人教版初中数学八年级下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理 30页

17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 勾股定理 学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点） 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等. 导入新课 情景引入 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾 股定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么 他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文 化的民族和国家都对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧： 讲授新课 勾股定理的认识及验证一 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）： A B C 问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？ A B CS S S 正方形 正方形 正方形 A B C 一直角边 2 另一直角边2 斜边 2 + = 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？ 问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)： 这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？ 方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）： C 15 5 4 2 3 132S           C 17 7 4 4 3 252S           左图： 右图： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）： C 14 2 3 1 1 132S           C 14 4 3 1 1 252S           左图： 右图： 你还有其他 办法求C的 面积吗？ 根据前面求出的C的面积直接填出下表： A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？ 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b， 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于 斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. ab b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧. a bc ∵S大正方形＝c2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小 正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.  22 2 214 .2c ab b a a b       证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S 小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 1 2 a a b b c c 1 ( )( ),2S a b a b   梯形证明： 21 1 1 ,2 2 2S ab ab c  梯形 ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理. a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. u公式变形： 2 2 2 2 2 2 - - , a c b b c a c a b     , u勾股定理 a b c 归纳总结 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角 边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2+股2=弦2 小贴士 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得 2 2 2 25 5 50 5 2;c a b      (2)据勾股定理得 2 2 2 22 1 3.b c a     利用勾股定理进行计算二 C A B （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. 解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52，解得 5x  ， 5 .a  (2) 30 , 15 ,A b    2 .c a  因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，解得 5 3 .x  5 3 10 3 .a c  ， 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解. 归纳 【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的 长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图 ， 当BC为斜边时，如图 ， 4 3A C B 4 3 C A B 2 24 3 7;BC    2 24 3 5.BC    图 图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. 归纳 例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D BC 3 4 1 2 1 212 5 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角 边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联 合使用． 归纳 练一练 求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15. 解：由勾股定理可得 y2+ 144=169， 解得 y=5 当堂练习 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 3.在△ABC中，∠C=90°. （1）若a=15，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= . 4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长 的平方为_________. 17 5 74或24 5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积. 解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm， 直角三角形的面积是 (cm2). 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°， AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．2 3 3  3 3 2 解：∵AE＝BE， ∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵AE2＋BE2＝AB2， ∴2AE2＝AB2， ∴S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2， ∴阴影部分的面积为 AB2＝ . 7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直 角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积. 1 2 1 2 1 4 9 4 1 4 1 4 1 2 9 2 能力提升： 课堂小结 勾股定理 内 容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b 为直角边，c为斜边，则有 a2+b2=c2. 注 意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论