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- 2021-11-01 发布
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12.3
角的平分线的性质
第十二章 全等三角形
第
2
课时 角平分线的判定
学习目标
1.
理解角平分线判定定理
.(
难点)
2.
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题
.
(重点)
3.
学会判断一个点是否在一个角的平分线上
.
导入新课
复习回顾
P
到
OA
的距离
P
到
OB
的距离
角平分线上的点
几何语言描述:
∵
OC
平分
∠
AOB
,
且
PD
⊥
OA
,
PE
⊥
OB
.
∴
PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
.
1.
叙述
角平分线的性质定理
不必再证全等
O
D
P
A
C
B
E
2.
我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相等
.
那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
.
讲授新课
角平分线的判定
一
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
问题:
交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么结论,这个新结论正确吗?
角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
.
∵
OC
平分∠
AOB
,
且
PD⊥OA
,
PE⊥OB
∴
PD= PE
几何语言:
猜想
:
思考:这个结论正确吗?
已知:如图,
PD
⊥
OA
,
PE
⊥
OB
,
垂足分别是
D
、
E
,
PD=PE
.
求证:点
P
在
∠
AOB
的角平分线上
.
证明:
作射线
OP
,
∴
点
P
在
∠
AOB
角的平分线上
.
在
Rt△
PDO
和
Rt△
PEO
中
(全等三角形的对应角相等)
.
OP=OP
(公共边)
PD= PE
(已知 )
B
A
D
O
P
E
∵
PD
⊥
OA
,
PE
⊥
OB.
∴∠
PDO
=∠
PEO
=90
°
∴Rt△
PDO
≌
Rt△
PEO
(
HL
)
.
∴
∠
AOP
=∠
BOP
证明猜想
判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件:
(
1
)
位置关系:
点在角的内部
;
(
2
)
数量关系:
该点到角两边的距离相等
.
定理的作用:
判断点是否在角平分线上
.
应用格式:
∵
PD
⊥
OA,PE
⊥
OB
,
PD=PE.
∴
点
P
在
∠
AOB
的平分线上
.
知识总结
典例精析
例
1
:
如图,要在
S
区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处
500
米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为
1︰20000
)
?
D
C
S
解:作夹角的角平分线
OC
,
截取
OD
=2.5cm ,
D
即为所求
.
O
方法点拨:
根据角平分线的判定定理,要求作的点到两边的距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这条角平分线上根据要求取点
.
活动
1
分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么?
三角形的内角平分线
二
发现:三角形的三条角平分线相交于一点
活动
2
分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量,每组垂线段,你发现了什么?
发现:过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗?
已知:如图,
△
ABC
的角平分线
BM
,
CN
相交于点
P
,求证:点
P
到三边
AB
,
BC
,
CA
的距离相等
.
证明结论
证明:过点
P
作
PD
,
PE
,
PF
分别垂直于
AB
,
BC
,
CA
,垂足分别为
D
,
E
,
F
.
∵
BM
是△
ABC
的角平分线,
点
P
在
BM
上,
∴
PD=PE
.
同理
PE=PF
.
∴
PD=PE=PF
.
即点
P
到三边
AB
,
BC
,
CA
的距离相等
.
D
E
F
A
B
P
N
M
C
C
B
N
M
P
想一想:
点
P
在
∠
A
的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
点
P
在
∠
A
的平分线上
.
结论:
三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等
.
D
E
F
A
B
P
N
M
C
变式
1
:
如图,在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90
°
,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示:
不存在垂线段———构造应用
12
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解:连接OC
变式
1
:
如图,在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90
0
,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4
.
(2)若△ABC的
周长
为32,求△ABC的
面积
.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
1.
应用角平分线性质:
存在
角平分线
涉及
距离问题
2
.
联系角平分线性质:
距离
面积
周长
条件
知识与方法
例
2
如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
A
解析:
由已知,
O
到三角形三边的距离
相等,所以O是内心,即三条角平分线
的交点,AO,BO,CO都是角平分线,
所以有∠CBO= ∠ABO= ∠ABC,
∠BCO=∠ACO= ∠ACB,
∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,
∠OBC+∠OCB=70°,
∠BOC=180°-70°=110°.
由已知,
O
到三角形三边的距离相等,得O是内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数.
方法总结
归纳总结
角的平分线的
性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP
平分∠
AOB
PD⊥OA
于
D
PE⊥OB
于
E
PD=PE
OP
平分∠
AOB
PD=PE
PD⊥OA
于
D
PE⊥OB
于
E
角的平分线的
判定
当堂练习
1.
如图,某个居民小区
C
附近有三条两两相交的道路
MN
、
OA
、
OB
,
拟在
MN
上建造一个大型超市,使得它到
OA
、
OB
的距离相等,请确定该超市的位置
P
.
小区
C
P
A
O
B
M
N
2.
如图所示,已知
△
ABC
中,
PE∥AB
交
BC
于点
E
,
PF∥AC
交
BC
于点
F
,
点
P
是
AD
上一点,且
点
D
到
PE
的距离与到
PF
的距离相等,判断
AD
是否平分
∠
BAC
,并说明理由.
解:
AD
平分
∠
BAC
.
理由如下:
∵
D
到
PE
的距离与到
PF
的距离相等,
∴点
D
在
∠
EPF
的平分线上.
∴∠
1
=∠
2
.
又
∵
PE∥AB
,∴∠
1
=∠
3
.
同理,
∠
2
=∠
4
.
∴∠
3
=∠
4
,∴
AD
平分
∠
BAC
.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
3.
已知:如图,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB,点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.求证:CM=CN.
证明:∵OD平分线∠POQ,
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中,
∵OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD,
∴△AOD
≌
△BOD.
∴∠ADO=∠BD
O
.
∵CM⊥AD,CN⊥BD,
∴CM=CN.
4.
如图,已知∠
CBD
和
∠
BCE
的平分线相交于点
F
,
求证:点
F
在∠
DAE
的平分线上.
证明:
过点
F
作
FG
⊥
AE
于
G
,
FH
⊥
AD
于
H
,
FM
⊥
BC
于
M
.
∵点
F
在
∠
BCE
的平分线上,
FG
⊥
AE
,
FM
⊥
BC.
∴
FG
=
FM
.
又∵点
F
在∠
CBD
的平分线上,
FH
⊥
AD
,
FM
⊥
BC
,
∴
FM
=
FH
,
∴
FG
=
FH
.
∴点
F
在
∠
DAE
的平分线上
.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
拓展思维
5.
如图
,
直线
l
1
、
l
2
、
l
3
表示三条互相交叉的公路
,
现要建一个货物中转站
,
要求它到三条公路的距离相等
,
可选择的地址有几处
?
画出它的位置
.
P
1
P
2
P
3
P
4
l
1
l
2
l
3
课堂小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交
于
内部一点
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