2020春八年级数学下册第17章分式17-3可化为一元一次方程的分式方程习题课件华东师大版 38页

§17.3 可化为一元一次 方程的分式方程 1. 分式方程的概念 分母中含有 _______ 的方程叫分式方程 . 2. 分式方程的解法 探究：解分式方程 类比一元一次方程的解法尝试解答 : (1) 去分母，方程两边同乘以 _______ 得 6x=4(x-1) ； (2) 去括 号，得 6x=_____ ； (3) 移项，得 6x____=-4 ； 未知数 x(x-1) 4x-4 -4x (4) 合并同类项，得 ___=-4 ； (5) 系数化为 1 ，得 x=___ ； (6) 检验： 把 x=-2 代入原方程的左右两边，左边＝ _____ ，故 x=___ 是原分式 方程的解 . 2x -2 右边 -2 【 归纳 】 解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一 个 _____ ，约去 _____ ，把分式方程转化为 _________ 来解 . 所乘 的 _____ 通常取方程中出现的各分式的 ___________ . 【 点拨 】 类比含分母的整式方程的解法，方程两边同乘以最简 公分母化为整式方程来解 . 整式 分母 整式方程 整式 最简公分母 3. 增根的产生及验根的方法 探究：解分式方程 (1) 去分母，方程两边同乘以 (x-1)(x+1) 得 x+1=2, (2) 移项，合并同类项，得 x=1 ， (3) 检验：把 x=1 代入原方程的左右两边，原分式方程分母为 0. 分式无意义，故 x=1 不是原分式方程的解 . 增根：在将分式方程化为整式方程时，可能会产生不适合 _____ ___ 方程的解 ( 或根 ) ，这种根通常称为增根，因此，解分式方程 必须 _____. 分式方程验根方法：将所求得的整式方程的根代入 _________ ___ ，看它的值是否为 __ ，如果为 __ ，即为增根；若 _______ ， 则是原分式方程的根 . 原分 式 验根 最简公分 母 0 0 不为 0 【 归纳 】 增根是原分式方程去分母后得到的整式方程的根，但 不是分式方程的根 . 【 点拨 】 增根产生的原因是在去分母时，方程两边同乘以一个 含未知数的整式时，不能保证这个整式不等于 0. 【 预习思考 】 1. 增根是原分式方程的根吗？ 提示： 不是 . 理由是增根可使原分式方程的某些分母为 0. 2. 列整式方程与列分式方程解应用题有什么不同 ? 提示： 检验方法不同 , 整式方程是单检；分式方程是双检 . 分式方程的意义 【 例 1】 下列关于 x 的方程 :① ②x-2=0, ③ ④ ⑤ ⑥x+x 2 =1,⑦ ⑧ 中 , 哪些是整式方程？哪 些是分式方程 ? 【 解题探究 】 (1) 分式方程与整式方程的区别是 : 方程的分母中是否含有 未知 数 ； (2) 关于 x 的方程中 , 分母中不含未知数的是 : ②③⑥⑦ ；分母中 含有未知数的是 : ①④⑤⑧ ； (3) 结论 : 整式方程有 : ②③⑥⑦ ； 分式方程有 : ①④⑤⑧ . 【 规律总结 】 分式方程的两个特征 (1) 首先是方程； (2) 其次是分母中含有未知数 . 【 跟踪训练 】 1. 下列关于 x 的方程是分式方程的是 ( ) 【 解析 】 选 D. 根据分式方程的概念 ,A ， B ， C 三选项分母中不含 有未知数 x, 是整式方程 , 选项 D 中含有未知数 x, 是分式方程 , 故选 D. 2. 下列方程 中是分 式方程的是 __________. 【 解析 】 方程 的分母中不含未知数 , 是整式方程；方程 的分母中都含有未知数 , 是分式方程 . 答案： ②③④ 分式方程的解法 【 例 2】(10 分 ) 解分式方程 : (1)(2012· 重庆中考 ) (2)(2012· 宿迁中考 ) 【 规范解答 】 (1) 方程两边都乘以 (x-1)(x-2) 得， 2 ( x-2 ) = x-1 , ……………………… 1 分 2x-4 = x-1 , ………………………… 2 分 x= 3 , ……………………………… 3 分 易错提醒 : 常数项不可漏乘 . 检验：当 x= 3 时， (x-1)(x-2) =2≠0, …………………………………………… 4 分 所以，原分式方程的解是 x= 3 . ……………………………… 5 分 (2) 方程两边都乘以 (x+1)(x-1) , …………………………… 1 分 得 (x-1) + (x+1) =0, …………………………………………… 2 分 解得 x= 0 , ……………………………………………………… 3 分 检验：当 x= 0 时， (x+1)(x-1) =-1≠0, ……… 4 分 故 x= 0 是原方程的解 . ………………………… 5 分 【 互动探究 】 1. 通分与去分母的区别是什么？ 提示： (1) 通分是把原来的分式变成以最简公分母为分母的分 式，通分后还带有分母； (2) 去分母是在分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母，故 去分母后不再含有分母 . 2. 解分式方程为什么必须验根 ? 提示： 解分式方程可能会产生增根，增根不是原方程的根，必 须通过验根舍去 . 【 规律总结 】 解分式方程的三事项 (1) 思想方法 : 分式方程 整式方程 . (2) 解法步骤 :① 去分母；②解整式方程；③验根 . (3) 增根意义 : 增根是使最简公分母的值为零的整式方程的解 . 去分母转化 【 跟踪训练 】 3.(2012· 丽水中考 ) 把分式方程 转化为一元一次方程 时，方程两边需同乘以 ( ) (A)x (B)2x (C)x+4 (D)x(x+4) 【 解析 】 选 D. 去分母时应该乘以分母的最简公分母即 x(x+4). 4.(1) 当 x=_______ 时 , (2) 当 a=_______ 时 , 关于 x 的方程 的解是 0. 【 解析 】 (1) 解分式方程 去分母得 x-2=1, 解得 x=3, 检验 : 当 x=3 时 ,x-2≠0,∴ 原方程的根为 x=3 ； (2)∵ 方程 的解是 0, 把 x=0, 代入方程 得 解这个分式方程得 , 经检验 是分式方程 的解 . 答案： (1)3 (2) 5. 解方程 :(1)(2012· 盐城中考 ) (2)(2012· 梅州中考 ) 【 解析 】 (1) 方程两边同乘以 x(x+1), 3(x+1)=2x, 解之得： x=-3, 检验：当 x=-3 时， x(x+1)≠0,∴x=-3 是原方程的解 . (2) 方程两边都乘以 (x 2 -1) ， 4-(x+1)(x+2)=-(x 2 -1) ， 解得 : 经检验 是原方程的解 , 分式方程的应用 【 例 3】 大众服装店今年 4 月用 4 000 元购进了一款衬衣若干件 , 上市后很快售完 , 服装店于 5 月初又购进同样数量的该款衬衣 , 由 于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了 20 元 , 结果第二批衬衣进货用了 5 000 元 . (1) 第一批衬衣进货时的价格是多少？ (2) 第一批衬衣售价为 120 元 / 件 , 为保证第二批衬衣的利润率不 低于第一批衬衣的利润率 , 那么第二批衬衣每件售价至少是多少 元 ?( 提示： 利润 = 售价 - 成本 , 利润率 = ×100%) 【 解题探究 】 (1)① 列分式方程解决实际问题的关键步骤是 : 找 出概括题意的 相等关系 , 并列出 分式方程 ； ②设第一批上衣的进货价格是 x 元 , 则 5 月初购进衬衣的价格是 (x+20) 元 , 今年 4 月购进衬衣 件 ,5 月购进衬衣 件 , 根据题意列分式方程得 : ③ 解分式方程得 :x= 80 , 经检验 x= 80 是分式方程的解 . 即 : 第一批衬衣进货的价格是 80 元 . (2)① 设第二批衬衣每件售价至少是 y 元 , 即两次进衬衣均为 50 件 , 则第一批衬衣的利润率为 : 第二批衬衣的利润率为 : ② 根据题意列关系式 : ③ 解不等式得 ,y≥ 150 , 即第二批衬衣每件售价至少是 150 元 . 【 规律总结 】 列分式方程解应用题的七步骤 (1) 审 : 审清题意； (2) 找 : 找相等关系； (3) 设 : 根据相等关系设出未知数； (4) 列 : 根据相等关系式列出分式方程； (5) 解 : 解这个分式方程； (6) 验 : 一是验根 , 二是检验方程的根是否有实际意义； (7) 答：写出答案 . 【 跟踪训练 】 6.(2012· 万宁中考 ) 去年年初，我国南方地区出现了特大雪 灾，我市某汽车运输公司立即承担了运送 16 万吨煤炭到包头火 车站的救灾任务 . 为了加快运输进度，实际每天的运煤量比原计 划每天的运煤量多 0.4 万吨，结果提前 2 天完成了任务，问实际 每天运煤多少万吨？若设实际每天运煤 x 万吨，则依据题意列出 的方程为 ( ) 【 解析 】 选 B.∵ 实际每天的运煤量比原计划每天的运煤量多 0.4 万吨，∴原计划每天的运煤量为 (x-0.4) 万吨 . 原计划运煤的 天数是 天，实际运煤的天数是 天，∵提前 2 天完成了 任务，∴列出的方程为 7. 某车间加工 120 个零件后 , 采用了新工艺 , 工效是原来的 1.5 倍 , 这样加工同样多的零件就少用 1 小时 , 采用新工艺前每小时加工 多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件 , 则根据题 意可列方程为 __________. 【 解析 】 根据题意 : 新工艺每小时加工 1.5x 个零件 , 加工 120 个零 件采用新工艺前需要 小时 , 采用新工艺后需要 小时 , 得 : 答案： 8.(2012· 黄冈中考 ) 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制 作 8 800 件投入市场，服装厂有 A ， B 两个制衣车间， A 车间每天 加工的数量是 B 车间的 1.2 倍， A ， B 两车间共同完成一半后， A 车 间出现故障停产，剩下全部由 B 车间单独完成，结果前后共用 20 天完成，求 A ， B 两车间每天分别能加工多少件 . 【 解析 】 设 B 车间每天加工 x 件，则 A 车间每天加工 1.2x 件 依题意得： 解之得： x=320. 经检验， x=320 是原方程的解 . 当 x=320 时， 1.2x=384 件， 答： A 车间每天加工 384 件， B 车间每天加工 320 件 . 1. 关于分式方程 有以下说法 :① 最简公分母为 (x-3) 2 ；②转化为整式方程为 x=2+3 ；③解得分式方程的解为 x=3 ；④经检验原方程无解 . 其中说法正确的个数为 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【 解析 】 选 D.∵ 分式方程 的最简公分母为 (x-3) ；去分母得 ,x=2(x-3)+3, 解得 x=3 ；经检验 x=3 不是原方程 的根，∴原方程无解 . 故只有④正确 . 2. 解分式方程 下列四步解题中 , 错误的是 ( ) (A) 方程的最简公分母是 x 2 -1 (B) 方程两边乘以 (x 2 -1) 得整式方程 2(x-1)+3(x+1)=6 (C) 解这个整式方程得 x=1 (D) 原方程的解为 x=1 【 解析 】 选 D. 经检验 x=1 时 ,x 2 -1=0, 所以 x=1 是原方程的增根 , 即 原分式方程无解 . 3. 已知 的和等于 则 a=______,b=______. 【 解析 】 根据题意可得 , 整理得 , 所以 即 a(x-2)+b(x+2)=4x, 整理这个方程得 , (a+b)x+2(b-a)=4x, 即 答案： 2 2 4.(1) 如图 , 点 A ， B 在数轴上 , 它们所对应的数分别是 -4 与 且点 A ， B 到原点的距离相等 . 则 x=________ ； (2) 在数轴上 , 点 A ， B 对应的数分别为 且 A ， B 两点关于 原点对称 , 则 x 的值为 ________. 【 解析 】 (1)∵ 点 A ， B 在数轴上 , 它们所对应的数分别是 -4 与 点 A ， B 到原点的距离相等 , ∴x=2.2. 检验 : 把 x=2.2 代入 3x-5≠0, ∴ 分式方程的解为 :x=2.2. (2) 根据题意得 : 去分母得 :x-5=-2(x+1), 化简得 :3x=3, 解得 :x=1. 经检验 :x=1 是原方程的解 , 所以 x=1. 答案： (1)2.2 (2)1 5.(2012· 珠海中考 ) 某商店一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支， 第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进 价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支 . (1) 求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2) 若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不 低于 420 元，问每支售价至少是多少元？ 【 解析 】 设第一次每支铅笔进价为 x 元， 根据题意列方程得， 解得， x=4, 检验：当 x=4 时，分母不为 0 ，故 x=4 是原分式方程的解 . 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元 . (2) 设售价为 y 元，根据题意列不等式为： 解得 ,y≥6. 答：每支售价至少是 6 元 .