八年级数学上册第十三章轴对称13-3等腰三角形13-3-1第1课时等腰三角形的性质教学课件新版 人教版 32页

13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 第 1 课时 等腰三角形的性质 学习目标 1. 理解并掌握 等腰三角形的性质 .( 重点 ) 2. 经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题 .( 难点 ) 导入新课 等腰三角形 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形 . 等腰三角形中，相等的两边叫做 腰 ，另一边叫做 底边 ，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰和底边的夹角叫做 底角 . A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 讲授新课 等腰三角形的性质 1 一 剪一剪： 把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形 ABC 有 什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折： △ ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕 所在的直线 是它的对称轴 . 等腰三角形是轴对称图形 . 找一找： 把剪出的 等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角 . 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠ B 与 ∠ C . ∠ BAD 与 ∠ CAD ∠ADB 与 ∠ ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想 . 性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （ 等边对等角 ） . A B C D 猜想与验证 已知： △ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B =∠ C . 证法 1 ： 作底边 BC 边上的中线 AD . 在 △ ABD 与 △ ACD 中： AB = AC （已知）， BD = DC （作图）， AD = AD （公共边）， ∴△ ABD ≌ △ ACD （ SSS ） . ∴∠ B =∠ C （全等三角形对应角相等） . 应用格式： ∵ AB = AC （已知） ∴∠ B =∠ C （等边对等角） 证法 2 ：作顶角 ∠ BAC 的平分线 AD ， 交 BC 于点 D . ∵ AD 平分 ∠ BAC ， ∴∠1 ＝∠ 2. 在 △ ABD 与 △ ACD 中， AB ＝ AC （ 已知 ）， ∠ 1 ＝∠ 2 （ 已证）， AD ＝ AD （ 公共边 ）， ∴ △ ABD ≌ △ ACD （ SAS ）， ∴ ∠ B ＝∠ C. A B C D ( ( 1 2 证法 3 ： 证明：作底边 BC 的高 AD ， 交 BC 于点 D . ∵ AD ⊥ BC ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ ADC ＝ 90°. 在 Rt△ ABD 与 Rt△ ACD 中， AB ＝ AC （ 已知 ）， AD ＝ AD （ 公共边 ）， ∴ Rt△ ABD ≌ Rt△ ACD （ HL ）， ∴ ∠ B ＝∠ C . A B C D A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2x 例 1 如图，在 △ ABC 中 ， AB = AC ， 点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD ， 求 △ ABC 各角的度数 . 典例精析 解析： （ 1 ） 观察 ∠ BDC 与 ∠ A 、∠ ABD 的关系 ，∠ BDC 与 ∠ C 、∠ ABC 呢？ ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 ∠ A , ∠ ABC = ∠ C = ∠ BDC =2 ∠ A . （ 2 ） 设 ∠ A = x , 请把 △ ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来 . ∵ ∠ A + ∠ ABC + ∠ C =180 ° ∴ x +2 x +2 x =180 °, A B C D 解： ∵ AB=AC ， BD=BC=AD ， ∴∠ ABC=∠C=∠BDC ， ∠ A=∠ABD . 设 ∠ A = x , 则 ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 x , 从而 ∠ ABC = ∠ C = ∠ BDC =2 x , 于是在 △ ABC 中 ， 有 ∠ A +∠ ABC +∠ C = x +2 x +2 x =180 ° ， 解得 x =36 ° . ∴∠ A =36° ，∠ ABC =∠ C =72°. x ⌒ 2x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2x 方法总结： 利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x . 如图，在△ ABC 中， AB=AD=DC ，∠ BAD=26° ，求∠ B 和∠ C 的度数 . 解：∵ AB=AD=DC ∴ ∠ B= ∠ ADB ，∠ C= ∠ DAC 设 ∠ C= x ，则 ∠ DAC= x ， ∠ B= ∠ ADB= ∠ C+ ∠ DAC=2 x ， 在△ ABC 中， 根据三角形内角和定理，得 2 x + x +26 ° + x =180 °， 解得 x =38.5 ° . ∴ ∠ C= x =38.5° ， ∠ B=2 x =77°. 针对训练： 例 2 等腰三角形的一个内角是 50 ° ，则这个三角形的底角的大小是 ( 　　 ) A ． 65 ° 或 50 ° B ． 80 ° 或 40 ° C ． 65 ° 或 80 ° D ． 50 ° 或 80 ° 解析：当 50 °的角是底角时，三角形的底角就是 50 °；当 50 °的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65 ° . 故选 A. A 方法总结： 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 等腰三角形的性质 2 二 建筑工人在盖房子时，用一块 等腰三角板 放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗 ? 想一想： 刚才的证明除了能得到 ∠ B ＝∠ C 你还能发现什么 ? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB ＝ AC BD ＝ CD AD ＝ AD ∠ B ＝ ∠ C ∠ BAD ＝ ∠ CAD ∠ ADB ＝∠ ADC =90° 性质 2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合 （ 通常说成等腰三角形的“三线合一” ） . A B C D ( ( 1 2 填一填 : 根据等腰三角形性质定理 2 完成下列填空 . 在 △ ABC 中 ， AB=AC 时， （ 1 ） ∵ AD ⊥ BC , ∴∠ _____ = ∠_____ ， ____= ____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____ ，∠ _____ =∠_____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____ ⊥____ ， _____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样 ? 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角 . 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以 . 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形 . 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边 . 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合 . 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角 . （ X ） （ X ） （ X ） （ X ） （ √ ） 明辨是非 （ √ ） 例 3 已知点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC . (1) 如图 ① ， 若 AD ＝ AE ，求证： BD ＝ CE ； (2) 如图 ② ，若 BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点，求证： AF ⊥ BC . 典例精析 图 ② 图 ① 证明： (1) 如图 ① ，过 A 作 AG ⊥ BC 于 G . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴ BG ＝ CG ， DG ＝ EG ， ∴ BG － DG ＝ CG － EG ， ∴ BD ＝ CE ； (2)∵ BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点， ∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF ， ∴ BF ＝ CF . ∵ AB ＝ AC ， ∴ AF ⊥ BC . 图 ② 图 ① G 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 当堂练习 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD ∥ BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1. 等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 3.(1) 等腰三角形一个底角 为 75° , 它的另外两个角为 _ ___ __ ； (2) 等腰三角形一个角为 36° , 它的另外两个角为 ____________________ ； (3) 等腰三角形一个角为 120° , 它的另外两个角为 _ ___ __ . 75°, 30° 72°,72° 或 36°,108° 30° ， 30° 4. 在△ ABC 中， AB=AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交得的锐角为 50° ，则底角的大小为 ___________ ． A B C 70° 或 20 ° 注意： 当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 . A B C 5. 如图，在 △ABC 中， AB = AC ， D 是 BC 边上的中点， ∠B = 30° ，求 ∠BAD 和 ∠ADC 的度数 . A B C D 解： ∵AB=AC ， D 是 BC 边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30° ， ∠BAD = ∠ DAC ， ∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. ∴ =60°. 6. 如图，已知 △ ABC 为等腰三角形， BD 、 CE 为底角的平分线，且 ∠ DBC ＝ ∠ F ，求证： EC∥DF . ∴∠ DBC ＝ ∠ ECB . ∵∠ DBC ＝ ∠ F ， ∴∠ ECB ＝ ∠ F ， ∴ EC∥DF . 证明： ∵△ ABC 为等腰三角形， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB . 又 ∵ BD 、 CE 为底角的平分线， ∴ 7.A 、 B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1 ，请在图中标出使以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置． A B 分别以 A 、 B 、 C 为顶角 顶点来分类讨论！ 8 个 这样分类就不会漏啦！ C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 拓展提升： 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线 , 底边上的高和中线才有这一性质 . 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 .