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- 2021-11-01 发布
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14.2.2 完全平方公式
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用.
难点
理解完全平方公式的结构特征,并能灵活应用公式进行计算.
一、复习引入
你能列出下列代数式吗?
(1)两数和的平方;(2)两数差的平方.
你能计算出它们的结果吗?
二、探究新知
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括;
举例:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=________________;
(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________________;
(3)(m+2)2=________________;
(4)(m-2)2=________________.
通过几个这样的运算例子,让学生观察算式与结果间的结构特征.
归纳:公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点:如公式左、右边的结构,并尝试说明产生这些特点的原因.
还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释:
(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.
三、举例应用
1.教材例3:运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2;(2)(y-)2.
解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2
=16m2+8mn+n2;
(2)(y-)2=y2-2·y·+()2
=y2-y+.
可由学生口答完成,教师多媒体展示结果,提高课堂效率.
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2.教材例4:运用完全平方公式计算:
(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404;
(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12
=10 000-200+1
=9 801.
此处可先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求,允许他们算法的多样化,但要求明白每种算法的局限和优越性.
四、再探新知
1.现有下图所示三种规格的卡片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的卡片,尝试拼成一个正方形,并讨论该正方形的代数意义:
2.你能根据下图说明(a-b)2=a2-2ab+b2吗?
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏,比一比哪个小组快?第2小题借助多媒体课件,直观演示面积的变化,帮助学生联想代数恒等式:(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2.
五、思考讨论
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?
组织学生进行讨论,通过自主推导,互相合作交流,共同解决难题.
六、巩固拓展
教材例5:运用乘法公式计算:
(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.
解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9;
(2)(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
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讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法则”并完成教材第111页练习第1题.然后给出例5题目,让学生思考选择哪个公式.第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号,分别找出符号相同及相反的项,学会运用整体思想,将其与公式中的字母a,b对照,其中-2y+3=-(2y-3),故应运用平方差公式.第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体,然后运用完全平方公式.
在解此例的过程中,应注意边辩析各项的符号特征,边对照两个公式的结构特征,教师应完整详细地书写解题过程,帮助学生理解这一公式的拓展应用,突破难点.
七、课堂小结
谈一谈:你对完全平方公式有了哪些认识?它与平方差公式有什么区别和联系?
作业:教材第112页习题14.2第2题,第3题的(1)(3)(4),第4题.
在完全平方公式的探求过程中,学生表现出观察角度的差异:有些学生只是侧重观察某个单独的式子,而不知道将几个式子联系起来看;有些学生则观察入微,表现出了较强的观察力.教师要抓住这个契机,适当对学生进行学法指导.对于公式的特点,则应当左右兼顾,特别是公式的左边,它是正确应用公式的前提.
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