八年级上数学课件人教版八年级上册13-3等腰三角形的性质课件（共54张ppt）_人教新课标 54页

13.3  等腰三角形的性质 生活中的等腰三角形 生活中的等腰三角形 为什么是水平的 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系 一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房 梁是水平的，你知道为什么吗？ 有两边相等的三角形是等腰三角形 知识回顾 相等的两边叫做腰，另一边叫做底边 腰 腰 底边 两腰的夹角叫做顶角 顶角 腰与底边的的夹角叫做底角 底角 知识回顾 1．等腰三角形一腰为3cm，底为4cm，则它的周长是 _______； 2．等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长 是 _______________； 3．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周 长是_______________． 10cm 10cm或11cm 19cm 动手操作 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折， 再把它展开，得 到的△ABC 有什么特点？ ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 把三角形沿着折痕折叠，你能找到重合的线段和角吗？ 思考 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∠BAD=∠CAD 猜一猜，除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质呢？ 猜想与证明 等腰三角形的两个底角相等怎么证明呢？ 先变成符号形式 已知：△ABC 中，AB=AC． 求证：∠B=∠C． 如何证明两个角相等呢？ 可以证明三角形全等 如何构造全等三角形呢？ AD是中线or高or角平分线？ 证法一：作底边上的中线 已知：△ABC 中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 证明：作底边的中线AD，则BD=CD 在△BAD和△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边)  ∴ △BAD ≌ △CAD(SSS) ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等) D 证法二：作顶角的平分线 已知：△ABC 中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD 在△BAD和△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) ∠BAD=∠CAD ( 已作 ) AD=AD (公共边)  ∴ △BAD ≌ △CAD(SAS) ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等) D 证法三：作底边的高线 已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 证明：作底边的高线AD，则∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD(HL) ∴ ∠ B= ∠C(全等三角形的对应角相等) D 归纳总结 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角相等 这个性质在证明中怎么写过程呢？ 在△ABC 中，  ∵ AC =AB（ 已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角） 简称为“等边对等角” 思考 通过刚才的证明，除了能得到∠B=∠C，你还能发现什么？ 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∠BAD=∠CAD AD同时是底边BC上的中线，高和角平分线． 猜想 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． 如何把这个命题转化为符号形式呢？ 得写三个 （1）如图，∠1＝∠2，AB＝AC．              求证：AD⊥BC，BD＝CD． （2）如图，BD＝CD，AB＝AC．              求证：AD⊥BC，∠1＝∠2． （3）如图，AD⊥BC，AB＝AC． 　　  求证：BD＝CD，∠1＝∠2． 证明 （3）如图，AD⊥BC，AB＝AC． 　　  求证：BD＝CD，∠1＝∠2． 证明：在△ABD 和△ACD中 AB＝AC ∠1＝∠2 AD＝AD ∴△ABD ≌△ACD（SAS） ∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD 又∵∠ADB＋∠ADC＝180° ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC 证明 （2）如图，BD＝CD，AB＝AC．             求证：AD⊥BC，∠1＝∠2． 证明：在△ABD 和△ACD 中 AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS） ∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2 又∵∠ADB＋∠ADC＝180° ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC 证明 （3）如图，AD⊥BC，AB＝AC． 　　  求证：BD＝CD，∠1＝∠2． 证明：在Rt△ABD 和Rt△ACD中 AB＝AC AD＝AD ∴Rt△ABD ≌Rt△ACD（HL） ∴BD＝CD，∠1＝∠2 归纳总结 等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． 简称为“三线合一” 这“三线”所在的直线 也是等腰三角形的对称 轴 注意事项 作出等腰三角形腰上的中线，角平分线，高 它们重合吗？ 显然不重合 三线合一指的是底边上 的三线合一腰的三线不一定合一 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． “三线合一”有三种解读方式 等腰三角形的顶角平分线， 既是底边上的中线，又是底边上的高． 应用的时候怎么写过程呢？ ∵AB＝AC，∠1＝∠2 ∴BD＝CD， AD⊥BC 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． “三线合一”有三种解读方式 方式二： 等腰三角形的底边上的中线， 既是顶角平分线，又是底边上的高． 应用的时候怎么写过程呢？ ∵AB＝AC， BD＝CD ∴∠1＝∠2， AD⊥BC 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． “三线合一”有三种解读方式 方式三： 等腰三角形的底边上的高， 既是顶角平分线，又是底边上的中线． 应用的时候怎么写过程呢？ ∵AB＝AC， AD⊥BC ∴∠1＝∠2，BD＝CD 例题 如图，△ABC 中, AB =AC，∠A =36°, 则∠B =________． 答案：72°． 例题 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求△ABC各角的度数． 技巧：看到等腰，就把等角标出来． 练习 如图，△ABC 中, AB =AC， ∠B =36°，则∠A =______． 答案：72°． 练习 判断： 1．等腰三角形的顶角一定是锐角． 2．等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以． 3．等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边． 4．等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合． 5．等腰三角形底边上的中线一定平分顶角． 练习 已知：如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长 CB 至  D，使BD=BA，延长 BC 至 E，使 CE = CA . 连结 AD、AE . 求 ∠D、∠E、∠DAE 的度数． 答案：115°． 练习 在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=28° ，求∠B和∠C 的度数． 答案：76°或38°． 练习 如图，在△ABC 中，D为AB上的一点，E为BC上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠A=50° ，则∠CDE 的度数为 _______． 答案：52.5°． 练习 答案：20°． 如图，AB=AC，∠BAC=100°，若MP,NQ 分别垂直平分AB， AC，则∠PAQ 的度数为           ． 等边对等角多解问题 已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的另外两个内角的 度数分别是_________． 提示：要分类讨论． 答案：70°，40°或55°，55°． 等边对等角多解问题 等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为________． 答案：35°，35°． 怎么解“等边对等角多解问题”？ 等边对等角多解问题 为什么是水平的 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系 一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房 梁是水平的，你知道为什么吗？ 由“三线合一”可知绳子一 定会垂直房梁，而绳子肯定 是竖直的，所以房梁是水平 的． 例题 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º,，过屋顶A的立 柱AD⊥BC ，屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD 的度数． 答案：40°，40°，50°，50°． 练习 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC 边上的中点，∠B=30°， 求∠１和∠ADC 的度数． 提示：60°，90°． 练习 如图，已知在△ABC 中，AB=AC，点D是BC 的中点， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF． 提示：AD是角平分线． 练习 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，BE ⊥  AC 于点 E．求证：∠CBE = ∠BAD． 提示：先把图中相等和互余的角标记出来． 练习 已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF， 则下列说法正确的有（   ）个 （1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）DE⊥AB． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 练习 1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数． 练习 2．如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC，∠BAC  =90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B，∠C，∠BAD， ∠DAC 的度数，并写出图中所有相等的线段 ． 练习 3．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=26°．求∠B 和 ∠C 的度数． 与等腰三角形有关的证明 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AD = AE，AB = AC， 求证：BD = EC． 提示：证明△ABD ≌△AEC 或作BC 的中线． 与等腰三角形有关的证明 如图：△ABC中，AB=AC，AD 和BE是高，它们相交于点H， 且AE=BE．求证：AH=2BD． 提示：证明△AHE ≌△CBE． 与等腰三角形有关的证明 如图，已知△ABC 中，AB＝AC，F 在AC上，在BA的延长线 上截取AE＝AF．求证：ED⊥BC． 提示：想想图中两个等腰三角形的顶角有什么 关系，底角有什么关系． 大边对大角 已知：△ABC 中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B． 提示：构造等腰． 顶角的外角与底角的关系 如图，C，E 和 B，D，F  分别在∠GAH 的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是 __________． 答案：90°． 顶角的外角与底角的关系 如图，在第1个            中，∠B=20°，AB=       ，在        上取 一点C，延长                                                   在        上取一点D， 延长                                         ... ，...，按此作法进行下去，第n 个 三角形的以      为顶点的内角的度数为            ． 顶角差与底角差的关系 如图，已知AB = AC，AD = AE，∠BAD和∠CDE有什么关系？ 提示：试一试“设而不求”的技巧． 答案：∠BAD=2∠CDE． 总结 这节课我们学到了什么？ 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角相等 简称为“等边对等角” 总结 这节课我们还学到了什么？ 等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高相互重合． 简称为“三线合一” 这“三线”所在的直线 也是等腰三角形的对称 轴 怎么证明“等边对等角”？ 怎么利用“等边对等角”的性质求角度． 等边对等角 怎么证明“三线合一”？ 怎么利用“三线合一”的性质求角度． 等腰三角形三线合一