八上时 一次函数应用二 4页

‎§11．2．2 专题: 一次函数应用(二)‎ 教学目标 ‎ 利用一次函数知识解决相关实际问题．‎ 教学重点 ‎ 灵活运用知识解决相关问题．‎ 教学难点 ‎ 灵活运用有关知识解决相关问题．‎ 教学过程 ‎ I提出问题，创设情境 ‎ 我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.‎ II导入新课 下面我们来学习一次函数的应用．‎ ‎ 例1 小芳以‎200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度‎20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．‎ ‎ 分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．‎ 解：y=‎ ‎ 我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．‎ ‎ 例2 Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、‎ Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？‎ ‎ 思考方法：从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．‎ ‎ 通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：‎ ‎ 若设Ａ──Ｃx吨，则：‎ ‎ 由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．‎ ‎ 由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．‎ ‎ 由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．‎ ‎ 那么，各运输费用为：‎ ‎ Ａ──Ｃ 20x ‎ Ａ──Ｄ 25（200-x）‎ ‎ Ｂ──Ｃ 15（240-x）‎ Ｂ──Ｄ 24（60+x）‎ ‎ 若总运输费用为y的话，y与x关系为：‎ ‎ y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．‎ ‎ 化简得：y=40x+10040 （0≤x≤200）．‎ ‎ 由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．‎ ‎ 因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．‎ ‎ 若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？‎ ‎ 解题方法与思路不变，只是过程有所不同：‎ ‎ Ａ──Ｃ x吨 Ａ──Ｄ 300-x吨 ‎ Ｂ──Ｃ 240-x吨 Ｂ──Ｄ x-40吨 ‎ 反映总运费y与x的函数关系式为：‎ ‎ y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．‎ ‎ 化简：y=4x+10140 （40≤x≤300）．‎ ‎ 由解析式可知： 当x=40时 y值最小为：y=4×40+10140=10300‎ ‎ 因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．‎ ‎ 如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？‎ ‎ 由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．‎ ‎ 解后小结:‎ ‎ 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．‎ ‎ 在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．‎ ‎ Ⅲ 课堂练习 ‎ 从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．‎ ‎ 解答：设总调运量为y万吨·千米，Ａ水库调往甲地水x万吨，则调往乙地（14-x）万吨，Ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．‎ ‎ 由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：‎ ‎ y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）．‎ ‎ 化简得：y=5x+1275 （1≤x≤14）．‎ ‎ 由解析式可知：当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．‎ ‎ 因此从Ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地13万吨水；从Ｂ水库调往甲地14万吨水，调往乙地0万吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨·千米．‎ ‎ Ⅳ．课堂小结 ‎ 本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．‎ ‎ Ⅴ．课后作业 1、 习题11．2─7、9、11、12题．‎ 2、 ‎《课堂感悟与探究》‎