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  • 2021-11-01 发布

八年级数学上册第七章平行线的证明7-5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学课件新版北师大版

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7.5 三角形内角和定理 第七章 平行线的证明 第2课时 三角形的外角 学习目标 1. 了解并掌握三角形的外角的定义.(重点) 2. 掌握三角形的外角的性质,利用外角的性质进行简单的证明和计算.(难点) 导入新课 复习引入 1. 在 △ ABC 中, ∠ A =80°, ∠ B =52°, 则 ∠ C = . 3. 什么是三角形的内角?其内角和等于多少? 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角, 它们的和是 180 °. 2. 如图,在△ ABC 中, ∠ A =70°, ∠ B =60°, 则∠ ACB = ,∠ ACD = . A B C D 50 ° 130° B D C A O ● 40 ° 70 ° ? ● ● ● 问题: 发现懒洋洋独自在 O 处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从 A 前进到 C 处,然后再折回到 B 处截住懒洋洋返回羊村的去路,红太狼则直接在 A 处拦截懒洋洋,已知∠ BAC =40° , ∠ ABC =70°. 灰太狼从 C 处要转多少度角才能直达 B 处? 利用 “ 三角形的内角和为 180 ° ” 来求 ∠ BCD ,你会吗? 思考: 像 ∠ BCD 这样的角有什么特征吗?猜想它的性质 . 这节课让我们一起来探讨吧 . B D C A O ● 40 ° 70 ° ? ● ● ● 由三角形内角和易得 ∠ BCA =180 °- ∠ A - ∠ CBA =70 °, 所以 ∠ BCD = 180 °- ∠ BCA= 110 ° . 讲授新课 三角形的外角的概念 一 定义 如图,把 △ ABC 的一边 BC 延长 , 得到 ∠ ACD , 像这样 , 三角形的一边与另一边的 延长线 组成的角,叫做 三角形的外角 . ∠ ACD 是 △ ABC 的一个外角 C B A D 问题 1 如图,延长 AC 到 E , ∠ BCE 是不是△ ABC 的一个外角?∠ DCE 是不是△ ABC 的一个外角? E 在三角形每个顶点处都有两个外角 . ∠ ACD 与∠ BCE 为对顶角 , ∠ ACD = ∠ BCE ; C B A D ∠ BCE 是△ ABC 的一个外角,∠ DCE 不是△ ABC 的一个外角 . 问题 2 如图,∠ ACD 与∠ BCE 有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角? A B C 画一画 画出△ ABC 的所有外角,共有几个呢 ? 每一个三角形都有 6 个外角. 每一个顶点相对应的外角都有 2 个,且这 2 个角 为对顶角 . 三角形的外角应具备的条件: ①角的顶点是三角形的顶点; ②角的一边是三角形的一边; ③另一边是三角形中一边的延长线 . ∠ ACD 是 △ ABC 的一个外角 C B A D 每一个三角形都有 6 个外角. 总结归纳 F A B C D E 如图 , ∠ BEC 是哪个三角形的外角? ∠ AEC 是哪个三角形的外角? ∠ EFD 是哪个三角形的外角? ∠BEC 是△ AEC 的外角 ; ∠AEC 是△ BEC 的外角 ; ∠EFD 是 △ BEF 和△ DCF 的外角 . 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 二 问题 1 如图,△ ABC 的外角 ∠ BCD 与其相邻的内角 ∠ ACB 有什么关系? ∠ BCD 与 ∠ ACB 互补 . 问题 2 如图,△ ABC 的外角 ∠ BCD 与其不相邻的两内角 (∠ A , ∠ B ) 有什么关系? 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵ ∠ A +∠ B + ∠ ACB =180 °, ∠ BCD +∠ ACB = 180 °, ∴∠ A +∠ B =∠ BCD . 你能用作平行线的方法证明此结论吗? D 证明:过 C 作 CE 平行于 AB , A B C 1 2 ∴ ∠ 1= ∠ B , (两直线平行,同位角相等) ∠ 2= ∠ A , (两直线平行,内错角相等) ∴ ∠ ACD = ∠ 1+ ∠ 2= ∠ A + ∠ B . E 已知:如图,△ ABC ,求证: ∠ ACD =∠ A +∠ B . 验证结论 如图 ,试比较∠ 2 、∠ 1 的大小; 如图 ,试比较∠ 3 、∠ 2 、 ∠ 1 的大小 .   图 图 解: ∵∠2=∠1+∠ B , ∴∠2 > ∠1. 解: ∵∠2=∠1+∠ B , ∠3=∠2+∠ D , ∴∠3 > ∠2 > ∠1. 拓展探究 性质 1 : 三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 . 性质 2 : 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . A B C D 三角形外角的性质: ∠ B+∠C=∠CAD ∠ CAD > ∠B , ∠ CAD > ∠C 归纳总结 练一练: 说出下列图形中∠ 1 和∠ 2 的度数: A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠ 1=40 °, ∠2=140 ° ∠ 1=18 °, ∠2=130 ° 例 1 如图 , 在△ ABC 中 ,AD 平分外角∠ EAC,∠B= ∠C. 求证 :AD ∥ BC. A C D B E 典例精析 例题是运用了定理 “ 内错角相等 , 两直线平行 ” 得到了证实 . 证法一 :∵∠EAC=∠B+∠C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),∠B=∠C ( 已知 ), ∴∠C= ∠EAC( 等式的性质 ). ∵AD 平分 ∠ EAC( 已知 ). ∴∠DAC= ∠EAC( 角平分线的定义 ). ∴∠DAC=∠C( 等量代换 ). ∴AD ∥ BC( 内错角相等 , 两直线平行 ). 证法二 : 推理可得 : ∠DAC=∠C ( 已证 ), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°( 三角形内角和定理 ). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° ( 等量代换 ). ∴ AD∥BC( 同旁内角互补 , 两直线平行 ). 这里是运用了定理 “ 同旁内角互补 , 两直线平行 ” 得到了证实 . A C D B E 例 2 如图 ,P 是△ ABC 内一点,连接 PB , PC . ∠B= ∠C. 求证 : ∠ BPC >∠ A . 证明 : 如图,延长BP,交AC于点D. ∵ ∠BPC 是△ PDC 的一个外角 ( 外角定义 ), ∴ ∠BPC>∠PDC( 三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角 ). ∵ ∠PDC 是△ ABD 的一个外角 ( 外角定义 ), ∴ ∠PDC>∠A ( 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角 ). ∴ ∠BPC>∠A . (不等式的性质) A B C P D 还有其他证明方法吗? 1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 , 则这个三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 C 2. 如图所示 , 若∠ A=32°,∠B=45°,∠C=38°, 则∠ DFE 等于 ( ) A.120° B.115° C.110° D.105° F E D C B A B 练一练 例 3 如图 , ∠ A =42°,∠ ABD =28°,∠ ACE =18°, 求∠ BFC 的度数 . ∵ ∠ BEC 是△ AEC 的一个外角, ∴ ∠ BEC = ∠ A + ∠ ACE , ∵∠ A =42° , ∠ ACE =18° , ∴ ∠ BEC =60 °. ∵ ∠ BFC 是△ BEF 的一个外角, ∴ ∠ BFC = ∠ ABD + ∠ BEF , ∵ ∠ ABD =28° , ∠ BEC =60° , ∴ ∠ BFC =88 °. 解: F A C D E B 典例精析 例 4 如图, P 为 △ ABC 内一点, ∠ BPC = 150° , ∠ ABP = 20° , ∠ ACP = 30° ,求 ∠ A 的度数. 解析:延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出 ∠ A 的度数. E 解:延长 BP 交 AC 于点 E , 则 ∠ BPC , ∠ PEC 分别为 △ PCE , △ ABE 的外角, ∴∠ BPC = ∠ PEC + ∠ PCE , ∠ PEC = ∠ ABE + ∠ A , ∴∠ PEC = ∠ BPC - ∠ PCE = 150° - 30° = 120°. ∴∠ A = ∠ PEC - ∠ ABE = 120° - 20° = 100°. 【变式题】 ( 一题多解 ) 如图, ∠ A =51 °, ∠ B =20 °, ∠ C =30 °,求 ∠ BDC 的度数 . A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题 . A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一:连接 AD 并延长于点 E . 在△ ABD 中, ∠1+∠ ABD =∠3 , 在△ ACD 中, ∠2+∠ ACD =∠4. 因为 ∠ BD C =∠3+∠4 , ∠ BAC =∠1+∠2 , 所以 ∠ BDC =∠ BAC +∠ ABD +∠ ACD =51 ° +20 ° +30 ° =101 ° . E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论? A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二:延长 BD 交 AC 于点 E . 在△ ABE 中, ∠1=∠ ABE+ ∠ BAE , 在△ ECD 中, ∠ BDC =∠1+∠ ECD . 所以 ∠ BDC =∠ BAC +∠ ABD +∠ ACD =51 ° +20 ° +30 ° =101 ° . 解法三 : 连接延长 CD 交 AB 于点 F (解题过程同解法二) . ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解 . 总结 三角形的外角和 三 例 5 如图 , ∠ BAE , ∠ CBF , ∠ ACD 是 △ ABC 的三个外角,它们的和是多少? 解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得 ∠ BAE = ∠ 2+ ∠ 3 , ∠ CBF = ∠ 1+ ∠ 3, ∠ ACD = ∠ 1+ ∠ 2. 又知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=180 ° , 所以∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD =2( ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗? 解法二:如图, ∠ BAE + ∠ 1=180 ° ① , ∠ CBF + ∠ 2=180 ° ② , ∠ ACD + ∠ 3=180 ° ③ , 又知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=180 ° , ①+ ②+ ③ 得 ∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD +( ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3)=540 ° , 所以∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD =540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三:过 A 作 AM 平行于 BC , ∠ 3 = ∠ 4 B C 1 2 3 4 A ∠ 2 = ∠ BAM , 所以 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 4 + ∠ BAM =360° M ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 4 + ∠ BAM , 结论:三角形的外角和等于 360° . 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗? D E F 当堂练习 1. 判断下列命题的对错 . ( 1 ) 三角形的外角和是指三角形的所有外角的和 . ( ) ( 2 ) 三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍 . ( ) ( 3 ) 三角形的一个外角等于两个内角的和 . ( ) ( 4 ) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . ( ) ( 5 ) 三角形的一个外角大于任何一个内角 . ( ) ( 6 ) 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角 . ( ) 2. 如图, AB // CD ,∠ A = 37°, ∠ C = 63° , 那么∠ F 等于 ( ) F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 3. ( 1 )如图,∠ BDC 是 __ ______ 的外角 , 也是 的外角; (2) 若∠ B =45 ° , ∠ BAE =36 °, ∠ BCE =20 °, 试求∠ AEC 的度数 . A B C D E △ ADE △ ADC 解:根据三角形外角的性质有 ∠ ADC = ∠ B + ∠ BCE , ∠ AEC = ∠ ADC + ∠ BAE. 所以∠ AEC = ∠ B + ∠ BCE + ∠ BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 解:因为 ∠ ADC 是 △ ABD 的外角 . 4 . 如图, D 是 △ ABC 的 BC 边上一点, ∠ B =∠ BAD , ∠ ADC =80°,∠ BAC =70°, 求: ( 1) ∠ B 的度数; (2)∠ C 的度数 . 在 △ ABC 中, ∠ B +∠ BAC +∠ C =180° , ∠ C =180º-40º-70º=70°. 所以 ∠ ADC =∠ B +∠ BAD =80°. 又因为 ∠ B =∠ BAD , A B C D A B C D E 1 2 F G 解:∵∠ 1 是△ FBE 的外角 , ∴∠ 1=∠ B + ∠ E , 同理∠ 2=∠ A +∠ D . 在△ CFG 中 , ∠ C +∠1+∠2=180º, ∴∠ A + ∠ B +∠ C + ∠ D +∠ E = 180º. 5. 如图,求∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数 . 能力提升: 1 2 3 B A C P N M D E F 6. 如图,试求出 ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F =________. 360° 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边,另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360 ° 2. 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角