八上时 完全平方公式一 §15．3．2．1 完全平方公式（一） 4页

§15．3．2．1 完全平方公式（一） 教学目标 （一）教学知识点 1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释． （二）能力训练要求 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力． 2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力． （三）情感与价值观要求 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精 神． 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用． 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 教学方法 自主探索法 有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式， 最后达到灵活、准确应用公式的目的． 教具准备 投影片． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]请同学们探究下列问题： （出示投影片） 一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待 他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块塘，… （1）第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块 糖？ （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？ 多多少？为什么？ [生]（1）第一天老人一共给了这些孩子 a2 糖． （2）第二天老人一共给了这些孩子 b2 糖． （3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2 糖． （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应 用减法．即： （a+b）2（a2+b2） 我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的 和的平方，这倒是个新问题． [师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题． Ⅱ．导入新课 [师]能不能将（a+b）2 转化为我们学过的知识去解决呢？ [生]可以．我们知道 a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成 多项式与多项式的乘积了． [师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b） 2 的运算结果有什么规 律． （出示投影片） 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （2）（m+2）2=_______； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （4）（m-2）2=________； （5）（a+b）2=________； （6）（a-b）2=________． [生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2） =m2-4m+4 （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 [生乙]我还发现（1）结果中的 2p=2·p·1，（2）结果中 4m=2·m·2，（3）、 （4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认 为它可以做公式用． [师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？ [生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的 2 倍． [生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ [师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得 到完全平方公式： 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的 积的 2 倍． 符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式． （出示投影片） 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ [生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是 a+b． [生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正 方形的面积等于这四个图形的面积之和． [生丙]阴影部分的正方形边长是 a，所以它的面积是 a2；另一个小正方形的 边长是 b，所以它的面积是 b2；另外两个矩形的长都是 a，宽都是 b，所以每个 矩形的面积都是 ab；大正方形的边长是 a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得 出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式． [生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了． 如图（2）中，大正方形的边长是 a，它的面积是 a2；矩形 DCGE 与矩形 BCHF 是全等图形，长都是 a，宽都是 b，所以它们的面积都是 a·b；正方形 HCGM 的 边长是 b，其面积就是 b2；正方形 AFME 的边长是（a-b），所以它的面积是 （a-b）2．从图中可以看出正方形 AEMF 的面积等于正方形 ABCD 的面积减去两个 矩形 DCGE 和 BCHF 的面积再加上正方形 HCGM 的面积．也就是：（a-b） 2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式． [师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式 的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题 了． （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们 得到的糖果总数多 2ab 块． 应用举例： 出示投影片： [例 1]应用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2 （2）（y- ）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 [例 2]运用完全平方公式计算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式； 第三步化简． [例 1]解： （1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 1 2 =16m2+8mn+n2 （2）方法一： （y- ）2=y2-2·y· +（ ）2 （a-b）2=a2-2·a·b+b2 =y2-y+ 方法二：（y- ）2 =[y+（- ）]2=y2+2·y·（- ）+（- ）2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 从（3）、（4）的计算可以发现： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 [例 2]解：（1）1022=（100+2）2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404． （2）992=（100-1）2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801． [师]请同学们总结完全平方公式的结构特征． [生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边 二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍． [师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、 字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式． Ⅲ．随堂练习 课本 P181 练习 1、2． Ⅳ．课堂小结（略） Ⅴ．课后作业 课本 P183 习题 15．3─2、4、7 题． 《三级训练》 板书设计 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4