北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-1 等腰三角形（二） 31页

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B. C. D. 12 5. 如图1-1-15，△ABC是等边三角形，两个锐角都是 45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为 （ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° B D 课堂讲练 新知1：等腰三角形中的相等线段 典型例题 【例1】已知：如图1-1-16，△ABC中，AB=AC，BD，CE 分别是边AC, AB的中线.求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，BD，CE分别是边AC, AB的中线， ∴DC=BE，∠DCB=∠EBC. 又∵BC=CB， ∴△BDC≌△CEB（SAS）. ∴BD=CE. 模拟演练 1. 已知如图1-1-17，在等腰三角形ABC中，AB=AC， BD，CE分别是腰AC，AB上的高. 求证：BD=CE. 证明：∵BD，CE分别是AC，AB上的高， ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AEC=90°， ∠A=∠A， AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴BD=CE. 【例2】将等边三角形如图1-1-18放置，a∥b， ∠1=35°，则∠2=（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° B 新知2：等边三角形的性质定理 典型例题 2. 等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为 （ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° D 模拟演练 【例3】如图1-1-19，在等边三角形ABC中，AN=BM. 求证：（1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB. 典型例题 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠A=∠CBM. 在△BMC和△ANB中， BC=AB, ∠CBM=∠A, BM=AN， ∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°. 3. 如图1-1-20，已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证：AE=CD. 模拟演练 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60°. ∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°. ∴∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△CBD中， AB＝CB, ∠ABE＝∠CBD, BE＝BD, ∴△ABE≌△CBD（SAS）. ∴AE=CD. 分层训练 A组 1. 下列命题中，真命题有（ ） ①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两底 角的平分线相等；③等腰三角形底边的中线与高线重 合；④等腰三角形顶角平分线上的任意一点到两腰的 距离相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 2. 如图1-1-21，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=55°，则 ∠C的度数是（ ） A. 55° B. 45° C. 35° D. 65° A 3. 在等边三角形ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则 ∠BAC的平分线长等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 C 4. 如图1-1-22，将等边三角形ABC剪去一个角后， ∠1+∠2的大小为（ ） A. 120° B. 180° C. 200° D. 240° D 5 . 如图1 - 1 - 2 3，O为等边三角形AB C内一点， ∠OCB=∠ABO，求∠BOC的度数. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°. ∵∠OCB=∠ABO， ∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO= ∠ABC=60°. ∴在△OBC中，∠BOC=180°- （∠OBC+∠OCB）=180°- 60°=120°. B组 6. 如图1-1-24，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD， 则∠EDC的度数为（ ） A. 30° B. 20° C. 25° D. 15° D 7. 如图1-1-25，△ABC是等边三角形，CB=BD，连接AD， ∠ACD=110°，则∠BAD的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° C 8. 如图1-1-26，已知△ABC和△DCE均是等边三角形， 点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交 于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF； ③FG∥BE；④CF=CG. 其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 9. 已知：如图1-1-27，在等边三角形ABC中，D是AC中 点，过点C作CE∥AB，且AE⊥CE.求证：BD=AE. 证明：∵在等边三角形ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE， ∴∠ADB=∠E=90°. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE. 在△BAD和△ACE中， ∠ADB=∠E, ∠BAD=∠ACE, AB=CA， ∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE. C组 10. 如图1-1-28，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC， AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的 度数. 解：∵在等边三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD=12∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°. 11. 已知如图1-1-29，在△ABC和△DCE中，CA=CB， CD=CE，∠CAB=∠CED=α. （1）如图1-1-29①，将AD，EB延长，延长线相交于点 O.①求证：BE=AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数 （直接写出结果）； （2）如图1-1-29②，当α=45°时，连接BD，AE，作 CM⊥AE于点M，延长MC与BD交于点N.求证：N是BD的中点. （1）①证明：∵CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α， ∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α. ∴∠ACB=∠DCE. ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB. ∴∠ACD=∠BCE. AC＝BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD＝∠BCE, DC＝EC， ∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴BE=AD. ②解：由①得△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO. ∵∠ABE=∠BOA+∠BAO， ∴∠CBE+α=∠BOA+∠BAO. ∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO. ∴∠BOA=2α. （2）如答图1-1-2，作BP⊥MN交MN的延长线于点P， 作DQ⊥MN于点Q. ∵α=45°， ∴∠BCA=∠DCE=90°. ∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC， ∠BCA=∠AMC=90°， ∴∠BCP=∠CAM. ∠BPC＝∠AMC, 在△CBP与△ACM中，∠BCP＝∠CAM， AC＝BC, ∴△CBP≌△ACM（AAS）.∴MC=BP. 同理可得CM=DQ.∴DQ=BP. ∠BNP＝∠DNQ, 在△BPN与△DQN中，∠BPC＝∠DQN， BP＝DQ, ∴△BPN≌△DQN（AAS）.∴BN=ND. ∴N是BD的中点.