八年级上数学课件八年级上册数学课件《角的平分线的性质》 人教新课标 (5)_人教新课标 30页

12.3角平分线的性质 2. 叫做全等三角形。 互相重合的角叫做＿＿＿ 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形 4.全等三角形的 和 相等对应边 对应角 对应顶点 知识回顾 能够重合的两个三角形 3.“全等”用符号“ ”来表示，读作 对应边 对应角 5.书写全等式时要求 全等于≌ 字母位置对应 知识回顾： 三角形 全等的条件： 1）定义（重合）法； SSS； SAS； ASA； AAS. 2）解题 中常用的 4种方法 3）HL 直角三角形全等用 复习提问 1、角平分线的概念 o B C A 1 2 下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 思考： 复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 P A BO 我的长度 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗? 经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的 方法吗？小组内互相交流一下吧！ 探究1---想一想 证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三 角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线 的定义） 尺规作角的平分线 画法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 为什么OC是角平分线呢？ 想一想： 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。 AB O C D 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)结论:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 D P E A O B C 证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。 角平分线上的点到角的两边的距离相等 你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？ 说一说 A O B P E D 用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边 的距离相等) 推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。 角平分线的性质 B AD O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。 A D C B BD CD （×） 2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。 A D C B BD CD （×） 3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已 知） ∴ = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。 A D C B√ 不必再证全等 4、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， 又 ________________ ∴PD=PE ( ) PD⊥OA，PE⊥OB B O A C D P E 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 w已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线, 且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. w求证:EB=FC. B A E D C F 证明： ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90º ∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等】 又∵ 在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中 BD=CD DE=DF ∴Rt⊿BDE≌ Rt⊿CDF（HL） ∴EB =FC 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。 E DC B A 3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ A B C D E 你会吗？ 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A C D E B F 1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 A B C P MND E F 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F ∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 你能得出什么结论？ 结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与 ∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ． 求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ＥＰF G H 更上一层楼！ 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 回味无穷 w 定理（文字语言）: 角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等. w 符号语言： w ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等). w 用尺规作角的平分线. O C B 1 A 2 P D E ， 1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ A B C D E 2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm. A D O B E P C 知识应用 1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= 。 A B C D C E F 60 BF 2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的　　 　 ，AE+DE=　　　。角的平分线 6cm 练习