的性质并会运用. 【过程与方法】 让学生通过画图、观察、讨论，探究一次函数的图象及性质，培养学生数形结合的意识 和能力以及分类讨论的思想. 【情感与态度】 让学生全身心地投入到教学活动中，积极参与组内讨论，合作交流探索，发展实践能力 与创新精神. 【教学重点】 重点是一次函数的性质. 【教学难点】 难点是一次函数的性质的掌握. 一、提出问题，创设情境 1.回顾作函数图象的一般步骤. 2.在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象. (1)y＝-6x (2)y＝-6x＋5 (3)y＝3x (4)y＝3x＋2 【教学说明】引导学生回顾作函数图象的一般步骤，并动手画出函数图象. 二、导入新课 问题 1：以上四个一次函数图象是什么形状呢? 问题 2：一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证. 问题 3：几个点可以确定一条直线? 问题 4：画一次函数图象时，只要取几个点? 33 画一次函数图象时，取直线与 x 轴和 y 轴的交点比较方便. 问题 5：观察下列各组一次函数并画出图象，比较下列各组一次函数的图象有什么共同 点，有什么不同点. (1)y＝-6x 与 y＝-6x＋2； (2)y＝ 1 2 x 与 y＝ 1 2 x＋2； (3)y＝-6x＋2 与 y＝ 1 2 x＋2. 能否从中发现一些规律? 问题 6：对于直线 y＝kx＋b(k、b 是常数，k≠0).常数 k 和 b 的取值对于直线的位置各 有什么影响? 让学生讨论，交流，然后填空： 两个一次函数，当 k 一样，b 不一样时，有 共同点 不同点: 当两个一次函数，b 一样，k 不一样时，有 共同点： 不同点： 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)y＝2x 与 y＝2x＋3 (2)y＝2x＋1 与 y＝ 1 2 x＋1 请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样. 【归纳结论】 一般地，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）的图象是平行于 y=kx 的一条直线， 我们以后把一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）的图象叫做直线 y=kx+b. 直线 y=kx+b 与 y 轴相交于（0，b）,b 叫做直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距，简称截距. 直线 y=kx+b 可以看作是由直线 y=kx 平移 b 个单位的长度得到（当 b>0 时,向上平移； 当 b<0 时,向下平移）. 例 1 画出直线 y= 2 3 x-2,并求它的截距. 【解】对于 y= 2 3 x-2,有 34 过两点（0， -2），（3, 0）画直线，即得 y= 2 3 x-2 的图象.它的截距是-2，如下图. 探究（见课本第 39 页） 让学生独立思考：从中能发现什么规律？ 【归纳结论】 一次函数 y＝kx＋b 有下列性质： (1)当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； (2)当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 我们把一次函数中 k 与 b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为： 例 2 已知一次函数 y＝(2m-1)x＋m＋5,当 m 是什么数时，函数值 y 随 x 的增大而减小？ 【解】当 2m－1＜0，即 m＜ 1 2 时，y 随 x 的增大而减小. 三、运用新知，深化理解 1.（辽宁抚顺中考）函数 y=x-1 的图象是（ ） 35 2.在平面直角坐标系中，下列直线中与直线 y=2x-3 平行的是（ ） A.y=x-3 B.y=-2x+3 C.y=2x+3 D.y=3x-2 3.对于函数 y=-2x+1，下列结论正确的是（ ） A.y 的值随 x 值的增大而增大 B.它的图象经过第一、二、三象限 C.它的图象必经过点（-1，2） D.当 x＞1 时，y＜0 4.（湖南张家界中考）已知一次函数 y=（1-m）x+m-2，当 m 时，y 随 x 的 增大而增大. 5.已知一次函数 y=kx+3 的图象与直线 y=2x 平行，那么此一次函数的解析式 为 . 【参考答案】1.D 2.C 3.D 4.＜1 5.y=2x+3 四、师生互动，课堂小结 1.一次函数的图象是什么形状呢? 2.画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便? 3.一次函数有哪些性质？ 1.课本第 38 页练习 2、3，39 页练习 2、3、4. 2.完成练习册中相应的作业. 以“问题情境”的模式展开教学,通过学习让学生进一步掌握一次函数图象的画法；掌 握一次函数系数 k,b 与图象位置的关系；掌握一次函数的性质并会运用.让学生通过画图、 观察、讨论，探究一次函数的图象及性质，培养学生数形结合的意识和能力以及分类讨论的 思想；让学生全身心地投入到教学活动中，积极参与组内讨论，合作交流探索，提升实践能 36 力与创新精神. 第 3 课时 用待定系数法求一次函数的表达式 【知识与技能】 使学生理解待定系数法. 【过程与方法】 能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题. 【情感与态度】 1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函 数式； 2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化. 【教学重点】 重点是待定系数法确定一次函数解析式. 【教学难点】 难点是待定系数法确定一次函数解析式. 一、提出问题，创设情境 一次函数关系式 y＝kx＋b(k、b 为常数，k≠0)，如果知道了 k 与 b 的值，函数解析式 就确定了，那么有怎样的条件才能求出 k 和 b 呢？ 二、导入新课 例 1 如果知道一个一次函数，当自变量 x=4 时，函数值 y=5;当 x=5 时，y=2.写出函数 表达式并画出它的图象. 【解】因为 y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y=kx+b. 37 由题意，得 4 5, 5 2. k b k b        解方程组，得 3, 17. k b       所以函数表达式为 y=-3x+17. 图象如上图中的直线. 例 2 已知弹簧的长度 y（cm）在一定的限度内是所挂物体质量 x（kg）的一次函数.现已 测得不挂重物时弹簧的长度是 6cm，挂 4kg 质量的重物时，弹簧的长度是 7.2cm,求这个一次 函数的关系式. 【分析】这个问题中的不挂物体时弹簧的长度 6cm 和挂 4kg 质量的重物时，弹簧的长度 7.2cm,与一次函数关系式中的两个 x、y 有什么关系？具体来看，我们可以作如下分析. 已知 y 是 x 的一次函数，则关系式必是 y＝kx＋b 的形式，所以要求的就是系数 k 和 b 的值.而两个已知条件就是 x 和 y 的两组对应值，也就是当 x＝0 时，y＝6；当 x＝4 时，y ＝7.2.可以分别将它们代入函数式，转化为求 k 与 b 的二元一次方程组，进而求得 k 与 b 的值. 【解】设所求函数的关系式是 y＝kx＋b(k≠0),由题意，得 6 , 7.2 4 . b k b       解这个方程组，得 0.3, 6. k b    所以所求函数的关系式是 y＝0.3x＋6.(其中自变量有一定的范围) 【教学说明】教师应向学生阐明两点： （1）本题中把两对函数值代入解析式后，求解 k 和 b 的过程，转化为关于 k 和 b 的二 元一次方程组的问题. （2）这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围. 【归纳结论】 先设待求函数的关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组， 求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 例 3 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点(-1, 1)和点(1， -5),求当 x＝5 时，函数 y 的值. 【分析 1】图象经过点(-1, 1)和点(1， -5)，即已知当 x＝-1 时，y＝1；x＝1 时，y ＝-5.代入函数解析式中，求出 k 与 b. 【分析 2】虽然题意并没有要求写出函数关系式，但因为要求 x＝5 时，函数 y 的值， 仍需从求函数解析式着手. 【解】由题意，得 1 , 5 . － － k b k b        解这个方程组，得 3, 2. － － k b      38 这个函数解析式为 y＝-3x-2. 当 x＝5 时，y＝-3×5-2＝-17. 三、运用新知，深化理解 1.（黑龙江牡丹江中考）已知函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）的图象与 y 轴交点的 纵坐标为-2，且当 x=2 时，y=1.那么此函数的解析式为 . 2.（湖南怀化中考）设一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）的图象经过 A（1， 3）， B（0， -2）两点，试求 k，b 的值. 3.已知一次函数的图象如图，写出它的关系式. 4.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y=2x 的图象平行且经过点 A（1， -2）， 求 kb. 39 1.课本第 40 页练习 1、2、3、4. 2.完成练习册中的相应作业. 以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手、动脑探究为主，加以小组合作讨 论，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会， 而且使学生会学”的目的.通过学习能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关 现实问题，感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法 求函数式. 第 4 课时 分段函数及其应用 【知识与技能】 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题. 【过程与方法】 通过分析实际问题，体会数形结合的思想，提高解决实际问题的能力. 【情感与态度】 通过寻找变量间的关系，确定一次函数关系式，让学生体会自行思考解决问题的过程， 激发学习兴趣. 【教学重点】 重点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式. 【教学难点】 难点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式. 40 一、创设情境 前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解 决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题. 二、导入新课 例 1 为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过 8 m3 时，每立 方米收取 1 元外加 0.3 元的污水处理费；超过 8 m3 时，超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元的污水处理费.设一户每月用水量为 x m3，应缴水费 y 元. （1）给出 y 关于 x 的函数关系式； （2）画出上述函数图象； （3）该市一户某月若用水量为 x=5 m3 或 x=10 m3 时，求应缴的水费; （4）该市一户某月缴水费 26.6 元，求该户这月用水量. 【解】（1）y 关于 x 的函数关系式为： （2）如下图，函数图象是一段折线. （3）当 x=5m3 时， y=1.3×5=6.5(元)； 当 x=10m3 时, y=2.7×10-11.2=15.8(元). 即当用水量为 5m3 时，该户应缴水费 6.5 元；当用水量为 10m3 时，该户应缴水费 15.8 元. （4）y=26.6＞1.3×8,可见该户这月用水超过 8m3,因此： 2.7x-11.2=26.6，解得 x=14. 即这户本月用水 14m3. 【教学说明】本例给出的是在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的 形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也是常见的. 跟踪练习 课本第 42 页练习 1、2. 【教学说明】确定一次函数关系式时为何要分段？如何分段？ 三、运用新知，深化理解 41 （陕西中考）小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解 到这个公司除收取每次 6 元的包装费外，樱桃不超过 1kg 收费 22 元，超过 1kg，则超出部 分按每千克 10 元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为 y（元），所寄樱桃为 x （kg）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）已知小李给外婆快寄了 2.5kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？ 【参考答案】 解：（1）由题意，得 当 0＜x≤1 时， y=22x+6 当 x＞1 时 y=28+10（x-1）=10x+18； （2）当 x=2.5 时， y=10×2.5+18=43. ∴这次快寄的费用是 43 元. 四、师生互动，课堂小结 用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点，去观察、分析具体问题中 的数量关系，通过函数的形式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决. 完成练习册中的相应作业. 本节课通过由学生自行分析问题，构建函数关系式，激发学生学习的主动性，通过分析、 归纳、总结，提高解决实际问题的能力. 第 5 课时 一次函数的应用之方案决策 【知识与技能】 在应用一次函数解决问题的过程中，通过分段函数找出合适的解决方案，体会数学的抽 象性和应用的广泛性. 【过程与方法】 通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，发展解决问题的能力，增 强应用意识和创新意识. 【情感与态度】 42 通过合作交流，培养学生的合作意识，体验互助的乐趣. 【教学重点】 重点是根据分段函数选择合适的方案. 【教学难点】 难点是根据分段函数选择合适的方案. 一、创设情境 我们前面学习了分段函数及其应用，如何利用分段函数解决相关实践问题呢？这将是我 们这节课要解决的主要问题. 二、导入新课 例 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到 H 地旅游.当地有甲、乙两家旅行社， 它们服务质量基本相同，到 H 地旅游的价格都是每人 100 元，经联系协商，甲旅行社表示可 给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六折优惠，问该 单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ 【分析】（1）到 H 地旅游，原价每人 100 元， 甲旅行社的优惠措施是每位游客打折，现价每人 80 元； 设人数为 x 人，选甲旅行社的费用为 y1（元），列出关系式：y1＝80x； 乙旅行社的优惠措施是先交 1000 元，然后每位游客打六折，打折后每人 60 元； 设人数为 x 人，选乙旅行社的费用为 y2（元），列出关系式：y2＝1000＋60x. （2）在同一坐标系中画出得到的两个一次函数的图象. 方法一：从“形”上看 （3）观察图象回答下列问题： ①参加旅游的人数是多少人时，甲、乙两家旅行社的费用一样？ ②参加旅游的人数是多少人时，选择甲旅行社比较合算？ ③参加旅游的人数是多少人时，选择乙旅行社比较合算？ 方法二：从“数”上看 设参加旅游人数为 x 人，则甲旅行社收费 y1 元，乙旅行社收费 y2 元，则 43 y1=80x y2=1000+60x 当 y1=y2 时，有 x=50, 当 y1>y2 时，有 x>50, 当 y130 时，10x+60>9x+90. 所以当 4≤x<30 时，在甲商店购买所需商品比较便宜； 当 x=30 时，在甲商店购买所需商品与在乙商店购买所需商品价钱一样； 当 x>30 时，在乙商店购买所需商品比较便宜. 解法 2 设在乙商店购买所需商品与在甲商店购买所需商品所用价钱的差额为 y 元. 由题意，得 y=（9x+90）-（10x+60）=-x+30. 在平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 当 y=0 时，x=30，即 y=-x+30 与 x 轴的交点是（30,0）. 当 4≤x<30 时，y>0，即在甲商店购买所需商品比较便宜； 44 当 x=30 时，y=0，即在甲商店购买所需商品与在乙商店购买所需商品价钱一样； 当 x>30 时，y<0，即在乙商店购买所需商品比较便宜. 四、师生互动，课堂小结 在实际问题中如何选择合适的方案，利用函数的性质可使问题简单化，这种方法充分体 现了数形结合的思想. 1.课本第 49 页习题 20、21. 2.完成练习册中的相应作业. 本节课通过例题讲解来提高学生的学习兴趣，然后通过教师和学生的双边活动让学生掌 握一次函数的应用，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力，并通过具体 问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，提高解决问题的能力，增强应用意识和 创新意识. 第 5 课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 【知识与技能】 熟练掌握一次函数图象的画法. 【过程与方法】 能通过函数图象获取信息，培养形象思维. 【情感与态度】 体验一次函数图象与一元一次方程的解、一元一次不等式的解集之间关系的探索过程， 培养学生图形语言、数学语言以及文字语言相互转化的能力. 【教学重点】 重点是探究一次函数与一次方程、一次不等式之间的关系. 【教学难点】 难点是利用一次函数图象解一次方程或一次不等式. 一、创设情境 前面，已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，它们与一次函数之间有什么联 系呢？ 二、导入新课 45 问题：已知一次函数 y=2x+6 （1）画出函数图象，并求它与 x 轴交点的坐标. （2）观察图象，判断 x 取什么值时，函数 y 的值等于零？ （3）函数 y=2x+6 的图象与 x 轴交点的横坐标与一次方程 2x+6＝0 的解有何关系？ 如图： 一次函数 y=2x+6 的图象与 x 轴交点的横坐标 x=-3 就是方程 2x+6=0 的解. 【归纳结论】一般地，一元一次方程 kx+b=0 的解就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交 点的横坐标. ［思考］ 根据一次函数 y=2x+6 的图象，你能说出一元一次不等式 2x+6>0，2x+6<0 的解集吗？ 由图象知，当 x>-3 时，y>0，即 2x＋6＞0；当 x<-3 时，y<0，即 2x+6<0. 【归纳结论】一般地，一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解集，就是使一次函数 y=kx+b 取正值（或负值）时 x 的取值范围. 例 画出函数 y=-3x+6 的图象，结合图象： （1）求方程-3x+6=0 的解； （2）求不等式-3x+6＞0 和-3x+6＜0 的解集. 【解】（1）画出函数 y=-3x+6 的图象，如下图. 图象与 x 轴交点 B 的坐标为（2， 0）. 所以，方程-3x+6=0 的解就是交点 B 的横坐标：x=2. （2）结合图象可知，y＞0 时 x 的取值范围是 x＜2；y＜0 时，x 的取值范围是 x＞2. 所以，不等式-3x+6＞0 的解集是 x＜2，不等式-3x+6＜0 的解集是 x＞2. 三、运用新知，深化理解 1.如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过 A，B 两点，则不等式 kx+b＜0 的解集是（ ） A.x＜0 B.0＜x＜1 46 C.x＜1 D.x＞1 2.如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 B（-2， 0），A（0， 3）两点，则不等式 kx+b＞0 的 解集是（ ） A.x＞3 B.-2＜x＜3 C.x＜-2 D.x＞-2 3.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为（ ） A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-1 4.已知一次函数 y=ax+b（a，b 是常数，且 a≠0），x 与 y 的部分对应值如表： 那么方程 ax+b=0 的解是 ；不等式 ax+b＜0 的解集 是 . 5.函数 y=ax+b 的图象如图，则方程 ax+b=0 的解为 ；不等式 0＜ax+b ≤2 的解集为 . 【参考答案】1.D 2.D 3.C 4.x=1；x＞15.x=3；0≤x＜3 四、师生互动，课堂小结 本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次 方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体， 47 今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系. 一般地，一元一次方程 kx+b=0 的解就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标. 一般地，一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解集，就是使一次函数 y=kx+b 取正值（或 负值）时 x 的取值范围.以上要理解牢记 1.课本第 46 页练习 1、2. 2.完成练习册中相应的作业. 利用学生已掌握的知识，设计有层次、有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的 图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法解答问题.让学 生体验一次函数图象与一元一次方程的解、一元一次不等式的解集之间关系的探索过程，培 养学生图形语言、数学语言以及文字语言相互转化的能力. 12.3 一次函数与二元一次方程 第 1 课时 一次函数与二元一次方程 【知识与技能】 1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系； 2.掌握二元一次方程和对应的直线之间的关系. 【过程与方法】 经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 【情感与态度】 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤 于思考、精益求精的精神. 【教学重点】 重点是一次函数与二元一次方程的关系的理解. 【教学难点】 难点是一次函数与二元一次方程的关系的理解. 一、创设情境 前面我们研究了一次函数与一元一次方程、不等式的关系，虽然利用函数图象来解方程 或不等式未必简便，但是，这种形数结合的思想方法，对于学习数学是极为重要的. 48 二、导入新课 下面，我们来研究一次函数与二元一次方程的联系. 先让学生自学课本第 50 页. 【教学说明】通过自学，让学生发现问题，为解决问题做铺垫，增强课堂效果. 教师进一步强化引导： 2.点（0， 5），（5， 0），（2， 3）在一次函数 y＝－x+5 的图象上吗？ 3.在一次函数 y=－x+5 的图象上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ 4.以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=－x+5 的图象相同吗？ 【归纳结论】二元一次方程和一次函数的图象有如下关系： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； 2.一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 【教学说明】通过设置问题情景，让学生感受方程 x+y=5 和一次函数 y=－x+5 相互转化， 启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.以“问题串”的形式，启发引导学 生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识. 例题（补充） 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 2x-y=2 的解的是（） 【解析】根据两点确定一条直线，当 x=0，求出 y 的值，再利用 y=0，求出 x 的值，即 可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象.具体解答如下： ∵2x-y=2， ∴y=2x-2， ∴当 x=0，y=-2；当 y=0，x=1， ∴一次函数 y=2x-2，与 y 轴交于点（0， -2），与 x 轴交于点（1， 0）， 即可得出选项 B 符合要求， 故选：B. 三、运用新知，深化理解 1.下列图象中，以方程-2x+y-2=0 的解为坐标的点组成的图象是（ ） 49 3.点（2，_____）在一次函数 y=2x-1 的图象上；x=_______，y=3 是方程 2x-y=1 的一 个解. 4.把方程 x+2y=-3 化成一次函数的形式：y=_______. 【参考答案】1.B 2.B 3.3，2 四、师生互动，课堂小结 二元一次方程和一次函数的图象有如下关系： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； 2.一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 1.课本第 51 页练习 1、2. 2.完成练习册中相应的作业. 教学设计上，突出以学生的“数学活动”为主线，教师应激发学生的学习积极性.通过 学习，初步理解二元一次方程和一次函数的关系；掌握二元一次方程和对应的直线之间的关 系.通过方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.在探 究二元一次方程和一次函数的对应关系中；在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、 精益求精的精神. 50 第 2 课时 一次函数与二元一次方程组 【知识与技能】 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组. 【过程与方法】 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法. 【情感与态度】 通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养 了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 重点是对应关系的理解及实际问题的探究建模. 【教学难点】 难点是二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解. 一、创设情境 前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次 方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系,顺其自然进入下一环节. 二、导入新课 （2）如果直线 l1 与 l2 相交于点 P,写出点 P 的坐标 P(____,_____); (3)检验点 P 的坐标是不是下面方程组的解？ 【解】（1）图象如图所示. 51 （2）由图可知，直线 l1 与 l2 相交于点 P,点 P 的坐标为（-2,2）. 【解】对于方程（1）有过点 A（0，-2）和 B（2，3）； 同样点 A(0,-2)和 B（2，3）也在表示方程(2)的直线上； 所以方程（1），（2）的图象都是通过 A（0， -2）和 B（2， 3）的直线，所以原方程组 有无穷多组解. 方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的解的情况怎样？ 【解】作出两个方程组的图象，两条直线平行，故方程组无解. 【归纳结论】原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么 用作图法来解方程组的步骤如下： 1.把二元一次方程化成一次函数的形式； 2.在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点； 3.交点坐标就是方程组的解； 4.检验其交点是否是方程组的解. 每一个二元一次方程组都可以转化为 (1)当 k1＝k2，b1≠b2 时，两条直线平行，故方程组无解； （2）当 k1＝k2，b1＝b2 时， 两条直线重合，故方程组有无数组解； （3）当 k1≠k2 时，两条直线有交点，故方程组有唯一解. 三、运用新知，深化理解 52 第 1 题图 第 2 题图 【参考答案】1.B 2.A 3.解：在直角坐标系中画出两条直线，如图： 53 两条直线的交点坐标是（1.5， 1）； 四、师生互动，课堂小结 （1）对应关系 二元一次方程组的解两个一次函数图象的交点 (2)图象法解方程组的步骤： ①将方程组中各方程化为 y=ax+b 的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解. 1.课本第 53 页习题 2. 2.完成练习册中相应的作业. 结合例题，总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤，让学生进一步 理解一次函数与二元一次方程组的关系，学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步 感受数形结合的思想方法，通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了 新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 12.4 综合与实践一次函数模型的应用 【知识与技能】 1.学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识. 2.能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测. 【过程与方法】 54 经历对实际问题中提供的相关变量的一系列对应数据用直角坐标系中的点表示和对这 些点组成的图形的观察，建立函数模型，求出函数解析式，再利用解析式对变量的变化规律 进行初步预测，掌握知识，培养技能，提高分析问题、解决问题的能力. 【情感与态度】 感受一次函数的应用价值，乐于运用所学知识去解决实际问题，并体验成功，增强自信. 【教学重点】 重点是建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测. 【教学难点】 难点是建立函数模型. 一、创设情境、导入新知 问题 1 奥运会每四年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破，如男子 400 米自由 泳项目.下面是该项目冠军的一些数据： 根据上面资料探究： （1）能否估计 2012 年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩？估计的结果与孙杨 220.14s 成绩相符吗？ （2）能预测 2016 年里约热内卢奥运会该项目的冠军成绩吗？ （3）能倒推出 1908 年第四届奥运会冠军亨利·泰勒(Henry Taylor)的成绩吗？ (336.13s) 【教学说明】 通过几何画板向学生展示描点、作直线，得出函数表达式，进而检验、解决问题的过程， 加深学生的理解和记忆. 学生活动：学生讨论，交流结果，师生共议. 引导发现： 建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列几个步骤完成： 1.将实验得到的数据在直角坐标系中描出； 2.观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式； 55 3.进行检验； 4.应用这个函数模型解决问题. 问题 2 球从高处下落再反弹起来，可以直观地看出球的下落高度越高，反弹高度也就越 高，那么球下落高度与反弹高度具有怎样的关系呢？请你进行实验，将实验数据填入下表， 并根据实验数据建立球下落高度和反弹高度之间关系的函数模型. 【教学说明】让学生自己动手操作、实验，得出数据，建立函数模型，并应用这个模型 进行预测，让学生增强集体意识，提高合作能力，体会用数学知识解决实际问题的乐趣. 二、应用迁移，能力提高 1.已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“cm”之间存在一种换算关系如下： （1）通过画图、观察，猜想这种换算规律可能用哪种函数关系去模拟； （2）设鞋子的长度为 x cm,“码”数为 y，试写出 y 与 x 之间的函数表达式； （3）小刚平时穿 39 码的鞋子，，那么他鞋长是多少厘米？ （4）据说篮球巨人姚明的鞋长 31cm，那么他穿多大码的鞋？ 2.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 探究 y 与 x 的函数表达式，弹簧所受外力应小于多少克？ 三、课堂小结 由学生思考回答这节课学到了什么. 建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列几个步骤完成： 1.将实验得到的数据在直角坐标系中描出； 2.观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式； 3.进行检验； 56 4.应用这个函数模型解决问题. 1.找一些或者自己编一些能用函数知识解决的实际问题，与同学交流. 2.完成练习册中的相应作业. 通过问题情境展开教学，使学生学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际 问题，增强数学应用意识；能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测. 经历对实际问题中提供的相关变量的一系列对应数据用直角坐标系中的点表示和对这些点 组成的图形的观察，建立函数模型，求出函数解析式，再利用解析式对变量的变化规律进行 初步预测，掌握知识，培养技能，提高分析问题、解决问题的能力. 第 12 章 一次函数 【知识与技能】 复习函数、一次函数的概念；感受一次函数解析式的特征；巩固一次函数的图象与性质. 【过程与方法】 经历观察图象，分析图象的过程，体会数形结合思想. 【情感与态度】 培养学生数与形结合的习惯，在活动中讨论、交流. 【教学重点】 重点是一次函数的概念；一次函数图象的图象与性质. 【教学难点】 难点是一次函数的图象与性质及其应用. 一、知识框图，整体把握 57 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知 识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图. 二、释疑解惑，加深理解 重视数形结合法的运用. 函数的表示法之一是图象法，即通过直角坐标系中曲线上点的坐标反映变量之间的对应 关系.这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合研究问题的重要 方法，这在数学发展中具有重要地位.在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的 解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，结合本章内容可以对数形结合的方法 顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势. 教学过程中，在函数解析式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用， 体现两者的联系，突出两者间的转化对分析问题解决问题的特殊作用. 三、典例精析 1.考查概念（易错题） 主要考查 k≠0，常以选择和填空的形式出现. 例 1 已知函数 y=(n+3)x|n|－2 是一次函数，则 n=__________. 【分析】常以填空题的形式出现.比较容易忽略限制条件 k≠0.这个在考试中往往一紧 张就忘了，所以说我们在平时就应当注意错解：因为 y=(n+3)x|n|－2 是一次函数，所以|n|－ 2=1，且 n+3≠0，解得 n=3. 2.考查图象 两种形式：第一，基础题（选择题）给出表达式，选图象； 第二，综合题（选择）与反比例函数和二次函数的图象结合考查，后边复习时再讲. 例 2 下面四个选项中是一次函数 y=-5x+20（0≤x≤4）的图象的是（） 58 【分析 1】根据 y=-5x+20 排除 A、C，注意 x 的范围，排除 D. 【分析 2】根据 x 的范围排除 D，再根据解析式选 B，一定要注意 x 的取值范围. 3.考查一次函数的性质 常以选择和填空的形式出现 例 3 写出一个 y 随 x 增大而增大的一次函数的解析式：_____________ 【解】设该一次函数的解析式为 y＝kx＋b（k≠0）,题干要求 y 随 x 增大而增大，即 k ＞0.符合这个条件的一次函数解析式如：y＝2x＋1.（答案不唯一） 例 4 已知直线 y=（m+2)x－4 经过第二、四象限，则 m 的取值范围是_________. 【解】因为直线 y＝（m＋2）x－4 经过第二、四象限，则有 m＋2＜0，得 m＜-2，即 m 的取值范围是 m＜-2. 4.确定函数表达式 常常以选择和填空的形式出现，或出现在大题的第一问. 做这一类题关键在于求出 k 和 b 的值. 给出两点，求一次函数表达式 例 5 已知一次函数的图象经过 A（－2，－3），B（1，3）两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点 P（－1，1）是否在这个一次函数的图象上？ 【解】（1）设这个一次函数的解析式为 y=kx+b. 故这个一次函数的解析式为 y=2x+1. （2）当 x=－1 时，y=2x+1=2×（－1）＋1=－1. 所以点 P（－1，1）不在这个一次函数的图象上. 5.一次函数与不等式、方程（组）的关系 例 6 已知函数 y=－2x+6 的图象如图所示，根据图象回答： 59 (1)当 x____时，y=0，即方程－2x+6=0 的解为；________________ (2)当 x____时，y＞0，即不等式－2x+6＞0 的解集为；________________ (3)当 x____时，y＜0，即不等式－2x+6＜0 的解集为___________. 【解】（1）y＝0，即方程-2x＋6＝0，解得 x＝3； （2）由图可得当 x＜3 时，y＞0，即不等式-2x＋6＞0 的解集为 x＜3； （3）由图可得当 x＞3 时，y＜0，即不等式-2x＋6＜0 的解集为 x＜3. 6.应用 例 7 某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为 奖品，经过了解得知，该超市的 A，B 两种笔记本的价格分别是 12 元和 8 元，他们准备购买 这两种笔记本共 30 本. （1）如果他们计划用 300 元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？ （2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的 A 种笔记本的数量要少于 B 种 笔记本数量的 2 3 ，但又不少于 B 种笔记本数量的 1 3 ，如果设他们买 A 种笔记本 n 本，买这 两种笔记本共花费 w 元. ①请写出 w（元）关于 n（本）的函数关系式，并求出自变量 n 的取值范围； ②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？ 【解】（1）设能买 A 种笔记本 x 本，则能买 B 种笔记本（30－x）本 依题意得：12x+8(30-x)=300,解得 x=15. 因此，能购买 A，B 两种笔记本各 15 本. （2）①依题意得：w=12n+8(30-n), 即 w=4n+240, 所以,w（元）关于 n（本）的函数关系式为：w=4n+240, 此时，30－n＝30－8＝22， 60 w＝4×8＋240＝272（元）. 因此，当买 A 种笔记本 8 本、B 种笔记本 22 本时，所花费用最少，为 272 元. 四、师生互动，课堂小结 让学生口述本节课主要内容，教师帮助梳理成系统知识. 1.课本第 60~63A 组复习题第 2、3、11 题，B 组 1、2 题. 2.完成练习册中的相应复习课的作业. 本节课运用知识框图、典例精析等环节，让学生对一次函数有一个系统、直观的复习思 路.渗透转化的数学思想方法、数形结合的思想方法以及函数与方程的思想方法，让学生体 验利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，提高学生的数学应用能力；体验函数图象信 息的识别与应用过程，培养学生的形象思维能力；理解一次函数及其图象的有关性质；初步 体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系；能根据所给信息确定一次函数表达式；会作 一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，在合作与交流活动中培养学生的合作意 识和能力. 第 13 章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 第 1 课时 三角形中边的关系 【知识与技能】 了解三角形的概念，掌握三角形三边关系. 【过程与方法】 经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵. 【情感与态度】 让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活 中的实际价值. 【教学重点】 重点是了解三角形的分类，弄清三角形三边关系. 【教学难点】 难点是对两边之差小于第三边的领悟. 61 一、创设情境，探究新知 1.投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片运用投影仪播放，让学生对三角 形有一个感性认识.如下图： 【教学说明】通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具 有什么样的特性.教师引导学生进行讨论. 【归纳结论】由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角 形. 2.给出一个三角形，如图，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法， 认识三角形的基本元素：边、角、顶点等. 【教学说明】在这个过程中，教师要让学生学会运用大小写字母来表示三角形的边与角， 如图的三角形可记作△ABC，三边可记作 AB、AC、CA；三个角可记作∠A、∠B、∠C，或可 用三个字母表示为∠BAC、∠ABC、∠ACB. 注意：表示边时要用两个大写字母，或一个小写字母.注意小写字母标注的规律：通常 顶点大写字母所对的边就是这个顶点的小写字母. 3.教师给出不同类型的三角形，引导学生从边和角两种角度观察、分类. （1）从边的角度来分类有： 不等边三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 【教学说明】对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边.两腰所夹的 角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角；而等边三角形的三边都相等，它是等腰三角形的特 例. （2）从角的角度来分类有： 锐角三角形（三个内角均为小于 90°的角） 直角三角形（有一个内角是 90°） 钝角三角形（有一个内角大于 90°） 二、联系实际，合作探究 62 【问题 1】 国庆节的晚上，小明从甲地到乙地后再往丙地走，并到达丙地，小红从甲地直接到丙地， 如图所示，请你谈谈小明和小红谁走的路程长，依据是什么？ 学生活动：发现小红走的路程短，小明走的路程长.依据是：两点之间线段最短. 【问题 2】 在一个三角形中，任意两边的长度之和与第三边的长度之间有着怎样的关系呢？ 教师在黑板上画出按角分类的三个三角形，请三位同学量出三边的长度，再进行比较. （1）三角形任意两边之和大于第三边. （2）三角形任意两边之差小于第三边. 三、范例学习，应用所学 例 1（课本 68 页例 1）等腰三角形中，它的周长是 18 cm. （1）如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长. （2）如果一边长为 4 cm，求另两边长. 例 2 有两根长度分别为 8 m 和 5 m 的钢管，再用一根长度为 3 m 的钢管能将它们焊接成 一个三角形钢架吗？为什么？长度为 4 m 呢？长度为 2 m 呢？ 四、随堂练习，巩固深化 1.如图，图中共有___个三角形，它们分别是__________.图中以 AC 为边的三角形是 ___________________ 2.（青海西宁中考）下列线段能构成三角形的是（ ） A.2，2，4 B.3，4，5 C.1，2，3 D.2，3，6 3.（湖北宜昌中考）已知三角形两边长分别为 3 和 8，则该三角形第三边的长可能是 （ ） A.5 B.10 C.11 D.12 4.（江苏淮安中考）若一个三角形三边长分别为 2，3，x，则 x 的值可以为____（只需 填一个整数） 5.若三角形三边长满足（a-b）2+|a-c|=0，则△ABC 的形状是_________. 6.（江苏扬州中考）若等腰三角形的两条边长分别为 7cm 和 14cm，则它的周长为 63 _______cm. 【参考答案】 1.6 △ABC、△ACD、△ADE、△ABD、△ACE、△ABE △ABC、△ACD、△ACE 2.B 3.B 4.4（答案不唯一） 5.等边三角形 6.35 五、师生互动，课堂小结 1.由学生进行归纳总结. 2.教师提示：（1）三角形分类中，可以按边和角进行分类，可分成三类.（2）判定三条 线段能否构成三角形，只须用较小两边相加与第三边进行比较. 【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行 很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化. 1.课本第 69 页练习 1、2、3. 2.完成练习册中的相应作业. 本堂课的设计主要是从学生的角度出发，思路为：创设情景——激发学习欲望——联系 实际——鼓励学生动手、观察、猜想——鼓励学生大胆发表自己的想法.通过学习使学生了 解三角形的概念，掌握三角形三边关系. 经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵，让学生养成有 条理的思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值. 第 2 课时 三角形中角的关系 【知识与技能】 理解三角形三个内角等于 180°的推导过程，会应用三角形内角和定理解决实际问题. 【过程与方法】 经历观察、思考、互动的过程，提高合情推理的能力，发展条理化的思维意识. 【情感与态度】 让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形角的关系在现实生活 中的实际价值. 【教学重点】 重点是应用三角形内角和定理. 【教学难点】 64 难点是对三角形内角和定理的认识. 一、创设情境，探究新知 动手操作： 1.剪出一块三角形，并将这个三角形三个角剪下拼接在一起，形成平角. 2.试一试，有几种不同的方法. 3.评析：在探究的过程中，引入了几何学中的“辅助线”，这里必须说明辅助线的作用 以及表达辅助线的书写文字. 【归纳结论】三角形的内角和等于 180°. 二、范例学习,应用所学 例 1（课本 70 页例 2） 已知：如图，BD 是△ABC 的高，∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A 和∠C 的度数. 例 2 已知：B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处 的北偏东 80°方向，求从 C 处看 A、B 两处的视角∠ACB 的度数. 注意：学生先独立画出图形. 三、随堂练习,巩固深化 1.在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（） A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 2.（湖北随州中考）将一副直角三角板如图放置，使含 30°角的三角板的短直角边和 含 45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1 的度数为_______度. 3.如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=_____度. 65 【参考答案】1.D 2.75 3.70 四、师生互动，课堂小结 互动复习： 1.本节课推导三角形内角和定理，运用了哪些方法？ 2.对于几何问题中的辅助线的添法，你有什么看法？ 1.课本第 71 页练习 1、2、3、4 2.完成练习册中的相应作业. 让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是 180°，并会应用 这一知识解决生活中简单的实际问题；让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意 识、探索精神和实践能力.并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生 渗透“转化”的数学思想，使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣. 第 3 课时 三角形中几条重要线段 【知识与技能】 领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题. 【过程与方法】 经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，培养空间观念. 【情感与态度】 在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学逻辑推理的价值. 【教学重点】 重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念. 【教学难点】 难点是画钝角三角形的高线. 一、创设情境，探究新知 66 1.动手操作. 问题：过三角形 ABC 三个顶点分别作它们对边的垂线. 【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图， 并请一些同学上讲台“演示”. 教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？ 导入高的定义： 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线，也叫做三角形的 高. 2.动手折叠. 教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高. 注意：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的交点在三角形直 角的顶点上，锐角三角形三条高的交点在三角形内部. 二、操作感知，形成概念 【合作交流 1】 交流内容：折纸，感悟三角形角的平分线. 交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角. 引出三角形的角平分线定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 角平分线. 学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一 点，且交点在三角形内部. 【合作交流 2】 交流内容：画三角形的中线. 画图方法： （1）画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形. （2）寻找出三边的中点.（用刻度尺） （3）把顶点与它们对边的中点连接. 学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点. 引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线. 三角形三条中线的交点是三角形的重心. 教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？ 三、随堂练习，巩固深化 1.不一定在三角形内部的线段是（） A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 67 C.三角形的高 D.三角形的中位线 2.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是 4，9，12，如何求这个三角形 的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形 正确的是（） 3.如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=________. 4.如图，在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D.则图中共有____个直角三角形. 5.如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的角平分线. （1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD 的度数； （2）在△BED 中作 BD 边上的高 EM； （3）在（1）的条件下，若△ABC 的面积为 40，求△ADC 的面积. 【参考答案】1.C 2.C 3.40° 4.3 5.解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°， ∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°， ∵BE 为△ABD 的角平分线， ∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°. （2）BD 边上的高 EM 如图所示. 68 四、师生互动，课堂小结 1.今天学习了哪些概念？ 2.三角形“三线”如何区别？它们的交点是否都在三角形内部？ 1.课本第 73 页练习 1、2、3. 2.补充： 如图，AE，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD 和∠DAE 的度数. 3.完成练习册中相应的作业. 本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循从感性到理性的渐进认识规律， 体现了知识的发生过程，体现了数学学习的必然性.教学先从学生折纸开始，让学生体验三 角形中线、角平分线的存在及其性质，而后通过尺规作图，加深学生对中线、角平分线的认 识，增加了数学学习的兴趣.在讲三角形高的过程中，学生也想用折纸折出三角形高，结果 碰到困难(钝角三角形)，使新、旧知识大碰撞，加速知识同化.在探究三角形稳定性时，课 堂出现很多三角形结构，并让同学解释，使学生认识到数学来源于生活同时也服务于生活的 真谛，增强学生学习数学的热情，整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，培养学生动 手、合作、概括的能力. 13.2 命题与证明 第 1 课时 命题 69 【知识与技能】 了解命题的概念，会判定一个命题的真假. 【过程与方法】 经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵. 【情感与态度】 培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值. 【教学重点】 重点是认识命题的内涵和结构. 【教学难点】 难点是区别命题的题设和结论. 一、创设情境，探究新知 1.问题引入 有一根比地球赤道长 1m 的铜线将我们生活的地球赤道绕一圈.想一想，铜线与地球赤道 之间的空隙有多大（假设地球是球形的）？能放进一个苹果吗？ 2.阅读课文 教师提问：前面一节课中，我们探索三角形内角和等于 180°时，大家采用剪、拼的手 法，将一个三角形的三个角拼在一起，成为一个平角，只是接近 180°的某个值，但不是准 确的 180°. 教师引导：研究几何图形，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其 结果一定正确.因此，就得在观察的基础上有依据地说明理由.也就是说，要判断数学命题的 真假，需要进行必要的逻辑推理. 二、情境合一，继续探究 1.教师引入：在日常生活中，大家经常要遇到下面的表达语言. 例如：（1）福州市是福建省的省会. （2）3+7＜11. （3）邻补角互补. （4）有共同顶点的两个角是对顶角. （5）对顶角相等. （6）上海是在湖北. 请同学们观察，判断上述语言是否正确？ 【归纳结论】在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题， 70 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 2.教师提问：下列句子都是命题吗？哪些是命题？ （1）今天下雨了. （2）画一条直线. （3）我回家. （4）两直线平行，同位角相等. （5）以 A 为圆心，2 cm 为半径画圆. 3.每个命题都有题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”、 “那么”.如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”. 以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果 p,那么 q”,或者说成“若 p,则 q”，其中 p 是这个命题的条件（题设），q 是这个命题的结论. 三、辨析应用,发展思维 1.课堂演练：下列各命题的题设是什么？结论是什么？ （1）若 x＜0，则|x|=+x. （2）如果两个角是同位角，那么它们相等. （3）只含有一个未知数且未知数的次数是 1 的方程叫做一元一次方程. （4）形状和大小相同的两个三角形面积相等. 2.教师提问：在演练题中，哪些命题是真命题，哪些命题是假命题？ 四、拓展延伸，互动交流 1.观察交流： （1）两直线平行，同旁内角互补. （2）同旁内角互补，两直线平行. （3）对顶角相等. （4）相等的两个角是对顶角. 2.教师提问： （1）上述四个语句是命题吗？是真命题吗？ （2）它们的题设、结论分别是什么？ （3）1 和 2 与 3 和 4 之间，你发现了什么？ 3.学生活动 4.教师引入：把一个命题的题设与结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的 两个命题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 教师提问：如果原命题是真命题，那么它的逆命题是否也一定是真命题呢？说明一个命 题是假命题只需要举出一个反例（符合命题条件，但不满足命题结论的例子，叫做反例）即 71 可. 例 1 指出下列命题的条件和结论： （1）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线互相平行； （2）如果∠A=∠B,那么∠A 的补角与∠B 的补角相等. 【解】（1）“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线互相平行”是结论. （2）“∠A=∠B”是条件，“∠A 与∠B 的补角相等”是结论. 例 2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例. （1）内错角相等，两直线平行； （2）如果 a=0,那么 ab=0. 【解】（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题. (2)逆命题是“如果 ab=0,那么 a=0”,是假命题.反例，当 a=1,b=0 时，ab=0. 五、随堂练习，巩固深化 1.（湖北襄阳中考）下列命题错误的是（） A.所有的实数都可用数轴上的点表示 B.等角的补角相等 C.无理数包括正无理数，0，负无理数 D.两点之间，线段最短 2.（福建厦门中考）已知命题 A：任何偶数都是 8 的整数倍.在下列选项中，可以作为 “命题 A 是假命题”的反例的是（） A.2k B.15 C.24 D.42 3.命题“对顶角相等”的题设是_____________________________，结论是 _______________________. 【参考答案】1.C 2. D3.两个角是对顶角这两个角相等 六、师生互动，课堂小结 1.今天学习了哪些概念？ 2.举例说明真假命题的判断. 3.举例说明互逆命题. 1.课本第 77 页练习 1、2、3. 2.完成练习册中的相应练习. 通过本节课学习了解命题的概念，会判定一个命题的真假，经历探究命题以及结构的过 72 程，体会命题的内涵，培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值. 第 2 课时 证明 【知识与技能】 了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理. 【过程与方法】 经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义. 【情感与态度】 培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值. 【教学重点】 重点是掌握推理方法. 【教学难点】 难点是培养演绎推理意识. 一、创设情境，引入新课 1.定义引入： 在数学研究中，首先要确定数学的研究对象，例如，我们研究方程时，要明确什么是方 程，在数学上称之为“定义”. 2.公理引入：在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题，把 它们作为论证其它命题的根据，这样的最原始的真命题我们称之为公理. 3.素材提供： （1）如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那 么这两个角称为对顶角. （2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. （3）两点确定一条直线. （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 4.定理引入：有些命题，如“对顶角相等”，“三角形的内角和等于 180°”，“等角的补 角相等”等，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理. 5.证明引入：前面我们议到的话题：并不是所有命题都正确，只有经过演绎推理来论证， 我们把这种推理的过程叫做证明. 二、范例学习，应用所学 73 例 1（课本 78 页例 3） 已知：如图，直线 c 与直线 a，b 相交，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 【证明】∵∠1=∠2（已知） 又∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等式性质） ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 可见，证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过 程. 证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是 定义、公理、已经学过的定理. 例 2（课本 79 页例 4） 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°,OE 平分∠AOB，OF 平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 【证明】∵OE 平分∠AOB,OF 平分∠BOC,（已知） ∴OE⊥OF.（垂直的定义） 【教学说明】通过例题体会证明的过程，感悟证明要有理有据，不能凭空想象. 三、随堂练习，巩固深化 课本第 78~79 页练习. 四、师生互动，课堂小结 74 提问： 1.定义、命题、公理的概念是如何确定的？有何异同点？ 2.什么叫证明？ 3.如何进行推理以及表达？你有什么想法. 4.你是否总结出了证明的常规思路？ 证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过程. 证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是 定义、公理、已经学过的定理. 1.课本第 80 页练习. 2.完成练习册中相应的作业. 采用创设情境、范例学习使学生了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理，经 历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义，培养严谨的 推理能力和表述能力，感受证明的几何价值. 第 3 课时 三角形内角和定理及推论 【知识与技能】 应用几何推理、证明解决几何问题. 【过程与方法】 经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言. 【情感与态度】 培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际价值. 【教学重点】 重点是学会应用理性推理的方法. 【教学难点】 难点是形成演绎推理的思路. 一、回顾迁移，严谨论证 自主学习：阅读课本第 80~81 页. 【教学说明】组织学生用五分钟时间阅读、理解课本第 80 页证明“三角形内角和等于 75 180°”的知识. 教师让学生小组合作，回顾交流，完善证明“三角形内角和等于 180°”的方法以及表 达格式，总结辅助线的作法. 辅助线引入：为了计算和证明的需要，在原来图形上添加（画）线，叫做辅助线，辅助 线常常画成虚线. 新知探究：证明“三角形的内角和等于 180°”. 已知：△ABC,如图. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 【分析】以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却 给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明. 【证明】如图，延长 BC 到点 D，以点 C 为顶点、CD 为一边作∠2=∠B. 则 CE∥BA.（同位角相等，两直线平行） ∴∠A=∠1.（两直线平行，内错角相等） ∵B,C,D 在同一条直线上，（所作） ∴∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°. 【归纳结论】证明命题式证明题的基本步骤： 1.分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号； 2.结合图形，写出已知，求证； 3.分析因果关系，找出证明途径； 4.有条理地写出证明过程. 教师提问：直角三角形中的两个锐角之间有着怎样的关系？请用几何语言证明. 由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 推论 1：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 【证明】 在△ABC 中 ∵∠C=90°（已知） 76 ∴∠A+∠B=180°－90°=90°(三角形内角和等于 180°) 推论 2:有两个角互余的三角形是直角三角形. 二、范例学习，应用所学 例 1 证明：对顶角相等. 已知：如图所示，直线 AB、CD 相交于 O，∠AOC 与∠DOB 是对顶角. 求证：∠AOC=∠DOB. 【证明】∵∠AOC+∠AOD=180° ∠AOD+∠DOB=180° ∴∠AOC=∠DOB（同角的补角相等） 例 2 如图所示，∠1 与∠2 互为补角，∠3=∠B，试判断∠C 与∠AED 的大小关系，并证 明. 【解】∠C=∠AED.理由如下： ∵∠1 与∠2 互为补角，而∠1 与∠5 也互为补角，∴∠5=∠2.∴BD∥EF.∴∠3=∠4,而 ∠3=∠B,∴∠4=∠B,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED. 【教学说明】通过例题发现三角形内角的各个定理及其推论. 三、合作交流，探索思路 1.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC∥DF，BC∥EF. 2.根据命题的题设和结论，画出图形并写出已知、求证. （1）等角的余角相等. （2）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直. 四、随堂练习，巩固深化 1.课本第 81~82 页练习 1、2. 2.完成练习册中相应作业. 五、师生互动，课堂小结 77 1.提问： （1）什么是证明？ （2）证明命题的步骤有哪些? （3）书写格式有什么特点？ 2.证明命题式证明题的基本步骤： （1）分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号； （2）结合图形，写出已知，求证； （3）分析因果关系，找出证明途径； （4）有条理地写出证明过程. 1.课本第 84~85 页习题 13.2 的 5、6、7、8. 2.完成练习册中相应作业. 本节采用“回顾迁移，严谨论证——范例学习，应用所学——合作交流，探索思路”几 个环节使学生能应用几何推理、证明解决几何问题，经历探索推理的论证过程，感受几何中 逻辑推理的内涵，培养符号化语言，培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实 际意义. 第 13 章 三角形中的边角关系、命题与证明 【知识与技能】 1.理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2.掌握三角形的三边间的关系； 3.会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度. 4.掌握证明命题的一般步骤. 【过程与方法】 理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；掌握三角形的三边间的关系；会利用三 角形的内角和定理及外角公式计算角度. 掌握证明命题的一般步骤，经历知识的形成过程，增强学生的逻辑思维能力. 【情感与态度】 培养合作交流、探索求实的思想. 【教学重点】 78 重点是会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度. 【教学难点】 难点是证明命题推理分析的过程. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知 识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图. 二、典例精析，复习新知 例 1 一个三角形的两边长分别为 2 和 9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三 边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系） 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出 第三边取值范围，再根据第三边为奇数得出第三边，最后根据周长公式即可得出答案. 【解】设第三边长为 x，根据三角形三边关系， ∴9-2＜x＜2+9，即 7＜x＜11， ∵x 为奇数， ∴x=9， ∴三角形的周长为 2+9+9=20. 针对性练习：若一个等腰三角形的周长为 17cm，一边长为 3cm,则它的另一边长是 __________________. 例 2 如图,已知△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的角平分线 BD,CE 相交于点 O,且∠A=60°，求 ∠BOC 的度数.（内角和定理） 79 【分析】利用角平分线的性质求出∠2+∠4 的度数，再由三角形的内角和定理便可求出 ∠BOC. 【解】∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线 BD、CE 相交于点 O， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-60°=120°. 思考：若∠A=n°，则∠BOC 的度数为多少？ 例 3 如图，已知 AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C.（三角形的外角） 【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求 解. 【解】∵∠A=20°，∠E=35°， ∴∠EFB=∠A+∠E=55°， ∵AB∥CD， ∴∠C=∠EFB=55°. 针对性练习：一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B，∠D 分别 是 32°和 21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD 的度数，如果 ∠BCD=150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因. 例 4 已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D.求证：BD∥CE.（证明思路） 【分析】由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得 AC∥DF，即可得∠C=∠ FEC，又由∠C=∠D，可得∠FEC=∠D 则可根据同位角相等，两直线平行，证得 BD∥CE. 【证明】∵∠A=∠F， ∴AC∥DF， ∴∠C=∠FEC， ∵∠C=∠D， ∴∠D=∠FEC， 80 ∴BD∥CE. 针对性练习：如图， △ABC 中，AB=AC，D 是 CA 延长线上的一点，且∠B=∠DAM.求证：AM∥BC. 三、复习训练，巩固提高 1.下面四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的图是（） 2.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线 AC 翻折 180°,使点 B 落在点 B′ 的位置,则线段 AC 具有性质( ) A.是边 BB′上的中线 B.是边 BB′上的高 C.是∠BAB′的平分线 D.以上三种 3.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1cm,2cm,3cm B.1cm,2cm,4cm C.2cm,3cm,4cm D.2cm,3cm,6cm 4.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为( ) A.9 B.12 C.15 D.12 或 15 5.如果三角形的三个内角的度数比是 2∶3∶4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 6.下列语句是命题的是（ ） A.延长线段 AB 到 C B.用量角器画∠AOB=90° C.两点之间线段最短 D.任何数的平方都不小于 0 吗 81 【参考答案】1.A 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C 四、师生互动，课堂小结 让学生口述本章的主要内容，教师帮助梳理成系统知识. 1.课本第 90 页 A 组复习题 4、5、6、7、8、9. 2.完成练习册中相应的复习课练习. 本节采用“知识框图，整体把握——典例精析，复习新知——复习训练，巩固提高”三 个环节，使学生理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；掌握三角形三边间的关系； 会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度；掌握证明命题的一般步骤，经历知识的形 成过程，增强学生的逻辑思维能力. 第 14 章 全等三角形 14.1 全等三角形 【知识与技能】 理解全等三角形对应边相等，对应角相等的性质. 【过程与方法】 经历探索全等三角形的概念过程，能进行简单的推理与运算. 【情感与态度】 培养良好的理性推理能力，体会本节知识的应用价值. 【教学重点】 重点是运用全等三角形的性质. 【教学难点】 难点是在几何图形中寻找全等三角形. 一、实践感悟 1.活动：在硬纸片上任意画一个四边形和一个三角形，然后再拿一块硬纸片重叠，再将 四边形和三角形分别剪下来，观察剪下的两个四边形和两个三角形的形状和大小，发现它们 是相同的. 2.定义引入：我们把能够完全重合的两个图形称为全等图形. 82 3.观察图形找出对应角，对应边. 对应角：全等三角形中互相重合的角. 对应边：全等三角形中互相重合的边. 注意：对角与对应角，对边与对应边的区别. 【归纳结论】 ①如丙图所示，△ABC 与△A′B′C′是全等的，A′与 A，B′与 B，C′与 C 是对应顶 点,通常写在同一位置上，记作：△ABC≌△A′B′C′,读成：三角形 ABC 全等于三角形 A′ B′C′ ②如丙图所示，由于△ABC≌△A′B′C′,因此有 AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′,∠ A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′. ③文字归纳:全等三角形对应边相等，对应角相等 二、例题分析 例 如图所示，已知△ABC≌△A′B′C′,且∠A=48°,∠B=33°,A′B′=5cm,求∠C′的 度数与 AB 的长. 【解】在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180° ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(48°+33°)=99° ∵△ABC≌△A′B′C′ ∴∠C′=∠C＝99°(全等三角形对应角相等) ∴AB=A′B′=5cm(全等三角形对应边相等) 注意:表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很便 利. 83 【教学说明】引导学生理解全等三角形的概念. 三、运用新知，深化理解 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 2.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则 DE 的长是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 第 2 题图 第 3 题图 3.（江苏淮安中考）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC 的度数 为 . 4.如图，已知△ABC≌△DCB. （1）分别写出对应角和对应边； （2）请说明∠1=∠2 的理由. 第 4 题图 第 5 题图 5.如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△ABC≌△BAD.求证： （1）OA=OB； （2）∠OCD=∠ODC. 【参考答案】 1.D 2.A 3.130° 4.解：（1）∵△ABC≌△DCB， ∴对应角是∠A 和∠D，∠1 和∠2，∠ABC 和∠DCB， 对应边是 AB 和 DC，AC 和 BD，BC 和 CB； （2）理由是：∵△ABC≌DCB， ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）. 84 5.证明：（1）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB. （2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC=BD， 又∵OA=OB， ∴AC-OA=BD-OB， 即：OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 四、师生互动，课堂小结 1.两个能够完全重合的三角形是全等三角形，互相重合的顶点是对应顶点，互相重合的 边是对应边，互相重合的角是对应角. 2.全等三角形具有如下性质：对应的角相等，对应的边相等，对应的高、角平分线、中 线相等，全等三角形的面积相等. 3.正确地判断出全等三角形的对应边，对应角，是利用全等三角形解决问题的基础，这 里关键是掌握判断对应边，对应角的方法. 1.课本第 95 页练习 1、2. 2.完成练习册中的相应作业. 本节采用“实践感悟——例题分析——运用新知，深化理解”几个环节使学生理解全等 三角形对应边相等，对应角相等的性质，经历探索全等三角形的概念过程，能进行简单的推 理与运算，培养良好的理性推理能力，体会本节知识的应用价值. 14.2 三角形全等的判定 第 1 课时 全等三角形的判定定理——SAS 【知识与技能】 理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维. 【过程与方法】 经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索. 【情感与态度】 85 培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值. 【教学重点】 重点是运用“边角边”的判定定理解决实际问题. 【教学难点】 难点是如何寻找适合“边角边”的判定定理来证明全等的两个三角形. 一、复习回顾 1.上节课我们学习了全等三角形及其有关性质. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.如图，如果△ABC≌△DEF 请说出对应边、对应顶点、对应角. 二、新课讲解 三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定 一个三角形的形状和大小吗？ 1.只给定一个元素： ①一条边长为 4cm； ②一个角为 45°. 若只给一条边时，这条边所对应的顶点位置无法确定，能画很多不同的三角形, 若只给一个角时，组成这个角两边的线段长度无法确定，可以画很多不同的三角形. 2.若给定两个元素： ①两条边长分别为 4cm、5cm； ②一条边长为 4cm,一个角为 45°; ③两个角分别为 45°、60°. 86 结论：给定两个条件仍不能确定一个三角形的形状和大小. 3.若给定三个条件： ①三个角； ②两边一角； ③两角一边； ④三条边. 4.研究两边及其夹角的情况： 利用尺规作图画出已知角和已知边 已知△ABC 求作：△A1B1C1，A1B1=AB，∠B1=∠B，B1C1=BC. 作法： ①作∠MB1N=∠B， ②在 B1M 上截取 B1A1=BA，在 B1N 上截取 B1C1=BC, ③连接 A1C1. 则△A1B1C1(上图(2))就是所求作的三角形. 同学们将这两个三角形重叠，看能否完全重合？ 三角形全等判定定理 1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.记为“边角边” 或“SAS”(S 表示边,A 表示角) 注意：边角边中的角要是两边的夹角. 三、例题分析 1.举例说明 例 已知：如下图所示，在 AB，AC 上各取一点 E，D，使 AE=AD.连接 BD，CE 相交于点 O， ∠1=∠2，求证：∠B=∠C. 87 【分析】要证明两个角相等，学过的方法有：(1)两直线平行，同位角相等或内错角相 等；(2)利用三角形全等的性质，本题利用方法二证明. 【证明】在△AEO 与△ADO 中，AE=AD，∠1=∠2，AO=AO ∴△AEO≌△ADO(SAS) ∴∠AEO=∠AOD（全等三角形对应角相等） 又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C, ∵∠EOB=∠DOC（对顶角相等） ∴∠B=∠C. 评析：在分析问题时要把条件分析透彻，如该题先证得△AEO≌△ADO 后，推出 OD=OE, ∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,这些结论在进一步证明中不一定全用到，但当分析时对图形中的 等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思索. 2.阅读课本第 99 页例 1、例 2. 指导学生分析例题，并从中归纳出证明的思路、方法. 四、运用新知，深化理解 （江苏常州中考）已知：如图，点 C 为 AB 中点，CD=BE，CD∥BE.求证：△ACD≌△CBE. 【证明】 ∵C 是 AB 的中点（已知），∴AC=CB（线段中点的定义）. ∵CD∥BE（已知）， ∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）. 在△ACD 和△CBE 中， AC=CB（已证） ∠ACD=∠B（已证） CD=BE（已知） ∴△ACD≌△CBE（SAS）. 五、师生互动，课堂小结 1.边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 2.在应用定理时要注意：对应的两边及这两边所夹的角相等. 88 1.课本第 100 页练习 1、2、3. 2.完成练习册中的相应作业. 本节设计“复习回顾——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动， 课堂小结”五个环节，使学生理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深 化证明思维，经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索， 培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值. 第 2 课时 全等三角形的判定定理——ASA 【知识与技能】 理解“角边角”判定两个三角形全等的方法. 【过程与方法】 经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索. 【情感与态度】 培养严谨的表述能力，体会几何中逻辑推理的应用价值. 【教学重点】 重点是学会运用“角边角”判定两个三角形全等的方法. 【教学难点】 难点是如何进行推理分析. 一、复习回顾 回忆“边角边”定理. 由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？ 如下图：AB=AB,∠B=∠B,AB1=AC. 但△ABB1 与△ABC 不全等. 二、新课讲解 已知△ABC 89 求作：△A1B1C1，使∠B1=∠B，B1C1=BC，∠C1=∠C 作法：①作线段 B1C1=BC ②在 B1C1 的同旁，分别以 B1,C1 为顶点作∠MB1C1=∠ABC,∠NC1B1=∠C,B1M 与 C1N 交于点 A1. 则△A1B1C1 就是所求作的三角形 （学生用剪刀剪下拼凑看能否重合） 全等三角形判定定理 2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，记为“角边角” 或“ASA”. 三、例题分析 1.举例说明 例 已知：如下图所示，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：△ADC≌△BCD 【证明】∵∠1=∠2,∠3=∠4（已知） ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠ADC=∠BCD 在△ADC 和△BCD 中 ∠1=∠2(已知） DC=CD（公共边） ∠ADC=∠BCD（已证） ∴△ADC≌△BCD（ASA） 【归纳结论】在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等 的条件. 2.阅读课本第 101~102 页例 3、例 4. 在阅读中总结出证明方法，形成证明模式. 四、运用新知，深化理解 课本第 102 页练习 1、2、3. 五、师生互动，课堂小结 角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 90 1.课本第 112 页习题 14.2 的第 5 题. 2.完成练习册中的相应作业. 本节设计“复习回顾——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动， 课堂小结”五个环节，使学生理解“角边角”判定两个三角形全等的方法，经历探究“角边 角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索，培养严谨的表述能力，体会几何中 逻辑推理的应用价值. 第 3 课时 全等三角形的判定定理——SSS 【知识与技能】 理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方法，拓展推理证明能力. 【过程与方法】 经历探索用“边边边”判定两个三角形全等的过程，认识三角形的稳定性，进一步提高 思维能力. 【情感与态度】 培养良好的逻辑思维能力以及合作学习的习惯，感受几何的应用价值. 【教学重点】 重点是掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法. 【教学难点】 难点是如何根据实际问题学会选择应用已学过的判定三角形全等的方法来解决. 一、创设情境，引入新课 一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如右图所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就 可以割取符合规格的三角形玻璃，你能否利用你所学到的知识来加以说明？ 【分析】方法 1，量出 AB 边和∠A,∠B 的度数，可以截到与原来相同的玻璃图形， 91 方法 2，把玻璃片放在纸板上，然后用直尺画出一块完整的玻璃图形，再剪下来去玻璃 店配. 问题：方法 1 利用了什么定理？（“角边角”） 方法 2 利用了什么定理？（三边对应相等） 二、新课讲解 1.已知△ABC 求作：△A1B1C1，使 A1B1=AB，B1C1=BC，C1A1=CA. 作法：①作线段 B1C1=BC， ②分别以点 B1，C1 为圆心，BA,CA 的长为半径画弧，两弧相交于点 A1， ③连接 A1B1，A1C1. 则△A1B1C1 就是所求作的三角形. （将所求作的△A1B1C1 与△ABC 重叠，看能否重合） 全等三角形判定定理 3：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”. 2.三角形的稳定性 只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三 角形的稳定性. 三、例题分析 例 1 已知如右图所示，AD=BC,AB=DC,DE=BF,求证：BE=DF 【分析】要证明 BE=DF，由图可看出，只要证明△ABE≌△CDF.由已知 AB=DC,AE=CF 两 组条件，只要证出∠A=∠C.但图形上现成的另一对三角形难以找出，因此添加辅助线 DB.这 样可由△ABD≌△CDB.来推得∠A=∠C. 【证明】连接 BD,在△ABD 和△CDB 中 ∴△ABD≌△CDB（SSS） 92 ∴∠A=∠C 又∵DE=BF,AD=BC ∴AE=CF ∴△DCF≌△BAE（SAS） ∴BE=DF 例 2 已知如图,点 B，E，C，F 在同一直线上，AB=DE.AC=DF.BE=CF 求证：AB∥DE,AC∥DF 【分析】证明平行问题，可从平行线判定定理考虑，即证明∠B=∠DEF,∠F=∠ACB.而证 明角相等,可从两组角所在的两个三角形方面去考虑，可证△ABC≌△DEF，由已知条件利用 “SSS”即可证明. 【证明】∵BE=CF(已知) ∴BE+EC=CF+CE(等式的性质) 即 BC=EF 在△ABC 和△DEF 中 ∵AB=DE(已知) AC=DF（已知） BC=EF（已证） ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠B=∠DEF∠ACB=∠F(全等三角形的对应角相等) ∴AB∥DEAC∥DF(同位角相等，两直线平行) 四、运用新知，深化理解 1.课本第 105 页练习 1、3. 2.已知如图所示，AB=DC，AD=BC 求证：∠A=∠C 93 第 2 题图 第 3 题图 3.已知如图所示 AB=CD,BC=DA,E,F 是 AC 上的两点，且 AE=CF. 求证：BF=DE 五、师生互动，课堂小结 1.“SSS”公理：三边对应相等的两个三角形全等. 2.三角形的稳定性：一个三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确 定. 1.课本第 111~112 页习题 14.2 的 3、7. 2.完成练习册中的相应作业. 本节设计“创设情境，引入新课——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解— —师生互动，课堂小结”五个环节，使学生理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方 法，拓展推理证明能力，经历探索用“边边边”判定两个三角形全等的过程，认识三角形的 稳定性，进一步发展思维能力，培养良好的逻辑思维能力以及合作学习的习惯，感受几何的 应用价值. 第 4 课时 用 AAS 判定三角形全等 【知识与技能】 理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，增强推理意识. 【过程与方法】 通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能. 【情感与态度】 培养合情推理的意识，提升证明问题的能力. 【教学重点】 重点是应用“角角边”判定两个三角形全等. 【教学难点】 难点是怎样运用已学过的判定三角形全等的方法解决实际问题. 94 一、创设情境，引入新课 已知如右图所示，D 在 AB 上,E 在 AC 上,AB=AC,∠B=∠C 求证:AD=AE 【分析】找到和已知条件有关的△ACD 和△ABE，利用“ASA”证明出它们全等，从而得 到 AD=AE. 【证明】在△ACD 与△ABE 中 ∠A=∠A AC=AB ∠C=∠B ∴△ACD≌△ABE(ASA) ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 变式问题：如果将上题中的已知条件∠B=∠C，改写成∠AEB=∠ADC，你能证出 AD=AE 吗？试一试！ 【分析】在△ACD 中,∠C=180°-∠A-∠ADC,同样∠B=180°-∠A-∠AEB.所以有∠A=∠A, ∠ADC=∠AEB 可转化出∠B=∠C.再利用“ASA”来证明△ACD≌△ABE.从而有 AD=AE. 我们发现：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.即“AAS”. 我们可这样证明 【证明】在△ACD 与△ABE 中 ∠A=∠A（已知） ∠ADC=∠AEB（已知） AC=AB（已知） ∴△ACD≌△ABE(AAS) ∴AD=AE 【教学说明】根据全等三角形的性质，由已知全等三角形的判定定理推导出新的判定定 理. 二、新课讲解 1.全等三角形判定定理 4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等记为 “角角边”或“AAS”. 2.填一填 95 三、例题分析 已知如右图，点 B、F、C、D 在同一直线上,AB=ED,AB∥ED,AC∥EF,求证：△ABC≌△EDF. 【分析】由定理“AAS”知需找出两组对应角相等，根据已知条件 AB∥ED,AC∥EF，可 利用平行线的性质. 【证明】∵AB∥ED,AC∥EF（已知） ∠B=∠D，∠ACB=∠EFD（两直线平行，内错角相等） 在△ABC 与△EDF 中 ∠B=∠D(已证) ∠ACB=∠EFD（已证） AB=ED（已知） ∴△ABC≌△EDF（AAS） 四、运用新知，深化理解 1.如图，AC、BD 交于点 E，添加怎样的两个条件，直接用“AAS”证明△ADE≌△BCE？ 96 2.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D.请说明△ADC ≌△CEB 的理由. 【参考答案】 1.解：可添加∠B=∠A，EC=ED；或∠C=∠D，BE=AE； ∵∠B=∠A，EC=ED， 又∠BEC=∠AED， ∴△ADE≌△BCE（AAS）. 2.解：∵BE⊥CE 于点 E（已知）， ∴∠E=90°（垂直的意义）， 同理∠ADC=90°， ∴∠E=∠ADC（等量代换）. 在△ADC 中， ∵∠1+∠2+∠ADC=180° （三角形的内角和等于 180°）， ∴∠1+∠2=90°（等式的性质）. ∵∠ACB=90°（已知）， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3（同角的余角相等）. ∴△ADC≌△CEB(AAS). 五、师生互动，课堂小结 1.证明两个三角形全等的常用方法是什么？你是怎样正确选择的？ 2.证明线段相等可以有哪些方法？证明角相等可以有哪些方法？ 3.你在探究中学会了添加哪些辅助线？ 1.课本第 114~115 页 A 组复习题 3、7. 2.完成练习册中的相应作业. 97 本节设计“引入新课——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动， 课堂小结”五个环节，使学生理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，增强推理意 识，通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能，培养合情推理意识，提升证明问 题的能力. 第 5 课时 用 HL 判定直角三角形全等 【知识与技能】 学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升合情推理能力，并熟练运用判定两个直角三 角形全等的方法. 【过程与方法】 通过探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三 角形全等的判定方法. 【情感与态度】 感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值. 【教学重点】 重点是掌握判定直角三角形全等的特殊方法. 【教学难点】 难点是应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用. 一、回顾交流 1.课堂演练 已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE 垂足为 B,DE⊥BE 垂足为 E,AB=DE. 求证：AC=DF 【分析】要证 AC=DF,必须寻找与 AC,DF 有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已 知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF,利用 SAS 可证明出这两个直角三角形全等 【证明】（学生板演） 2.问题迁移 98 如果将上题 AB=DE 改成 AC=DF,其他条件不变，你能证明出 AB=DE 吗？ 引导：画一个任意 Rt△ABC 使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1 满足条件 B1C1=BC，A1B1=AB, 再把画好的 Rt△A1B1C1 剪下来看看是否能与 Rt△ABC 完全重合. 3.作图 已知 Rt△ABC,其中∠C 为直角，求作：Rt△A1B1C1,使∠C1 为直角,A1C1=AC,A1B1=AB. 作法： ①作∠MC1N=∠C=90°； ②在 C1M 上截取 C1A1=CA； ③以 A1 为圆心，AB 长为半径画弧，交 C1N 于点 B1, ④连接 A1B1， 则 Rt△A1B1C1 就是所求作的直角三角形 直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（记为 “斜边，直角边”或“HL”） 二、例题分析 例 1 (课本第 108 页例 7)已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB，求证：AB=DC. 【证明】∵∠BAC=∠CDB=90°（已知） ∴△BAC,△CDB 都是直角三角形 又∵AC=DB（已知） BC=CB（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL） ∴AB=DC（全等三角形的对应边相等） 例 2（课本第 107 页例 8）已知:如图 AB=CD，BC=DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE=CF 求证：BF=DE 【分析】本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2， 再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出 BF=DE 【证明】在△ABC 和△CDA 中 99 ∵AB=CD(已知) BC=DA（已知） CA=AC（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) 在△BCF 和△DAE 中 ∵BC=DA(已知) ∠1=∠2（已证） CF=AE（已知） ∴△BCF≌△DAE(SAS) ∴BF=DE(全等三角形的对应边相等) 例 3 （课本第 110 页例 9）证明：全等三角形的对应边上的高相等. 【分析】本题关键是写出已知，然后进行证明. 已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高， 求证：AD=A′D′ 【证明】∵△ABC≌△A′B′C′（已知） ∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等） ∵AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义） 在△ABD 和△A′B′D′中 ∠B=∠B′(已证) ∠ADB=∠A′D′B′（已证） AB=A′B′（已证） ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等） 【教学说明】引导学生思考，证明直角三角形全等与证明普通三角形全等的区别. 三、运用新知，深化理解 1.课本第 109 页练习 1、2. 2.课本第 110~111 页练习 1、3. 四、师生互动，课堂小结 100 1.直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判 定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外， 还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 2.选择合适的判定定理证明相应的问题；以及将文字题转化为符号语言，并与图形结合， 写出已知、求证. 1.课本第 109 页练习第 3 题. 2.课本第 110~111 页练习第 2、4 题. 3.完成练习册中的相应作业. 本节设计“回顾交流——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结” 四个环节，使学生学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力，并熟练运用判 定两个三角形全等的方法，经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际 问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法，感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体 会到逻辑推理的应用价值. 第 14 章 全等三角形 【知识与技能】 学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力. 【过程与方法】 经历归纳、总结全等三角形的过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力. 【情感与态度】 培养合情推理的能力和创新意识. 【教学重点】 重点是判定两个三角形全等的方法. 【教学难点】 难点是运用已学过的判定三角形全等的方法，解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 101 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识 及它们之间关系.教学时，边回顾边建立知识框图. 二、释疑解惑，加深理解 证明三角形全等的基本思路 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”， “HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯.如果找到了一组对应 边，再找第二组条件：若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应 边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一 组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述可归纳为： 三、典例精析 证明三角形全等的方法 １.平移法构造全等三角形 例１ 如图１所示，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，若 AB>AD，DC=BC，求证：∠B+∠ D=180°. 【分析】利用角平分线构造三角形，将∠D 转移到∠AEC，而∠AEC 与∠CEB 互补，∠CEB= ∠B，从而证得∠B+∠D=180°.主要方法是：“线、角进行转移”. 自主解答. 2.翻折法构造全等三角形 例 2 如图 2 所示，已知△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC，求证：AB=BC+CD. 102 【证明】∵BD 平分∠ABC，将△BCD 沿 BD 翻折后，点 C 落在 AB 上的点 E，则有 BE=BC， 在△BCD 与△BED 中， BC=BE ∠CBD=∠EBD BD=BD ∴△BCD≌△BED（SAS） ∴∠DEA=∠ACB=90°,CD=DE, ∵已知△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°, ∴∠EDA=∠A=45°, ∴DE=EA, ∴AB=BE+EA=BC+CD. 3.旋转法构造全等三角形 例 3 如图 3 所示，已知点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 与 CD 上，并且 AF 平分∠ EAD，求证：BE+DF=AE. 【分析】本题要证的 BE 和 DF 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起. 可将△ADF 绕点 A 旋转 90°到△ABG，则△ADF≌△ABG，BG=DF，从而将 BE+BG 转化为线段 GE，再进一步证明 GE=AE 即可. 自主解答. 4.延长法构造全等三角形 例 4 如图 4 所示，在△ABC 中，∠ACB=2∠B，∠BAD=∠DAC，求证：AB=AC+CD. 103 【分析】证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长 线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段， 再证明余下部分等于另一条短线段.本题可延长 AC 至点 E，使 AE=AB，构造△ABD≌△AED， 然后证明 CE=CD，就可得 AB=AC+CD. 自主解答. 四、师生互动，课堂小结 熟练掌握三角形全等的判定定理，并运用定理解决相关的问题. 1.课本第 114~115 页 A 组复习题第 5、6、8、10 题. 2.完成练习册中的相应复习课练习. 本节设计“知识框图，整体把握——释疑解惑，加深理解——典例精析——师生互动， 课堂小结”四个环节，使学生学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力，经历归纳总 结全等三角形的过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力. 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 第 1 课时 轴对称图形 【知识与技能】 了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的图形的轴对称，能理解轴对称图形、图形 的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质. 【过程与方法】 通过观察、探索生活中图形的轴对称、两个图形轴对称现象，了解线段的垂直平分线的 有关性质. 【情感与态度】 104 让学生通过观察、探索两个图形轴对称现象，以及线段与线段的垂直平分线的关系，培 养学生合作及勇于探索的精神. 【教学重点】 重点是轴对称图形的性质. 【教学难点】 难点是轴对称图形与图形的轴对称的区别. 一、复习 1.什么是轴对称图形，举例说明？ 2.下面的几个图形是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？ 【教学说明】提出问题，引出新课. 二、引入新课，合作交流 1.观察下面的两个图形，看它们有什么特点？ 2.像这样把一个图形沿着某条直线对折后，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个 图形成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点叫做对称点. 3.一个轴对称图形，如果把它沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对 称. 4.轴对称图形与两个图形的轴对称有什么区别、联系，举例说明. （1）轴对称图形是一个图形，两个图形关于这条轴对称，把一个轴对称图形，沿着对 称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称. （2）轴对称图形是一种特殊的图形，而任意的一个图形都能找到另一个图形与它成轴 对称. 5.思考：如图△ABC 与△A′B′C′，关于直线 MN 对称，A，B，C 与 A′，B′，C′是 对称点. 105 连接 AA′，交 MN 于点 O （1）直线 MN 与 AA′有什么关系？ （2）OA 与 OA′有什么关系？ 6.线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫作这条线段的垂直平 分线，也叫线段的中垂线. 7.分析得到：一般地，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点 所连接线段的垂直平分线，反过来如果两个图形各对对称点的连线被同一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线轴对称. 三、例题讲解，巩固新知 1.课本第 122 页练习第 1、2 题. 2.（广西柳州中考）如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在 （ A ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 四、师生互动，课堂小结 1.什么是两个图形关于这条轴对称； 2.轴对称现象与线段的垂直平分线的关系； 1.课本第 122 页练习第 3、4 题. 2.完成练习册中的相应作业. 本节设计了“复习——引入新课，合作交流——运用新知，深化理解——师生互动，课 堂小结”五个环节，使学生了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的两个图形的轴对称， 能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质， 培养学生合作及勇于探索的精神. 106 第 2 课时 轴对称 【知识与技能】 了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴. 【过程与方法】 通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学 生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理. 【情感与态度】 通过对生活实物和相应图片的观察、欣赏，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情 操，渗透美感. 【教学重点】 重点是认识生活中的轴对称图形，了解轴对称的概念. 【教学难点】 难点是寻找对称轴. 一、创设情境，导入课题 请同学们先欣赏一组优美的建筑图片，并仔细观察图片中建筑物的左右结构有什么共同 点？ 它们的左边和右边的结构都是一样的，即对称的.对，今天我们就一起来研究图形的对 称性. 二、观察归纳，探究概念 其实，自然界中有很多物体的平面图形都具有对称性.比如千姿百态的蝴蝶、晶莹剔透 的雪花、火红火红的枫叶等，都给人以对称的形象，同时带给人们美的享受.事实上，不论 是在自然界中还是在建筑中，不论是在艺术中还是在科学中，对称的形式随处可见，对称具 有和谐美.下面让我们一起走进生活，去感受一下轴对称图形的美丽吧.放映图片. 请同学们在欣赏这些美丽图形时，思考这样一个问题：你能用自己的语言来描述这些图 107 形是怎样对称的吗？ 下面我们以蝴蝶的图案为例，在它的身体正中间画一条直线 L，以直线 L 为折痕，将图 案折叠，图中直线一侧部分与另一侧的部分能够完全重合.像这样，如果一个图形沿着一条 直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对 称轴. 注意：1.画对称轴一般用虚线. 2.轴对称图形的对称轴两旁的部分是全等的，即所有对应元素都是相等的，而且位置也 是对应的； 三、例题讲解，巩固新知 例 1 下面图案都是轴对称图形吗？你能画出它们的对称轴吗 讲解（略） 例 2 下列图形中，哪些是轴对称图形? （1）角；（2）一般三角形；（3）等腰三角形；（4）长方形；(5)正方形；(6)圆. 解：图形（1）、（3）、（4）、（5）、（6）都是轴对称图形，对称轴略. 【教学说明】理解轴对称的概念，认识轴对称图形. 四、运用新知，深化理解 1.（甘肃兰州中考）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的 是（ ） 108 2.（山东泰安中考）下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2 的图形的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列图案是我国几家银行的标志，哪几个标志是轴对称图形？请你画出它们的对称 轴. 4.图中（1）至（10）都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴 对称. 通过前面的讲解和练习，请同学们思考：要判断一个图形是否是轴对称图形，关键是什 么？ 【参考答案】1.A 2.C 3.解：图（1）、（3）、（4）是轴对称图形，对称轴（略）. 4.略 五、师生互动，课堂小结 谈一谈：通过本节课的学习你有了哪些收获？ 109 1.课本第 120 页练习第 1、2 题. 2.完成练习册中的相应作业. 本节设计了“创设情境，导入课题——观察归纳，探究概念——例题讲解，巩固新知— —运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生了解轴对称图形的概念， 能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴， 通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学 生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理，感受到数学与现实生活的密 切联系，陶冶情操，渗透美感. 第 3 课时 平面直角坐标系中的轴对称 【知识与技能】 明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系. 【过程与方法】 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称 之间的关系. 【情感与态度】 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，培养形象思维能力和数形结合意识. 【教学重点】 重点是图形坐标变化与图形轴对称之间的关系. 【教学难点】 难点是图形坐标变化规律的运用. 一、创设情境，引入新课 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗. 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点 A 与 A1 的坐标又有什么特点？其它对应的点 110 也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于 y 轴对称的点，看看这两个点的坐标 有什么样的位置关系，说说其中的道理. 3.如果关于 x 轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗 ABCD 关于 x 轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的各 个顶点的坐标有什么关系？ 【教学说明】引导学生将轴对称与平面直角坐标系结合起来. 二、合作交流，共同探究 在平面直角坐标系中，如何作出图形的轴对称图形. 已知 A(1,1) B(3，1) C(3，3) D（1,3） (1)作出点 A、B、C、D 关于 x 轴的对应点 A1,B1，C1，D1,并写出他们的坐标； （2）已知各点的坐标:A(1,1) B(3,1) C(3,3) D(1,3) 关于 x 轴对称的点的坐标 A1( ___,___ ) B1( ___,___ ) C1( ___,___ ) D1( ___,___ ) 关于 y 轴对称的点的坐标 A2( ___,___ ) B2( ___,___ ) C2( ___,___ ) D2( ___,___ ) 发现规律：总结：一般地 P（x,y）关于 x 轴轴对称时 P1(x,-y),关于 y 轴轴对称时 P2(-x,y). 三、运用新知，深化理解 1.（广西桂林中考）在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），则点 A 关于 x 轴的对称 点的坐标为（ ） A.（3，2） B.（2，-3） C.（-2，3） D.（-2，-3） 2.（广西梧州中考）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A.（-1，2） B.（1，-2） C.（-1，-2） D.（-2，-1） 111 3.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.不能构成对称关系 4.点（m，-1）和点（2，n）关于 x 轴对称，则 mn 等于（ ） A.-2 B.2 C.1 D.-1 5.已知 A、B 两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），则下面四个结论：①A、B 关于 x 轴 对称；②A、B 关于 y 轴对称； ③A、B 关于原点对称；④A、B 之间的距离为 4，其中正确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.（辽宁鞍山中考）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标 A（-4，1），B（-2，1）， C（-2，3） （1）作△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△ABC 向下平移 4 个单位长度，作出平移后的图形△A2B2C2； （3）求四边形 AA2B2C 的面积. 【参考答案】 1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 6.解：（1）（2）所作图形如图所示： 112 （3）四边形 AA2B2C 的面积为 10. 四、师生互动，课堂小结 1.关于 y 轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(-x,y) 2.关于 x 轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(x,-y) 课本第 124 页练习第 1、2 题. 本节设计了“创设情境,引入新课——合作交流——运用新知，深化理解——师生互动， 课堂小结”四个环节，使学生明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系，经历图形坐标变 化与图形轴对称之间的关系的探索过程，培养形象思维能力和数形结合意识. 15.2 线段的垂直平分线 【知识与技能】 掌握线段的垂直平分线以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中. 【过程与方法】 经历探索线段的垂直平分线定理、逆定理的过程，明确应用方法. 【情感与态度】 培养学生的合理推理能力. 【教学重点】 重点是线段的垂直平分线定理、逆定理的理解和应用. 【教学难点】 难点是线段的垂直平分线定理、逆定理的应用. 一、复习引入 1.什么是线段的垂直平分线？ 2.用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？ 通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段 AA′,折纸使 A 与 A′ 重合，得到的折痕 l 是线段 AA′的垂直平分线（如图） 113 让学生动手操作（小组交流） 3.你还能用什么方法得到线段的垂直平分线；（用刻度尺、直尺画） 也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分 线. 二、新课讲解 活动 1：用直尺圆规作出线段的垂直平分线 1.要讲清步骤；（学生注意模仿） 作法： （1）分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 长为半径（为什么？）画弧交于点 E,F. （2）过点 E,F 作直线. 则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线（如图）. 2.思考： 为什么作出的直线是线段的垂直平分线呢？（要学生给出证明，教师引导） 线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（先要让 学生分析已知、求证并给出证明） 例 1 已知：如图所示，直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB,P 是 MN 上任意一点. 求证：PA=PB. 【证明】∵MN⊥AB,(已知) ∴∠AOP=∠BOP=90°.（垂直定义） 在△AOP 与△BOP 中， 114 ∵ (, ( ) , , ) AO BO AOP BOP PO PO          （已知） 已证 公共边 ∴△AOP≌△BOP.(SAS) ∴PA=PB.（全等三角形的对应边相等） 活动 2：线段的垂直平分线性质定理的逆定理 1.先让学生说出线段的垂直平分线性质定理的逆定理 2.要求学生分析已知、求证并给出证明 定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 例 2 知：如图所示，△ABC 的边 AB,AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上. 【证明】连接 PA,PB,PC， ∵点 P 在 AB,AC 的垂直平分线上，（已知） ∴PA=PB,PA=PC,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) ∴PB=PC.（等量代换） ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离相等. 三、运用新知，深化理解 1.（辽宁丹东中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则∠CBE 的度数为（ ） A.70° B.80° C.40° D.30° 第 1 题图 第 2 题图 2.如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为 14cm，则△ABC 的周长为（ ） A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm 115 3.（福建南平中考）已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=6，则 PB=_____. 4.如图，已知 DE 是 AC 的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD 的周长. 5.如图所示，一牧人带马群从 A 点出发，到草地 MN 放牧，在傍晚回到帐蓬 B 之前，先 带马群到河流 PQ 去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？ 【参考答案】 1.D 2.B 3.6 4.解：∵DE 垂直平分 AC，∴AD=CD， ∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm， 又∵AB=10cm，∴△ABD 的周长=AB+BC=10+11=21（cm）. 5.略 四、师生互动，课堂小结 1.线段的垂直平分线的作法. 2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理. 3.三角形三边的垂直平分线交于一点. 课本第 130 页练习第 1、2、3 题. 本节设计了“复习——新课讲解——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四 个环节，使学生掌握线段的垂直平分线性质定理以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到 证明中. 经历探索线段的垂直平分线定理及逆定理的过程，明确应用方法，培养学生的合理推理 能力. 15.3 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 116 【知识与技能】 进一步认识等腰三角形的定义和性质. 【过程与方法】 通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解等腰三角形“三线合一”等有关性质、 提高几何推理意识. 【情感与态度】 通过对问题的发现和解决，培养学生合作精神，树立学好教学的信心，形成有条理的表 达. 【教学重点】 重点是掌握等腰三角形的性质. 【教学难点】 难点是对等腰三角形“三线合一”的理解. 一、回顾交流、操作感知 1.教师用如图所示的三角形. 【教学说明】在图所示的三种三角形有什么特殊性呢？是怎样的从属关系呢？ 学生活动：思考后回答，等腰三角形有两个边是相等的叫做腰，不等的边叫做底；等边 三角形的三条边都相等，它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形家族中的成员之一. 如图所示： 【教学说明】让学生认清等腰三角形的有关名词. 学生活动：指出图中的边、角的名称，温故知新. 2.操作探究 教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折，剪去一个角，再把它展开，得到的三角形 有什么特征呢？ 学生活动：拿出事先准备好的纸和剪刀，动手剪，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两 条边是相等的.” 117 师生共识：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形. 【教学说明】要求学生把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角， 填入下表： 重合的线段 重合的角 你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 学生活动：发现问题，如图甲所示，重合的线段是 AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角 的平分线、底边上的中线重合，重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°；等 边三角形如图乙所示，根据三角形三边相等的概念，得出∠A=∠B=∠C，再由三角形内角和 等于 180°，得∠A=∠B=∠C=60°. 师生共识 性质 1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 性质 2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线三线合一. 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60°. 学生活动：运用全等三角形证明上述性质. 二、范例学习，应用所学 例 1 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC=AD，求△ABC 各角的度 数. 【分析】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，再运用三角形 内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程. 学生活动:参与教师分析，发表自己的见解，尝试用不同的方法求解，如设∠A=x°，而 后把问题转化成代数形式，再解.（解略） 例 2 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，点 D、E 是底边上两点，且 BD=AD， 118 CE=AE，求∠DAE 的度数. 【分析】先由 AB=AC，得到∠B=∠C=30°，再根据 BD=AD，推出∠BAD=∠B=30°，同样， 可以利用等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠C=30°，最后求出∠DAE=∠BAC―∠BAD―∠ CAE=60°. 学生活动：参与教师分析，理解等腰三角形的应用方法. 【教学说明】增加补充例题，目的是拓展学生的思维. 三、随堂练习，巩固深化 1.课本第 134 页练习第 1、2、3 题. 2.探研时空 已知：如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，BD 是角平分线，DE⊥BC 于 E， 若 BC=10cm，求△DEC 的周长. 解：∵△ABC 为等腰三角形，且∠A＝90°， ∴AB=AC,∠ABC=∠C=45°, ∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°, ∵DB 是∠ADE 平分线， ∴∠BDA=∠BDE. 在△ADB 与△BDE 中, ∵ 90 , , . A DEB BDA BDE BD BD             ∴△BDA≌△BDE(AAS). ∴BA=BE,DA=DE. ∵△DEC 的周长＝DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC, ∴△DEC 的周长为 10cm. 四、师生互动，课堂小结 （1）等腰三角形有哪些性质？ （2）你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会？ 1.课本第 136 页练习第 1、2、3 题. 2.完成练习册中的相应作业. 119 本节设计了“回顾交流,操作感知——范例学习，应用所学——随堂练习，巩固深化— —师生互动，课堂小结”四个环节，使学生进一步认识等腰三角形的定义和性质，通过对问 题的发现和解决，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心，形成有条理的表达. 第 2 课时 等腰三角形的判定 【知识与技能】 领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力. 【过程与方法】 通过探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理的、 清晰的表达能力. 【情感与态度】 通过对问题的发现和解决，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值. 【教学重点】 重点是掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理. 【教学难点】 难点是判定的应用，几何思维的形成. 一、提出问题 等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？ 请同学们思考 二、新课讲解 定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 先要让学生分析已知、求证并给出证明 已知：如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：过点 A 作 AD⊥BC,D 点为垂足， ∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义） 在△ADB 和△ADC 中， 120 ∵ ( ) ( , , ) , B C ADB ADC AD AD           已知 已证 （公共边） ∴△ADB≌△ADC.(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) 由上述定理可得 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论 2 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半. 要学生分析已知、求证并给出证明 例题（课本第 137 页例 4） 【教学说明】增加例题，巩固理解，扩展思维. 三、课堂演练 1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三 角形. 【分析】分析上述命题中的条件、结论、画出图形，这里的条件是三角形的一个外角平 分线平行于这个三角形的一边，结论是这个三角形是等腰三角形. 2.如下图所示，标杆 AB 高 5m，为了将它固定，需要由它的中点 C 向地面上与点 B 距离 相等的 D，E 两点拉两条绳子，使得点 D，B，E 在一条直线上，量得 DE=4m，绳子 CD 和 CE 需多长？ 解：∵AB=5m，C 为 AB 中点， ∴AC=CB=2.5m ∵B 为 DE 中点且 DE＝4 ∴DB=BE=2m ∴CE= 41 2 m 在△CDB 与△CEB 中 ∵ CB CB CBD CBE BD BE         ∴△CDB≌△CEB(SAS) ∴CD=CE= 41 2 m 121 四、师生互动，课堂小结 1.本节课学习了哪些内容？这些内容在应用方面你有什么看法？ 2.你能将等腰三角形的知识体系简单地说一说吗？ 3.本节课中，你与同伴交流，学到了同伴的哪些优点？ 1.课本第 138 页练习第 1、2、3 题. 2.完成练习册中相应作业. 本节设计了“提出问题——新课讲解——课堂演练——师生互动，课堂小结”四个环节， 使学生领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力，经历探索等腰三角 形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理、清晰地表达的能力，培 养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值. 15.4 角的平分线 第 1 课时 角平分线的作法 【知识与技能】 掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法. 【过程与方法】 通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意 识. 【情感与态度】 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值. 【教学重点】 重点是角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法. 【教学难点】 难点是熟记作图的步骤. 一、创设情境，操作感知 1.教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC，将点 A 放在角的顶 点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画出一条射线 AE，教师指出：“AE 是否平分∠A，∠ E 呢？你能说一说吗？” 122 学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC＝BC，那么只要 AE 通过 点 C，则就构成两个三角形：△ADC 和△ABC，又因为 AC 是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC （SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即 AE 就是角平分线 2.折纸验证 课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角，请你用折叠的方法，找出角 的平分线. 学生活动：按上面要求，画课本图 15-21 如下： 在操作中， 发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 教师引导：请同学们再用量角器量一量，看得出的这个结论对吗？ 学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识. 【教学说明】通过上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识. 二、尺规作图 思考 1：怎样用直尺和圆规来作角平分线？ 提示学生能否从折纸角中得到启示 【教学说明】归纳角的平分线的作法并板书作法. 下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB 的平分线（如图） 作法： （1）以 O 为圆心，任意长为半径画弧分别交 OA，OB 于点 M,N，如图（1） （2）分别以点 M,N 为圆心，以大于 1 2 MN 长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点 P，如图（2） （3）作射线 OP,则 OP 为所要求作的∠AOB 的角平分线，如图（3）. 学生活动：证明作法的正确性. 任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线. 思考 2： （1）你能作一个平角的角平分线吗？ （2）这个作图可以看作是什么？如何写已知，求作？ 【教学说明】过直线上一点作已知直线的垂线的步骤： 123 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 上一点 C（如图）. 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. 作法：作平角∠ACB 的平分线 CF.直线 CF 就是所求作的垂线. 思考 3：问题刚才作的点是在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？ 【教学说明】过直线外一点作已知直线的垂线的步骤： 经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C（如图（2）） 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. 作法：（1）任意取一点 K,使 K 和 C 在 AB 的两旁； （2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E； （3）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 12DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F; (4)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. 三、运用新知,深化理解 1.用尺规动手作出∠AOB 的平分线 OC，以及 OB 的垂直平分线 MN，并保留作图痕迹. 2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 在 AC 上，且 CE=BC. （1）用尺规作图的方法，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 延长 线于点 F； （2）求证：△ABC≌△FCE. 【参考答案】1.略 2.(1)略. 124 （2）作图如图所示.证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°， ∴∠FEC=∠ACB=90°, ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90°, ∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE, ∴∠ABC=∠FCE. 在△ABC 与△FCE 中， ∵ , , . FEC ACB EC CB ABC FCE           ∴△ABC≌△FCE(ASA). 四、师生互动，课堂小结 掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法 1.课本第 143 页练习第 1、2 题. 2.完成练习册中相应的作业. 本节设计了“创设情境，操作感知——尺规作图——运用新知，深化理解——师生互动， 课堂小结”四个环节，使学生掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，经历角平 分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，提高几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力， 感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值. 第 2 课时 角平分线的性质 【知识与技能】 探索角平分线的性质定理. 【过程与方法】 通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识. 【情感与态度】 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值. 【教学重点】 重点是掌握角平分线的性质定理. 125 【教学难点】 难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题. 一、导入新知 课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作， 在完成课本图的图形后，提出思考问题. 问题思索： 1.为什么所做的 OP，就是∠AOB 的平分线呢？ 2.如图，OP 是∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，C， D 是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并 给出证明. 学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下. 已知：如图所示，OP 平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为 D，PC⊥OA，垂足为 C. 求证：PD=PC 【证明】∵OP 平分∠AOB.（已知） ∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义） 又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知) ∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义） 在△PCO 和△PDO 中, ∵ ,( ) ( ) , , AOP BOP PCO PDO OP OP            已证 （已证） 公共边 ∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD. 【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论. 师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等. 【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来. 二、情境合一，优化思维 1.情境思考 如图所示，要在 T 区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处 126 500 米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为 1:2 000）. 引导学生分析、解决问题，这里要特别强调： 写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义. 已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为点 D，E，PD=PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 【证明】经过点 P 作射线 OP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP=OP， PD=PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP 是∠AOC 的平分线. ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论. 2.师生共识. 由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的. 【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 三、运用新知，深化理解 1.在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，BD=CD，DE，DF 分别垂直于 AB，AC，E，F 是垂足， 求证：EB=FC. 第 1 题图 第 2 题图 2.求作一点 C，使它到∠AOB 两边的距离相等，即 CM=CN 【参考答案】1.证明：AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC， ∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等) 127 且∠BED=∠CFD=90° 在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中 ∵ BD CD ED FD      ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL) 2.略 四、师生互动，课堂小结 教师引导下，学生自主总结，主要问题有： 1.什么叫角平分线？ 2.你还能得到哪些结论？ 1.课本第 145 页练习第 2 题. 2.完成练习册中相应的作业. 本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——运用新知——师生互动，课堂小结” 四个环节，使学生探索角平分线的性质定理，经历探索角平分线定理的过程，体会这个定理 的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用 价值. 第 3 课时 角平分线的判定 【知识与技能】 探索角平分线的逆定理. 【过程与方法】 通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识. 【情感与态度】 培养良好的逻辑推理能力. 【教学重点】 重点是掌握角平分线的逆定理. 【教学难点】 难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题. 128 一、导入新知 写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明. 【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【教学说明】通过逆向证明培养学生的逆向思维，巩固理解角的性质定理与逆定理. 二、情境合一，优化思维 思考：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点 P 与∠AOB 有什么特殊关系？ 【教学说明】通过实际案例使学生从抽象的理解上升到具体的图形关系上来. 三、例题讲解 课本第 145 页例题 学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明. 【证明】过点 P 分别作 PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为 M，N，Q. ∵BE 是∠B 的平分线，点 P 在 BE 上. ∴PQ=PM. 同理可证：PN=PM. ∴PN=PQ. ∴AP 平分∠BAC. 教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？ 学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离 相等. 四、运用新知，深化理解 1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于 点 O，且 OB=OC.求证：点 O 在∠BAC 的平分线上. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CED=90°. 又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴OD=OE. ∴点 O 在∠BAC 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的 129 点在角的平分线上） 2.如图所示，OC 平分∠AOB，P 为 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，E 为 OA 上一点，∠PEO+ ∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD. 证明：如图所示，过点 P 作 PM⊥OB 于点 M. ∵OC 平分∠AOB，PD⊥OA，（已知） ∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等） 在 Rt△POD 和 Rt△POM 中， , , PO PO PD PM    Q （公共边） （已证） ∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL） ∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等） 又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知） ∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义） ∴∠PED=∠PFM. 又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知） ∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义） 在△PBE 和△PMF 中， , , , PDE PMF PED PFM PD PM      Q ∠ ∠ （已证） ∠ ∠ （已证） （已证） ∴△POE≌△PMF，（AAS） ∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等） ∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换） 五、师生互动，课堂小结 教师引导下，学生自主总结，主要问题有： 1.这两个定理之间有何区别？ 2.你还能得到哪些结论？ 完成练习册中相应的作业. 本节综合学习了角平分线的性质定理和逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过 程，体会这两个定理的作用，培养良好的逻辑思维能力. 130 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 【知识与技能】 1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质. 2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用. 3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用. 4.理解等边三角形的性质并能够简单应用. 【过程与方法】 初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案. 【情感与态度】 数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用. 【教学重点】 重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用. 【教学难点】 难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知 识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图. 二、典例精讲 1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 例 1(1)下列几何图形中，①线段②角③直角三角形④半圆，其中一定是轴对称图形的 有（C） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2)图中，轴对称图形的个数是（A） 131 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2.轴对称变换及用坐标表示轴对称 ［关于坐标轴对称］ 点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y） 点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x，y） 例 2 已知：△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）把△ABC 向下平移 2 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2，并写出 A2 的坐标. 【解】答案如图所示. 3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点. （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 例 3 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D 为 AB 中点，P 为 BC 上一动点， 连接 AP，DP，则 AP+DP 的最小值是 8 . 4.线段垂直平分线的性质 例 4 如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥BC，E 是 BC 的中点，求 ∠C 的度数. 【解】在△ABC 中，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE⊥BC，而 E 是 BC 的中点，∴BE=CE， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠C， 132 ∴∠ABD=∠CBD=∠C， ∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°. 5.等腰三角形的特征和识别 例 5 已知：如图，△ABC 中，∠ACB 为锐角且平分线交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F， 交∠ACB 的外角平分线于点 G.试判断△EFC 的形状，并说明你的理由. 【解】△EFC 为等腰三角形， 证明：∵CE 平分∠ACB， ∴∠BCE=∠ACE， ∵EF∥BC， ∴∠FEC=∠BCE， ∠FEC=∠ACE(等量代换)， ∴△EFC 为等腰三角形 6.等边三角形的特征和识别 例 6：如图，D，E，F 分别是等边△ABC 各边上的点，FE⊥BC，DF⊥AC，ED⊥AB，垂足 分别为点 E，F，D，求证：△DEF 为等边三角形. 【解】∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA=90°， ∴∠ADF=30°， ∵ED⊥AB， ∴∠BDE=90°， ∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°. 同理可得：∠DFE=60°，∠DEF=60°， ∴△DEF 为等边三角形. 例 7：如图，已知：在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E， 交 BC 于点 F.求证：CF=2BF. 【解】如图，连接 AF， ∵AB=AC，∠BAC=120°， 133 ∴∠B=∠C=30°， ∵EF 垂直平分 AB， ∴BF=AF， ∴∠B=∠FAB=30°， ∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°， ∴CF=2AF， ∴CF=2BF. 【教学说明】增加例题，巩固所学知识. 三、知识巩固，变式训练 1.以下图形有两条对称轴的是（ ） A.正六边形 B.长方形 C.等腰三角形 D.圆 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠A 为______. 3.等腰三角形的两边长分别为 3cm，7cm，则它的周长为______cm. 4.如图，在△ABC 中，DE 是边 AC 的垂直平分线，若 BC=8cm，AB=10cm，则△EBC 的周长 为______cm（学生可以合作讨论，互帮互学） 5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 为（ ） A.50° B.90° C.100° D.110° 第 5 题图 第 6 题图 6.如图所示，是三个村庄，现要修建一个自来水厂，使得自来水厂到三个村庄的距离相 等，请你作出自来水厂的位置 7.如图，在直线上求作一点 H，使点 H 到点 A 和点 B 的距离相等. 8.四边形 ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形，求∠BPC 的度数. 134 【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B 6.提示：连接 AB，AC，BC，再分别作线段 AB，AC，BC 的垂直平分线，它们的交点即为 自来水厂的位置. 7.略. 8.解：①若 P 点在正方形 ABCD 外部，如图（1）所示， ∵△PAD 为等边三角形， ∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=AD=BC=CD， ∴PA=BA，则△PAB 为等腰三角形， ∴∠PBA=∠APB. 又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°， ∴∠PBA=∠APB=15°， 同理可得∠CPD=15°， ∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD， ∴∠BPC=30°. ②若点 P 在正方形 ABCD 内部，如图（2）所示， ∵△PAD 为等边三角形 ∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°， ∴∠BAP=30°，PA=BA， ∴△ABP 为等腰三角形. ∴∠ABP=∠APB=75°， ∴∠PBC=15°. 同理可得：∠PCB=15°， ∴∠BPC=150°. 四、师生互动，课堂小结 1.关于轴对称的点，线段，图形的性质与作法. 2.角平分线的性质. 3.垂直平分线的性质. 4.等腰三角形的性质与应用. 5.等边三角形的性质与应用. 135 1.课本第 149~150 页 A 组复习题第 4、5、6、7、8、9 题. 2.完成练习册中相关复习课的练习. 本节设计了“知识框图，整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动， 课堂小结”四个环节，使学生理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质；掌握线 段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解 等边三角形的性质并能够简单应用，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案，数 形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.