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  • 2021-11-01 发布

八年级上数学课件人教版八年级上册13-3等腰三角形的性质课件(共54张ppt)_人教新课标

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13.3  等腰三角形的性质 生活中的等腰三角形 生活中的等腰三角形 为什么是水平的 建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,从顶点系 一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点,就说房 梁是水平的,你知道为什么吗? 有两边相等的三角形是等腰三角形 知识回顾 相等的两边叫做腰,另一边叫做底边 腰 腰 底边 两腰的夹角叫做顶角 顶角 腰与底边的的夹角叫做底角 底角 知识回顾 1.等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 _______; 2.等腰三角形一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长 是 _______________; 3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周 长是_______________. 10cm 10cm或11cm 19cm 动手操作 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 再把它展开,得 到的△ABC 有什么特点? ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 把三角形沿着折痕折叠,你能找到重合的线段和角吗? 思考 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∠BAD=∠CAD 猜一猜,除了两腰相等,等腰三角形还有什么性质呢? 猜想与证明 等腰三角形的两个底角相等怎么证明呢? 先变成符号形式 已知:△ABC 中,AB=AC. 求证:∠B=∠C. 如何证明两个角相等呢? 可以证明三角形全等 如何构造全等三角形呢? AD是中线or高or角平分线? 证法一:作底边上的中线 已知:△ABC 中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明:作底边的中线AD,则BD=CD 在△BAD和△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边)  ∴ △BAD ≌ △CAD(SSS) ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等) D 证法二:作顶角的平分线 已知:△ABC 中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明:作顶角的平分线AD,则∠BAD=∠CAD 在△BAD和△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) ∠BAD=∠CAD ( 已作 ) AD=AD (公共边)  ∴ △BAD ≌ △CAD(SAS) ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等) D 证法三:作底边的高线 已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明:作底边的高线AD,则∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中 AB=AC  ( 已知 ) AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD(HL) ∴ ∠ B= ∠C(全等三角形的对应角相等) D 归纳总结 等腰三角形的性质1: 等腰三角形的两个底角相等 这个性质在证明中怎么写过程呢? 在△ABC 中,  ∵ AC =AB( 已知) ∴ ∠B=∠C (等边对等角) 简称为“等边对等角” 思考 通过刚才的证明,除了能得到∠B=∠C,你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∠BAD=∠CAD AD同时是底边BC上的中线,高和角平分线. 猜想 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合. 如何把这个命题转化为符号形式呢? 得写三个 (1)如图,∠1=∠2,AB=AC.              求证:AD⊥BC,BD=CD. (2)如图,BD=CD,AB=AC.              求证:AD⊥BC,∠1=∠2. (3)如图,AD⊥BC,AB=AC.     求证:BD=CD,∠1=∠2. 证明 (3)如图,AD⊥BC,AB=AC.     求证:BD=CD,∠1=∠2. 证明:在△ABD 和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴△ABD ≌△ACD(SAS) ∴∠ADB=∠ADC,BD=CD 又∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC 证明 (2)如图,BD=CD,AB=AC.             求证:AD⊥BC,∠1=∠2. 证明:在△ABD 和△ACD 中 AB=AC BD=CD AD=AD ∴△ABD ≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC,∠1=∠2 又∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC 证明 (3)如图,AD⊥BC,AB=AC.     求证:BD=CD,∠1=∠2. 证明:在Rt△ABD 和Rt△ACD中 AB=AC AD=AD ∴Rt△ABD ≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD,∠1=∠2 归纳总结 等腰三角形的性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合. 简称为“三线合一” 这“三线”所在的直线 也是等腰三角形的对称 轴 注意事项 作出等腰三角形腰上的中线,角平分线,高 它们重合吗? 显然不重合 三线合一指的是底边上 的三线合一腰的三线不一定合一 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合. “三线合一”有三种解读方式 等腰三角形的顶角平分线, 既是底边上的中线,又是底边上的高. 应用的时候怎么写过程呢? ∵AB=AC,∠1=∠2 ∴BD=CD, AD⊥BC 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合. “三线合一”有三种解读方式 方式二: 等腰三角形的底边上的中线, 既是顶角平分线,又是底边上的高. 应用的时候怎么写过程呢? ∵AB=AC, BD=CD ∴∠1=∠2, AD⊥BC 书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合. “三线合一”有三种解读方式 方式三: 等腰三角形的底边上的高, 既是顶角平分线,又是底边上的中线. 应用的时候怎么写过程呢? ∵AB=AC, AD⊥BC ∴∠1=∠2,BD=CD 例题 如图,△ABC 中, AB =AC,∠A =36°, 则∠B =________. 答案:72°. 例题 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数. 技巧:看到等腰,就把等角标出来. 练习 如图,△ABC 中, AB =AC, ∠B =36°,则∠A =______. 答案:72°. 练习 判断: 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. 3.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 4.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 5.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. 练习 已知:如图,△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长 CB 至  D,使BD=BA,延长 BC 至 E,使 CE = CA . 连结 AD、AE . 求 ∠D、∠E、∠DAE 的度数. 答案:115°. 练习 在△ABC 中,AB=AD=DC,∠BAD=28° ,求∠B和∠C 的度数. 答案:76°或38°. 练习 如图,在△ABC 中,D为AB上的一点,E为BC上一点,且 AC=CD=BD=BE,∠A=50° ,则∠CDE 的度数为 _______. 答案:52.5°. 练习 答案:20°. 如图,AB=AC,∠BAC=100°,若MP,NQ 分别垂直平分AB, AC,则∠PAQ 的度数为           . 等边对等角多解问题 已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的 度数分别是_________. 提示:要分类讨论. 答案:70°,40°或55°,55°. 等边对等角多解问题 等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________. 答案:35°,35°. 怎么解“等边对等角多解问题”? 等边对等角多解问题 为什么是水平的 建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,从顶点系 一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点,就说房 梁是水平的,你知道为什么吗? 由“三线合一”可知绳子一 定会垂直房梁,而绳子肯定 是竖直的,所以房梁是水平 的. 例题 已知:如图,房屋的顶角∠BAC=100 º,,过屋顶A的立 柱AD⊥BC ,屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD 的度数. 答案:40°,40°,50°,50°. 练习 如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC 边上的中点,∠B=30°, 求∠1和∠ADC 的度数. 提示:60°,90°. 练习 如图,已知在△ABC 中,AB=AC,点D是BC 的中点, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:DE=DF. 提示:AD是角平分线. 练习 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 是 BC 边上的中线,BE ⊥  AC 于点 E.求证:∠CBE = ∠BAD. 提示:先把图中相等和互余的角标记出来. 练习 已知,如图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF, 则下列说法正确的有(   )个 (1)AD平分∠EDF; (2)△EBD≌△FCD; (3)BD=CD; (4)DE⊥AB. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 练习 1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数. 练习 2.如图,△ABC 是等腰直角三角形(AB =AC,∠BAC  =90°),AD 是底边BC 上的高,标出∠B,∠C,∠BAD, ∠DAC 的度数,并写出图中所有相等的线段 . 练习 3.如图,在△ABC 中,AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B 和 ∠C 的度数. 与等腰三角形有关的证明 如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AD = AE,AB = AC, 求证:BD = EC. 提示:证明△ABD ≌△AEC 或作BC 的中线. 与等腰三角形有关的证明 如图:△ABC中,AB=AC,AD 和BE是高,它们相交于点H, 且AE=BE.求证:AH=2BD. 提示:证明△AHE ≌△CBE. 与等腰三角形有关的证明 如图,已知△ABC 中,AB=AC,F 在AC上,在BA的延长线 上截取AE=AF.求证:ED⊥BC. 提示:想想图中两个等腰三角形的顶角有什么 关系,底角有什么关系. 大边对大角 已知:△ABC 中,AB>AC,求证:∠C>∠B. 提示:构造等腰. 顶角的外角与底角的关系 如图,C,E 和 B,D,F  分别在∠GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,则∠GEF 的度数是 __________. 答案:90°. 顶角的外角与底角的关系 如图,在第1个            中,∠B=20°,AB=       ,在        上取 一点C,延长                                                   在        上取一点D, 延长                                         ... ,...,按此作法进行下去,第n 个 三角形的以      为顶点的内角的度数为            . 顶角差与底角差的关系 如图,已知AB = AC,AD = AE,∠BAD和∠CDE有什么关系? 提示:试一试“设而不求”的技巧. 答案:∠BAD=2∠CDE. 总结 这节课我们学到了什么? 等腰三角形的性质1: 等腰三角形的两个底角相等 简称为“等边对等角” 总结 这节课我们还学到了什么? 等腰三角形的性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高相互重合. 简称为“三线合一” 这“三线”所在的直线 也是等腰三角形的对称 轴 怎么证明“等边对等角”? 怎么利用“等边对等角”的性质求角度. 等边对等角 怎么证明“三线合一”? 怎么利用“三线合一”的性质求角度. 等腰三角形三线合一