2020八年级数学上册第13章轴对称13 15页

‎13.3.1‎‎ 等腰三角形 学校：___________姓名：___________班级：___________‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．5 D．7或8‎ ‎2．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（　　）‎ A．40° B．70° C．100° D．140°‎ ‎3．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　）‎ A．55° B．45° C．35° D．65°‎ ‎4．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（　　）‎ A．10° B．12.5° C．15° D．20°‎ ‎5．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）‎ A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 ‎6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　）‎ A．4个 B．5个 C．6个 D．7‎ 15‎ ‎7．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（　　）个．‎ A．8 B．‎9 ‎C．10 D．11‎ ‎8．已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）‎ A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 ‎9．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）‎ A．1 B．‎1.5 ‎C．2 D．4‎ ‎11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则CD的长是（　　）‎ A．2 B．‎2.5 ‎C．2 D．‎ ‎12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠‎ 15‎ EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为　 　．‎ ‎14．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为　 　度．‎ ‎15．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　 　条．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B有　 　个．‎ ‎17．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是　 　（填序号）．‎ ‎18．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=‎6cm，AC=‎8cm，则△ADE的周长为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎19．数学课上，张老师举了下面的例题：‎ 15‎ 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）‎ 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）‎ 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：‎ 变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．‎ ‎（1）请你解答以上的变式题．‎ ‎（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．‎ ‎20．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．‎ ‎（1）求∠BDN的度数；‎ ‎（2）求证：CD=CE．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．‎ ‎（1）求证：DE=CE．‎ ‎（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．‎ 15‎ ‎22．（1）操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）‎ ‎（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；‎ ‎（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）‎ ‎　‎ 15‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．‎ 解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，‎ ‎②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，‎ 所以，它的周长是7或8．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．‎ 解：∵等腰三角形的顶角为50°，‎ ‎∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．‎ 解：∵∠1=125°，‎ ‎∴∠ADE=180°﹣125°=55°，‎ ‎∵DE∥BC，AB=AC，‎ ‎∴AD=AE，∠C=∠AED，‎ ‎∴∠AED=∠ADE=55°，‎ 又∵∠C=∠AED，‎ ‎∴∠C=55°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．‎ 解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，‎ ‎∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），‎ ‎∵AD=AE（已知），‎ ‎∴∠ADE=75°‎ 15‎ ‎∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．‎ 解：如图所示：‎ 当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．‎ 解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；‎ 当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，‎ 使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．‎ 解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；‎ ‎②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．‎ 所以符合条件的点C共有9个．‎ 15‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．‎ 解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．‎ 解：如右图1所示，当点P在线段MN的垂直平分线上时，PM=PN，此时点P，M，N构成等腰三角形；‎ 如右图2所示，当MN=MP时，此时点P，M，N构成等腰三角形；‎ ‎∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，‎ ‎∴点N到OB的距离是4×sin45°=2＞2，‎ ‎∴不存在NM=NP的情况，‎ 故选B．‎ 15‎ ‎　‎ ‎10．‎ 解：延长BD与AC交于点E，‎ ‎∵∠A=∠ABD，‎ ‎∴BE=AE，‎ ‎∵BD⊥CD，‎ ‎∴BE⊥CD，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠BCD=∠ECD，‎ ‎∴∠EBC=∠BEC，‎ ‎∴△BEC为等腰三角形，‎ ‎∴BC=CE，‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴2BD=BE，‎ ‎∵AC=5，BC=3，‎ ‎∴CE=3，‎ ‎∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∴BD=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．‎ 15‎ 解：延长BD，与AC交于点E，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD，‎ ‎∵BD⊥CD，‎ ‎∴∠BDC=∠EDC=90°，‎ 在△BCD和△ECD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△ECD（ASA），‎ ‎∴BC=EC=3，BD=DE，‎ ‎∵∠A=∠ABE，‎ ‎∴AE=BE=AC﹣EC=AC﹣BC=5﹣3=2，‎ ‎∴BD=1，‎ 在Rt△BDC中，BD=1，BC=3，‎ 根据勾股定理得：CD==2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．‎ 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ‎∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°‎ ‎∴DE=DF ‎∴AD垂直平分EF ‎∴（4）错误；‎ 又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，‎ ‎∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 15‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．‎ 解：∵等腰三角形底角相等，‎ ‎∴180°﹣50°×2=80°，‎ ‎∴顶角为80°．‎ 故填80°．‎ ‎　‎ ‎14．‎ 解：‎ ‎∵△ABC中，AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，‎ ‎∴∠A：∠B=1：2，‎ 即5∠A=180°，‎ ‎∴∠A=36°，‎ 故答案为：36．‎ ‎　‎ ‎15．‎ 解：如图所示：‎ 当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．‎ 15‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎8解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个（除O点）；‎ 当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，有4个；‎ ‎（2）若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，有2个．‎ 以上8个交点没有重合的．故符合条件的点有8个．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，‎ ‎①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；‎ ‎②不能；‎ ‎③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；‎ ‎④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．‎ 故答案为：②‎ ‎　‎ ‎18．‎ 解：∵DE∥BC ‎∴∠DOB=∠OBC，‎ 又∵BO是∠ABC的角平分线，‎ ‎∴∠DBO=∠OBC，‎ ‎∴∠DBO=∠DOB，‎ ‎∴BD=OD，‎ 同理：OE=EC，‎ ‎∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．‎ 故答案是：14cm．‎ 15‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎19．‎ 解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；‎ 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；‎ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；‎ 故∠B=50°或20°或80°；‎ ‎（2）分两种情况：‎ ‎①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，‎ ‎∴∠B的度数只有一个；‎ ‎②当0＜x＜90时，‎ 若∠A为顶角，则∠B=（）°；‎ 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；‎ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．‎ 当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，‎ 即x≠60时，∠B有三个不同的度数．‎ 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎（1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，‎ ‎∴∠BAC=60°，又AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAD=30°，又∠ACD=90°，‎ ‎∴∠CDA=60°‎ 又∠ADE=15°，‎ ‎∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°‎ 15‎ ‎∴∠BDN=∠CDE=45°；‎ ‎（2）证明：在△CED中，∠ECD=90°，∠CDE=45°‎ ‎∴∠CED=45°‎ ‎∴CD=CE．‎ ‎　‎ ‎21．‎ ‎（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠BCD=∠ECD．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠EDC=∠BCD，‎ ‎∴∠EDC=∠ECD，‎ ‎∴DE=CE．‎ ‎（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，‎ ‎∴∠ACB=2∠ECD=70°．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=70°，‎ ‎∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．‎ ‎　‎ ‎22．‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎（4分）‎ ‎（2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示：‎ 15‎ ‎（8分）‎ 图1的最大角=39°+78°=117°，图2的最大角=24°+180°﹣2×48°=108°，‎ 图3的最大角=24°+66°=90°，图4的最大角=84°，‎ 故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；（10分）‎ ‎（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：‎ ‎①该三角形是直角三角形；‎ ‎②该三角形有一个角是另一个角的2倍；‎ ‎③该三角形有一个角是另一个角的3倍．（14分）‎ ‎　‎ 15‎