人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解运用完全平方公式因式分解教学课件 25页

第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版 八年级数学上册 运用完全平方公式因式分解 导入新课 复习引入 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用完全平方公式分解因式一 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b aba² b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2 （a+b）2 = b a² ab ab b² （a+b）2 a2+2ab+b2= 将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全 平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 22 2 baba 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2ab +b2± =(a ± b)²a2 首2 +尾2±2× 首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数 的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2 a a 2b a + 2b2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： m m - 33 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为________. 解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8. ±8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2ab +b2a2 (2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一 步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差 式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法. 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 针对训练 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 有公因式要先 提公因式 要检查每一个多项 式的因式，看能否 继续分解． 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公 式分解因式，可以简 化计算， =1. ＝2500. 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1 的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题． 例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， 当堂练习 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的 值为___________ ．±4 5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2; (2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2; 解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2; (3)原式=(y+1)² －x² =(y+1+x)(y+1－x). 2(2014 2013)  1. 2 2(2014) 2 2014 2013 (2013)    (2)原式 2 2(2)2014 2014 4026 2013 .   6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解：(1)原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x2－2x＋3.1 3 (2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 1 3 1 3 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 小聪: 小明: × × 8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 　当ab＝2，a＋b＝5时，