2020八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12 7页

‎12.3　乘法公式 ‎1　两数和乘以这两数的差 课前知识管理 ‎1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.‎ 几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2.　　‎ 若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b），从而验证了平方差公式（a+b）（a－b）＝a2－b2.‎ ‎2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式.‎ 名师导学互动 典例精析：‎ 知识点1：直接应用平方差公式 例1、计算：． ‎ ‎【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项，另外一项－与互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式．‎ ‎【解】=．‎ ‎【方法归纳】将两个括号内的相同项看作□，符号相反的项－与看作△，就可以直接运用平方差公式.‎ 对应练习：计算(y—2x)(—2x—y).‎ 知识点2：连用平方差公式化简 例2、化简：.‎ ‎【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到，它与第三项又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.‎ ‎【解】原式==‎ ‎=‎ 7‎ ‎【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.‎ 对应练习：计算：‎ 知识点3：分组后运用平方差公式 例3、计算: (‎2a+3)(‎3a+5)(‎2a-3)(‎3a-5).‎ ‎【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.‎ ‎【解】(‎2a+3)(‎3a+5)(‎2a－3)(‎2a－5)=[(‎2a+3)(‎2a－3)][(‎3a+5)(‎3a－5)]=(‎4a2-9)(‎9a2－25)=‎36a4－‎181a2+225.‎ ‎【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.‎ 对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x—2).‎ 知识点4：添项后运用平方差公式 例4．计算；．‎ ‎【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．‎ ‎【解】原式＝‎ ‎＝＝．‎ ‎【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．‎ 对应练习：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：.‎ 请借鉴该同学的经验，计算：.‎ 知识点5：逆用平方差公式 例5．计算：‎ ‎【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“”与“”分别视为平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便．‎ 解：‎ ‎.‎ ‎【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．‎ 7‎ 对应练习：计算：.‎ 知识点6：变形后运用平方差公式 例6.计算.‎ ‎【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.‎ ‎【解】.‎ ‎【方法归纳】公式可以变形为.‎ 对应练习：计算：‎ 知识点7：拆项变形后使用 例7、计算(x-y+1)(x+y-5).‎ ‎【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.‎ 解：‎ ‎(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.‎ ‎【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.‎ 对应练习：‎ 易错警示 例8、计算：(2x+3)(2y-3).‎ 错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.‎ 错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．‎ 正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.‎ 例9、(2x+9)(2x-9).‎ 错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.‎ 错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．‎ 正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.‎ 例10、(a3-8)(a3+8).‎ 错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64.‎ 错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9.‎ 正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.‎ 例11、(-‎2a-7)(‎2a-7)．‎ 错解：(-‎2a-7)(‎2a-7)＝‎4a2-49.‎ 7‎ 错解分析：(-‎2a-7)(‎2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-‎2a-7)(‎2a-7)≠(-‎2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-‎2a-7)(‎2a-7)=(-7‎-2a)(-7+‎2a) =(-7)2-(‎2a)2或(-‎2a-7)(‎2a-7)=－(‎2a+7)(‎2a-7) =－[(‎2a)2-72]．‎ 正解：　(-‎2a-7)(‎2a-7) = (-7‎-2a)(-7+‎2a) =(-7)2-(‎2a)2=49‎-4a2．　‎ 课堂练习评测 知识点1：平方差公式 ‎1、在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．‎ ‎2、已知，则的值是 ‎ ‎3、下列计算中，错误的有（ ）‎ ‎①（‎3a+4）（‎3a－4）=‎9a2－4；②（‎2a2－b）（‎2a2+b）=‎4a2－b2；‎ ‎③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2：平方差公式的实际应用 ‎4、一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x＋3)米，用含有x的整式表示它的宽为___________米.‎ 知识点3：平方差公式的运用 ‎5、计算：; ‎ ‎6、计算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)‎ ‎7、平方差公式的常见变形 ‎ (1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________; ‎ ‎(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.‎ ‎ (3)系数变化:(‎2a+3b)(‎2a-3b)=_______. ‎ ‎(4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=_____.‎ 7‎ ‎ (5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________; ‎ ‎(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= __________________.‎ 课后作业练习 基础训练 一、填空题 ‎1、_______. 2、______.‎ ‎3、______. 4、_______.‎ ‎5、_______. 6、_______.‎ ‎7、_______.‎ ‎8、_______）_______）.‎ 二、选择题 ‎9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）‎ A ; B ;‎ C ; D .‎ ‎10、下列各式中，运算结果是的是（ ）‎ A ; B ;‎ C ; D .‎ ‎11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )‎ A.[x-(2y+1)]2 B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)] ‎ C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2‎ 三、解答题 ‎12、计算.‎ ‎13、先化简后求值.‎ 提高训练 ‎14、解方程.‎ ‎15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.‎ 7‎ ‎16、一个长方形菜地,长为(‎2a+3)cm,宽为(‎2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?‎ ‎17、一个长方体的游泳池的长为(‎4a2+9b2)米,宽为(‎2a+3b)米,高为(‎2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?‎ ‎12.3.1‎对应练习答案：‎ ‎1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y2=4x2—y2.‎ ‎2.解：原式＝＝．‎ ‎3.解：原式=(x+2)(x—2)(x2+4)=(x2—4)(x2+4)=x4—16.‎ ‎4.答案：2‎ ‎5.解：原式=‎ ‎.‎ ‎6.解：.‎ ‎7.答案：.‎ 课堂作业练习参考答案：‎ ‎1、答案：‎ ‎2、答案：4‎ ‎3、答案：D ‎4、答案：（）‎ ‎5、解:原式=.‎ ‎6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x2+4y2) =(4y2-9x2)(9x2+4y2)=16y4-81x4‎ ‎7、(1)a2-b2 (2)b2-a2 (3)‎4a2-9b2 (4)a4-b6 (5)(a-c)2-4b2=a2‎-2ac+c2-4b2 (6)a4-b4‎ 课后作业练习参考答案：‎ 7‎ ‎1～8：；；；；；；0；.‎ ‎9、D；10、A；11、D ‎12、；‎ ‎13、化简结果为，求值结果为12；‎ ‎14、‎ ‎15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2)‎ ‎=16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy.‎ ‎16、解:这块菜地的面积为: (‎2a+3)(‎2a-3)=(‎2a)2-9=‎4a2-9(cm2)‎ ‎17、解:游泳池的容积是:(‎4a2+9b2)(‎2a+3b)(‎2a-3b) =[(‎2a)2-(3b)2](‎4a2+9b2)=(‎4a2-9b2)(‎4a2+9b2)‎ ‎=(‎4a2)2-(9b2)2=‎16a4-81b4(米3)‎ 7‎