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- 2021-11-01 发布
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第十九章 一次函数
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义,并根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会画一次函数图象,根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。
3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点,初步体会数形结合思想,并能运用数形结合的方法解决有关实际问题,并尝试用函数的方法描述有关实际问题,对变量的变化规律进行初步预测。
一、本章知识梳理
1.一般的若(,是常数,且),那么叫做的一次函数,
当b=0时,一次函数y=kx也叫正比例函数。
2. 正比例函数()是一次函数的特殊形式,当x=0时,y=0,故正比例函数图像过原点(0,0).
3. 一次函数的图像和性质:
一次
函数
()
,
符号[来源:学,科,网]
[来源:Zxxk.Com]
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
说明:(1)与坐标轴交点(0,b)和(-,0), b的几何意义:_____________________
(2)增减性: k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(3)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴。
(4)图像的平移: 当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的图像;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位可得y=kx+b的图像.
4.直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2y1与y2相交;
②y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③y1与y2平行;
④y1与y2重合.
5.一次函数解析式的确定,主要有三种方法:
(1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。
二、典例精析
题型一:一次函数的概念
例1.已知函数y=(m-2)+3,当m为何值时,y是x的一次函数?
解析:根据一次函数的定义,x的次数必须为1,系数不为0,即可求出m的值。
[来源:Zxxk.Com]
练习:1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数,求m的范围。
2.已知函数y=(k-1)x+k-1,当k____________时,它是一次函数,当k__________时,它是正比例函数。
答案:1.m≠1 2. ≠1, -1
题型二:一次函数的图像与性质
例2.对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论错误的是( )
A. 函数值随自变量的增大而减小
B. 函数的图象不经过第三象限
C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D. 函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
解析:这是探究型题目,考查一次函数的性质;一次函数图象与几何变换。
分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可.
答:选D
A.∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2<0,∴函数值随x的增大而减小,故本选项正确;
B.∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2<0,b=4>0,∴此函数的图象经过一.二.四象限,不经过第三象限,故本选项正确;
C.由“上加下减”的原则可知,函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象,故本选项正确;
D.∵令y=0,则x=2,∴函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0),故本选项错误.
练习:1.如图,两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是( )
2.一次函数y=kx+2经过点(1,1),那么这个一次函数( )B
(A)y随x的增大而增大 (B)y随x的增大而减小
(C)图像经过原点 (D)图像不经过第二象限
3.如果,,则直线不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题型三:一次函数解析式和图象的确定
例3.直线与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式。
分析:确定一次函数解析式问题,用待定系数法,同时要寻求隐含条件,从而确定k和b的值。
解 ∵点B到x轴的距离为2, ∴点B的坐标为(0,±2),
设直线的解析式为y=kx±2,
∵直线过点A(-4,0), ∴0=-4k±2,
解得:k=±, ∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.
例4.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
答:选C.
练习:
1. 如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
分析:
待定系数法求一次函数解析式。本题考查了待定系数法求函数解析式,解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征,还要熟悉三角形的面积公式
解答:
解:(1)直线AB的解析式为y=2x﹣2.
(2)点C的坐标是(2,2).
2.周一的升旗仪式上,同学们看到匀速上升的旗子,能反应其高度与时间关系的图象大致是( D )
A.
B.
C.
D.
[来源:Z#xx#k.Com]
分析:本题是一次函数的应用题,考查了函数图象,根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系,并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键.
题型四:一次函数的实际应用
例5.随着人们生活水平的提高,轿车已进入平常百姓家,我市家庭轿车的拥有量也逐年增加.某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车.两种轿车的进价和售价如下表:
类别
甲
乙
进价(万元/台)[来源:Zxxk.Com]
10.5
6
售价(万元/台)
11.2
6.8
(1)请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案?
(2)如果按表中售价全部卖出,哪种进货方案获利最多?并求出最大利润.
(注:其他费用不计,利润=售价﹣进价)
考点:一次函数的应用;一元一次不等式组的应用。
分析:(1)设购进甲款轿车x辆,则购进乙款轿车(30﹣x)辆,根据:用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车,列不等式组,求x的取值范围,再求正整数x的值,确定方案;
(2)根据:利润=(售价﹣进价)×辆数,总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润,列出函数关系式,根据x的取值范围求最大利润.
解:(1)设购进甲款轿车x辆,则购进乙款轿车(30﹣x)辆,依题意,得
228≤10.5x+6(30﹣x)≤240,
解得10≤x≤13,∴整数x=11,12,13,
有三种进货方案:购进甲款轿车11辆,购进乙款轿车19辆;
购进甲款轿车12辆,购进乙款轿车18辆;
购进甲款轿车13辆,购进乙款轿车17辆.
(2)设总利润为W(万元),则W=(11.2﹣10.5)x+(6.8﹣6)(30﹣x)=﹣0.1x+24,
∵﹣0.1<0,W随x的减小而增大,
∴当x=11时,即购进甲款轿车11辆,购进乙款轿车19辆,利润最大,
最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元.
点评:本题考查了一次函数的应用.关键是明确进价,售价,购进费用,销售利润之间的关系,利用一次函数的增减性求解.
三.师生小结
1.熟悉一次函数的一般形式,会判断一次函数。
2.一次函数的图像和性质是中考重点。
3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:一设、二列、三解、四还原。
4.会简单的一次函数应用题:(1)建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用。
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