沪科版九年级数学上册【全册】教学课件 1225页

21.1 二次函数 第 21 章 二次函数与反比例函数 学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式 . （重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题 . 3. 会列二次函数表达式解决实际问题 . （难点） 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线 . 这些曲线能否用函数关系式表示？ 导入新课 情境引入 导入新课 视频引入 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗 ? 1. 什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 . 3 . 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b （ k,b 是常数， k ≠0 ）的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数 . 2 . 什么是一次函数？正比例函数？ ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ) 问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 . y =6 x 2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 讲授新课 二次函数的定义 一 探究归纳 问题 2 某水产养殖户用长 40m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗 . 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 设围成的矩形水面的一边长为 x m, 那么，矩形水面的另一边长应为（ 20- x ） m. 若它的面积是 S m 2 ， 则有 此式表示了边长 x 与围网的面积 S 之间的关系，对于 x 的每一个值， S 都有唯一的一个对应值，即 S 是 x 的函数 . 问题 3 有一玩具厂，如果安排装配工 15 人，那么每人每天可装配玩具 190 个；如果增加人数，那么每增加 1 人，可使每人每天少装配玩具 10 个 . 问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？ 设增加 x 人，这时，则共有 个装配工,每人每天可少装配 _____ 个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具 . 所以，增加人数后，每天装配玩具总数 y 可表示为 y =________________. (1 5 + x ) (1 90 －10 x ) 整理为： y = －10 x 2 +40 x +2 85 0 (1 90 －10 x )(1 5 + x ) 此式表示了 每天装配玩具总数 y 与增加 x 人 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 10 x y =6 x 2 y = －10 x 2 +40 x +2 85 0 问题 1-3 中函数关系式有什么共同点? 想一想 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 二次函数的定义： 形如 y = ax ²+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的函数叫做 二次函数 . 其中 x 是自变量， a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项 . 温馨提示： （1） 等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （2） a , b , c 为常数，且 a ≠ 0; （3） 等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例 1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量） ① y = ax 2 + bx + c ② y =3-2 x ² ③ y = x 2 ④ ⑤ y = x ²+ x ³+25 ⑥ y =( x +3)²- x ² 不一定是，缺少 a ≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是， x 的最高次数是 3. y =6 x +9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 外， 还有其特殊形式如 y = ax 2 , y = ax 2 + bx , y = ax 2 + c 等. 方法归纳 想一想 : 二次函数的一般式 y = ax 2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0） 与一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0） 有什么联系和区别？ 联系 ： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的. 区别 : 前者是函数 . 后者是方程 . 等式另一边前者是 y , 后者是 0. 二次函数定义的应用 二 例 2 （1） m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题 可知, 解得 （2）由题 可知, 解得 m =3 . 第 （2） 问易忽略二次项系数 a ≠0 这一限制条件，从而得出 m =3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视 . 注意 1. 已知 : ， k 取什么值时， y 是 x 的二次函数？ 解：当 =2 且 k+2≠0 ，即 k =-2 时 , y 是 x 的二次函数 . 变式训练 解： 由题意得： ∴ m ≠±3 解： 由题意得： 【解题小结】 本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例 3 ： 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数，且 1 ≤ x ≤ 10) ，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解： ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件， ∴ 第 x 档次，提高了 ( x － 1) 档，利润增加了 2( x － 1) 元． ∴ y ＝ [6 ＋ 2( x － 1)][95 － 5( x － 1)] ， 即 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400( 其中 x 是正整数，且 1≤ x ≤10) ； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 － 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18 x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12( 舍去 ) ． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】 解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】 二次函数自变量的取值范围一般是 全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应 使实际问题有意义 . 二次函数的值 三 例 4 一个二次函数 . （ 1 ）求 k 的值 . （ 2 ）当 x = 0.5 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 将 x = 0.5 代入函数关系式得 ， （ 2 ）当 k = 2 时， 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值 . 归纳总结 当堂练习 2. 函数 y =( m - n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( ) A . m , n 是常数 , 且 m ≠0 B . m , n 是常数 , 且 n ≠0 C . m , n 是常数 , 且 m ≠ n D . m , n 为任何实数 C 1 . 把 y=(2-3 x )(6+ x ) 变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3 ． 下列函数是二次函数的是 ( ) A ． y ＝ 2 x ＋ 1 B ． C ． y ＝ 3 x 2 ＋ 1 D ． C -3 x 2 -16 12 4. 已知函 数 y=3 x 2 m -1 － 5 ① 当 m = ＿＿时， y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m = ＿＿时， y 是关于 x 的二次函数 . 1 5. 若函数 是二次函数，求： （ 1 ） a 的值， (2) 函数关系式， （ 3 ）当 x = - 2 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 a =- 1 时，函数关系式为 . （ 3 ）将 x = - 2 代入函数关系式中，有 6. 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （ 1 ）写出正方体的表面积 S (cm 2 ) 与正方体棱长 a （ cm ）之间的函数关系； （ 2 ）写出圆的面积 y (cm 2 ) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系； （ 3 ）菱形的两条对角线的和为 26cm ，求菱形的面积 S (cm 2 ) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系． 7. 某商店销售一种成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg ，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg, 针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： （ 1 ）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？ （ 2 ）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） 8. 矩形的周长为 16cm , 它的一边长为 x （ cm), 面 积为 y （ cm 2 ). 求 （ 1 ） y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （ 2 ） 当 x =3 时矩形的面积 . 解 ：(1) y ＝(8－ x ) x ＝－ x 2 ＋8 x (0＜ x ＜8)； (2) 当 x ＝3 时 ， y ＝－3 2 ＋8×3＝15 cm 2 . 课堂小结 二次函数 定 义 y = ax 2 + bx +c( a ≠0 ， a , b , c 是常数 ） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠0. 特殊形式 y = ax 2 ； y = ax 2 + bx ； y = ax 2 + c ( a ≠0 ， a , b , c 是常数） . 21.2 二次函数的图象和性质 1. 二次函数 y = ax ² 的图象和性质 学习目标 1. 正确理解抛物线的有关概念 . （重点） 2. 会用描点法画出二次函数 y=ax ² 的图象，概括出图象的特点 . （难点） 3. 掌握形如 y=ax ² 的二次函数图象的性质，并会应用 . （难点） 导入新课 情境引入 讲授新课 二次函数 y = ax 2 的图象 一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x 2 … 　 　 　 　 　 　 　 … 　 例 1 画出二次函数 y = x 2 的图象 . 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表： 在 y = x 2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点： 根据表中 x , y 的数值在坐标平面内描点 （ x,y ） 3. 连线： 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x 2 的图象． - 3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x 2 的图象如下： x y 二次函数 y = x 2 的图象形如物体抛射时所经过的路线 , 我们把它叫做 抛物线 . 这条抛物线关于 y 轴对称 , y 轴就是它的对称轴 . 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的 顶点 . 练一练： 画出函数 y =- x 2 的图象 . y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- x 2 … -9 　 -4 　 -1 　 0 　 -1 　 -4 　 -9 　 … 　 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数 y=x 2 的图象有哪些性质，并与同伴交流 . x o y = x 2 议一议 1 .y ＝ x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向上 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最低点． y 说说二次函数 y =- x 2 的图象有哪些性质 , 与同伴交流 . o x y y =- x 2 1 .y ＝ - x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向下 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最高点． 1. 顶点都在 原点 ; 3. 当 a >0 时，开口向 上 ； 当 a <0 时，开口向 下 ． 二次函数 y=ax 2 的图象性质： 知识要点 2. 图像关于 y 轴 对称 ; 观察下列图象，抛物线 y = ax 2 与 y =- ax 2 （ a ＞ 0 ) 的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称 . x y O y=ax 2 y =- ax 2 交流讨论 二 二次函数 y = ax 2 的性质 问题 1 ： 观察图形， y 随 x 的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 对于 抛物线 y = ax 2 （ a ＞ 0 ） 当 x ＞ 0 时， y 随 x 取值的增大而增大； 当 x <0时， y 随 x 取值的增大而减小 . 知识要点 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题 2 ： 观察图形， y 随 x 的变化如何变化？ 对于 抛物线 y = ax 2 （ a ＜ 0 ） 当 x ＞ 0 时， y 随 x 取值的增大而减小； 当 x <0时， y 随 x 取值的增大而增大 . 知识要点 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· － 2 － 1.5 － 1 － 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例 2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 - 4 8 思考 1 ： 从二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 当 a >0 时， a 越大，开口越小 . 练一练： 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· － 2 － 1.5 － 1 － 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· - 8 -4.5 -2 - 0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 - 4.5 － 2 － 0.5 0 － 8 － 4.5 － 2 － 0.5 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 8 当 a <0 时， a 越小（即 a 的绝对值 越大），开口越小 . 思考 2 从二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 对于 抛物线 y = ax 2 ，｜ a ｜越大，抛物线的开口越小． y ＝ ax 2 a >0 a <0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 , 在 x 轴上方 开口向下 , 在 x 轴下方 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x ＝ 0 顶点坐标是原点（ 0 ， 0 ） 当 x =0 时， y 最小值 =0 当 x =0 时， y 最大值 =0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 3 . 函数 y = x 2 的图象的开口 , 对称轴是 , 顶点是 ; 顶点是抛物线的最 点 2 . 函数 y = － 3 x 2 的图象的开口 , 对称轴是 , 顶点是 顶点是抛物线的最 点 1. 函数 y =4 x 2 的图象的开口 , 对称轴是 , 顶点是 ; 向上 向下 y 轴 y 轴 (0,0) (0,0) 4 . 函数 y = － 0.2 x 2 的图象的开口 , 对称轴是 ___ , 顶点是 ; 向上 y 轴 (0,0) 向下 y 轴 (0,0) 高 低 练一练 例 1 已知 y =( m +1) x 是二次函数 , 且其图象开口向上 , 求 m 的值和函数解析式 m 2 + m 解 : 依题意有 : m +1>0 ① m 2 + m =2 ② 解②得 : m 1 = － 2, m 2 =1 由①得 : m > － 1 ∴ m =1 此时 , 二次函数为 : y =2 x 2 . 典例精析 例 2 ： 已知二次函数 y = x 2 ． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标 ，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数 y = x 2 的图象上吗 ？在 二次函数 y = － x 2 的图象上吗？ 典例精析 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当 x =2时， y = x 2 =4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标 ，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； （3）点B、C、D在二次函数 y = x 2 的图象上吗 ？在 二次函数 y = － x 2 的图象上吗？ 当 x = － 2时， y = x 2 =4， 所以C点在二次函数 y = x 2 的图象上； 当 x =2时， y = － x 2 = － 4， 所以B点在二次函数 y = － x 2 的图象上； 当 x = － 2时， y = － x 2 = － 4， 所以D点在二次函数 y = － x 2 的图象上． 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0 时， y 随 x 增大而增大，则 k = . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0 ， x 的指数等于 2. 又因 当 x ＞ 0 时， y 随 x 增大而增大 , 即说明二次项的系数大于 0. 因此， 解得 k = 2 2 练一练 例 3. 已知二次函数 y ＝ 2 x 2 . (1) 若点 ( － 2 ， y 1 ) 与 (3 ， y 2 ) 在此二次函数的图象上， 则 y 1 _____ y 2 ； ( 填“ >”“ ＝”或“ <”) ； (2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0 ， 0) ，长方形 ABCD 的顶点 A 、 B 在 x 轴上， C 、 D 恰好在二次函数的 图象上， B 点的横坐标为 2 ，求图中阴影部分的面积 之和． < (2) 解： ∵ 二次函数 y ＝ 2 x 2 的图象经过点 B ， ∴ 当 x ＝ 2 时， y ＝ 2×2 2 ＝ 8. ∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它 们的对称轴， ∴ OA ＝ OB ， ∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴ S 阴影部分面积之和 ＝ 2×8 ＝ 16. 二次函数 y ＝ ax 2 的图象关于 y 轴对称，因此 左右两部分折叠可以重合 ，在二次函数比较大小中，我们根据图象 中点具有的对称性 转变到同一变化区域中 ( 全部为升或全部为降 ) ，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法 ，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 当堂练习 1. 函数 y =2 x 2 的图象的开口 , 对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 , 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而 . 2. 函数 y = - 3 x 2 的图象的开口 , 对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧 , y 随 x 的增大而 , 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而 . 向上 向下 y 轴 y 轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 3 . 如右图，观察函数 y = （ k -1 ） x 2 的图象 , 则 k 的取值范围是 . x y k >1 4 . 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 5. 若抛物线 y = ax 2 （ a ≠ 0 ）， 过点 （ -1 ， 2 ） . （ 1 ） 则 a 的值是 ； （ 2 ） 对称轴是 ，开口 . （ 3 ） 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外） . (4) 若 A （ x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 在这条抛物线上，且 x 1 < x 2 <0, 则 y 1 y 2. 2 y 轴 向上 （ 0,0 ） 小 上 > 6. 已知二次函数 y = x 2 ，若 x ≥ m 时， y 最小值为0，求实数 m 的取值范围 ． 解：∵二次函数 y = x 2 ， ∴当 x =0时， y 有最小值，且 y 最小值 =0， ∵当 x ≥ m 时， y 最小值 =0， ∴ m ≤0． 7. 已知：如图，直线 y ＝ 3 x ＋ 4 与抛物线 y ＝ x 2 交于 A 、 B 两点，求出 A 、 B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为 A (4 ， 16) 和 B ( － 1 ， 1) ． ∵ 直线 y ＝ 3 x ＋ 4 与 y 轴相交于点 C (0 ， 4) ，即 CO ＝ 4. ∴ S △ ACO ＝ · CO ·4 ＝ 8 ， S △ BOC ＝ ×4×1 ＝ 2 ， ∴ S △ ABO ＝ S △ ACO ＋ S △ BOC ＝ 10. 课堂小结 二次函数 y=ax 2 的 图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注 4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 21.2 二次函数的图象和性质 2. 二次函数 y = ax ²+ bx + c 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 y = ax ²+ k 的图象和性质 学习目标 1. 会画二次函数 y = ax 2 + k 的图象 . （重点） 2. 掌握二次函数 y = ax 2 + k 的性质并会应用 . （难点） 3. 理解 y=ax ² 与 y=ax ² +k 之间的联系 . （重点） 这个函数的图象是如何画出来的？ 情境引入 x y 导入新课 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 ( a ＞ 0) 一 做一做： 画出二次函数 y =2 x ² , y =2 x 2 +1 ， y =2 x 2 -1 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性 . x … – 1.5 – 1 – 0.5 0 0.5 1 1.5 … y =2 x 2 + 1 … … y =2 x 2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y =2 x 2 -1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 讲授新课 x y O － 2 2 2 4 6 4 － 4 8 y =2 x 2 +1 y =2 x 2 y =2 x 2 -1 观察上述图象，说说它有哪些特征 . 探究归纳 解：先列表： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （ 0,0 ） （ 0,1 ） y 轴 y 轴 想一想： 通过上述例子，函数 y = ax 2 +k ( a ＞0) 的性质是什么？ y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 ( a ＜ 0) 二 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 根据图象回答下列问题 : (1) 图象的形状都是 . (2) 三条抛物线的开口方向 _______ ; (3) 对称轴都是 __________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线 x=0 ( 0,0) ( 0,2) ( 0,-2) (5) 顶点都是最 ____ 点，函数都有最 ____ 值，从上而下最大值分别为 _______ 、 _______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠ 0 ）的性质 y = ax 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （ 0, k ） （ 0, k ） 最值 当 x =0 时， y 最小值 = k 当 x =0 时， y 最大值 = k 增减性 当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 例 2 ： 已知二次函数 y ＝ ax 2 + c, 当 x 取 x 1 ， x 2 （ x 1 ≠ x 2 ）时，函数值相等，则当 x ＝ x 1 + x 2 时，其函数值为 ________. 解析：由二次函数 y ＝ ax 2 + c 图象的性质可知， x 1 ， x 2 关于 y 轴对称，即 x 1 + x 2 ＝ 0. 把 x ＝ 0 代入二次函数表达式求出纵坐标为 c . c 【方法总结】 二次函数 y ＝ ax 2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 解析式 y =2 x 2 y =2 x 2 +1 y =2 x 2 -1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 x … … y =2 x 2 -1 … … y =2 x 2 … … y =2 x 2 +1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2 x 2 2 x 2 -1 ( x , ) ( x , ) ( x , ) 2 x 2 -1 2 x 2 2 x 2 +1 从数的角度探究 二次函数 y = ax 2 + k 的图象及平移 三 2 x 2 +1 4 x y O － 2 2 2 4 6 － 4 8 10 － 2 y = 2 x 2 ＋ 1 y = 2 x 2 － 1 可以发现，把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y =2 x 2 -1. 下 y =2 x 2 +1 上 从形的角度探究 二次函数 y = ax 2 + k 的图象可以由 y = ax 2 的图象平移得到： 当 k > 0 时 , 向上平移 k 个单位长度得到 . 当 k < 0 时 , 向下平移 - k 个单位长度得到 . 二次函数 y = ax 2 与 y = ax 2 + k （ a ≠ 0 ）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减 . 知识要点 二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将 ( 　　 ) A ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 3 个单位得到 B ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 1 个单位得到 C ．抛物线 y ＝ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 D ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 解析：二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到的．故选 D. 练一练 D 想一想 1. 画抛物线 y = ax 2 + k 的图象有几步？ 2 . 抛物线 y = ax 2 + k 中的 a 决定什么？怎样决定的？ k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax 2 的图象，再向上（或向下）平移 ︱ k ︱ 单位 . 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线 . a 决定开口方向和大小； k 决定顶点的纵坐标 . 例 3 ： 如图，抛物线 y ＝ x 2 － 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 P 为抛物线上一点，且 S △ PAB ＝ 4 ，求 P 点的坐标． 解：抛物线 y ＝ x 2 － 4 ，令 y ＝ 0 ，得到 x ＝ 2 或－ 2 ， 即 A 点的坐标为 ( － 2 ， 0) ， B 点的坐标为 (2 ， 0) ， ∴ AB ＝ 4. ∵ S △ PAB ＝ 4 ，设 P 点纵坐标为 b ， ∴ ×4| b | ＝ 4 ， ∴| b | ＝ 2 ，即 b ＝ 2 或－ 2. 当 b ＝ 2 时， x 2 － 4 ＝ 2 ，解得 x ＝ ± ， 此时 P 点坐标为 ( ， 2) ， ( － ， 2) ； 当 b ＝－ 2 时， x 2 － 4 ＝－ 2 ，解得 x ＝ ± ， 此时 P 点坐标为 ( ， 2) ， ( － ， 2) ． 当堂练习 1. 抛物线 y =2 x 2 向下平移 4 个单位，就得到抛物 线 ． 　　 2. 填表： y = 2 x 2 －４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３ x 2 y = 3 x 2 ＋ 1 y = -4 x 2 － 5 向上 向上 向下 （ 0,0 ） (0,1) (0,-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 3. 已知 （ m , n ) 在 y = ax 2 + a （ a 不为 0 ）的图象上， (- m , n ) ___ （填“在”或“不在”） y = ax 2 + a （ a 不为 0 ）的图象上 . 4. 若 y = x 2 + （ k -2 ） 的顶点是原点，则 k ____ ；若顶点位于 x 轴上方，则 k ____ ；若顶点位于 x 轴下方，则 k . 在 =2 >2 <2 5. 不画 函数 y =- x 2 和 y =- x 2 +1 的图象回答下面的问题： （ 1 ） 抛物线 y =- x 2 +1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y =- x 2 . （ 2 ） 函数 y =- x 2 +1 ，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y 是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . （ 3 ） 试说出抛物线 y = x 2 -3 的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 向下平移 1 个单位 . >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 （ 0 ， -3 ） . 6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ k 和二次函数 y ＝ ax 2 ＋ k 的图象大致为 ( 　　 ) 方法总结： 熟记一次函数 y ＝ kx ＋ b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质 ( 开口方向、对称轴、顶点坐标等 ) 是解决问题的关键． D 能力提升 7. 对于二次函数 y =( m +1) x m 2 - m +3, 当 x >0 时 y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 8. 已知二次函数 y =( a -2) x 2 + a 2 -2 的最高点为（ 0 ， 2 ） 则 a =____. 9. 抛物线 y = ax 2 + c 与 x 轴交于 A （ -2,0 ） ﹑ B 两点，与 y 轴交于点 C (0 ， -4), 则三角形 ABC 的面积是 _______. 2 -2 8 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax 2 的关系 开口方向由 a 的符号决定； k 决定顶点位置； 对称轴是 y 轴 . 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 . 平移规律： k 正向上； k 负向下 . 课堂小结 21.2 二次函数的图象和性质 2. 二次函数 y = ax ²+ bx + c 的图象和性质 第 2 课时 二次函数 y = a ( x+h )² 的图象和性质 情境引入 学习目标 1. 会画二次函数 y = a ( x + h ) 2 的图象 . （重点） 2. 掌握二次函数 y = a ( x + h ) 2 的性质 .( 难点） 3. 比较函数 y = ax 2 与 y = a ( x + h ) 2 的联系 . 导入新课 复习引入 a , c 的符号 a>0, c> 0 a>0, c < 0 a<0, c> 0 a<0, c < 0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x =0 ） y 轴（直线 x =0 ） （ 0, c ） （ 0, c ） 当 x <0 时， y 随 x 增大而减小；当 x >0 时， y 随 x 增大而增大 . 当 x <0 时， y 随 x 增大而增大；当 x >0 时， y 随 x 增大而减小 . x= 0 时， y 最小值 =c x= 0 时， y 最大值 =c 问题 1 说说 二次函数 y = ax 2 +c (a ≠ 0) 的图象的特征 . 问题 2 二次函数 y = ax 2 + k ( a ≠0 ) 与 y = ax 2 ( a ≠0 ) 的图象有何关系？ 答：二次函数 y = ax 2 + k ( a ≠ 0 ) 的图象可以由 y = ax 2 ( a ≠ 0 ) 的图象平移得到： 当 k > 0 时，向上平移 c 个单位长度得到 . 当 k < 0 时，向下平移 - c 个单位长度得到 . 问题 3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 讲授新课 二次函数 y = a ( x + h ) 2 的图象和性质 一 互动探究 引例： 在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想： 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 的性质是什么？ 试一试： 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· － 2 － 4.5 － 2 0 0 － 2 － 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 4.5 0 x y － 8 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) 二次函数 y = a ( x + h ) 2 ( a ≠ 0) 的性质 y = a ( x-h ) 2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , 0 ） （ h , 0 ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = 0 当 x = h 时， y 最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图象上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解析： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， ∴ x ＜－ 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞－ 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 故答案为 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 练一练 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x + h ) 2 的关系 二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 知识要点 二次函数 y = a （ x + h ) 2 的图象 与 y = ax 2 的图象的关系 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变 . y = a ( x - h ) 2 当向 左 平移 ︱ h ︱ 时 y = a ( x + h ) 2 当向 右 平移 ︱ h ︱ 时 y = ax 2 例 1. 抛物线y＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y ＝ ax 2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， ∴ 平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 将二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象平移后，可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象，平移的方法是 ( 　　 ) A ．向上平移 1 个单位　　 B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位　　 D ．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ．则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象．故选 C. 练一练 C 1. 把抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图象的对称轴是直线 _______ ，顶点是 ________. 3 . 若 （ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ）为二次函数 y =( x -2) 2 图象上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. 当堂练习 y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 4. 指出下列函数图象的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 5. 在同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图象由函数 y =2 x 2 的图象向右平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 复习 y = ax 2 + k 探索 y = a ( x + h ) 2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x =- h （ - h ,0 ） a >0, 开口向上 a <0, 开口向下 y = ax 2 课堂小结 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变 . 21.2 二次函数的图象和性质 2. 二次函数 y = ax ²+ bx + c 的图象和性质 第 3 课时 二次函数 y = a ( x+h )²+ k 的图象和性质 学习目标 1. 会用描点法画出 y = a ( x + h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象 . 2. 掌握二次函数 y = a ( x + h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象的性质并会应用 .( 重点） 3 . 理解二次函数 y = a ( x + h ) 2 + k ( a ≠0) 与 y = ax 2 ( a ≠0) 之间的联系 . （难点） 导入新课 复习引入 1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: ( 1) y = ax 2 ( 2) y = ax 2 + k ( 3) y = a ( x + h ) 2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 2. 请说出二次函数 y =-2 x 2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3. 把 y =-2 x 2 的图像 向上平移3个单位 y =-2 x 2 +3 向左平移2个单位 y =-2( x +2) 2 4. 请猜测一下，二次函数 y =-2( x +2) 2 +3的图象是否可以由 y =-2 x 2 平移得到？你认为该如何平移呢？ O X y 3 -2 O y 3 -2 X 讲授新课 二次函数 y = a （ x + h ） 2 + k 的图象和性质 一 引例 画出函数 的图像 . 指出它的开口方向、顶点与对称轴 . 探究归纳 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解 : 先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线 x = － 1 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-1) 试一试 画出函数 y =2( x +1) 2 -2 图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点 . 开口方向向上； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数 y = a ( x + h ) 2 + k （ a ≠ 0 ）的性质 y = a ( x-h ) 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , k ） （ h , k ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = k 当 x = h 时， y 最大值 = k 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 顶点式 例 1. 已知二次函数 y ＝ a ( x － 1) 2 － c 的图象如图所示，则一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象可能是 ( 　　 ) 解析：根据二次函数开口向上则 a ＞ 0 ，根据－ c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c ＞ 0 ，故一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. 典例精析 A 例 2. 已知二次函数 y ＝ a ( x －1) 2 －4的图象经过点(3，0)． (1)求 a 的值； (2)若 A ( m ， y 1 )、 B ( m ＋ n ， y 2 )( n ＞0)是该函数图象上的两点，当 y 1 ＝ y 2 时，求 m 、 n 之间的数量关系． 解： (1) 将 (3 ， 0) 代入 y ＝ a ( x － 1) 2 － 4 ， 得 0 ＝ 4 a － 4 ，解得 a ＝ 1 ； (2) 方法一： 根据题意，得 y 1 ＝ ( m － 1) 2 － 4 ， y 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ， ∵ y 1 ＝ y 2 ， ∴( m － 1) 2 － 4 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ，即 ( m － 1) 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 . ∵ n ＞ 0 ， ∴ m － 1 ＝－ ( m ＋ n － 1) ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2 ； 方法二： ∵ 函数 y ＝ ( x － 1) 2 － 4 的图象的对称轴是经过点 (1 ，－ 4) ，且平行于 y 轴的直线， ∴ m ＋ n － 1 ＝ 1 － m ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2. 方法总结： 已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 例 3 要修建一个圆形喷水池 , 在池中心竖直安装一根水管 . 在水管的顶端安装一个喷水头 , 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高 , 高度为 3m , 水柱落地处离池中心 3m , 水管应多长 ? C(3,0) B(1 ， 3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解 : 如图建立直角坐标系 , 点 (1,3) 是图中这段抛物线的顶点 . 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵ 这段抛物线经过点 (3,0) ， ∴ 0= a (3 － 1) 2 ＋ 3. 解得 : 因此抛物线的解析式为 : y = a ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3). 当 x =0 时 , y =2.25. 答 : 水管长应为 2.25m . 3 4 a = － y = ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3) 3 4 － 向左平移 1 个单位 二次函数 y = a ( x + h ) 2 + k 与 y = ax 2 的关系 二 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 探究归纳 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 1 向下平移 1 个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 2 向左平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x + h ) 2 + k 的关系 可以看作互相平移得到的 . y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x + h ) 2 y = a ( x + h ) 2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减 . 二次项系数 a 不变 . 要点归纳 1. 请回答抛物线 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 由抛物线 y =4 x 2 怎样平移得到 ? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的 . 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是 （ 4 ， -2 ）， 试求这个函数关系式 . 练一练 当堂练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2( x +3) 2 +5 向上 ( 1, － 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , － 6 ) 向上 直线 x = － 3 直线 x =1 直线 x =3 直线 x =2 ( － 3, 5 ) y = － 3( x － 1) 2 － 2 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 y= － 5(2 － x ) 2 － 6 1. 完成下列表格 : 2. 把抛物线y= - 3 x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，那么所得抛物线是 ___________________. 4. 抛物线 y = - 3( x - 1) 2 +2的图象如何得到 y = - 3 x 2 . 3. 抛物线y= - 3 x 2 +2的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 ______________ 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位或 先 向上平移2个单位 ，再 向右平移1个单位 . 5. 已知一个二次函数图象的顶点为 A (-1,3),且它是由二次函数 y =5 x 2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式 . y = 5 ( x + 1 ) 2 + 3 课堂小结 一般地，抛物线 y = a ( x + h ) 2 + k 与 y = ax 2 形状相同，位置不同 . 二次函数 y = a ( x + h ) 2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a >0 , 开口向上；当 a <0, 开口向下 . 对称轴是 x =- h , 顶点坐标是 （ - h , k ). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 . 21.2 二次函数的图象和性质 2. 二次函数 y = ax ²+ bx + c 的图象和性质 第 4 课时 二次函数 y = ax ²+ bx+c 的图象和性质 情境引入 学习目标 1. 会用配方法或公式法将一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k .( 难点） 2. 会熟练求出二次函数一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的顶点坐标、对称轴 . （重点） 导入新课 复习引入 y = a ( x - h ) 2 + k a >0 a <0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 ( h ,k ) ( h ,k ) x = h x = h 当 xh 时， y 随着 x 的增大而增大 . 当 x < h 时 , y 随着 x 的增大而增大；当 x>h 时， y 随着 x 的增大而减小 . x = h 时 , y 最小 = k x = h 时 , y 最大 = k 抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 可以看作是由抛物线 y = ax 2 经过平移得到的 . 顶点坐标 对称轴 最值 y =-2 x 2 y =-2 x 2 -5 y =-2( x +2) 2 y =-2( x +2) 2 -4 y =( x -4) 2 +3 y =- x 2 + 2 x y =3 x 2 + x -6 (0,0) y 轴 0 (0,-5) y 轴 -5 (-2,0) 直线 x =-2 0 (-2,-4) 直线 x =-2 -4 (4,3) 直线 x =4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 一 探究归纳 我们 已经 知道 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题 1 怎样将 化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式？ 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“ 提”：提出二次项系数； ( 2 ) “ 配”：括号内配成完全平方； ( 3 )“化”：化成顶点式. 提示 : 配方后的表达式通常称为 配方式 或 顶点式 . 问题 2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x =6 , 顶点坐标是 （ 6 ， 3 ） . 问题 3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1 ： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2 ： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的 . 问题 4 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图， 得到图象如右图 . O 问题 5 结合 二次函数 的图象，说出其性质 . 5 10 x y 5 10 x =6 当 x <6 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x >6 时， y 随 x 的增大而增大 . O 例 1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质 . x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· - 6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解 : 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图 . 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x ＜ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x =1 时，函数取得最大值，最大值 y =-2. 求二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴和顶点坐标 . 因此，二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴是直线 x= 2 ， 顶点坐标为 (2,-1). 解： 练一练 将一般式 y = ax 2 + bx + c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k 二 我们如何用配方法将一般式 y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k ？ y = ax ² + bx + c 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 一般地， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 可以通过配方化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) (2) x y O x y O 如果 a >0, 当 x < 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 时， y 随 x 的增大而增大 . 如果 a <0 , 当 x < 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > 时， y 随 x 的增大而减小 . 例 2 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y =- x 2 + 2 x y =-2 x 2 - 1 y = 9 x 2 + 6 x -5 ( 1 , 3 ) x =1 最大值 1 (0,- 1 ) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( , -6 ) 直线 x = 二次函数字母系数与图象的关系 三 合作探究 问题 1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k 1 x + b 1 x y O y = k 2 x + b 2 y = k 3 x + b 3 k 1 ___ 0 b 1 ___ 0 k 2 0 b 2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ k 3 ___ 0 b 3 ___ 0 ＜ ＞ ＜ x y O 问题 2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a 1 ___ 0 b 1 ___ 0 c 1 ___ 0 a 2 ___ 0 b 2 ___ 0 c 2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上， a ＞ 0 对称轴在 y 轴左侧， x ＜ 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . x y O a 3 ___ 0 b 3 ___ 0 c 3 ___ 0 a 4 ___ 0 b 4 ___ 0 c 4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下， a ＜ 0 对称轴是 y 轴， x= 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 a 、 b 、 c 的关系 字母符号 图象的特征 a ＞ 0 开口 _____________________ a ＜ 0 开口 _____________________ b= 0 对称轴为 _____ 轴 a 、 b 同号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 c= 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 例 3 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 　　　　 C ． 3 　　　 D ． 4 D 由图象上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图象上 x ＝ 1 的点在第四象限得 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图象上 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ，即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确． 【解析】 由图象开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确； 由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确； 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 x 、 y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A .y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x =2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为 ( ) D 当堂练习 O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象如图所示，则下列结论： （ 1 ） a 、 b 同号； （ 2 ） 当 x =–1 和 x =3 时，函数值相等； （ 3 ） 4 a + b =0 ； （ 4 ） 当 y =–2 时， x 的值只能取 0 ； 其中正确的是 . 直线 x =1 （ 2 ） 3. 如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) 图象的一部分， x =-1 是对称轴，有下列判断： ① b -2 a =0；②4 a -2 b + c <0；③ a - b + c = -9 a ； ④若 （-3， y 1 ）,（ ， y 2 ） 是抛物线上两点，则 y 1 > y 2 .其中正确的是（ ） A ．①②③ 　　 B ．①③④ C ．①②④ 　 D ．②③④ x y O 2 x =-1 B 4. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x =3 直线 x =8 直线 x =1.25 直线 x = 0.5 课堂小结 顶点： 对称轴： y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) ( 一般式 ) 配方法 公式 法 ( 顶点式 ) 21.2 二次函数的图象和性质 * 3. 二次函数表达式的确定 学习目标 1. 会用待定系数法求二次函数的表达式 .( 难点） 2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题 . （重点） 导入新课 复习引入 1. 一次函数 y = kx + b ( k ≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2 个 2 个 待定系数法 ( 1 ) 设：（表达式） ( 2 ) 代：（坐标代入） ( 3 ) 解：方程（组） ( 4 ) 还原：（写表达式） 一般式法二次函数的表达式 一 探究归纳 问题 1 （ 1 ） 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （ 2 ） 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 讲授新课 解： 设这个二次函数的表达式是 y= ax 2 + bx +c, 把 （-3，0），（-1，0），（0，-3） 代入 y = ax 2 + bx + c 得 ① 选取 （ -3 ， 0 ），（ -1 ， 0 ），（0， -3 ）， 试求出这个二次函数的表达式 . 9 a -3 b + c =0， a - b + c =0， c =-3， 解得 a =-1， b =-4， c =-3 . ∴所求的二次函数的 表达 式是 y =- x 2 -4 x -3. 待定系数法 步骤： 1 . 设： （表达式） 2 . 代： （坐标代入） 3 . 解： 方程（组） 4 . 还原： （写解析式） 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做 一般式法 . 其步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax 2 + bx + c ； ② 代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a , b , c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式 . 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 例 1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10) 、 (1,4) 、 (2,7) 三点，求这个二次函数的表达式 . 解： 设这个二次函数的表达式是 y= ax 2 + bx +c,已知函数图象经过点 (-1, 10) 、 (1,4) 、 (2,7) 三点，可得 4 a + 2 b + c = 7 ， a - b + c = 1 0， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的 表达 式是 y =2 x 2 -3 x +5 a + b + c = 4 ， c = 5 ， a = 2 ， b = -3 ， 例 2 有一个二次函数 , 当 x =0 时 , y = － 1; 当 x = － 2 时 , y = 0 ; 当 x = 时 , y = 0 , 求这个二次函数的解析式 . 由题意得： 解：设所求的二次函数为 , 2 c bx ax y + + = 解得 所求的二次函数为 顶点法求二次函数的表达式 二 选取顶点 （ -2 ， 1 ） 和点 （ 1 ， -8 ）， 试求出这个二次函数的表达式 . 解：设这个二次函数的表达式是 y = a ( x - h ) 2 + k , 把顶点 （-2，1） 代入 y = a ( x - h ) 2 + k 得 y = a ( x +2) 2 +1， 再把点 （1，-8） 代入上式得 a (1+2) 2 +1=-8， 解得 a =-1 . ∴所求的二次函数的表达式是 y =-( x +2) 2 +1 或 y=- x 2 -4 x -3 . 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法 . 其步骤是： ① 设函数表达式是 y= a ( x - h ) 2 + k ； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式 . 例 2 一个二次函数的图象经点 (0, 1) ，它的顶点坐标为 (8,9) ， 求这个二次函数的表达式 . 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8,9) ，因此，可以设函数表达式为 y = a ( x - 8 ) 2 + 9. 又由于它的图象经过点 (0 ,1) ，可得 0 = a ( 0 - 8 ) 2 + 9. 解得 ∴所求的二次函数的解析式是 解： ∵ （-3，0）（-1，0） 是抛物线 y = ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点 . 所以可设这个二次函数的表达式是 y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) .(其中 x 1 、 x 2 为交点的横坐标 . 因此得 y = a ( x +3)( x +1) . 再把点 （0，-3） 代入上式得 ∴ a (0+3)(0+1)=-3， 解得 a =-1 ， ∴ 所求的二次函数的表达式是 y =-( x +3)( x +1),即 y =- x 2 -4 x -3. 选取 ( -3 ， 0 ) ， ( -1 ， 0 ) ， ( 0， -3 ) ， 试出这个二次函数的表达式 . 交点法求二次函数的表达式 三 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做 交点法 . 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a ( x - x 1 )( x - x 2 )； ② 先把两交点的横坐标 x 1 , x 2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式 . 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于 x 轴，但不可以平行于 y 轴 . 特殊条件的二次函数的表达式 四 例 3. 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ c 的图象经过点 (2,3) 和 ( － 1, － 3) ，求这个二次函数的表达式． 解 :∵ 该图象经过点（ 2,3 ）和 ( － 1, － 3 ) ， 3=4 a + c ， － 3 = a + c ， ∴ 所求二次函数表达式为 y = 2 x 2 － 5. ∴ { a =2 ， c = － 5. 解得 { 关于 y 轴对称 　　已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx 的图象经过点 ( － 2 ， 8) 和 ( － 1 ， 5) ，求这个二次函数的表达式． 解 :∵ 该图象经过点（ -2,8 ）和（ -1,5 ）， 做一做 图象经过原点 8=4 a -2 b ， 5= a - b ， ∴ { 解得 a =-1, b =-6 . ∴ y =- x 2 -6 x . B C 二次函数与一次函数的综合 五 解：如图所示； 例 5 ： 抛物线 与直线 交于 B,C 两点 . （ 1 ）在同一平面直角坐标系中 画出直线与抛物线； 解：由 （ 2 ）记抛物线的顶点 A ，求△ ABC 的面积； x y O A 2 -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 得点 A 的坐标为（ 4,0 ） 解方程组 得 B （ 2,2 ） , C （ 7,4.5 ） x y O A B 1 -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过 B , C 两点作 x 轴垂线，垂直为 B 1 , C 2 C 1 练一练 如图，函数 y = ax 2 -2 x +1 和 y = ax + a （ a 是常数，且 a ≠0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） x O y A O x y B x O y C x O y D A 当堂练习 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 y = ax 2 与 y = ax 2 + k 、 y = a ( x - h ) 2 、 y = a ( x - h ) 2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式 . 注意 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 3 2 1 -1 3 4 5 2. 过点 （2，4）， 且当 x =1 时， y 有最值为 6 ，则其表达式 是 . 顶点坐标是 （1，6） y =-2( x -1) 2 +6 3. 已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ，－ 5) ， (0 ，－ 4) 和 (1 ， 1) ．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ． 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y ＝ 2 x 2 ＋ 3 x － 4. a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， c ＝－ 4 ， a-b ＋ c ＝ -5 ， 解得 b ＝ 3 ， c ＝－ 4 ， a ＝ 2 ， 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A ( － 1 ， 0) ， B (1 ， 0) ，且过点 M (0 ， 1) ，求此函数的表达式． 解：因为点 A ( － 1 ， 0) ， B (1 ， 0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y ＝ a ( x ＋ 1)( x － 1) ． 又因为抛物线过点 M (0 ， 1) ， 所以 1 ＝ a (0 ＋ 1)(0 － 1) ，解得 a ＝－ 1 ， 所以所求抛物线的表达式为 y ＝－ ( x ＋ 1)( x － 1) ， 即 y ＝－ x 2 ＋ 1. 5. 如图，抛物线 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 过点 A ( － 4 ，－ 3) ，与 y 轴交于点 B ，对称轴是 x ＝－ 3 ，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解： (1) 把点 A ( － 4 ，－ 3) 代入 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 得 16 － 4 b ＋ c ＝－ 3 ， c － 4 b ＝－ 19. ∵ 对称轴是 x ＝－ 3 ， ∴ ＝－ 3 ， ∴ b ＝ 6 ， ∴ c ＝ 5 ， ∴ 抛物线的表达式是 y ＝ x 2 ＋ 6 x ＋ 5 ； (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C ， D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD ＝ 8 ，求 △ BCD 的面积． (2)∵ CD ∥ x 轴， ∴ 点 C 与点 D 关于 x ＝－ 3 对称． ∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD ＝ 8 ， ∴ 点 C 的横坐标为－ 7 ， ∴ 点 C 的纵坐标为 ( － 7) 2 ＋ 6×( － 7) ＋ 5 ＝ 12. ∵ 点 B 的坐标为 (0 ， 5) ， ∴△ BCD 中 CD 边上的高为 12 － 5 ＝ 7 ， ∴△ BCD 的面积＝ ×8×7 ＝ 28. 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法： y = ax 2 + bx + c 用顶点法： y = a ( x - h ) 2 + k 用交点法： y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( x 1 , x 2 为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 21.3 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点） 2. 会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重点） 3. 通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用 . （难点） 学习目标 导入新课 情境引入 问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有关系： h =20 t -5 t 2 ， 考虑以下问题： 讲授新课 二次函数与一元二次方程的关系 一 （ 1 ） 球的飞行高度能否达到 15m ？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴ 当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为 15m . 解 ：解方程 15=20t-5t 2 , t 2 -4 t +3=0, t 1 =1, t 2 =3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为 15m 吗？ h =20 t -5 t 2 （ 2 ） 球的飞行高度能否达到 20m ？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为 20m ？ O h t 20 4 解方程： 20=20 t -5 t 2 , t 2 -4 t +4=0, t 1 = t 2 =2. 当球飞行 2 秒时，它的高度为 20 米 . h =20 t -5 t 2 （ 3 ） 球的飞行高度能否达到 20.5m ？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到 20.5m 的高度 ? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t 2 , t 2 -4t+4.1=0, 因为 (-4) 2 -4 ×4.1<0, 所以方程无解 . 即球的飞行高度达不到 20.5 米 . h =20 t -5 t 2 （ 4 ） 球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t 2 , t 2 -4t=0, t 1 =0,t 2 =4. 当球飞行 0 秒和 4 秒时，它的高度为 0 米 . 即 0 秒时球地面飞出， 4 秒时球落回地面 . h =20 t -5 t 2 从上面发现，二次函数 y = ax 2 + bx + c 何时 为一元二次方程 ? 一般地，当 y 取定值且 a ≠0 时，二次函数为一元二次方程 . 如： y =5 时，则 5= ax 2 + bx + c 就是一个一元二次方程 . 为一个常数 （定值） 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = － x 2 ＋ 4 x 的值为 3 ，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程 － x 2 ＋ 4 x =3 （即 x 2 －4 x +3=0 ）． 反过来，解方程 x 2 －4 x +3=0 又可以看作已知二次函数 y = x 2 －4 x +3 的值为 0 ，求自变量 x 的值． 利用二次函数深入讨论一元二次方程 二 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （ 1 ） y = x 2 + x -2 ； （ 2 ） y = x 2 -6 x +9 ； （ 3 ） y=x 2 - x +1. 1 x y O y = x 2 － 6 x ＋ 9 y = x 2 － x ＋ 1 y = x 2 ＋ x － 2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x 2 － x ＋ 1 y = x 2 － 6 x ＋ 9 y = x 2 ＋ x － 2 0 个 1 个 2 个 x 2 - x +1=0 无解 0 x 2 -6 x +9=0 ， x 1 = x 2 =3 -2, 1 x 2 + x -2=0 ， x 1 =-2, x 2 =1 知识要点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax 2 + bx +c=0 的根 b 2 -4 ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b 2 - 4 ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b 2 - 4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 - 4 ac < 0 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 根的关系 例 1 ： 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠ 0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． (1) 证明： ∵ m ≠0 ， ∴Δ ＝ ( m ＋ 2) 2 － 4 m ×2 ＝ m 2 ＋ 4 m ＋ 4 － 8 m ＝ ( m － 2) 2 . ∵( m － 2) 2 ≥0 ， ∴Δ≥0 ， ∴ 此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 解：令 y ＝ 0 ，则 ( x － 1)( mx － 2) ＝ 0 ， 所以 x － 1 ＝ 0 或 mx － 2 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ . 当 m 为正整数 1 或 2 时， x 2 为整数，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为 1 或 2. 例 1 ： 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠ 0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式： 已知：抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2. (1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A ( x 1 ， 0) ， B ( x 2 ， 0) ，且 x 1 、 x 2 的平方和为 3 ，求 a 的值． (1) 证明： ∵Δ ＝ a 2 － 4( a － 2) ＝ ( a － 2) 2 ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 解： ∵ x 1 ＋ x 2 ＝－ a ， x 1 · x 2 ＝ a － 2 ， ∴ x 1 2 ＋ x 2 2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 2 x 1 · x 2 ＝ a 2 － 2 a ＋ 4 ＝ 3 ， ∴ a ＝ 1. 例 2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离， y 是铅球离地面的高度 . （ 1 ）当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （ 2 ）铅球离地面的高度能否达到 2.5m ，它离初始位置的水平距离是多少？ （ 3 ）铅球离地面的高度能否达 到 3m ？为什么？ 解 （ 1 ）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初始 位置的水平距离是 1m 或 5m. （ 1 ）当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （ 2 ）铅球离地面的高度能否达到 2.5m ，它离初始位置的水平距离是多少？ （ 2 ）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.5m 时，它离初始位 置的水平距离是 3m. （ 3 ）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根 . 所以铅球离地面的高度不能达到 3m. （ 3 ）铅球离地面的高度能否达到 3m ？为什么？ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了 . 例 3 ： 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1） . 分析：一元二次方程 x ²+2 x -1=0 的根就是抛物线 y=x ²+2 x -1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 三 解：画出函数 y=x ²+2 x -1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在- 3 与 -2 之间,另一个在 0 与 1 之间 . x y 0 先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4 ，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由负变正，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y =0 ，即有 y = x 2 -2 x -1 的一个根，题目只要求 精确到 0.1 ，这时取 x= -2.5 和 x =-2.4 都符合要求 . 但当 x =-2.4 时更为接近 0. 故 x 1 ≈-2.4 . 同理可得另一近似值为 x 2 ≈0.4 . 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的 图象 求一元二次方程 2 x 2 + x -15=0 的近似根 . (1) 用描点法作二次函数 y =2 x 2 + x -15 的图象； (2) 观察估计二次函数 y =2 x 2 + x -15 的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知 , 图象与 x 轴有两个交点 , 其横坐标一个是 -3, 另一个在 2 与 3 之间 , 分别约为 -3 和 2.5 ( 可将单位长再十等分 , 借助计算器确定其近似值 ); (3) 确定方程 2 x 2 + x -15=0 的解 ; 由此可知 , 方程 2 x 2 + x -15=0 的近似根为 : x 1 ≈-3, x 2 ≈2.5. 方法归纳 例 4: 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的近似根为 ( 　　 ) A ． x 1 ≈ － 2.1 ， x 2 ≈0.1 B ． x 1 ≈ － 2.5 ， x 2 ≈0.5 C ． x 1 ≈ － 2.9 ， x 2 ≈0.9 D ． x 1 ≈ － 3 ， x 2 ≈1 解析：由图象可得二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 图象的对称轴为 x ＝－ 1 ，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5 ， ∴ x 2 ≈0.5 ；又 ∵ 对称轴为 x ＝－ 1 ，则 ＝－ 1 ， ∴ x 1 ＝ 2×( － 1) － 0.5 ＝－ 2.5. 故 x 1 ≈ － 2.5 ， x 2 ≈0.5. 故选 B. B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 判断方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠ 0 , a,b,c 为常数 ) 一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 < x < 3.25 D. 3.25 < x < 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax 2 + bx +c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值 : 当堂练习 2 ． 若二次函数 y =- x 2 +2 x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 - x 2 +2 x + k =0 的一个解 x 1 =3 ，则另一个解 x 2 = ； -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3 x 2 + x － 10=0 的两个根是 x 1 = － 2 ， x 2 = ， 那么二次函数 y = 3 x 2 + x － 10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2 ， 0) ( ， 0) 4 . 若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ） A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D .第二、三、四象限 A 5. 二次函数 y ＝ kx 2 － 6 x ＋ 3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ( 　　 ) A ． k <3 B ． k <3 且 k ≠0 C ． k ≤3 D ． k ≤3 且 k ≠0 D 6. 已知 函数y＝(k－3)x 2 ＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x 2 ＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x 2 ＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b 2 －4ac≥0. ∵b 2 －4ac＝2 2 －4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 7. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解： (1) 由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A (0 ， ) ， B (4 ， 4) ， C (7 ， 3) ，其中 B 是抛物线的顶点． 设二次函数关系式为 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ，将点 A 、 B 的坐标代入，可得 y ＝－ ( x － 4) 2 ＋ 4. 将点 C 的坐标代入上式，得左边＝ 3 ，右边＝－ (7 － 4) 2 ＋ 4 ＝ 3 ，左边＝右边，即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中； (2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？ (2) 将 x ＝ 1 代入函数关系式，得 y ＝ 3. 因为 3.1 ＞ 3 ，所以盖帽能获得成功． 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) ， 当 y 取定值时就成了一元二次方程； ax 2 + bx + c =0( a ≠0), 右边换成 y 时就成了二次函数 . 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 21.3 二次函数与一元二次方程 第 2 课时 二次函数与一元二次不等式 1. 通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间 的联系； ( 重点 ) 2. 会用二次函数图象求一元二次不等式的解集 . ( 重点 ) 学习目标 问题 1 ： 上节课学到的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0)的根和二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0)的图象,它们存在着怎样的联系? 导入新课 回顾与思考 问题 2 ： 一次函数与一元一次不等式有怎样的联系？那你可以猜测到二次函数与一元二次不等式的联系吗？ 二次函数与一元二次不等式的关系 一 问题 1 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 方程 ax 2 + bx + c =0 的根是 _____ _____; 不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集 是 ___________; 不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集 是 _________. 3 -1 O x y x 1 =-1 ， x 2 =3 x <-1 或 x >3 -1< x <3 合作探究 讲授新课 拓广探索： 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________; 不等式 ax 2 + bx + c >2 的解集是 ___________; 不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x 1 =-2 ， x 2 =4 x <-2 或 x >4 -2< x <4 y 问题 2 ： 如果不等式 ax 2 + bx + c >0 （ a ≠0 ）的解集是 x ≠2 的一切实数，那么函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有 ____ 个交点，坐标是 ______. 方程 ax 2 + bx + c =0 的根是 ______. 1 (2,0) x =2 2 O x y 问题 3 ： 如果方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）没有实数根，那么函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有 ______ 个交点； 不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集是多少？ 0 解： ( 1 ) 当 a >0 时 , ax 2 + bx + c <0 无解； ( 2 ) 当 a ＜ 0 时 , ax 2 + bx + c <0 的解集是一切实数 . 3 -1 O x 思考： m 取何值时，抛物线 y = x 2 +( m +8) x + m +8 与 x 轴的两个交点关于原点对称？ m 取何值时，抛物线 y = x 2 +( m +8) x + m +8 与 x 轴的正半轴有两个交点？ m 取何值时，抛物线 y = x 2 +( m +8) x + m +8 与 x 轴的负半轴有两个交点？ m 取何值时，抛物线 y = x 2 +( m +8) x + m +8 与 x 轴的正负半轴都有交点？ m 取何值时，抛物线 y = x 2 +( m +8) x + m +8 经过原点？ 试一试： 利用函数图象解下列方程和不等式 : (1) ①- x 2 + x +2=0; ②- x 2 + x +2>0; ③- x 2 + x +2<0. (2) ① x 2 -4 x +4=0; ② x 2 -4 x +4>0; ③ x 2 -4 x +4<0. (3) ①- x 2 + x -2=0; ②- x 2 + x -2>0; ③- x 2 + x -2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y = - x 2 + x +2 x 1 =-1 , x 2 =2 -1 ＜ x ＜ 2 x ＜ -1 或 x ＞ 2 x 2 -4 x +4=0 x =2 x ≠2 的一切实数 x 无解 -x 2 + x -2=0 x 无解 x 无解 x 为全体实数 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 a ＞ 0 a ＜ 0 有两个交点 x 1 , x 2 （ x 1 ＜ x 2 ） 有一个交点 x 0 没有交点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y ＜ 0 ， x 1 ＜ x ＜ x 2 . y ＞ 0 ， x 2 ＜ x 或 x ＜ x 2 y ＞ 0 ， x 1 ＜ x ＜ x 2 . y ＜ 0 ， x 2 ＜ x 或 x ＜ x 2 . y ＞ 0. x 0 之外的所有实数； y ＜ 0 ，无解 y ＜ 0. x 0 之外的所有实数； y ＞ 0 ，无解 . y ＞ 0 ， 所有实数； y ＜ 0 ，无解 y ＜ 0 ， 所有实数； y ＞ 0 ，无解 利用两个函数图象求不等式的解集 二 例 2 已知抛物线 ( a ＞ 0 ）与直线 相交于点 O （ 0,0 ） 和点 A （ 3,2 ），求不等式 的解集 . 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式 . 因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集 . 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 已知函数 y 1 ＝ x 2 与函数 的图象大致如图，若 y 1 ＜ y 2 ，则自变量 x 的取值范围是 ( ) 做一做 A. C. B. 或 D. 或 C 解析：先根据方程 算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案 . 1. （ 1 ） x 取何值时， 关于 x 的二次三项式 x 2 -3 x +2 的值为负数； （ 2 ） a 是什么实数时，不等式 ax 2 + ax -1>0 无解？ 当堂练习 解： (1) 1 ＜ x ＜ 2 ； （ 2 ）△ = a 2 +4 a ＜ 0 ， 解得 -4 ≤ a ＜ 0. 2. 当 1 ＜ x ＜ 3 时，二次函数 y = x² -( k +1) x + k 的图象在 x 轴下侧，求 k 的取值范围 . 解： y = x ²-( k +1) x + k= （ x - k )( x -1) ，与 x 轴交点坐标为（ 1,0 ）、（ k ， 0 ） . 因为当 1 ＜ x ＜ 3 时有 y ＜ 0 ，所以 k ≥ 3. 3. 已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （ 1 ） 方程 的解是什么？ （ 2 ） x 取什么值时， y >0 ？ （ 3 ） x 取什么值时， y <0 ？ x y O 2 4 8 解 ：（ 1 ） x 1 =2, x 2 =4; （ 2 ） x < 2 或 x >4; （ 3 ） 2< x <4. 4. 如图，一次函数 y 1 =kx +1 与二次函数 y 2 = ax 2 +bx -2 交于 A 、 B 两点，且 A （ 1,0 ），抛物线的对称轴是 . （ 1 ） 求 k 和 a 、 b 的值； x y A O B 解： y 1 =kx +1 经过点 A （ 1,0 ），则 0= k +1 ，得 k= -1. y = ax 2 +bx -2 经过点 A （ 1,0 ）， 则 0= a+b -2 ① ， 抛物线的对称轴是 ， 故 ② ， 联立 ① ②， 解得 解：根据对称性，可知 y 2 道与 x 轴的另一个交点为 (-4,0) ， 根据图象可以看出， kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集为 -4 ＜ x ＜ 1. x y A O B （ 2 ）求不等式 kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集 . 判别式△ = b 2 -4 ac 二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a >0 ） 的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）的根 不等式 ax 2 + bx + c >0 （ a >0 ）的解集 不等式 ax 2 + bx + c <0 （ a >0 ）的解集 x 2 x 1 x y o O x 1 = x 2 x y x O x y x △ >0 △＝ 0 △＜ 0 x 1 ; x 2 x 1 = x 2 ＝－ b /2 a 没有实数根 x < x 1 或 x > x 2 x ≠ x 1 的一切实数 所有实数 x 1 < x < x 2 无解 无解 课堂小结 21.4 二次函数的应用 第 1 课时 二次函数在面积最值中的应用 学习目标 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系 . （难点） 2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 . 3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题 . （重点） 导入新课 复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值 . （ 1 ） y = x 2 -4 x -5; ( 配方法 ) (2) y =- x 2 -3 x +4. ( 公式法 ) 解：（ 1 ）开口方向：向上；对称轴： x =2 ； 顶点坐标：（ 2 ， -9 ）；最小值： -9 ； （2）开口方向：向下；对称轴： x = ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 求二次函数的最大（或最小）值 一 讲授新课 合作探究 问题 1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 及自变量的取值范围决定 . 问题 2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当 a ＞ 0 时，有 ，此时 . 当 a ＜ 0 时，有 ，此时 . 问题 3 当自变量 x 有限制时，二次函数 的最值如何确定？ 例 1 求下列函数的最大值与最小值 x 0 y 解： - 3 1 （ 1 ） 当 时， 当 时， 典例精析 解： 0 x y 1 -3 （ 2 ） 即 x 在对称轴的右侧 . 当 时， 函数的值随着 x 的增大而减小 . 当 时， 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴 . 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围 . 3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系 . 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值 . 然后根据 x 的值，求出函数的最值 . 引例 : 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球的运动时间 t （单位： s ）之间的关系式是 h= 30 t - 5 t 2 （ 0 ≤ t ≤ 6 ）． 小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 二次函数与几何图形面积的最值 二 t/ s h/ m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30 t - 5 t 2 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点 . 也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 . 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 想一想： 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 小球运动的时间是 3s 时，小球最高 . 小球运动中的最大高度是 45 m ． t/ s h/ m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30 t - 5 t 2 例 2 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化 . 当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 问题 1 矩形面积公式是什么？ 典例精析 问题 2 如何用 l 表示另一边？ 问题 3 面积 S 的函数关系式是什么？ 解 : 根据题意得 S = l (30- l ), 即 S =- l 2 +30 l (0 0) ． ( 2 ) 小明星期二步行上学用了 25 min ，星期三骑自行 车上学用了 8 min ，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125 － 40 ＝ 85 ( m/min ) ． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t ＝ 25 时， ； 当 t ＝ 8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y 1 + y 2 ， y 1 与 ( x － 1) 成正比例， y 2 与 ( x + 1) 成反比例，当 x = 0 时， y = － 3 ；当 x =1 时， y = － 1 ， 求： ( 1 ) y 关于 x 的关系式； 解：设 y 1 = k 1 ( x － 1) ( k 1 ≠0) ， ( k 2 ≠0) ， 则 . ∵ x = 0 时， y = － 3 ； x =1 时， y = － 1 ， － 3= － k 1 + k 2 ， ∴ k 1 =1 ， k 2 = － 2. ∴ ∴ ( 2 ) 当 x = 时， y 的值 . 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义 / 三种表达方式 反比例函数 21.5 反比例函数 第 2 课时 反比例函数的图象和性质 学习目标 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程 ( 重点、难点 ) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质 . ( 重点 ) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 . ( 重点、 难点 ) 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 反比例函数的图象和性质 一 讲授新课 例 1 画反比例函数 与 的图象 . 合作探究 提示： 画函数的图象步骤一般分为：列表 → 描点 → 连线 . 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x … － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 1 2 3 4 5 6 … … … … … － 1 － 1.2 － 1.5 － 2 － 3 － 6 6 3 2 1.5 1.2 1 － 2 － 2.4 － 3 － 4 － 6 6 4 3 2.4 2 O － 2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 － 3 － 4 － 1 － 5 － 6 － 1 － 2 － 3 － 4 － 5 － 6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 　的图象． 观察这两个函数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大， y 如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 ( k ＞ 0) ，考虑问题 (1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 . 反比例函数 ( k ＞ 0) 的图象和性质： 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点 ( － 2 ，－ 3) ，函 数图象上有两点 A ( ， y 1 ) ， B (5 ， y 2 ) ， 则 y 1 与 y 2 的大小关系为 ( ) A. y 1 > y 2 B. y 1 = y 2 C. y 1 < y 2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为 6 ＞ 0 ，且 A ， B 两点 均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5 ，可知 y 1 ， y 2 的大小关系 . 观察与思考 当 k = － 2 ， － 4 ， － 6 时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k ＞ 0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k ＜ 0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 ( k ＜ 0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成， 且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 . 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大 . 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上，则 y 1 y 2 ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ) . < 练一练 例 2 已知反比例函数 ， y 随 x 的 增大而增大，求 a 的值 . 解：由题意得 a 2 + a － 7= － 1 ，且 a － 1<0 ． 解得 a= － 3 . 反比例函数的图象和性质的初步运用 二 练一练 已知反比例函数 在每个象限内， y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m 2 － 10= － 1 ，且 3 m － 8 ＞ 0 ． 解得 m= 3 . 例 3 已知反比例函数的图象经过点 A (2 ， 6). ( 1 ) 这个函数的图象位于哪些象限？ y 随 x 的 增大如 何变化？ 解：因为点 A (2 ， 6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内， y 随 x 的 增大而减小 . ( 2 ) 点 B (3 ， 4) ， C ( ， ) ， D (2 ， 5) 是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2 ， 6) 在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B ， C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B ， C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上 . 所以反比例函数的解析式为 . ( 1 ) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例 4 如图，是反比例函数 图象的一支 . 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限 . 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以 m － 5 ＞ 0 ， 解得 m ＞ 5. ( 2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点 A ( x 1 ， y 1 ) 和 点 B ( x 2 ， y 2 ). 如果 x 1 ＞ x 2 ，那么 y 1 和 y 2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m － 5 ＞ 0 ，所以在这个函数图象的任一支 上， y 都随 x 的增大而减小，因此当 x 1 ＞ x 2 时， y 1 ＜ y 2 . ( 1 ) 如果这个函数图象经过点（ -3,5 ），求 k 的值； (2) 如果这个函数图象在它所处的象限内，函数 y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围 . 例 5 已知反比例函数 解： ( 1 ) 因为函数图象经过点（ -3 ， 5 ），代入 函数的表达式，得 解方程，得 k=-7. (2) 根据题意，有2k-1>0. 解不等式，得 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P ， Q 向 x 轴、 y 轴作垂线，围成面积 分别 为 S 1 ， S 2 的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 － 1 5 x y O P S 1 S 2 P (2 ， 2) Q (4 ， 1) S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想 S 1 ， S 2 与 k 的关系 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = k － 5 － 4 － 3 － 2 1 4 3 2 － 3 － 2 － 4 － 5 － 1 Q S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想与 k 的关系 P ( － 1 ， 4) Q ( － 2 ， 2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P ， Q 两点，填写表格： 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = － k y x O P Q S 1 S 2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是 图象上的任意一点 ，作 P A 垂直于 x 轴，作 P B 垂直于 y 轴，矩形 AOB P 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOB P = | k |. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 ( a ， b ) A B ∵ 点 P ( a ， b ) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k . ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA= － a · b= － ab= － k ； 若点 P 在第二象限，则 a <0 ， b >0 ， 若点 P 在第四象限，则 a >0 ， b <0 ， ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA =a · ( － b ) = － ab= － k . B P A 综上， S 矩形 AOB P = | k |. 自己尝试证明 k > 0 的情况 . 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ = . 推理：△ QAO 与△ QBO 的 面积和 k 的关系是 S △ QAO = S △QBO = . Q 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA > SB > SC B. SA < SB < SC C. SA = SB = SC D. SA < SC < SB 1. 如图，在函数 ( x ＞0)的图像上有三点 A ， B ， C ，过这三点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，过每一点 所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分 别为 SA ， SB ， SC ， 则 ( ) y x O A B C C 练一练 2 . 如图，过反比例函数 图象上的一点 P ，作 PA ⊥ x 轴于 A . 若△ POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示： 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k ＜ 0. y x O P A 3 . 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为点 M ， N ，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 例 5 如图， P ， C 是函数 ( x >0 ) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA ，垂足为 A ，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD ，垂足为 D ，连接 OC 交 PA 于点 E . 设 △ POA 的面积 为 S 1 ，则 S 1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的大小 关系是 S 1 S 2 ；△ POE 的面 积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3 . 典例精析 2 S 1 S 2 ＞ ＝ S 3 如图所示，直线与双曲线交于 A ， B 两点， P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1 、 △ BOD 的面积 S 2 、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 . S 1 = S 2 < S 3 练一练 解析：由 反比例函数面积的不变 性易知 S 1 = S 2 . PE 与双曲线的一 支交于点 F ，连接 OF ，易知， S △ OFE = S 1 = S 2 ，而 S 3 ＞ S △ OFE ， 所以 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 S 1 = S 2 < S 3 F S 1 S 2 S 3 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2 x 与 的 图象大致是 ( ) O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 3 . 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是 ________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 ( － 1 ， 12) 和点 ( 10 ，－ 1.2) ； (2) 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于 二、四象限 . 其中正确的是 ( 填序号 ). (1)(3) m ＞ 2 5. 在反比例函数　　　 ( k >0) 的图象上有两点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 且 x 1 > x 2 >0 ，则 y 1 － y 2 0. ＜ y D B A C x 6. 如图，点 A 是反比例函数 ( x ＞0)的图象上 任意一点， AB // x 轴交反比例函数 ( x ＜ 0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中 点 C ， D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD = ___ . 3 2 5 7. 已知反比例函数 y = mx m ² － 5 ，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值 . 解：因为反比例函数 y = mx m ² － 5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m 2 － 5= － 1 ， m ＞ 0 ， 解得 m =2. 8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4). ( 1 ) 求 k 的值； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4 ) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = － 8. ( 2 ) 这个函数的图象分布在哪些象限？ y 随 x 的增大 如何变化 ? 解： 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内， y 随 x 的 增大而增大 . ( 3 ) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： ( 4 ) 点 B (1 ，－ 8) ， C ( － 3 ， 5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上 . 解：该反比例函数的解析式为 . 能力提升： 8. 点 ( a － 1 ， y 1 ) ， ( a ＋ 1 ， y 2 ) 在反比例函数 (k ＞ 0) 的图象上，若 y 1 ＜ y 2 ，求 a 的取值范围 . 解：由题意知，在图象的每一支上， y 随 x 的增大而 减小 . ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵ y 1 ＜ y 2 ，∴ a －1＞ a +1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵ y 1 ＜ y 2 ， ∴ 必有 y 1 ＜ 0 ＜ y 2 . ∴ a －1＜0， a +1＞0， 解得：－1＜ a ＜1 . 故 a 的取值范围为：－1＜ a ＜1． 反比例函数 ( k ≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 课堂小结 21.5 反比例函数 第 3 课时 反比例函数的应用 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. ( 重点、难点 ) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数解析式可以写为 ( S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 ( S ＞ 0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用 一 引例： 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m 2 ) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计 600N ，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p ， p 是 S 的反比 例函数吗？为什么？ 由 p ＝ 得 p ＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数． (2) 当木板面积为 0.2m 2 时，压强是多少？ 当 S ＝ 0.2m 2 时， p ＝ ＝ 3000(Pa) ． 答：当木板面积为 0.2m 2 时压强是 3000Pa ． (3) 如果要求压强不超过 6000Pa ，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p ≤6000 Pa 时， S ≥0.1m 2 ． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p /Pa S/ 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 10 4 m 3 的圆柱形煤气储存室 . ( 1 ) 储存室的底面积 S ( 单位： m 2 ) 与其深度 d ( 单位： m) 有怎样的函数关系 ? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd = 10 4 ， ∴ S 关于 d 的函数解析式为 典例精析 ( 2 ) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m 2 ， 施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20 . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 ( 3 ) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时 ，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地， 储存室的底面积应改为多少 ( 结果 保留 小 数点后 两位)? 解得 S≈666.67 . 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 ( 2 ) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 ( 3 ) 问则是与第 ( 2 ) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． ( 1 ) 漏斗口的面积 S ( 单位： dm 2 )与漏斗的深 d ( 单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： ( 2 ) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm 2 ？ 解： 10cm=1dm ，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm 2 . ( 3 ) 如果漏斗口的面积为 60 cm 2 ，则漏斗的深为多少? 解： 60 cm 2 = 0.6 dm 2 ，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例 2 码头工人每天 往一艘轮船上装载 30吨货物 ， 装载完毕恰好用了8天时间. ( 1 ) 轮船到达目的地后开始卸货 ，平均 卸货速度 v (单位 ： 吨/天)与卸货 天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据 平均 装货速度×装货 天数 =货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据 平均 卸货速度=货物的总量÷卸货 天数 ，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 ( 2 ) 由于遇到紧急情况 ，要求 船上的货物不超过 5 天 卸 载完毕 ， 那么平均每天至少要卸 载 多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知， t 越小， v 越大 . 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． ( 1 ) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： ( 2 ) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解： x =12 × 5=60 ，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完 . ( 3 ) 在 ( 2 ) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 ( 立方米 ) ， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 ( 立方米 ) ， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 ( 辆 ) ， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 ( 辆 ). 例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. ( 1 ) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80 × 6 =480 ( 千米 ) 答：甲、乙两地相距 480 千米 . ( 2 ) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt =480 ， 整理得 ( t ＞ 0). 例 4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. ( 1 ) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 ? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力 ? 反比例函数在其他学科中的应用 一 解：根据 “ 杠杆原理 ” ，得 Fl = 1200 × 0.5 ， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l =1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m 时， F =400 N ，此 时杠杆平衡 . 因此撬动石头至少需要 400N 的力 . ( 2 ) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂 l 至少要加长多少? 提示：对于函数 ， F 随 l 的增大而减小 . 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量 . 解：当 F=400 × =200 时，由 200 = 得 300 － 1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞ 0 时， l 越大， F 越 小 . 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6 × 1025 牛顿 ( 即阻力 ) ，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得 F × l ＝6×1025×2×106 =1.2×10 32 米， 当 F =500时， l =2.4×10 29 米， 解： 2000 千米 = 2×10 6 米， 练一练 变形得： 故用2.4×10 29 米动力臂的杠杆才能把地球撬动 . 例 5 一个用电器的电阻是可调节的 ， 其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V ， 这个用电器的电路图如图所示. ( 1 ) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 ( 2 ) 这个 用电器功率的范围 是 多 少 ? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小 . 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此 用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R ＝5 欧姆时，电流 I ＝2 安培． ( 1 ) 求 I 与 R 之间的函数关系式； ( 2 ) 当电流 I ＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解： ( 1 ) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 (2) 当 I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 ( 欧姆 ) ． 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x ，另一直角边 长 为 y ，则 y 与 x 的变化规律用 图象可 大致 表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 2. ( 1 ) 体积为 20 cm 3 的面团做成拉面，面条的总长度 y ( 单位： cm) 与面条粗细 (横截面积) S ( 单位： cm 2 ) 的函数关系 为 . ( 2 ) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm 2 ， 则 面条 的 总长 度 是 cm. 2000 3. A 、 B 两城市相距720千米，一列火车从 A 城去 B 城. ( 1 ) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是___ __ ___． ( 2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240 千米 / 时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. ( 1 ) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 ( x ＞ 0). ( 2 ) 画出函数的图象； 解： 如图所示 . 30 90 1 x y O ( 3 ) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6 － 0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． ( 1 ) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： ( 2 ) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分 . ( 3 ) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位 ? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得： t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． ( 1 ) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式 为 . O 9 I (A) 4 R (Ω) M (4 ， 9) ( 2 ) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解： 当 R =10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N)之间的函数关系如 下图所示： ( 1 ) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v (m/s) 3000 F (N) 解： ( 3 ) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ ( 2 ) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解： 把 F = 1200 N 代入 求得的解析式得 v = 50 ， ∴ 汽车 的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案： F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y ( 天 ) 与每天完成的工 程量 x ( m/天 ) 的函数关系图象如图所示 . (1 ) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x (m/ 天 ) y ( 天 ) O 解： ( 2 ) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m ，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 ( m ) ； 2 台挖掘机需要 1200÷ ( 2×15 ) =40 ( 天 ). ( 3 ) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 ( 按 30 天计算 ) 完成任务，那么每天至少要完成多 少 m ？ 解：1200÷30=40 ( m ) ， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 21.6 综合与实践 获取最大利润 学习目标 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题 . （重点） 2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围 . （难点） 导入新课 情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题 . 商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求 . 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为 固定成本 和 可变成本 两个部分，其中 固定成本 包括 设计产品 建造厂房 购置设备 培训工人等费用 ，如果没有更换产品，我们将它看为常数； 可变成本 与 该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力 材料 包装 运输等费用 。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为 其中C表示生产 t台收音机的总成本，当t=0时 C =120 t +1000 ① C 成本 =120×0+1000=1000 1000元是 固定成本 ，由此可知①式中120t表示 可变成本 如何定价利润最大 讲授新课 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设R表示年总收入，则 R 年总收入 = t · x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润 P 利润= R 年总收入- C 成本 ∴ P 利润 = R - C = t · x - c ③ 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据 销售单价 x/ 元 50 100 150 300 年销售量 t/ 件 5000 4000 3000 0 设生产t件该产品的成本为 C =50 t +1000 ( 1 ) 在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · 销售单价 x/ 元 50 100 150 300 年销售量 t/ 件 5000 4000 3000 0 C =50 t +1000 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · （2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式 解：由右图可知：这些点在一条直线上，设函数的解析式为： t = kx + b 任意选取两点代入 求得： k =-20 , b =6000 ∴ t =-20 x +6000 （3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润 P 最大？ =-20 x ²+6000 x -50 t -1000 解：∵ R 年总收入= t · x ∴ R 年总收入= ( -20 x +6000 ) · x ∴ P 利润= R 年总收入- C 成本= t·x - c ∴ P 利润= ( -20 x +6000 ) · x - ( 50t+1000 ) =-20 x ²+6000 x -50(-20 x +6000)-1000 =-20 x ²+7000 x -301000 由公式可得：当 x = 时 即 x =175 , P 最大 = P =311500元 ∴ t =-20 x +6000=2500 例： 某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元 / 件，经过一段时间的试销发现， 每月的销售量会因售价的调整而不同 . 令每月 销售量为 y 件，售价为 x 元 / 件， 每月的总利润为 Q 元 . （ 1 ）当售价在 40 ～ 50 元时，每月销售量都为 60 件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当 40≤ x ≤50 时， Q = 60 ( x － 30 ) = 60 x － 1800 ∵ y = 60 > 0 ， Q 随 x 的增大而增大 ∴ 当 x 最大 = 50 时， Q 最大 = 1200 答：此时每月的总利润最多是 1200 元 . （ 2 ）当售价在 50 ～ 70 元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价 x 是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当 50≤ x ≤70 时， 设 y 与 x 函数关系式为 y = kx + b , ∵线段过 ( 50 ， 60 ) 和 ( 70 ， 20 ). 50 k + b = 60 70 k + b =20 ∴ ∴ y = － 2 x +160 （ 50≤ x ≤70 ） 解得： k = － 2 b = 160 ∴ y = － 2 x +160 （ 50≤ x ≤70 ） ∴Q=( x － 30 ) y = ( x － 30 )( － 2 x + 160 ) = － 2x 2 + 220 x － 4800 = － 2( x － 55) 2 +1250 ( 50≤ x ≤70 ) ∵ a = － 2 ＜ 0 ，图象开口向下， ∴ 当 x = 55 时， Q 最大 = 1250 ∴ 当售价在 50 ～ 70 元时，售价 x 是 55 元时，获利最大， 最大利润是 1250 元 . 解：∵当 40≤ x ≤50 时， Q 最大 = 1200 ＜ 1218 当 50≤ x ≤70 时， Q 最大 = 1250 ＞ 1218 ∴ 售价 x 应在 50~70 元之间 . ∴ 令： － 2( x － 55) 2 +1250=1218 解得： x 1 =51 ， x 2 =59 当 x 1 =51 时， y 1 = － 2 x +160= － 2×51+160= 58( 件 ) 当 x 2 =59 时， y 2 = － 2 x +160= － 2×59+160= 42 ( 件 ) ∴ 若 4 月份该商品销售后的总利润为 1218 元，则该商品售价为 51 元或 59 元，当月的销售量分别为 58 件或 42 件 . （ 3 ）若 4 月份该商品销售后的总利润为 1218 元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 变式： ( 1 ) 若该商品售价在 40 ～ 70 元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润 Q 与售价 x 的函数关系式；并说明，当该商品售价 x 是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解： Q 与 x 的函数关系式为： 60 x － 1800 （ 40≤ x ≤50 ） － 2( x － 55) 2 + 1250 （ 50≤ x ≤70 ） Q = 由 例 3 可知： 若 40≤ x ≤50 ， 则当 x =50 时， Q 最大 = 1200 若 50≤ x ≤70 ， 则当 x =55 时， Q 最大 = 1250 ∵ 1200 ＜ 1250 ∴ 售价 x 是 55 元时，获利最大，最大利润是 1250 元 . （ 2 ）若该商店销售该商品所获利润不低于 1218 元，试确定该商品的售价 x 的取值范围； 解：①当 40≤ x ≤50 时， ∵ Q 最大 = 1200 ＜ 1218 ， ∴ 此情况不存在 . 60 x － 1800 （ 40≤ x ≤50 ） － 2( x － 55) 2 + 1250 （ 50≤ x ≤70 ） Q = ② 当 50≤ x ≤70 时， Q 最大 = 1250>1218 ， 令 Q = 1218 ，得 － 2( x － 55) 2 +1250=1218 解得： x 1 =51 ， x 2 =59 由 Q = － 2( x － 55) 2 +1250 的 图象和性质可知 : 当 51≤ x ≤59 时， Q≥1218 ∴ 若该商品所获利润不低于 1218 元， 则售价 x 的取值范围为 51≤ x ≤59 . x Q 0 55 1218 59 51 1250 （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于 1620 元，则售价 x 为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 51≤ x ≤59 30 ( － 2 x +160)≥1620 解得： 51≤ x ≤53 ∵ Q = － 2( x － 55) 2 +1250 的顶点 不在 51≤ x ≤53 范围内， 又∵ a = － 2 ＜ 0 ， ∴ 当 51≤ x ≤53 时 ， Q 随 x 的增大而增大 ∴ 当 x 最大 = 53 时， Q 最大 = 1242 ∴ 此时售价 x 应定为 53 元， 利润最大，最大利润是 1242 元 . x Q 0 55 1242 53 51 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据 问题② 年销售量 t/ 件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价 x/ 元 3850 3400 3000 2300 2100 设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为： C=1000t+2 000 000 （1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点 3500 2000 2500 3000 4000 1000 2000 3000 4000 7000 8000 t/件 x/元 0 5000 6000 9000 10000 · · · · · 年销售量 t/ 件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价 x/ 元 3850 3400 3000 2300 2100 （2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有几种求解方法？与同学进行交流 . 请同学们发散思维 解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为： x = kt + b 将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b中可得 ∵ R 年总收入= t ·x ∴ P 利润= R 年总收入- C 成本= t·x - c ∴ x =2500 由公式 t =- 时， t =7500 = 9250000 1. 进价为 80 元的某件定价 100 元时，每月可卖出 2000 件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y ( 件）与衬衣售价 x ( 元 ) 之间的函数关系式为 . 每月利润 w ( 元 ) 与衬衣售价 x ( 元 ) 之间的函数关系式为 .( 以上关系式只列式不化简） . y =2000-5( x -100) w =[2000-5( x -100)]( x -80) 当堂练习 x ( 元 ) 15 20 30 … y ( 件 ) 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 . （ 1 ）求出日销售量 y （件）与销售价 x （元）的函数关系式；（ 2 ）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 2. 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品的日销售量 y （件）之间的关系如下 : （ 2 ）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 . 则 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 . 则 解得 k = － 1 ， b ＝ 40, 解：（ 1 ）设此一次函数解析式为 . 所以一次函数解析为 . 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润 = 单件利润 × 销售量或总利润 = 总售价 - 总成本 . 确定自变量取值范围 涨价 : 要保证销售量≥ 0 ； 降件：要保证单件利润≥ 0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 . 小结与复习 第 21 章 二次函数与 反比例函数 要点梳理 一般地，形如 　 　 ( a ， b ， c 是常数， 　 　 __ ) 的函数，叫做二次函数． y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c a ≠０ [ 注意 ] (1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2 ； (3) 当 b ＝ 0 ， c ＝ 0 时， y ＝ ax 2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a ＞ 0 a ＜ 0 增减性 a ＞ 0 a ＜ 0 2. 二次函数的图象与性质： a ＞ 0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x = h ( h , k ) y 最小 = k y 最大 = k 在对称轴左边 , x ↗ y ↘ ; 在对称轴右边 , x ↗ y ↗ 在对称轴左边 , x ↗ y ↗ ; 在对称轴右边 , x ↗ y ↘ y 最小 = y 最大 = 3. 二次函数图像的平移 y ＝ ax 2 左、右平移 左加右减 上、下平移 上加下减 y ＝ - ax 2 写成一般形式 沿 x 轴翻折 4. 二次函数表达式的求法 1 ． 一般式法： y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a≠ 0) 2 ． 顶点法： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a≠ 0) 3 ． 交点法： y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a≠ 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象和 x 轴交点有三种情况 : 有两个交点 , 有两个重合的交点 , 没有交点 . 当二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象和 x 轴有交点时 , 交点的横坐标就是当 y =0 时自变量 x 的值 , 即一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 的根 . 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图像和 x 轴交点 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 的根 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 根的判别式 （ b 2 -4 ac ） 有两个交点 有两个相异的实数根 b 2 -4 ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b 2 -4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 -4 ac < 0 6. 二次函数的应用 1 ．二次函数的应用包括以下两个方面 ( 1 ) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 ( 即最值问题 ) ； ( 2 ) 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3 )利用 二次函数的 图象及 性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 7. 反比例函数的概念 定义：形如________ ( k 为常数， k ≠0) 的函数称为 反 比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是 x 的函数， k 是比例 系数． 三种表达式方法： 或 x y ＝ kx 或y＝ kx －1 ( k ≠0)． 防错提醒：(1) k ≠0；(2)自变量 x ≠0；(3)函数 y ≠0. 8. 反比例函数的图象和性质 ( 1 ) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ， 它既 是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的 两条对称轴 为 直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y= － x ( 2 ) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 ( k ≠0) k ＞ 0 一、三象限 ( x ， y 同号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k ＜ 0 二、四象限 ( x ， y 异号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 x y o x y o ( 3 ) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 ( x ， y ) 具有 两坐标之积 ( xy ＝ k ) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 | k | . 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 9. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数 ： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x 、 y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y ＝ k 1 x ＋ b ( k 1 ≠0) 和双曲线 ( k 2 ≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值 . 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 考点讲练 例 1 抛物线 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 的顶点坐标为 ________ ． 【解析】 方法一：配方，得 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 ，则顶点坐标为 (1 , 2) ． 方法二代入公式 ， ， 则顶点坐标为 (1 , 2) ． (1 , 2) 解决此类题目可以先把二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 配方为顶点式 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 的形式，得到：对称轴是直线 x ＝ h ，最值为 y ＝ k ，顶点坐标为 ( h ， k ) ；也可以直接利用公式求解 . 方法归纳 1 ．对于 y ＝ 2 ( x － 3 ) 2 ＋ 2 的图像下列叙述正确的是 ( 　　 ) A ．顶点坐标为 ( － 3,2 ) B ．对称轴为 y ＝ 3 C ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而增大 D ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而减小 C 针对训练 考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较 例 2 二次函数 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋ c 的图像如图所示，若点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在此函数图像上，且 x 1 y 2 【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是 x ＝ 1 ，当 x ＜ 1 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ x 1 < x 2 <1 ， ∴ y 1 < y 2 . 故选 B. B 2. 下列函数中，当 x ＞0时， y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = B. y = x -1 C. D. y =-3x 2 D 针对训练 考点三 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 的图像与 系数 a ， b ， c 的关系 例 3 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图像如图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 　　　　　 C ． 3 　　　　　 D ． 4 D 解析：由图像开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由图像与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确； 由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确； 由图像上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图像上横坐标为 x ＝ 1 的点在第四象限得出 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图像上横坐标为 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ， 即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ， 故 ④ 正确．故选 D. 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b ＝ 0⇔ 对称轴是 y 轴； a 、 b 同号 ⇔ 对称轴在 y 轴左侧； a 、 b 异号 ⇔ 对称轴在 y 轴右侧 . 这个规律可简记为“左同右异” . 2. 当 x ＝ 1 时，函数 y ＝ a ＋ b ＋ c . 当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上方时， a ＋ b ＋ c ＞ 0 ；当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上时， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ；当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴下方时， a ＋ b ＋ c ＜ 0. 同理，可由图像上横坐标 x ＝－ 1 的点判断 a － b ＋ c 的符号 . 3. 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 针对训练 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . 考点四 抛物线的几何变换 例 4 将抛物线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( 　　 ) A ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 6 B ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 2 C ． y ＝ ( x － 2 ) 2 － 2 D ． y ＝ ( x － 1 ) 2 － 3 【解析】因为 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ ( x － 3) 2 － 4 ，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y ＝ ( x － 3 － 1) 2 － 4 ＋ 2 ，即 y ＝ ( x － 4) 2 － 2. 故选 B. B 4. 若抛物线 y = － 7( x +4) 2 － 1 平移得到 y = － 7 x 2 ，则可能（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 针对训练 考点五 二次函数表达式的确定 例 5 已知关于 x 的二次函数 , 当 x = － 1 时 , 函数值为 10, 当 x =1 时 , 函数值为 4, 当 x =2 时 , 函数值为 7, 求这个二次函数的解析式 . 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y ＝ ax 2 + b x ＋ c , 由题意得： 解得 , a = 2, b =－3, c =5. ∴ 所求的二次函数为 y ＝ 2 x 2 － 3 x ＋ 5. 5. 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3x+7 的形状相同 , 顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5, 请写出满足此条件的抛物线的表达式 . 解 :  抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3 x+ 7 的形状 相同  a =1 或 － 1 又  顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5,  顶点为 (1,5) 或 (1, － 5) 所以其表达式为 : (1) y= ( x － 1) 2 +5 (2) y =( x － 1) 2 － 5 (3) y= － ( x － 1) 2 +5 (4) y= － ( x － 1) 2 － 5 针对训练 例 6 若二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ，则关于 x 的方程 x 2 +mx =7 的解为（　　） A ． x 1 =0 ， x 2 =6 B ． x 1 =1 ， x 2 =7 C ． x 1 =1 ， x 2 = ﹣ 7 D ． x 1 = ﹣ 1 ， x 2 =7 解析： ∵ 二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ， ∴ =3 ，解得 m = － 6 ， ∴ 关于 x 的方程 x 2 +mx =7 可化为 x 2 － 6 x － 7=0 ， 即 ( x +1)( x － 7) =0 ，解得 x 1 = － 1 ， x 2 =7 ． 故选 D ． 考点六 二次函数与一元二次方程 D 例 7 　 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45% ，经试销发现，销售量 y ( 件 ) 与销售单价 x ( 元 ) 符合一次函数 y ＝ kx ＋ b ，且 x ＝ 65 时， y ＝ 55 ； x ＝ 75 时， y ＝ 45. (1) 求一次函数的表达式； (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 考点七 二次函数的应用 解： (1) 根据题意，得 解得 k = - 1, b =120. 故所求一次函数的表达式为 y= - x +120. (2) W=( x - 60) •( - x +120)= - x 2 +180 x - 7200= -( x- 90) 2 +900, ∵ 抛物线的开口向下， ∴ 当 x ＜ 90 时， W 随 x 的增大而增大， 而 60≤ x ≤60× （ 1+45% ），即 60≤ x ≤ 87, ∴ 当 x =87 时， W 有最大值，此时 W= -( 87 - 90) 2 +900=891. 例 8 　如图，梯形 ABCD 中， AB∥DC ，∠ ABC ＝ 90° ，∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ，其中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB 于点 E ，将△ ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 F 处， DF 交 BC 于点 G. (1) 用含有 x 的代数式表示 BF 的长； (2) 设四边形 DEBG 的面积为 S ，求 S 与 x 的函数关系式； (3) 当 x 为何值时， S 有最大值？并求出这个最大值． 解：（ 1 ）由题意，得 EF=AE=DE=BC= x ,AB=30. ∴BF=2 x -30. （ 2 ） ∵∠F=∠A=45 °， ∠CBF-=∠ABC=90 °， ∴∠BGF=∠F=45 °， BG=BF=2 x -30. 所以 S △ DEF - S △ GBF = DE 2 - BF 2 = x 2 - ( 2 x -30) 2 = x 2 +60x - 450 . （ 3 ） S= x 2 +60x - 450= ( x - 20) 2 +150. ∵ a = ＜ 0,15 ＜ 20 ＜ 30 ， ∴ 当 x =20 时， S 有最大值， 最大值为 150. 考点八 反比例函数的概念 针对训练 1 . 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数 ? ① y = 3 x －1 ② y = 2 x 2 ⑤ y = 3 x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2 . 已知点 P (1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A . 3　　　　　　　　B . －3 C. D . B 3 . 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A . 1 B . －1 C . ±1 D . 任意实数 A 例 9 已知点 A(1， y 1 )，B(2， y 2 )，C(－3， y 3 ) 都在反比 例函数 的图象上，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 ( ) A . y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 B . y 1 ＜ y 2 ＜ y 3 C . y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 D . y 3 ＜ y 2 ＜ y 1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y 1 ， y 2 ， y 3 的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点九 反比例函数的图象和性质 D 　 方法总结： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 ＜ 0 ＜ x 2 ) 都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y 1 与 y 2 的大小关系 (从大到小) 为 . y 1 ＞0＞ y 2 针对训练 例 10 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C 1 和 C 2 ，设点 P 在 C 1 上， PA ⊥ x 轴于点 A ，交 C 2 于点 B ，则△ POB 的面积为 . 1 考点十 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 ( x ＞0)和 ( x ＞0) 的图象交于 P ， Q 两点，若 S △ POQ =14， 则 k 的值为 . 20 考点十一 反比例函数的应用 例 11 如图，已知 A ( －4， ) ， B ( － 1 ，2 ) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 ( m ＜0 ) 图象的两个交点， AC ⊥ x 轴于点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ． ( 1 ) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. ( 2 ) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 代入 y = kx + b 中，得 － 4 k + b = ， － k + b =2 ， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B ( － 1 ， 2) 代入 中，得 m = － 1 × 2= － 2. ( 3 ) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC ， PD ，若△ PCA 和 △ PDB 面积相等，求点 P 坐标 . O B A x y C D P ∵ △ PCA 面积和△ PDB 面积相等， ∴ AC ·[ t － ( －4 ) ] = BD ·[ 2－ [ 2－ ( t + )] ， 解得： t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， ) ． 解：设点 P 的坐标为 ( t ， t + ) ， P 点到直线 AC 的 距离为 t － ( －4 ) ， P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t + ) ． 方法总结： 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 ( k ＞0 ) ． ( 1 ) 若该反比例函数与正比例函数 y =2 x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2 x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得 P ( 1，2 ) ， 把 P ( 1，2 ) 代入 ， 得到 P 2 ( 2 ) 若该反比例函数与过点 M ( －2，0 ) 的直线 l ： y = kx + b 的图象交于 A ， B 两点，如图所示，当 △ ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M ( －2，0 ) 代入 y = kx + b ， 得 b = 2 k ，∴ y = kx +2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1 . y ＝ kx +2 k ， ∴ ∴ B ( －3，－ k ) ， A ( 1，3 k ). ∵ △ ABO 的面积为 ∴ 2 · 3 k · + 2 · k · = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) ( 3 ) 在 第 (2) 题的条件下， 当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) 解：当 x ＜－ 3 或 0 ＜ x ＜ 1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例 4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克 . 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图) . 根据以上信息解答下列问题： ( 1 ) 求当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝ kx ，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2 k ， k ＝2，即 y ＝2 x . O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 2 ) 求当 x > 2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时， y 与 x 成反比例函数关系， 设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 3 ) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤ x ≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2 x ≥2， 解得 x ≥1， ∴1≤ x ≤2 ； 当 x >2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴ 2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1 ＋ 2 ＝ 3 ( 小时 ) ． O y / 毫克 x / 小时 2 4 二次函数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 课堂小结 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x ， y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 1 课时 相似图形 学习目标 1. 了解相似图形和相似比的概念 . 2. 理解相似多边形的定义 . 3. 能根据多边形相似进行相关的计算， 会根据条件 判断两个多边形是否相似 . ( 重点、难点 ) 问题 1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 导入新课 情境引入 问题 2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 下面图形有什么相同和不同的地方？ 讲授新课 相似图形的概念 一 观察与思考 相同点：形状相同 不同点：大小不相同 形状相同的图形叫做 相似图形 . 相似图形的大小不一定相同. 归纳： 图形的放大 相似图形的关系 二 探究归纳 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 图形的缩小 两个图形相似 图形的缩小 归纳： 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？ 思考： 放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ 练一练 放大镜下的角与原图 形中角是什么关系 ? 相似多边形与相似比 三 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的 ， 而多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是投射到银幕上的. 观察与思考 问题 1 这两个多边形相似吗？ 问题 2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题 3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形 . 相似多边形的对应边的比叫作 相似比 . 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的特征： ◑相似多边形的定义： 归纳： 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a 1 a 2 a 3 a n … 分析： 已知等边三角形的每个角都为 60°, 三边都相等 . 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等 . 议一议 同理，任意两个正方形都相似 . 归纳： 任意两个边数相等的正多边形都相似. … a 1 a 2 a 3 a n 思考： 任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 例 1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α ， β 的大小和 EH 的长度 x . 典例精析 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形 ABCD 中， ∠ β＝ 360°－ ( 78°＋83°＋118° ) ＝81°. ∠ α ＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°. 解： ∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， ∴ 它们的对 应角相等．由此可得 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边 成 比 例， 由此可得 解得 x ＝ 28 cm. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a ， b ， c ， d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 练一练 解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得 解得： a =3， b =4.5， c =4， d =6. 所以未知边 a ， b ， c ， d 的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ， 当堂练习 1. 下 列图形中能够确定相似的是 ( ) A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 ABDF 2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ) A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m D 3 . 如图所示的两个四边形是否相似？ 答案：不相似 . 4. 观察下面的图形 (a)~(g) ， 其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？ 5. 填空： ( 1 ) 如图① 是两个相似的四边 形 ，则 x = ， y = ， α = ； ( 2 ) 如图② 是两个相似的矩形 ， x = . ╰ 65 ° ╯ 80 ° α ╭ 6 125 ° ╯ 80 ° ╮ 3 x y 图① 3 5 30 20 15 x 图② 2.5 1.5 90° 22.5 6 . 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF ，若矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似， AB = 1． ( 1 ) 求 BC 长； A B C D E F 解： ∵ E 是 AD 的中点， ∴ . 又 ∵矩形 ABCD 与 矩形 EABF 相似， AB =1 ， ∴ ， ∴ AB 2 = AE · BC ， ∴ . 解得 ( 2 ) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比. A B C D E F 解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为： 相似图形 形状相同的图形叫做 相似图形 相似图形的大小不一定相同 相似多边形对应边的比叫做 相似比 对应角相等，对应边成比例 课堂小结 图形的相似 相似多边形 22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 2 课时 比例线段 1. 知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； （重点） 2 ．理解成比例线段的概念；（重点） 3 ．掌握成比例线段的判定方法．（难点） 学习目标 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 导入新课 线段的比和成比例线段 如果选用同一个长度单位得两条先线段 AB , CD 的长度分别是 m , n , 那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB : CD= m : n 或 如果把 表示成比值 k , 那么 =k ，或 AB=k · CD , 两条线段的比实际上就是两个数的比 . 讲授新课 1. 若线段 AB ＝6 cm ， CD ＝ 4 cm ，则 . 2. 若线段 AB ＝ 8cm ， CD ＝2dm ，则 . 思考： 两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同 . 注意： 虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数 . 练一练 4. 五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同， AB ＝ 5cm ， A'B' ＝ 3cm ， AB ∶ A'B' ＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3. 已知线段 AB ＝ 8cm ， A'B' ＝ 2cm ， AB ∶ A'B' 的比为 　　　 ， AB ∶ A'B' 的比值为 ， AB ＝ 　　 A'B' . 4∶1 4 4 练一练 做一做： 设小方格的边长为 1 ，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， AD , EF , EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a , b ,c , d 叫作 成比例线段 ，简称 比例线段 . 归纳总结 AB，EF，AD，EH 是成比例线段， AB，AD，EF，EH 也是成比例线段 . 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 如果 或 a ： b=c ： d ， 那么 a 、 b 、 c 、 d 叫做 组成比例的项， a 、 d 叫做 比例外项， b 、 c 叫做 比例内项， d 叫做 a 、 b 、 c 的第四比例项 . 特殊情况： 若作为比例内项的两条线段相等，即 a : b = b : c ， 则 b 叫做 a,c 的 比例中项 . 相关概念 例 1 ： 判断下列线段 a 、 b 、 c 、 d 是否是成比例线段： 　 （ 1 ） a ＝ 4 ， b ＝ 6 ， c ＝ 5 ， d ＝ 10 ； 解： （ 1 ）　∵　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 不是成比例线段． ， ∴ 　 ， 典例精析 （ 2 ） a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ． （ 2 ）　∵　 ∴ 　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． 注意 : 1. 若 a:b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍 ； 2. 两条线段的比与所采用的 长度单位无关 ，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3. 两条线段的 比值是一个没有单位的正数 ； 4. 除了 a=b 外 , a : b≠b : a , 互为倒数 . 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2. 下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 解：根据题意可知 , AB=a m, AE = a m, AD =1m . 由 ，得 即 开平方 , 得 例 2 ： 一块矩形绸布的长 AB=a m, 宽 AD =1m ，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 当堂练习 1 . 一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A .100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3 2 . 甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A .5:1 B. 1:5 C.1:500000 D.500000:1 A C 解：根据题意可知 , , AB = 15 , AC = 10 , BD = 6. 则 AD = AB – BD =15 – 6= 9. 则 3. 已知 ， AB =15 ， AC =10 ， BD =6 ．求 AE ． A B C D E 1. 一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比等于 . 2. 已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a =3 cm ， b =2 cm ， c =6 cm ，则线段 d = . 3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4cm ， 3 ， 12 5∶1 拓展练习 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ① 长度单位统一； ② 与单位无关，本身没有单位； ③ 两条线段有顺序要求 . ① 概念：项、比例内项、比例外项； ② 四条线段有顺序要求； ③ 特别地：比例中项 . 课堂小结 22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 3 课时 比例的性质与黄金分割 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题 . （难点） 3. 知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片 ，(2) 是由 (1) 缩小得到的. （ 1 ） （ 2 ） P Q P ′ Q ′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P ， Q ， A ,B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P ′ ， Q ′ ， A ′ , B ′ 量出线段 PQ ， P ′ Q ′ ， AB ， A ′ B ′ 的长度 . 计算它们的长度的比值 . A A ' B' B 讲授新课 比例的基本性质 一 合作探究 问题 1 ： 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc , 那么 a , b , c , d 四个数成比例吗？ 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd , 得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad=bc （ a , b , c , d 都不等于 0 ），那么 . 如果 ad=bc , 那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a , b , c , d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 典例精析 例 1 ： 根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4 a= 5 b ； （2） （2）∵ ，∴8 a= 7 b ，∴ 解 （1）∵ 4 a= 5 b ，∴ 例 2 ： 已知 ，求 的值 . 解： 解法 1 ： 由比例的基本性质， 得 2 （ a +3 b ） =7×2 b . ∴ a =4 b ，∴ = 4 . 解法 2 ：由 ，得 . ∴ , ，那么 、 各等于多少？ 2 ．已知 1 ．已知：　线段 a 、 b 、 c 满足关系式 且 b ＝ 4 ，那么 ac ＝ ______ ． ， 练一练 16 , 还有什么其他性质吗？ 在等式两边同时加上 1 , 得 由此可得到比例的合比性质： 如果 ，那么 问题 2 ： 已知 a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （ b+d+f≠0 ） , 那么 成立吗？为什么？ 设 , 则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质 二 由此可得到比例的又一性质： 例 3 ： 在△ ABC 与△ DEF 中，已知 ， 且 △ ABC 的周长为 18cm, 求△ DEF 得周长 . 解：∵ ∴ ∴ 4 ( AB + BC + CA )=3( DE + EF + FD ). 即 AB + BC + CA = ( DE + EF + FD ) ， 又 △ ABC 的周长为 18cm ， 即 AB + BC + CA = 18cm. ∴ △ DEF 的周长为 24cm . 例 4 ： 若 a ， b ， c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值 . 得 ， 则 k ＝＝ 2 ； 当 a ＋ b ＋ c ＝ 0 时，则有 a ＋ b ＝－ c . 此时 综上所述， k 的值是 2 或－ 1 . 解：当 a ＋ b ＋ c ≠0 时，由 ， 解：根据题意，得 即 例 5 ： 在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，这个图纸所反映的实际△A’B’C’的周长是多少？ 答：实际△ A'B'C' 的周长是 600m 黄金分割的概念 三 一个五角星如下图所示 . 问题 ： 度量 C 到点 A 、 B 的距离 , 与 相等吗？ A C B A B C A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , 如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 . 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . 概念学习 例 6 如图，已知线段 AB 的长度为 a ，点 P 是 AB 上一点 ，且使 AB : AP = AP : PB ，求线段 AB 的长和 的值 . A P B 解 设 AP = x ，那么 PB=a-x . 根据题意，得 a:x=x: ( a-x ) , 即 x 2 +ax-a 2 = 0 . 解方程，得 A P B 因为线段长不能是负值，所以取 即 于是 2. 如图所示 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1. 经过点 B 作 BD ⊥ AB , 使 BD = AB 2. 连接 AD , 在 AD 上截取 DE = DB . 3. 在 AB 上截取 AC = AE . 思考： 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗 ? A B D E C 巴台农神庙 （ Parthenom Temple ） F C A E B D 想一想： 如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么 ? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 . A B C D E F 例 7 ： 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感 . 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60 ，她的身高为 1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解： 设肚脐到脚底的距离为 x m ，根据题意，得 ，解得 x = 0.96 . 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈0.075 ，而 0.075m=7.5cm . 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美 . 1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm ，则它的宽约为 ( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【 解析 】 选 A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm ，则 AC 的长约为 _____cm. （结果精确到 0.1 cm ） 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC 2 =(10-AC)×10 ，解得 AC≈6.2 cm. 6.2 3. 如图所示，乐器上的一根弦 AB=80 cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm ， DC=_______cm. 【 解析 】 由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB= ( 40 -40 ) cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以 DC=AC-AD=(80 -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30 度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比 , 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体温 ( 37℃ ) 的黄金点 ( 23=37×0.618 ) . 这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节 . 上肢与下肢长度之比均 近似 0.618 . 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些 金字塔底面的边长与高的比都接近于 0.618. 东方明珠塔， 塔高 468 米 . 设计师在 263 米 处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 人的俊美 , 体现在头部及躯干是否符合黄金分割 . 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618 ，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6 ，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 1.(1) 已知 ，那么 = ， = . (3) 如果 ，那么 . (2) 如果 那么 . 当堂练习 2. 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点， AP>BP ，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1 ，以 PB 、 AB 为边的矩形面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A ． S1>S2 B ． S1 BC > CA ， 在 △ DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ ABC ∽ △ DEF . A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . 解： ∴ △ ABC ∽ △ A'B'C' . ∵ ， ， ∴ . (2) 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等 . 注意： 计算时 最长边 与 最长边 对应，最短边与最短边对应 . 归纳总结 已知 △ ABC 和 △ DEF ， 根据下列条件判断它们是否相似 . ( 3 ) AB =12 ， BC =15 ， AC ＝ 24 ， DE ＝ 16 ， EF ＝ 20 ， DF ＝ 30. ( 2 ) AB =4 ， BC =8 ， AC ＝ 10 ， DE ＝ 20 ， EF ＝ 16 ， DF ＝ 8 ； ( 1 ) AB =3 ， BC =4 ， AC ＝ 6 ， DE ＝ 6 ， EF ＝ 8 ， DF ＝ 9 ； 是 否 否 练一练 例 2: 如图 , 方格网的小方格是边长为 1 的正方形， △ ABC 与 △ A′B′C ′ 的顶点都在格点上， △ ABC 与 △ A′B′C ′ 相似吗 ? 为什么 ? C B A A′ B′ C′ 解： △ ABC 与 △ A′B′C ′ 的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC 与 △ A′B′C ′ 相似 . 例 3 如图，在 Rt△ ABC 与 Rt△ A′B′C′ 中， ∠ C =∠ C ′ = 90 ° ， 且 求证：△ A′B′C′ ∽△ ABC . 证明：由已知条件 得 AB = 2 A ′ B ′ ， AC = 2 A ′ C ′ ， ∴ BC 2 = AB 2 － AC 2 = ( 2 A ′ B ′ ) 2 － ( 2 A ′ C ′ ) 2 = 4 A ′ B ′ 2 － 4 A ′ C ′ 2 = 4 ( A ′ B ′ 2 － A ′ C ′ 2 ) = 4 B ′ C ′ 2 = ( 2 B ′ C ′ ) 2 . ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . ( 三边对应 成比例的两个三角形相似 ) ∴ BC =2 B ′ C ′ ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ BAC － ∠ DAC = ∠ DAE － ∠ DAC ， 即 ∠ BAD =∠ CAE . ∵∠ BAD =20° ， ∴∠ CAE =20°. ∴ △ ABC ∽△ ADE ( 三边成 比例的两个三角形相似 ). 例 4 如图，在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∠ BAD =20° ， 求∠ CAE 的度数 . A B C D E 解：∵ 解：在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE ， ∴ △ ABC ∽ △ ADE ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E . ∴∠ BAC － ∠ CAD =∠ DAE － ∠ CAD ， ∴∠ BAD =∠ CAE . 故图中相等的角有 ∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ， ∠ BAD =∠ CAE . 如图，已知 AB : A D = BC : DE = AC : AE ，找出图中相等的角 ( 对顶角除外 ) ，并说明你的理由 . 练一练 A B C D E 当堂练习 1. 如图，若 △ ABC ∽ △ DEF ，则 x 的值为 ( ) A B C D E F A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 C 2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 3 . 如图，∠ APD =90°， AP = PB = BC = CD ，下列结论 正确的是 ( ) A. △ PAB ∽△ PCA B. △ PAB ∽△ PDA C. △ ABC ∽△ DBA D. △ ABC ∽△ DCA A C B P D C ∵ AB : BC = B D : AB = A D : A C ， ∴ △ ABC ∽ △ DBA ，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD =1 ， ∵ ∠ APD =90°， ∴AB= ， AC= ， AD= . 4. 根据下列条件，判断△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 是否相似： AB =4cm ， BC =6cm ， AC =8cm， A ′ B ′ =12cm ， B ′ C ′ =18cm ， A ′ C ′ =21cm. 答案：不相似 . 5. 如图，△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，求证：△ ABC ∽△ EFD ． ∴ △ ABC ∽△ EFD . 证明：∵△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， ∴ ∴ 6. 如图，某地四个乡镇 A ， B ， C ， D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米， AD = 28 千米， BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解： 公路 AB 与 CD 平行 . ∴ ∴ △ AB D ∽△ B D C ， ∴∠ ABD =∠ BDC ， ∴ AB∥DC . 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 22.2 相似三角形的判定 第 5 课时 判定两个直角三角形相似 1. 掌握直角三角形相似的判定；（重点） 2. 能熟练地运用直角三角形相似的判定定理 .( 难点 ) 学习目标 观察两副三角尺如图，其中同样角度（ 30° 与 60° ，或 45° 与 45° ）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形， 类似于判定三角形全等的 HL 方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？ 导入新课 回顾与思考 利用边判定直角三角形相似 画一画： 在下图的边长为 1 的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形， 使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍． 画完之后，用量角器比较两个 三角形的对应角，你发现了什 么结论？大家的结论都一 样吗？ B C A F E D 发现这两个三角形相似 ． 讲授新课 证明：设 由勾股定理 ，得 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C ′ 中 ∠ C =90°, ∠ C ′=90°. ，求证 : Rt△ ABC ∽Rt△ A′B′C ′. 探究 A' B' C' A B C ∴ ∴ ∴ Rt △ ABC ∽Rt △ A′B′C′. A' B' C' A B C 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 . A B C 那么 △ ABC ∽△ A 1 B 1 C 1 . A 1 B 1 C 1 Rt△ ABC 和 Rt△ A 1 B 1 C 1 . 归纳 几何语言 典例精析 例 1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′. 证明：在Rt△ABC中， 又 ∵∠ ABC ＝ ∠ A ′ C ′ B ′ ＝ 90° ， ∴Rt△ ABC ∽Rt△ B ′ C ′ A ′. 例 2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( ) 【解析】设网格的边长是1，则 所以 AB:AC:BC=1:2: ∴△ABC是直角形三角，且AB∶ A C＝1∶2， ∵选项A、D选项不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2， C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2， ∴选项B正确． B 以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键． 方法总结 例 3 如图，∠ABC＝∠C DB= 90°， C B＝ a ，AC＝ b .问当 BD 与 a ， b 之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以C， D ， B 为顶点的三角形相似？ 解： ∵∠ ABC ＝ ∠ CDB ＝ 90° ， 当 时， △ ABC ∽△ CDB . 当 时， △ ABC ∽△ BDC . ∴ 解： ∵ ED ⊥ AB ， ∴ ∠ EDA =90 ° . 又 ∠ C =90 ° ， ∠ A = ∠ A ， ∴ △ AED ∽ △ ABC . 例 4 如图 ， 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90° ， AB = 10 ， AC = 8. E 是 AC 上一点， AE = 5 ， ED ⊥ AB ，垂足为 D . 求 AD 的长 . D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳总结 1. 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中，已知∠ C =∠ C ′=90°. 依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由 . （ 1 ）∠ A =25° ，∠ B ′=65° ； 当堂练习 解 : （ 1 ）∵ ∠ A =25° ，∠ C =90° ， ∴ ∠ B =65° ， ∴ ∠ B = ∠ B ′=65°, ∠ C = ∠ C ′=90°, ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ A′B′C ′. （ 2 ）∵ AC =3 ， BC =4 ， A′C ′=6 ， B′C ′=8 ， 且∠ C = ∠ C ′=90°, ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ A′B′C ′. （ 2 ） AC =3 ， BC =4 ， A′C′ =6 ， B′C′ =8 ； 2. 如图，已知 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C ′ 中∠ A =∠ A ′=90°， AD ， A′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，且 CD ∶ C ′ D ′= AC ∶ A ′ C ′ 请说明：△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′． 相似图形三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线 两角分别相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （三边对应成比例，三角相等） （ AA ） （ SAS ） （ HL ） 课堂小结 （ SSS ） 22.3 相似三角形的性质 第 1 课时 相似三角形的性质定理 1 、 2 1. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系 . （重点） 2. 掌握相似三角形的周长比等于相似比及其在实际中的应用 . 2. 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 A C B A 1 C 1 B 1 问题 1 ： △ ABC 与 △ A 1 B 1 C 1 相似吗？ 导入新课 A C B A 1 C 1 B 1 相似三角形对应角相等、对应边成比例 . △ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 思考： 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量，猜一猜 D 1 A 1 C 1 B 1 ∟ A C B D ∟ Δ ABC ∽ Δ A 1 B 1 C 1 , ,CD 和 C 1 D 1 分别是它们的高 , 你知道 等于多少吗？ 如图， △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ，相似比为 k ，它们对应高的比各是多少？ 讲授新课 A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比 一 ∵ △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ， ∴∠ B ＝∠ B' ， 解：如图，分别作出 △ ABC 和 △ A' B' C' 的高 AD 和 A' D ' ． 则 ∠ ADB =∠ A' D ' B'= 90 ° . ∴△ ABD ∽△ A' B' D ' . A B C A' B' C' D' D 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1 ， BD 和 B 1 D 1 是它们的中线， 已知 ,B 1 D 1 =4cm ，则 BD= cm. 6 2. Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1, AD 和 A 1 D 1 是对应角平分 线，已知 AD=8cm ， A 1 D 1 =3cm , 则 Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 的对应高之比为 . 8:3 练一练 3. 如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD ， AB∥CD ， AB=2m ， CD=4m ，点 P 到 CD 的距离是 3m ，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 例 1 ： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . (1)AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ (2) Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长 . S R Q P E D C B A 典例精析 （ 1 ） AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ 解： AE 是 Δ ASR 的高 . 理由： ∵AD 是 Δ ABC 的高 ∴ ∠ ADC=90° ∵ 四边形 PQRS 是正方形 ∴ SR∥BC ∴∠ AER= ∠ ADC=90° ∴ AE 是 Δ ASR 的高 . BC=60cm ， AD=40cm ， 四边形 PQRS 是正方形 . S R Q P E D C B A BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . （ 2 ） Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ 解： Δ ASR 与 Δ ABC 相似 . 理由 : ∵ SR∥BC ∴ ∠ ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ Δ ASR 与 Δ ABC 相似 . S R Q P E D C B A （ 3 ）求正方形 PQRS 的边长 . 是方程思想哦！ 解：∵ Δ ASR ∽ Δ ABC AE 、 AD 分别是 Δ ASR 和 Δ ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形 PQRS 的边长为 x cm , 则 SR=DE= x cm ,AE=(40- x )cm ∴ 解得： x =24 ∴正方形 PQRS 的边长为 24cm. S R Q P E D C B A 变式： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=5cm ， AD=10cm ，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm. 设 SP= x cm ，则 SR=2 x cm 得到： 所以 x =2 2 x =4 S 矩形 PQRS= 2×4=8cm 2 S R Q P E D C B A 分析： 情况一： SR=2SP 设 SR= x cm ，则 SP=2 x cm 得到： 所以 x =2.5 2 x =5 S 矩形 PQRS=2.5×5=12.5cm 2 原来是分类思想呀！ S R Q P E D C B A 分析： 情况二： SP=2SR 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm 例 2 ： 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长 BC=80cm ，高 AD=60cm ，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为 2:1 ，且矩形的一边位于边 BC 上，另两个顶点分别在边 AB,AC 上，求这个矩形的边长 . S R Q P E D C B A 解 如图，矩形 PQRS 为加工后的零件，边 SR 在边 BC 上，顶点 P,Q 分别在边 AB , AC 上，△ ABC 的高 AD 交 PQ 于点 E . 设 PS = x cm ，则 PQ 为 2 x cm. S R Q P E D C B A ∵ PQ ∥ BC ， ∴∠ APQ =∠ ABC ,∠ AQP =∠ ACB, ∴ △ APQ ∽△ ABC . 解方程，得 x =24,2 x =48. 答：这个矩形的零件的边长分别是 48cm 和 24cm. 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题： 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中 △ ABC 和 △ A′B′C ′ 相似， AD 、 A′D ′ 分别为对应边上的中线， BE 、 B′E ′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ， 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′. ∴ ∠ B ′ = ∠ B , ． 又 AD , AD ′ 分别为对应边的中线 . ∴ △ ABD ∽△ A′B′D ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ，即 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′ ∴ ∠ B ′ = ∠ B , ∠ B ′ A′C ′ = ∠ B AC ． 又 AD , AD ′ 分别为对应角的平方线 ∴ △ ABD ∽△ A′B′D ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 例 2 ： 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm 和 8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解： 设较短的角平分线长为 x cm ， 则由相似性质有 . 解得 x ＝ 18. 较长的角平分线长为 24cm. 故这两条角平分线的长分别为 18cm ， 24cm. 相似三角形周长比等于相似比 三 问题： 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 ， 2 ， 3 的等边三角形 , 它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1) 与 (2) 的相似比 =______, (1) 与 (2) 的周长比 =______ ， (1) 与 (3) 的相似比 =______, (1) 与 (3) 的周长比 =______. 1∶ 2 结论： 相似三角形的 周长比 等于 ______ ． 相似比 （都相似） 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律吗？ 证明：设 △ ABC ∽△ A 1 B 1 C 1 ，相似比为 k ， 求证：相似三角形的周长比等于相似比 . A B C A 1 B 1 C 1 想一想： 怎么证明这一结论呢？ 相似三角形周长的比等于相似比 . 归纳总结 ∴ △ DEF ∽△ ABC ，相似比为 ∴△ DEF 的周长 = △ ABC 的周长， △ DEF 的周长 =12. 例 3 . 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2DF ，∠ A ＝∠ D ，△ ABC 的周长是 24 ，求△ DEF 的周长． A B C D E F 又 ∠ D ＝∠ A 解：在△ ABC 和△ DEF 中， ∵ AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2 DF ∴ 3 ．两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为 ______ . 当堂练习 2. 相似三角形对应边的比为 2∶3 , 那么对应角的角平分线的比为 ______. 2∶ 3 1 ．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为 _________, 则对应中线的比为 _________. 解：∵ △ ABC ∽△ DEF ， 　 解得 , EH ＝ 3.2(cm) . 答： EH 的长为 3.2cm . A G B C D E F H 4. 已知 △ ABC ∽△ DEF ， BG 、 EH 分△ ABC 和△ DEF 的角平分线， BC =6cm, EF =4cm, BG =4.8cm . 求 EH 的长 . 5 . 若 △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ，且 AB =15cm ， B′C ′ =24cm ，求 BC ， AC ， A′B ′, A′C ′ 的长. B A C 解： ∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ， ∵ AB =15cm ， B′C ′ =24cm， ∴ BC = 20cm， AC = 25cm， A′B ′= 18 cm， A′C ′= 30cm. 6. 如图， AD 是 △ ABC 的高， A D=h, 点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， S R ⊥ A D ， 垂足为 E. 当 时，求 DE 的长 . 如果 呢？ 　 ∴△ A SR ∽△ ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ). 解： ∵ SR ⊥ AD ， BC ⊥ AD ， B A E R C D S ∴ SR∥BC . ∴∠ A SR=∠B, ∠ A RS=∠C. ( 相似三角形对应高的比等于相似比 ) ， 当 时，得 解得 B A E R C D S 当 时，得 解得 选做题： 7. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m ，面积为 1.5m 2 , 要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（ 1 ）、（ 2) 所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （ 1 ） F G B A C E D （ 2 ） 相信自己是最棒的！ S R Q P E D C B A 8.AD 是 Δ ABC 的高， BC=60cm ， AD=40cm ，求图中小正方形的边长 . A C B D (1) A C B D (5) D C B A (4) A C B D (3) D C B A (1) A C B D (2) 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比 课堂小结 相似三角形周长之比等于相似比 22.3 相似三角形的性质 第 2 课时 相似三角形的性质定理 3 1. 掌握相似三角形的性质定理 3 ；（重点） 2. 运用相似三角形的面积比解决实际问题 .( 难点 ) 学习目标 导入新课 问题： 我们知道， 如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比 . 那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？ A B C A 1 B 1 C 1 问题引入 (1) 与 (2) 的相似比 =______, (1) 与 (2) 的面积比 =______ (1) 与 (3) 的相似比 =______, (1) 与 (3) 的面积比 =______ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 1 2 3 1∶ 2 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题： 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 ， 2 ， 3 的等边三角形 , 回答以下问题： 结论： 相似三角形的面积 比 等于 __________ ． 相似比的平方 讲授新课 证明：设 △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ，相似比为 k , 如图，分别作出 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 的高 AD 和 A ′ D ′. ∵△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 都是直角三角形，并且 ∠ B = ∠ B ′ ， ∴△ ABD ∽△ A ′ B ′ D ′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想： 怎么证明这一结论呢？ ∵△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ . 相似三角形的面积比等于相似比的平方 . 归纳总结 例 1 ： 如图 , △ ABC 的面积为 25 ，直线 DE//BC , 如果 △ ADE 的面积为 9 ，求 的值 . A B C D ∴ △ ADE ∽ △ ABC . 解 ∵ DE//BC ， E 典例精析 1. 已知 ΔABC 与 ΔA′B′C′ 的相似比为 2 ： 3 ，则对 应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1:9 ， 周长的比为 ______ . 1:3 2:3 4:9 练一练 如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ ，相似比为 k ， 它们面积的比是多少？ 相似多边形面积的比等于相似比的平方 . A B C A′ B′ C′ D D′ 延伸探究 例 2 ： 将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 重叠部分的面积是△ ABC 的面积的一半 . 已知 BC =2 ，求 △ ABC 平移的距离 . 　 解：根据题意，可知 EG∥AB . ∴∠ GEC=∠B, ∠ EGC=∠A. ∴△ GEC ∽△ ABC 即， △ ABC 平移的距离为 解：在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∵ AB =2 DE ， AC =2 DF ， 又 ∵∠ D =∠ A ， ∴ △ DEF ∽ △ ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F ∴ 例 3 如图，在 △ ABC 和 △ DEF 中， AB = 2 DE ， AC = 2 DF ， ∠ A = ∠ D . 若 △ ABC 的边 BC 上的高为 6 ，面积为 ，求 △ DEF 的边 EF 上的高和面积 . A B C D E F ∵ △ ABC 的边 BC 上的高为 6 ，面积为 ， ∴ △ DEF 的边 EF 上的高为 × 6 = 3 ， 面积为 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______ . 练一练 例 4 如图， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点，已知 △ ABC 的面积为 100 cm 2 ，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 　 ∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∵ 它们的相似比为 3 : 5 ， ∴ 面积比为 9 : 25 . B C A D E 解： ∵ ∠ BA C = ∠ DAE ，且 又 ∵ △ ABC 的面积为 1 00 cm 2 ， ∴ △ A DE 的面积为 36 cm 2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 ( cm 2 ) . B C A D E 如图，△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE∥BC ， EF∥AB . 当 D 点为 AB 中点时，求 S 四边形 BFED : S △ ABC 的值 . A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC ， D 为 AB 中点， ∴ △ ADE ∽ △ ABC ， 相似比为 1 : 2 ， 面积比为 1 : 4. ∴ A B C D F E 又 ∵ EF∥AB ， ∴ △ EFC ∽ △ ABC ，相似比为 1 : 2 ， 面积比为 1 : 4. 设 S △ ABC = 4 ，则 S △ ADE = 1 ， S △ EFC = 1 ， S 四边形 BFED = S △ ABC － S △ ADE － S △ EFC = 4 － 1 － 1 = 2 ， ∴ S 四边形 BFED : S △ ABC = 2 : 4 = 1. 判断： ( 1 ) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) ( 2 ) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 当堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于 ______ ， 面积 比等于 _____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ ABC 和 △ DEF 中， AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2 DF ， ∠ A ＝∠ D ， AP ， DQ 是中线，若 AP ＝ 2 ，则 DQ 的值为 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 1 D. C 4 . 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm ， 若较大三角形的周长是 42 cm ，面积是 12 cm 2 ，则 较小三角形的周长 ____ cm ，面积为 ____ cm 2 . 14 5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 ( 点 A ) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 ( 结果保留两位 小数 ) ？ A D E F C B H 解： ∵ FH = 1 米， AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH － FH = 2 ( 米 ) ， DF = 1.2 ÷ 2 = 0.6 ( 米 ). ∵ DF∥CH ， ∴ △ ADF ∽ △ ACH ， A D E F C B H ∴ 即 解得 CH = 0.9 米 . ∴ 阴影部分的面积为： ( 平方米 ). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米 . 6. △ ABC 中， DE∥BC ， EF∥AB ，已知 △ ADE 和 △ EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ ABC 的面积 . A B C D F E 解： ∵ DE∥BC ， EF∥AB ， ∴ △ ADE ∽ △ ABC ， ∠ ADE =∠ EFC ， ∠ A =∠ CEF ， ∴ △ ADE ∽ △ EFC . 又 ∵ S △ ADE : S △ EFC = 4 : 9 ， ∴ AE : EC =2:3 ， 则 AE : AC =2 : 5 ， ∴ S △ ADE : S △ ABC = 4 : 25 ， ∴ S △ ABC = 25. 7. 如图，△ ABC 中， DE∥BC ， DE 分别交 AB 、 AC 于 点 D 、 E ， S △ ADE ＝ 2 S △ DCE ，求 S △ ADE ∶ S △ ABC . 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F ，则 ∴ 又∵ DE∥BC ， ∴ △ ADE ∽△ ABC . A B C D E ∴ 即 S △ ADE : S △ ABC ＝4 : 9 . A B C D E 相似三角形的性质 2 课堂小结 相似三角形面积之比等于相似比的平方 性质的应用 22.4 图形的位似变换 第 1 课时 位似图形 1. 掌握位似图形的概念、性质和画法 . ( 重点 ) 2. 掌握位似与相似的联系与区别 . ( 难点 ) 学习目标 导入新课 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 图片引入 连接图片上对应的点，你有什么发现？ 问题 1 ： 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 位似图形的概念 一 观察与思考 讲授新课 问题 2 ： 下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于 点 O . 有什么关系？ A B C D E E' D' C' B' A' O 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P̍ 所在的直线都过同一点 O , 且 OP ̍ = k · OP （ k≠0 ） , 那么这样的两个多边形叫做 位似多边形 ，点 O 叫做 位似中心 . 其中 k 为相似多边形的相似比 . 概念学习 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 1. 画出下列图形的位似中心： 练一练 2. 如图， BC∥ED ，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D 、 C 与 E 是对应位似点 D. AE : AD 是相似比 D D E A B C 位似图形的性质 二 合作探究 从左图中我们可以看到，△ OAB∽ △ OA′B′ ， 则 ， AB∥A ′ B ′. 右图呢？你得到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比 相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比．（ 位似图形的相似比也 叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上 ． 归纳： 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ ，若 OB : O ′ B ′ ＝ 1 : 2 ，则四边形 ABCD 的面积与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ 的面积比为 ( ) A ． 4∶1 B ． ∶ 1 C ． 1∶ D ． 1∶4 D O 练一练 例 1 ： 如图，已知△ ABC ，以点 O 为位似中心画△ DEF ，使其与△ ABC 位似，且位似比为 2 . 解：画射线 OA , OB , OC ; 在射线 OA , OB , OC 上分别取点 D , E , F , 使 OD = 2 OA , OE = 2 OB , OF = 2 OC ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 相似比为 2 . A B C F E D O 想一想： 你还有其他的画法吗？ 位似多边形的画法 三 A B C 画法二： △ ABC 与△ DEF 异侧 解：画射线 OA , OB , OC ; 沿着射线 OA , OB , OC 反方向上分别取点 D , E , F , OD = 2 OA , OE = 2 OB , OF = 2 OC ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 相似比为 2 . O E F D (3 ) 顺次连接点 A' 、 B' 、 C' 、 D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． O D A B C A' B' C' D' 例 2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2 . (1 ) 在四边形外任选一点 O ( 如图 ) ； (2 ) 分别在线段 OA 、 OB 、 OC 、 OD 上取点 A' 、 B' 、 C' 、 D' ，使得 ； 利用位似，可以将一个图形放大或缩小 思考： 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O ，分别在 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的反 向延长线上取 A′ 、 B′ 、 C′ 、 D ′ ，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形． O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D' 如图，△ ABC . 根据要求作△ A'B'C' ，使△ A' B' C' ∽△ ABC ，且相似比为 1 : 5. ( 1 ) 位似中心在△ ABC 的一条边 AB 上； 练一练 A C B O ● A′ B′ C′ ● ● 假设位似中心点 O 为 AB 中点 ，点 O 位置如图所示 . 根据相似比可确定 A ′ ， B ′ ， C ′ 的位置 . ● ( 2 ) 以点 C 为位似中心 . C A B A′ B′ ( C′ ) ● ● ● 例 3 ： 如图，四边形 ABCD 是一个待测绘的小区.在区内选一个测绘点 O （图中已被图板遮住），将图板上测绘图纸的点O 1 对准测绘点O，再由点 O 1 对准点 A ， B ， C ， D 在纸上作射线 O 1 A ， O 1 B，O 1 C，O 1 D 的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出点 A 1 ，B 1 ，C 1 ，D 1 ，依次连接 A 1 B 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 ，D 1 A 1 ，即得该小区缩小的平面图. D O 1 A C A 1 B 1 C 1 D 1 B ◑画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关 键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的 关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 归纳： ◑利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． ◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 当堂练习 A B C D 1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( ) B 2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若 AB : FG = 2 : 3 ，则下列结论正确的是 ( ) A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN C. 3∠ A = 2∠ F D. 2∠ A = 3∠ F B A B E C D N F G H M 3. 下列说法： ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 位似，则其中 △ ABC 与 △ A′B′C′ 也是位似的，且位似比相等 . 其中正确的有 . ①④ 4. 如图，△ ABC 与△ DEF 是位似图形，位似比为 2 : 3 ，已知 AB ＝ 4 ，则 DE 的长为 _____ ． 6 5. 已知点 O 在△ ABC 内，以点 O 为位似中心画一个三角形，使它与△ ABC 位似，且位似比为 1 : 2 . A B C 解：画射线 OA , OB , OC ; 在射线 OA , OB , OC 上分别取点 D , E , F , 使 OA = 2 OD , OB = 2 OE , OC = 2 OF ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 位似比为 1 ： 2 . D E F 6. 如图， F 在 BD 上， BC 、 AD 相交于点 E ，且 AB∥CD∥EF ， ( 1 ) 图中有哪几对位似三角形 ? 选其中一对加 以证明； 答案： △ DFE 与 △ DBA ，△ BFE 与 △ BDC ，△ AEB 与 △ DEC 都是位似图形；证明略 . ( 2 ) 若 AB =2， CD =3，求 EF 的长 . 解：∵ △ BFE ∽△ BDC ，△ AEB ∽△ DEC ， AB =2， CD =3， ∴ ∴ 解得 位似的概念及画法 位似图形的概念 课堂小结 位似图形的性质 画位似图形 22.4 图形的位似变换 第 2 课时 图形在平面直角坐标系中的位似变换 1 . 理解平面直角坐标系中，位似图形对应 点的坐标之 间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律 . ( 重点、难点 ) 3. 了解四种 图形变换 ( 平移、轴对称、旋转和位似 ) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换 . 学习目标 导入新课 复习引入 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相 交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ， 这个交点叫做 ． 位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形 ? 位似图形 位似中心 相似比 ( 或位似比 ) 平行或者在一条直线上 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些 平移、轴对称和旋转 ( 中心对称 ) . 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 平面直角坐标系中的位似变换 一 讲授新课 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A ( 6 ， 3) ， B (6 ， 0) ． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化 . 合作探究 2 4 6 4 6 B' － 2 － 4 － 4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A ， B 的对应点为 A′ ( ， ) ， B' ( ， ) ； A" ( ， ) ， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 － 1 － 2 0 2. △ ABC 三个顶点坐标分别为 A ( 2 ， 3) ， B ( 2 ， 1) ， C (5 ， 2) ，以点 O 为位似中心，相似比为 2 ，将 △ ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化 . 2 4 6 4 6 － 2 － 4 － 4 x y A B 2 8 10 C － 2 － 6 － 8 － 10 － 8 B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ ABC 放大后 A ， B ， C 的对应点为 A' ( ， ) ， B' ( ， ) ， C' ( ， ) ； A" ( ， ) ， B" ( ， ) ， C" ( ， ). 4 6 4 2 10 4 － 4 － 6 － 4 － 2 － 10 － 4 问题 1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题 2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k ；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－ k ． 3. 当 k ＞ 1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A ( 4，4 ) ， B ( 6，2 ) ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD ，则 端点 D 的坐标为 ( ) A . ( 2，2 ) B . ( 2，1 ) C . ( 3，2 ) D . ( 3，1 ) 练一练 D x y A B C D 2. △ ABC 三个顶点 A (3 ， 6) ， B ( 6，2 ) ， C (2 ，－ 1) ， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △ A′B′C′ 三 个顶点分别为 A′ (1 ， 2) ， B′ (2 ， ) ， C′ ( ， ) ， 则 △ A′B′C′ 与 △ ABC 的位似比是 . 1 : 3 典例精析 例 1 如图， 在平面直角坐标系中，△ ABO 三个 顶点的坐标分别为 A ( － 2 ， 4 ) ， B ( － 2 ， 0 ) ， O (0 ， 0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ AB O 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 － 2 － 4 x y A B O 2 4 6 2 － 2 － 4 x y A B O 提示： 画三角形关键 是确定它各顶点的坐 标 . 根据前面的归纳 可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ， 即 ( － 3 ， 6) ，类似地， 可以确定其他顶点的 坐标 . 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ ( － 3 ， 6) ， B′ ( － 3 ， 0) ， O (0 ， 0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ， B′ ， O ，所得的 △ A′ B′ O 就是要画的一个图形 . 还有其他画法吗？自己试一试. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0 ， 0) ， A (6 ， 0) ， B (3 ， 6) ， C ( － 3 ， 3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 O C 解： 画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面直 角坐标系中描点 O (0 ， 0) ， A' (4 ， 0) ， B' (2 ， 4) ， C′ ( － 2 ， 2) ， 用线段顺次连接 O ， A' ， B' ， C' . 2 4 6 4 6 B' － 2 － 4 － 4 x y A B A' C' 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0 ， 0) ， A″ ( － 4 ， 0) ， B″ ( － 2 ，－ 4) ， C″ (2 ，－ 2) ， 用线段顺次连接 O ， A″ ， B″ ， C″ . O C 2 4 6 4 6 B″ － 2 － 4 － 4 x y A B A″ C″ 平面直角坐标系中的图形变换 二 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 将图中的 △ ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． ( 1 ) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； ( 2 ) 关于 x 轴对称； ( 3 ) 以 C 为位似中心，将 △ ABC 放大 2 倍； ( 4 ) 以 C 为中心，将 △ ABC 顺时针旋 转 180° ． 练一练 x y A B C 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2 ，横坐标不变 B . 将各点的横坐标除以 2 ，纵坐标不变 C . 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D . 将各点的纵坐标减去 2 ，横坐标加上 2 C 当堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A ． (4 ，－ 3) B ． (4 ，－ 2) C ． (4 ，－ 4) D ． (4 ，－ 6) A 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “ 变化的鱼 ” 时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 ( a ， b ) 对应大鱼上的点 . ( － 2 a ，－ 2 b ) 4. 原点 O 是 △ ABC 和 △ A′B′C′ 的位似中心，点 A ( 1，0 ) 与点 A′ ( －2，0 ) 是对应点， △ ABC 的面积 是 ，则 △ A′B′C′ 的面积是 . 6 5 . 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中 ， 点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是_____ ____ __________． (1 ， 0) 或 ( － 5 ，－ 2) O x 6. △ ABC 三个顶点坐标分别为 A ( 2 ，－ 2 ) ， B (4 ，－ 5) ， C ( 5 ，－ 2) ，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放 大为原来的 2 倍． C 2 4 6 － 4 x y A B 2 － 2 答案： A' ( 4 ，－ 4) ， B' ( 8 ， － 10) ， C' ( 10 ，－ 4) ； B' A' C' A" B" C" A″ ( － 4 ， 4) ， B″ ( － 8 ， 10) ， C″ ( － 10 ， 4). 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ ABC 和点 M ( 1，2 ). x y A B C ( 1 ) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ ABC 的 位似图形 △ A′B′C′ ； M A ′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 2 ) 写出 △ A′B′C′ 的各顶点坐标 . 答：△ A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3 ， 6) ， B′ (5 ， 2) ， C′ (11 ， 4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3 ， 4)，点 O 的坐标为 (0 ， 0)， 点 B 的坐标为 (4 ， 0). 4 x y A B 4 3 ( 1 ) 将 △ AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得 △ A 1 O 1 B 1 ， 则点 A 1 的坐标为 ， △ A 1 O 1 B 1 的面积为 ； (2 ， 4) 8 ( 2 ) 将 △ AOB 绕原点旋转 180° 后得 △ A 2 O 2 B 2 ，则点 A 2 的 坐标为 ； ( － 3 ，－ 4) ( 3 ) 将 △ AOB 沿 x 轴翻折 后得 △ A 3 O 3 B 3 ，则点 A 3 的 坐标为 ； ( 4 ) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △ AOB 放大 后得 △ A 4 O 4 B 4 ，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A 4 的坐标为 ，△ A 4 O 4 B 4 的面积为 . 4 x y A B 4 3 (3 ，－ 4) ( － 6 ，－ 8) 32 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 课堂小结 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 第 22 章 相似形 22.5 综合与实践 1. 通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有关知识 . （重点） 2. 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题 . （难点） 学习目标 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 台北 101 大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题 . 利用相似三角形测量高度 一 讲授新课 据传说 ， 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 ， 在金字塔影子的顶部立一根木杆 ， 借助太阳光线构成两个相似三角形 ， 来测量金字塔的高度 . 例 1 如图，木杆 EF 长 2 m ， 它的影长 FD 为 3m ， 测得 OA 为 201 m ， 求金字塔的高度 BO . 怎样测出 OA 的长？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠ BAO =∠ EDF . 又 ∠ AOB =∠ DFE = 90° ， ∴△ ABO ∽△ DEF . ∴ ， ∴ =134 (m) . 因此金字塔的高度为 134 m. 表达式： 物 1 高 ：物 2 高 = 影 1 长 ：影 2 长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“ 在同一时刻物高与影长成正比例 ”的原理解决 . 归纳： 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE ， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求 AB 长的等 式是 ( ) A ． B ． C ． D ． C 练一练 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米， AB = 10 米，则旗杆的高度是 ______ 米． 8 例 2 如图， 左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m ， 两树底部的距离 BD = 5 m ， 一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m ，她 沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了 ? 分析： 如图，设观察者眼睛的位置 ( 视点 ) 为点 F ， 画出观察者的水平视线 FG ， 它交 AB ， CD 于点 H ， K . 视线 FA ， FG 的夹角 ∠ AFH 是观察点 A 的仰角 . 类似地 ， ∠ CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 ( 盲区 ) 之内 . 再往前走就根本看不到 C 点了 . 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A ， C 恰在一条 直线上． ∵ AB ⊥ l ， CD ⊥ l ， ∴ AB∥CD . ∴ △ AEH ∽ △ CEK . ∴ ， 即 解得 EH =8. 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用标杆测量高度 ”的原理解决 . 练一练： 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 . 已知小明的眼高 1.6m ，求树的高度 . 解析： 人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN ∥ BD 交 I D 于 N ，交 EF 于 M ，则可得△ AEM ∽△ ACN. A E C D F B N A E C D F B N 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N ，交 EF 于 M ，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ ABF=∠EFD=∠CDF =90°, ∴ AB∥EF∥CD, ∴∠ EMA=∠CNA. ∵ ∠ EAM=∠CAN, ∴△ AEM ∽△ ACN , ∴ . ∵ AB =1.6m , EF =2m , BD =27m , FD =24m , ∴ , ∴ CN =3.6 （ m ）， ∴ CD =3.6+1.6=5.2 （ m ） . 故树的高度为 5.2m. A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ ABO ∽△ AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 例 3 ： 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树 AB 底部 15m 的 E 处放下镜子； ②该同学站在距离镜子 1.2m 的 C 处，目高 CD 为 1.5m ； ③观察镜面，恰好看到树的顶端 . 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠ 1=∠2,∠ DCE =∠ BAE =90°, ∴△ DCE ∽△ BAE . ∴ , 解得 BA =18.75 （ m ） . 因此，树高约为 18.75m. D B A C E 2 1 测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用镜子的反射测量高度 ”的原理解决 . 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米， D P = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B 试一试： 利用三角形相似测高的模型： 归纳总结 测量倾斜角（下一章讲计算） 二 0 30 30 60 60 90 90 P Q 度盘 铅锤 支杆 问题 1 ： 如何测量倾斜角？ 测量倾斜角可以用测倾器， ---- 简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成 0 30 30 60 60 90 90 1. 把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的 0° 刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置 . P Q 问题 2 ： 如何使用测倾器？ 0 30 30 60 60 90 90 2. 转动转盘，使度盘的直径对准目标 M ，记下此时铅垂线所指的度数 . M 30° 问题 3 ： 如何测量旗杆的高度？ A C M N E 在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度 . α 所谓 “ 底部可以到达 ” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图 CE 的长度 . A C M N 1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE=α ； E 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3 . 量出测倾器的高度 AC = a ，可求出 MN 的高度 . MN = ME + EN = l ·tan α + a α 问题 4 ： 测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？ 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A . 45米 B . 40米 C . 90米 D . 80米 当堂练习 2 . 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m A A 3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB ＝10 c m， BC ＝ 20 cm， PC ⊥ AC ，且 PC ＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 . 12 cm 4. 如 图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度。如果标杆 BE 高 1.2m ，测得 AB =1.6m ， BC =12.4m ，楼高 CD 是多少？ 解： ∴ EB ∥ CD ∴△ ABE ∽△ ACD CD =10.5m. ∵ EB ⊥ AC , CD ⊥ AC 1.2m 12.4m 1.6m 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度 . A B C D G E F A B C D G E F 解：由题意可得：△ DEF ∽△ DCA ， ∵ DE =0.5米， EF =0.25米， DG =1.5米， DC =20米， 则 解得： AC = 10， 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 ( m ). 答：旗杆的高度为 11.5 m . ∴ 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A B C D E 解：如图：过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AB 于点 E ， ∴ DE = CB = 9.6 m ， BE = CD = 2 m ， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED =1 : 1.2， ∴ AE = 8 m ， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m) ， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. A B C D 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 课堂小结 利用标杆 利用镜子的反射 利用测角器 ( 下章讲如何计算 ) 小结与复习 第 22 章 相似形 ( 1 ) 形状相同的图形 ( 2 ) 相似多边形 要点梳理 ( 3 ) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各 对应角相等 、各 对应边成比例 . ◑ 通过定义 ◑ 平行于三角形一边的直线 ◑ 三边成比例 ◑ 两边成比例且夹角相等 ◑ 两角分别相等 ◑ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 ( 三个角分别相等，三条边成比例 ) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、 角 平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 ( 1 ) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. ( 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 ) ( 不能直接测量的两点间的距离 ) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. ( 2 ) 测距 4. 相似三角形的应用 ( 1 ) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做 位 似图形 ，这个点叫做 位似中心 . ( 这时的相似 比也称为 位似比 ) 5. 位似 ( 2 ) 性质 ： 位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. ( 3 ) 位似性质的 应用 ：能将一个图形 放大 或 缩小. A B G C E D F ● P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ● P ( 4 ) 平面直角坐标系中的 位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k ；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－ k. 例 1 如图，△ ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC ＝120 mm，高 AD ＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B C D E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的 正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E 、 F 分别在 AB 、 AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M ，设正方形的 边长为 x mm. M 考点讲练 考点一 相似三角形的判定和性质 ∵ EF // BC ， ∴△ AEF ∽△ ABC ， 又 ∵ AM ＝ AD － MD ＝ 80 － x ， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B C D E F G H M 则 ∴ 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝ 60° ， ∠ ACF ＝ 120° ． ∵ CE 是外角平分线， ∴∠ ACE ＝ 60° ， ∴∠ BAC ＝∠ ACE ． 又 ∵∠ ADB ＝∠ CDE ， ∴△ ABD ∽△ CED ． 例 2 如图，△ ABC 是等边三角形， CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E . ( 1 ) 求证：△ ABD ∽△ CED ； A B C D F E ( 2 ) 若 AB = 6， AD = 2 CD ，求 BE 的长. 解：作 BM ⊥ AC 于点 M . ∵ AC ＝ AB ＝6， ∴ AM ＝ CM ＝3 . ∵ AD ＝ 2 CD ， ∴ CD ＝ 2 ， AD ＝ 4 ， MD ＝ 1. A B C D F E M 在 R t △ BDM 中， 由 (1) △ ABD ∽ △ C ED 得， 即 ∴ A B C D F E M 针对训练 1 ． 如图所示 , 当满足下列条件之一时，都可判定 △ ADC ∽△ ACB ． ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) . ∠ ACD =∠ B ∠ ACB =∠ ADC B C A D 或 AC 2 = AD · AB 2. △ ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △ DEF 的最小边长为 15，则 △ DEF 的其他两条 边长为 ． 36 和 39 3 . 如图，△ ABC 中， AB =9， AC =6，点 E 在 AB 上 且 AE =3，点 F 在 AC 上，连接 EF ，若 △ AEF 与 △ ABC 相似，则 AF = 　　　　 . B C A E 2 或 4.5 4 . 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上， BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F ，则 △ BFE 的面积 与 △ DFA 的面积之比为 . 　　　　　　 1 : 9 考点二 相似的应用 例 3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 2m 1.2 m 3.6 m 2m 1.2 m 3.6 m 解：如图， CD ＝3.6m， ∵△ BDC ∽△ FGE ， ∴ BC ＝6m. 在 Rt△ ABC 中， ∵ ∠ A ＝30°， ∴ AB ＝2 BC ＝12 m， 即树长 AB 是 12 m. 即 ∴ 例 4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E ，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A . 若人眼距地面距离为 CD ，测量出 CD 、 DE 、 BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ，即可算出 AB 的高． 你还有其他方法吗？ 理由：测量出 CD 、 DE 、 BE 的长，因为∠ CED ＝∠ AEB ，∠ D ＝∠ B ＝90°，易得△ ABE ∽△ CDE . 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 针对训练 A B O C D 2m 6m 1.8m 解： ∵∠ ABO =∠ CDO =90° ， ∠ AOB =∠ COD ， ∴△ AOB ∽△ COD . ∴ ∴ 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． A B O C D 2m 6m 1.8m 考点三 位似的性质及应用 针对训练 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 2. 已知 △ ABC ∽ △ A′B′C′ ，下列图形中， △ ABC 和 △ A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A ( A' ) C' B C B' A ( A' ) C' B C B' A ( A' ) C' B C B' A C' B C A' A B C D B 3. 如图， DE∥AB ， CE = 3 BE ，则 △ ABC 与 △ DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . D A E B C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为 ( － 6 ， 3) ， ( － 12 ， 9) ，△ AB O 和 △ A′B′ O 是以原点 O 为 位似中心的位似图形 . 若点 A′ 的坐标为 (2 ，－ 1) 则 点 B′ 的坐标为 . (4 ，－ 3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C ( 1 ) 在图中 △ ABC 内部作 △ A′B′ C′ ，使 △ A′B′ C′ 和 △ ABC 位似，且位似中心为点 O ，位似比为 2 : 3. O A′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 2 ) 线段 AA′ 的长度是 . 7. 如图，△ ABC 在方格纸中. ( 1 ) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2 ， 1). x y O ( 2 ) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ ABC 放大，画出放大后的图形 △ A′B′C′ ； x y O A′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 3 ) 计算△ A′B′C′ 的面积 S . x y O A′ B′ C′ 解： 课堂小结 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 见 章末 练习 课后作业 23.1 锐角的三角函数 第 23 章 解直角三角形 1. 锐角的三角函数 第 1 课时 正切 1. 理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点） 2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； ( 重点 ) 3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题 . （难点） 学习目标 智者乐水，仁者乐山 图片欣赏 导入新课 思考： 衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 想一想 : 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 铅直高度 水平宽度 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为 倾斜角 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的 铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的 水平宽度 A C B 讲授新课 正切的定义 一 相关概念 问题 1: 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 合作探究 1 A B C D E F 倾斜角越大 —— 梯子越陡 问题 2: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度 越小 ，梯子 越陡 当水平宽度一样，铅直高度 越大 ，梯子 越陡 甲 乙 问题 3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比相等 时， 梯子 一样陡 3m 6m D E F C 2m B 4m A 问题 4: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比 越大 ，梯子 越陡 . 3m 2m 6m 5m A B C D E F 倾斜角 越大 ，梯子 越陡 . 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离 B 1 C 1 , 进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C 1 C 2 B 2 B 1 合作探究 2 两个直角三角形相似 (1)Rt△ AB 1 C 1 和 Rt△ AB 2 C 2 有什么关系 ? (3) 如果改变 B 2 在梯子上的位置 ( 如 B 3 C 3 ) 呢 ? 思考： 由此你得出什么结论 ? A B 1 C 2 C 1 B 2 C 3 B 3 想一想 相等 相似 三角形的对应边相等 在 Rt△ABC 中 , 如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠ A 的 正切 , 记作 tanA, 即 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA= 归纳总结 结论： tanA 的值越大，梯子越陡 . 定义中的几点说明： 1. 初中阶段， 正切 是在 直角三角形 中定义的， ∠ A 是一个 锐角 . 2. tanA 是一个完整的符号，它表示∠A的正切 . 但∠BAC的正切表示为: t an∠BAC . ∠1的正切表示为: tan∠1 . 3. tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比 （ 注意顺序： ） . 4. tanA 不表示 “ tan” 乘以 “ A ” . 5. tanA 的大小只与 ∠ A 的大小有关，而与 直角三角形的边长 无关. A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值， tan A 都有唯一的确定的值与它对应 . 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例 1 ： 下图表示两个自动扶梯 , 哪一个自动扶梯比较陡 ? 解 : 甲梯中 , β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 乙梯中 , ∵tanβ ＞ tanα,∴ 乙梯更陡 . 提示 : 在生活中 , 常用一个锐角的 正切 表示梯子的 倾斜程度 . 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中， ∠ C= 90 ° ， AC=7 ， BC=5 ，则 tan A=______ ， tan B =______ ． 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数 . 2. 下图中∠ ACB =90° ， CD ⊥ AB , 垂足为 D .指出∠ A 和∠ B 的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 4. 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 3. 已知∠ A ,∠ B 为锐角， (1) 若∠ A =∠ B , 则 tan A tan B ; (2) 若 tan A =tan B , 则∠ A ∠ B . = = 正切通常也用来描述山坡的坡度 . 坡度、坡角 二 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡 . 例如， 有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60m, 那么山坡的 坡度 i ( 即 tanα) 就是 : 坡角 ：坡面与水平面的夹角 α 称为 坡角 ； 坡度（坡比） ：坡面 的 铅直高度与水平宽度的比称 为 坡度 i ( 或坡比 ), 即 坡度等于坡角的正切 . 100m 60m ┌ α i 概念学习 例 2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， B 【方法总结】 理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． 例 2 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， AC =4 ， BC =3 ，求 tan A 和 tan B . B C A 解 B C A (1) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AC=12,tanA=( ). (2) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5,tanA= , AC=( ). 1. 完成下列填空： 当堂练习 2. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA= （ ） A. B. C. D. D 这个图呢？ C A B C A B 3. 如图 ,P 是 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ O P (12,5) A x y 4. 如图 , 某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B . 已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55m, 求山坡的坡度 ( 结果精确到 0.001m). A B C ┌ 解： 5. 在等腰△ ABC 中 , AB = AC =13, BC =10, 求 tan B . 提示 : 过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D . 求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 . A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ， ∴在 Rt△ ABD 中， 易知 BD =5 ， AD =12. 6. 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C =90°, AB =15,tan A = , 求 AC 和 BC . 4 k ┌ A C B 15 3 k 7. 如图 , 正方形 ABCD 的边长为 4, 点 M 在 BC 上 ,M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , 若 DM=1 ，求 tan∠ADN 的值 . A D B N M C 解：由正方形的性质可知， ∠ ADN= ∠ DNC ， BC= DC= 4 ， ∵ M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , ∴ DM =1 BN = DM =1. 如图，在平面直角坐标系中， P(x,y) 是第一象限内直线 y=-x+6 上的点 , 点 A(5,0) ， O 是坐标原点，△ PAO 的面积为 S. （ 1 ）求 S 与 x 的函数关系式； （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠PAO 的值 . M 能力提升 解： (1) 过点 P 作 PM ⊥ OA 于点 M ， （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠ PAO 的值 . M 解： 又 ∵ 点 P 在直线 y=-x+6 上， ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 课堂小结 正切 定义 坡度 ∠ A 越大， tanA 越大 , 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 23.1 锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第 2 课时 正弦和余弦 1. 理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点） 2. 在直角三角形中求正弦值、余弦值 . ( 重点 ) 学习目标 导入新课 回顾与思考 1. 分别求出图中∠ A ，∠ B 的正切值 . 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，当锐角 A 确定时，∠ A 的对边与邻边的比就随之确定 . 想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' ，使得∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 讲授新课 正弦的定义 一 合作探究 在图中，由于∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 对边 与 斜边 的比也是一个 固定值 ． A B C A' B' C' ∠A 的对边与斜边的比叫做 ∠ A 的正弦 （ sine ），记作 sinA ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A 的对边记作 a ∠B 的对边记作 b ∠C 的对边记作 c 概念学习 典例精析 例 1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ B =90 °， AC=200 ， sinA=0.6 ，求 BC 的长 . 解： 在 Rt △ ABC 中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. A B C 变式： 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 ° ,BC=20, 求 :△ABC 的周长和面积 . 解 : 在 Rt△ABC 中 , 20 ┐ A B C 余弦的定义 二 合作探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' ，使得∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B ' C ' A B C A' B ' C ' 在图中，由于∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的 度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 邻边与斜边的比 也是一个 固定值 ． ∠ A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的余弦（ cosine ） ，记作 cosA ，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A 的对边记作 a ∠B 的对边记作 b ∠C 的对边记作 c 概念学习 例 2 ： 如图 : 在等腰△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6. 求 : sinB,cosB,tanB. 老师提示 : 过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 5 5 6 A B C ┌ D 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ A sinA 的值越大 , 梯子越 ____ ; cosA 的值越 ____ , 梯子越陡 . 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 议一议 例 3 ： sin70° ， cos70° ， tan70° 的大小关系是 ( 　 ) A ． tan70° ＜ cos70° ＜ sin70° B ． cos70° ＜ tan70° ＜ sin70° C ． sin70° ＜ cos70° ＜ tan70° D ． cos70° ＜ sin70° ＜ tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70° ＜ 1 ， cos70° ＜ 1 ， tan70° ＞ 1. 又 cos70° ＝ sin20° ，锐角的正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70° ＞ sin20° ＝ cos70°. 故选 D. 【方法总结】 当角度在 0°<∠A<90° 间变化时， 0cosA>0. 当角度在 45° ＜ ∠A ＜ 90° 间变化时， tanA ＞ 1. D 如图：在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 正弦 余弦 归纳总结 定义中应该注意的几个问题 : 1.sinA,cosA,tanA 是在 直角三角形中定义 的 , ∠A 是锐角 ( 注意数形结合 , 构造直角三角形 ). 2.sinA,cosA,tanA 是一个 完整的符号 , 分别表示∠ A 的正弦 , 余弦 , 正切 ( 习惯省去“∠”号 ). 3.sinA,cosA,tanA 是 一个比值 . 注意比的顺序 . 且 sinA,cosA,tanA 均﹥ 0, 无单位 . 4.sinA,cosA,tanA 的大小 只与∠ A 的大小有关 , 而与直角三角形的边长无关 . 5. 角相等 , 则其 三角函数值相等 ； 两锐角的三角函数值相等 , 则这两个 锐角相等 . 例 4 ： 在 Rt△ABC 中 , ∠C=90 °, 如图 , 已知 AC=12,BC=5, 求 ∠A 的各个三角函数 . ┌ A C B 12 5 求 :AB,sinB. 10 ┐ A B C 变式： 如图 : 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 0 ,AC=10, 思考 : 我们发现 sinA=cosB, 其中的内在联系你可否掌握 ? 例 5 ： 如图，在平面直角坐标系内有一点 P （ 3 ， 4 ），连接 OP, 求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的各个三角函数 . x y o Q (3,4) P α 解 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q . 在 Rt △ PQO 中， OQ =3 ， QP =4 ，得 如图：在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 归纳总结 sinA=cosB 1. 如图 , 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 已知∠ A,∠B 为锐角 (1) 若∠ A=∠B, 则 sinA sinB; (2) 若 sinA=sinB, 则∠ A ∠B. A B C ┌ C = = 当堂练习 3. 如图 , ∠C=90°CD⊥AB. 4. 在上图中 , 若 BD=6,CD=12. 则 cosA=______. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CDBC ACAB ADAC 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AB =10 ， BC ＝ 6 ，求 sinA 、 cosA 、 tanA 的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式 1 ： 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， cosA ＝ ，求 sinA 、 tanA 的值． 解：∵ A B C 设 AC=15k ，则 AB=17k 所以 ∴ 变式 2 ： 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 8 ， tanA ＝ ，求 sinA 、 cosB 的值． A B C 8 解：∵ 7 ．如图，在正方形 ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE=3AE ，求 sin∠ECM. 解：设正方形 ABCD 的边长为 4x ， ∵ M 是 AD 的中点， BE=3AE ， ∴AM ＝ DM ＝ 2x,AE ＝ x,BE ＝ 3x ． 由勾股定理可知， A M E D B C 7 ．如图，在正方形 ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE=3AE ，求 sin∠ECM. A M E D B C 由勾股定理逆定理可知， △ EMC 为直角三角形 . 8 ．如图，在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为 (10 ， 0) ，点 B 在第一象限内， BO=5 ， sin∠BOA ＝ (1) 求点 B 的坐标； (2) 求 cos∠BAO 的值． A B H 解： (1) 如图所示，作 BH⊥OA ， 垂足为 H ．在 Rt△OHB 中， ∵BO ＝ 5 ， sin∠BOA ＝ , ∴BH=3 ， OH ＝ 4 ， ∴ 点 B 的坐标为 (4 ， 3) ． 8 ．如图，在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为 (10 ， 0) ，点 B 在第一象限内， BO=5 ， sin∠BOA ＝ (2) 求 cos∠BAO 的值． A B H (2)∵OA ＝ 10 ， OH ＝ 4 ， ∴AH ＝ 6 ． ∵ 在 Rt△AHB 中， BH=3 ， 在 Rt△ABC 中 = a b tanA = 课堂小结 23.1 锐角的三角函数 2.30° , 45° , 60° 角的三角函数值 第 1 课时 30° , 45° , 60° 角的三角函数值 1. 运用三角函数的概念，自主探索，求出 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值；（重点） 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用 .( 难点 ) 学习目标 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，   3 个头 , 尖尖角 , 我们学习少不了 思考： 你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 导入新课 情境引入 45° 45° 90 ° 60 ° 30 ° 90 ° 思考： 你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？ 讲授新课 30 °、 45 °、 60 °角的三角函数值 一 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 合作探究 设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2a ， 另一条直角边长 = ∴ 30° 60° ∴ 30° 60° 设两条直角边长为 a ，则斜边长 = ∴ 45° 45° 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳： 1 例 1 求下列各式的值： 提示： cos 2 60 °表示 (cos 60 ° ) 2 ，即 (cos60 ° ) × (cos60 ° ). 解： cos 2 60 ° +sin 2 60 ° 典例精析 ( 1 ) cos 2 60 ° +sin 2 60 °； ( 2 ) 解： ( 3 ) 解：原式 ( 4 ) 解：原式 练一练 计算： ( 1 ) sin30 ° + cos45 °； 解：原式 = ( 2 ) sin 2 30 ° + cos 2 30 °－ tan45 ° . 解：原式 = 1. 通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系 . （ 互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系 ） 2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0° ～ 90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 . 增大（或减小） 减小（或增大） 两点反思 小试牛刀 : 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα= ____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A, 则tanA= ____. 3.若tanA=1，则锐角∠A= _____. 4. 在 Rt△ABC 中， sinB= , 则∠ B=_____. 5. sin α ﹤ cos α ，则锐角 α 取值范围（ ） A 30 °﹤ α ﹤ 45 ° B 0 °﹤ α ﹤ 45 ° C 45 °﹤ α ﹤ 60 ° D 0 °﹤ α ﹤ 90 ° B 由特殊三角函数值确定锐角度数 二 填一填 ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 逆向思维 例 2 ： 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， ，求∠ A 的度数． 解： 在图中， A B C 典例精析 解： 在图中， A B O ∴ α = 60 ° . ∵ tanα = ， 如图， AO 是 圆锥的高， OB 是底面半径， AO = OB ，求 α 的度数 . 练一练 特殊三角函数值的运用 三 例 3 一个小孩荡秋千 , 秋千链子的长度为 2.5m, 当秋千向两边摆动时 , 摆角恰好为 60 ° , 且两边摆动的角度相同 , 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 ( 结果精确到 0.01m). ∴ 最高位置与最低位置的高度差约为 0.34m. ∠AOD OD=2.5m, A C O B D 解 : 如图 , 根据题意可知 , ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 例 4 已知α为锐角，且tanα是方程x 2 +2x-3=0的一个根，求2sin 2 α+cos 2 α - tan（α+15°）的值． 解：解方程x 2 +2 x -3=0，得 x 1 =1， x 2 = - 3， ∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45° . ∴2sin 2 α+cos 2 α - 3 tan（α+15°） =2sin 2 45°+cos 2 45° - 3 tan60° 例 5 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1 － tanA) 2 ＋ |sinB － | ＝ 0 ，试判断 △ABC 的形状． 解： ∵ (1 － tanA) 2 ＋ | sinB － | ＝ 0 ， ∴ tanA ＝ 1 ， sinB ＝ ∴ ∠A ＝ 45° ， ∠B ＝ 60° ， ∠C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ， ∴ △ABC 是锐角三角形． 练一练 已知： | tan B － | ＋ (2 sin A － ) 2 ＝ 0 ， 求 ∠ A ， ∠ B 的度数 . 解： ∵ | tanB － | ＋ (2 sinA － ) 2 ＝ 0 ， ∴ tan B ＝ ， sin A ＝ ∴ ∠ B ＝ 60 ° ， ∠ A ＝ 60°. 2. 在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D D 当堂练习 3. 已知 cos α ﹤ ，锐角 a 取值范围（ ） A 60 °﹤ α ﹤ 90 ° B 0 °﹤ α ﹤ 60 ° C 30 °﹤ α ﹤ 90 ° D 0 °﹤ α ﹤ 30 ° A 4 .求下列各式的值： （ 1 ） 1 － 2 sin30°cos30° （ 2 ） 3tan30° － tan45°+2sin60° （ 3 ） 解： （ 1 ） 1 － 2 sin30°cos30° （ 2 ） 3tan30° － tan45°+2sin60° 5 .如图，在△ ABC 中，∠ A=30° ， 求 AB . A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ， ∠ A=30° ， 6 . 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 求∠ A 、∠ B 的度数． B A C 解： 由勾股定理 ∴ ∠A=30° ∠B = 90° － ∠ A = 90 °－ 30°= 60° D A B E 1.6m 20m 45° C 7. 升国旗时，小明站在操场上离国旗 20m 处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为 45° （如图所示），若小明双眼离地面 1.60m ，你能帮助小明求出旗杆 AB 的高度吗？ =20+1.6=21.6 （ m ） 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于 sin α 与 tan α ，角度越大，函数值也越大； 对于 cos α ，角度越大，函数值越小. 课堂小结 23.1 锐角的三角函数 2.30° ， 45° ， 60° 角的三角函数值 第 2 课时 互余两角的三角函数 1. 理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点） 2. 会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算 .( 难点 ) 学习目标 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 导入新课 回顾与思考 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 回顾与思考 从上面的练习中我们不难发现： 你还能从中发现什么规律呢？ sin30°=cos60° sin60°=cos30° sin45°=cos45° 规律： 这些角的 正（余）弦的值 ，分别等于 它们余角的余（正）弦值 . 问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？ 提示： 使用三角函数的定义证明 . A C B c a b 讲授新课 互余两角的正弦、余弦值的关系 一 问题引导 在直角三角形中 , 若一个锐角确定 , 那么这个角的对边 , 邻边和斜边之间的比值也随之确定 . b A B C a ┌ c ∴ sinA = cosB, cosA = sinB . b A B C a ┌ c ∴ sinA = cosB,cosA = sinB . ∵∠A+∠B=90° ， ∴∠ B=90° －∠ A ， 即 sinA = cosB = cos （ 90° －∠ A ）， cosA = sinB = sin （ 90° －∠ A ） . 试一试： 你能用文字叙述你发现的结论吗？ 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值 . 归纳总结 几何语言： ∵∠A+∠B=90° ， ∴ sinA = cosB ， cosA = sinB . 例 1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sin A ＝ ，求cos B 的值 解析： 利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立． 典例精析 解 ∵∠ A +∠ B =90 °， ∴ cosB = cos (90 ° -∠ A ) = sinA = 例 2 已知cosα＝ ，α＋β＝90°，则cosβ＝(　　) C 解析： ∵cosα＝ ，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝ .设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝ ， 设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ = 利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边． 方法总结 下列式子中，不成立的是（ ） A．sin35°=cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30° = sin60° D．sin 2 60°+cos 2 60°=1 B 练一练 互余两个锐角的正切值的关系 二 b A B C a ┌ c 在直角三角形中 , 若一个锐角确定 , 那么这个角 的对边和 邻边 之 间的比值也随之确定 . 结论： 互余两个锐角的正切值互为倒数 . 例 3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x 2 －tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________． 解析：∵tanA，tanB为方程3x 2 －tx＋3＝0的两根， ∠A，∠B是锐角． ∴tanA·tanB＝ 1. ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 90° 【方法总结】 利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小． 解：∵在△ ABC 中，∠ C=90° ， tanA = ， ∴ tanB = . 又∵ sinA = ， ∴ cosB = sinA = . 1. 在△ ABC 中，∠ C=90° ， tanA = ， sinA = , 求 tanB ， cosB . 当堂练习 2. 计算： tan33°·tan34°·tan35° · tan55° · tan56° · tan57° 解 ：原式 = ( tan33°· tan57°)( tan34°· tan56° ) ( tan35°· tan55° ) =1 × 1 × 1 =1 互余两角的 三角函数 任意一个锐角的正（余）弦值，等于 它的余角的余（正）弦值 . 课堂小结 互余两个锐角的正切值互为倒数 . 23.1 锐角的三角函数 第 23 章 解直角三角形 3. 一般锐角的三角函数值 1. 复习并巩固锐角三角函数的相关知识 . 2. 学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算 . ( 重点 ) 3. 学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算 . （难点） 学习目标 导入新课 回顾与思考 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α D A B E 1.6m 20m 42° C 问题 : 升国旗时，小明站在操场上离国旗 20m 处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为 42° （如图所示），若小明双眼离地面 1.60m ，你能帮助小明求出旗杆 AB 的高度吗？ 这里的 tan42° 是多少呢？ 讲授新课 用计算器求三角函数值 一 1.求 sin18° ． 第一步：按计算器 键， sin 第二步：输入角度值 18 ， 屏幕显示结果 sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键） . 第一步：按计算器 键， tan 2.求 tan30°36' . 第二步：输入角度值 30 ，分值 36 ( 可以使用 键 ) ， ° ＇ ″ 屏幕显示答案： 0.591 398 351 ； 第一种方法： 第二种方法： 第一步：按计算器 键， tan 第二步：输入角度值 30.6 （因为 30°36' ＝ 30.6° ） 屏幕显示答案： 0.591 398 351 . 第一种方法： 第二种方法： 例 1 ： 用计算器求下列各式的值 ( 精确到 0.0001) ： (1)cos34°35′ ；　　　 (2)tan66°15′17'' ； (3)sin47° ；　　 (4)sin18° ＋ cos55° － tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1) cos34°35′≈0.8233 ； (2)tan 66°15′17''≈2.2732 ； (3)sin47°≈0.7314 ； (4)sin18° ＋ cos55° － tan59°≈ － 0.7817. 典例精析 利用计算器求锐角的度数 二 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 已知 sinA =0.5086 ，用计算器求锐角 A 可以按照下面方法操作： 还以以利用 键，进一步得到 ∠ A ＝ 30°34'14 ". 第一步：按计算器 键， 2nd F sin 第二步：然后输入函数值 0. 5086 屏幕显示答案： 30.57062136° ° ＇ ″ 2nd F 操作演示 例 2 ： 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A ， ∠B 的度数 ( 结果精确到 0.1°) ： (1)sinA ＝ 0.7 ， sinB ＝ 0.01 ； (2)cosA ＝ 0.15 ， cosB ＝ 0.8 ； (3)tanA ＝ 2.4 ， tanB ＝ 0.5. 解： (1) 由 sinA ＝ 0.7 ，得 ∠A≈44.4° ；由 sinB ＝ 0.01 ，得 ∠B≈0.6° ； (2) 由 cosA ＝ 0.15 ，得 ∠A≈81.4° ；由 cosB ＝ 0.8 ，得 ∠B≈36.9° ； (3) 由 tanA ＝ 2.4 ，得 ∠A≈67.4° ；由 tanB ＝ 0.5 ，得 ∠B≈26.6°. cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5735 0.5735 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 拓广探索 比一比，你能得出什么结论？ 正弦值随着角度的 增大 （或减小）而 增大 （或减小） 余弦值随着角度的 增大 （或减小）而 减小 （或增大） 正切值随着角度的 增大 （或减小）而 增大 （或减小） 归纳总结 例 3 ： 如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC ＝ 10 千米， ∠CAB ＝ 25° ， ∠CBA ＝ 45°. 因城市规划的需要，将在 A 、 B 两地之间修建一条笔直的公路． (1) 求改直后的公路 AB 的长； (2) 问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米 ( 精确到 0.1)? 利用三角函数解决实际问题 二 (1) 求改直后的公路 AB 的长； 解： (1) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ， ∵AC ＝ 10 千米， ∠CAB ＝ 25° ， ∴CD ＝ sin∠CAB·AC ＝ sin25°×10≈0.42×10 ＝ 4.2( 千米 ) ， AD ＝ cos∠CAB·AC ＝ cos25°×10≈0.91×10 ＝ 9.1( 千米 ) ． ∵∠CBA ＝ 45° ， ∴BD ＝ CD ＝ 4.2( 千米 ) ， ∴AB ＝ AD ＋ BD ＝ 9.1 ＋ 4.2 ＝ 13.3( 千米 ) ． 所以，改直后的公路 AB 的长约为 13.3 千米； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? (2)∵AC ＝ 10 千米， BC ＝ 5.9 千米， ∴AC ＋ BC － AB ＝ 10 ＋ 5.9 － 13.3 ＝ 2.6( 千米 ) ． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约 2.6 千米． 【方法总结】 解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． 例 4 ： 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE ， DE 所在直线与水平线 AN 垂直．他们在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45° ，再沿着射线 AN 方向前进 50 米到达 B 处，此时测得塔尖 D 的仰角 ∠DBN ＝ 61.4° ，小山坡坡顶 E 的仰角 ∠EBN ＝ 25.6°. 现在请你帮助课外活动小组算一算塔高 DE 大约是多少米 ( 结果精确到个位 ) ． 解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F ，则 ∠DFA ＝ 90°. ∵∠A ＝ 45° ， ∴AF ＝ DF. 设 EF ＝ x ， ∵tan25.6° ＝ ≈0.5 ， ∴BF ＝ 2x ，则 DF ＝ AF ＝ 50 ＋ 2x ， 故 tan61.4° ＝ ＝ 1.8 ， 解得 x≈31. 故 DE ＝ DF － EF ＝ 50 ＋ 31×2 － 31 ＝ 81( 米 ) ． 所以，塔高 DE 大约是 81 米． 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 方法总结 当堂练习 1 . 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （ 1 ） sinA =0.627 5 ， sinB ＝ 0.054 7 ； （ 2 ） cosA ＝ 0.625 2 ， cosB ＝ 0.165 9 ； （ 3 ） tanA ＝ 4.842 5 ， tanB ＝ 0.881 6. ∠ B=38 ° 8″ ∠A=38 ° 51′57″ ∠ A=51 ° 18′11″ ∠ B=80 ° 27′2″ ∠ A=78 ° 19′58″ ∠ B=41 ° 23′58″ 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB D 3. 已知：sin 2 32°+cos 2 α=1，则锐角α等于（　　） A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对 B A 4 .下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48° < sin15° 课堂小结 三角函数的计算 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐三角函数的新知 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） . 23.2 解直角三角形及其应用 第 1 课时 解直角三角形 1. 掌握解直角三角形的概念；（重点） 2. 掌握解直角三角形的依据并能熟练解题 . ( 重点、难点 ) 学习目标 A C B c b a (1) 三边之间的关系 :a 2 +b 2 =_____ ； (2) 锐角之间的关系：∠ A+∠B=_____ ； (3) 边角之间的关系： sinA =_____ ， cosA =_____ ， tanA =_____ . 在 Rt△ABC 中，共有六个元素（ 三条边，三个角 ），其中∠ C=90° ，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c 2 90° 导入新课 复习引入 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， , 求这个直角三角形的其他元素. 解：在 Rt △ ABC 中， a 2 +b 2 =c 2 , A B C 讲授新课 已知两边解直角三角形 一 典例精析 在 Rt △ ABC 中， 在如图的 Rt△ABC 中 ，根 据 AC ＝ 2.4 ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 练一练 已知一边及一锐角解直角三角形 二 例2 如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠ B ＝ 42 ° 6' ， c=287.4, 解这个直角三角形 ( 精确到 0.1). 解： 在图中的 Rt△ABC 中 ，根 据∠ A ＝ 75° ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 练一练 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有 一个是边 ），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做 解直角三角形 ． 归纳总结 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，∠ A=45° ， a=1 ，解这个直角三角形 . ∟ A B C b c a 练一练 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， a=1 ， b= 1 ，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式 1 ： 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， a=1 ， c= ，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式 2 ： 构造直角三角形解决问题 三 例3 如图，在△ABC中， ∠B=30° ，∠ C=45° ，AC= 2 ， 求BC. D A B C 解 ：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 在△AC D 中，∠ C=45° ，AC= 2 ， ∴CD=AD= sinC·AC =2sin45°= . 在△A BD 中，∠ B=30° ， ∴ BD= ∴ BC=CD+BD= + 图① 解： ∵ cos∠B= ， ∴ ∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图 ① ， ∵ AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴ BC=BD - CD=12 - 5=7； 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论 . 例 4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求 BC 的长 . 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图 ② ， BC=BD+CD=12+5=17 . ∴ BC 的长为 7 或 17. 解 如图作 AB 边上的高 CD. 在 Rt △AC D 中， 当∠ A = 55 ° b = 20cm ， c = 30cm 时， 例 4 在△ABC中， ∠ A = 55 ° b = 20cm ， c = 30cm ，求三角形的面积 S △ ABC . A B C D 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB=（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 D 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 C 2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（　　） A．3 B．3. 7 5 C．4.8 D．5 B 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（　　） D 当堂练习 3. 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，根据下列条件解直角三角形； （ 1 ） a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定 理得 A B C b=20 a=30 c (2) ∠B ＝ 72° ， c = 14. A B C b a c= 14 解： 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 解： ∵ AD 平分 ∠ BAC ， 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， cosA = ， BC = 5 ， 试求 AB 的长 . 解： A C B 设 ∴ AB 的长为 6. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60° ，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米 ? 解：如图所示，依题意可知，当 ∠B=60 0 时， 答：梯子的长至少 4.62 米 . C A B 解直角三角形 依据 解法 : 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 （ 2 ）两锐角之间的关系 ∠ A ＋∠ B ＝ 90° （ 3 ）边角之间的关系 （ 1 ）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 23.2 解直角三角形及其应用 第 2 课时 仰角与俯角问题 学习目标 1. 巩固解直角三角形有关知识 . ( 重点 ) 2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步 体会数形结合、转化、 方程的数学思想， 并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路 . ( 重点、 难点 ) 导入新课 某探险者某天到达如 图所示的点 A 处时，他准 备估算出离他的目的地， 海拔为 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离 . 他能想出 一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行 . ． A B ． ． 问题引入 讲授新课 解与仰俯角有关的问题 一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做 仰角 ；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做 俯角 . 例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30° ，看这栋高楼底部的俯 角为 60° ，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析： 我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， a=30° ， β =60 ° . 典例精析 Rt△ABD 中， a =30° ， AD ＝ 120 ，所以利用解直角三角形的知识求出 BD 的长度 ；类似地可以求出 CD 的长度 ，进而求出 BC 的长度，即求出这栋楼的高度 . 解：如图， a = 30°, β = 60 ° ， AD ＝ 120 ． 答：这栋楼高约为 277.1m. A B C D α β 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54° ，观察底部 B 的仰角为 45° ，求旗杆的高度（精确到 0.1m ） . A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰 Rt △ BCD 中，∠ ACD=90° ， BC=DC=40m. 在 Rt△ACD 中 ， ∴ AB=AC － BC=55.2 － 40=15.2 (m). 练一练 例 3 一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树 8m 的E处 , 测得树顶的仰角∠ ACD = 52 °，已知测角器的架高 CE = 1.6m . 问树高 AB 为多少米？（精确到 0.1m ） 解：在 Rt △ ACD 中，∠ ACD = 52 °， CD = EB = 8 m.由 tan ∠ ACD = ，得 AD = CD · tan ∠ ACD = 8 × tan52 ° = 8 × 1.2799 ≈ 10.2 （ m ）. 由 DB = CE = 1.6 m ，得 AB = AD+DB = 10.2+1.6=11.8 （ m ）. 答：树高 AB 为 11.8m . 例 4 解决本章引言所提问题.如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度 AB ，因为不能直接到达塔底 B 处，他们采用在发射台院外与电视塔底 B 成一直线 的C,D 两处地面上，用测角器测得电视塔顶部 A 的仰角分别为45°和30°，同时量得 CD 为50 m.已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米？（精确到1 m） D 1 A B 1 B D C 1 C 30 ° 45 ° D 1 A B 1 B D C 1 C 30 ° 45 ° 解 设 AB 1 =xm. 在 Rt △ AC 1 B 1 中，由 ∠ AC 1 B 1 =45 °，得 C 1 B 1 =AB 1 . 在 Rt △ AC 1 B 1 中，由 ∠ AD 1 B 1 =30 °，得 ∴AB=AB 1 +B 1 B≈68+1=69(m) 答：电视塔的高度为 69m 如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45 ° ，求飞机的高度 . （结果取整数 . 参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 A B O 37° 45° 400 米 P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO= x米 . 解得x=1200 . 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O . 即 故飞机的高度为 1200 米 . 当堂练习 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离BC=_________米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30 ° 60 ° 3. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ ACD=52° ，已知人的高度是 1.72 米， 则树高 ( 精确到 0.1 米） . A D B E C 20.9 米 4 . 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉 线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一 根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m( 结果用带根号的数的形式表示) . 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45° ，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39° ．（ tan39 ° ≈0.81 ） (1) 求大楼与电视塔之间的距离 AC ； 解：由题意， AC ＝ AB ＝ 610 （米） . A E B C D 39° 45° A E B C D 39° 45° (2) 求大楼的高度 CD （精确到 1 米） . 故 BE ＝ DE tan39° ． ∵ CD ＝ AE ， ∴ CD ＝ AB － DE ·tan39° ＝ 610 － 610×tan39°≈116 （米） . 解： DE ＝ AC ＝ 610 （米）， 在 Rt△BDE 中， tan∠BDE ＝ . 45° 30° O B A 200 米 6. 如图，直升飞机在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45° ， 求飞机的高度 PO . U D P 答案：飞机的高度为 米. 课堂小结 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C 23.2 解直角三角形及其应用 第 3 课时 方向角问题 1. 正确理解方向角的概念；（重点） 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角的问题 . ( 难点 ) 学习目标 如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？ 导入新课 观察与思考 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90 °的角 , 叫做 方位角 . 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东 30 ° 南偏西 45 ° 引例 如图，一船以 20 n mile/h 的中速度向东航行，在 A 处测得灯塔 C 在 北偏东 60° 方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再 测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向上 . 已知 灯塔 C 四 周 10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？ A C B 60° 与方向角有关的实际问题 讲授新课 D 【分析】 这船继续向东航行是否安全，取决于 灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile . 北 东 解：由点 C 作 CD⊥ A B, 设 CD= x , 则在 Rt△ACD 中， 在 Rt△BCD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. A C B D 30° 60° 北 东 由 AB=AD - CD, 得 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile ）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC= PA·cos （ 90° － 65° ） = 80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在 Rt△BPC 中，∠ B=34° ， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向 时，它距离灯塔 P 大约 130n mile ． 65° 34° P B C A 如图所示， A 、 B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 ( 即线段 AB) ，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30 ° 和 B 城市的北偏西 45 ° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心， 100km 为半径的圆形区 域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会 不会穿越保护区 ( 参考 数据： ≈1.732 ， ≈1.414 ) ． 练一练 200km 200km 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区． C 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 方法归纳 例 2 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)． 分析： 此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上． 解：分两种情况： (1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km， ∴∠B＝30°. ∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°. ∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60° . 在 Rt△ADC 中， ∵∠A ＝ 45° ， ∴AD ＝ DC ＝ 30km. (2)如图②，同理可求得 km， AD＝30km. 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 方法总结 例 3 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD ＋ BD ＝ AB ， ∴在Rt△BCD中， ∴ AC ＋ BC ＝ 在Rt△ A CD中， 747 － 600 ＝ 147(km) ． 答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 147km. 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 方法总结 1 . 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方 向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方 向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是 ( ) A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 25 分钟 B 当堂练习 2. 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向， C 岛在 B 岛的 北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A ， B 两岛的视角 ∠ ACB 等于 ． 90° 3 . 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方 向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北 方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南 偏东 43 °方向，则A、B两岛之间的距离为 ． ( 结果精确到0.1海里， 参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93 ) 33.5海里 4 . 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑， 乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北 偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时 测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变 修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ D B A E 答案：AE= 米 . ＞ 800 ， 所以古建筑会遭到破坏 . 5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线 l( 如图 ) ．救生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去． 若 CD ＝ 40 米， B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米 / 秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 . 分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC ， BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可． ( 参考数据： sin55°≈0.82 ， cos55°≈0.57 ， tan55°≈1.43). 课堂小结 方向角： 指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于 90° 的水平角，叫方向角 . 解 直角三角形的关键是 找到与已知和未知相关联的直角三角形 ，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系 . 23.2 解直角三角形及其应用 第 4 课时 坡度问题及一次函数 k 的几何意义 1. 理解并掌握坡度、坡比的定义； ( 重点 ) 2. 学会用坡度、坡比解决实际问题 .( 难点 ) 学习目标 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC ，问哪条路比较陡 ？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢 ？ A B C 观察与思考 导入新课 α l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的 坡度 ( 或坡比 ) ， 记作 i ， 即 i = h : l . 坡面 水平面 讲授新课 与坡度、坡角有关的实际问题 知识回顾 3. 坡度与坡角的关系 即 坡度等于坡角的正切值 . α l h i= h : l 坡面 水平面 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___ 度 . 2. 斜坡的坡角是 45 ° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是 _______. α l h 30 1 : 1 练一练 例 1 如图，一山坡的坡度为 i=1:2. 小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了 240m 到达点 C . 这座山坡的坡角是多 少度 ？ 小刚上升了多少米（角度精确到 0.01° ，长 度精确到 0.1m ） ？ i=1:2 典例精析 在 Rt △ ABC 中，∠ B=90 ° ，∠ A=26.57 ° ， AC=240m ， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答：这座山坡的坡角约为 26.57° ，小刚上 升了约 107.3 m ． 从而 BC=240×sin26.57°≈107.3 （ m ）． 因此 例 2 铁路路基的横断面是四边形 ABCD ， AD∥BC ，路基宽 BC= 9.8m ，高 BE= 5.8m ，斜坡 AB 的坡度 i=1∶1.6 ，斜坡 CD 的坡度 i=1∶2.5 ，求：底宽 AB 和 斜坡的坡角 α 和 β ( 精确到 1°) ； A D B C i=1:2.5 5.8 9.8 α i=1:1.6 解： 过 C 作 CF⊥AD 于点 F ，得 CF=BE,EF=BC,∠A= α,∠B= β. β F ∴AE=1.6 × 5.8=9.28(m),DF=2.5 × 5.8=14.5(m). ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m). 答：铁路路基下底宽为 33.6m ，斜坡的坡角分别为 32 °和 21 ° E F A D B C i=1:2.5 5.8 9.8 α i=1:1.6 β 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是3 0 °．请求出点B和点C的水平距离． 练一练 A C B D 30 ° 答案： 点B和点C的水平距离为 米. 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ h h α α l l 探究归纳 我们设法 “化曲为直，以直代曲” ． 我们可以把山坡 “化整为零” 地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l 1 ，测出相应的仰角 α 1 ，这样就可以算出这段山坡的高度 h 1 =l 1 sin α 1 . h 1 α 1 l 1 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h 1 ,h 2 ,…, h n , 然后我们再“积零为整”，把 h 1 ,h 2 ,…, h n 相加，于是得到山高 h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 a 和大坝的坡面长度 l ，就能算出 h= lsina ，但是，当我们要测量如图所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 a 和山坡长度 l . 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 x y o Q 1 Q 2 R P 1 (x 1 ,y 1 ) α α P 2 (x 2 ,y 2 ) 例 3: 已知：在直线 y=kx+b 上有任意两点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ) ， 这条直线向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 α . 求证： 证明：由 α 是锐角，可知 直线 y=kx+b 是上升的，即函数 y=kx+b 的值随 x 值的增大而增大 . 如图， x 1 ＜ x 2 , 则 y 1 ＜ y 2 . 过点 P 1 ,P 2 作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q 1 , Q 2 , 再过 点 P 1 作 x 轴的平行线 P 1 R 交 P 2 Q 2 于点 R ，得 ∠ P 2 P 1 R=α . 在 Rt △ P 2 P 1 R 中， ∵P 1 ,P 2 都在直线 y=kx+b 上， 当堂练习 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ) A. 9m B. 6m C. m D. m A C B B 2. 如图，某拦河坝截面的原设计方案为： AH∥BC ，坡角∠ ABC ＝ 74° ，坝顶到坝脚的距离 AB ＝ 6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55° ，由此，点 A 需向右平移至点 D ，请你计算 AD 的长 ( 精确到 0.1 m) ． 解：作 DE⊥AB ， CF⊥AB ， 垂足分别为 E 、 F ． 由题意可知 　 DE ＝ CF ＝ 4 ( 米 ) ， CD ＝ EF ＝ 12 ( 米 ) ． 4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30° ， 求路基下底的宽 ( 精确到 0.1 米， ， ).   45° 30° 4 米 12 米 A B C D 在 Rt△ADE 中， E F 在 Rt△BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE ＋ EF ＋ BF≈4 ＋ 12 ＋ 6.93≈22.93 ( 米 ) ． 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． ( 米 ). ( 米 ). 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 课堂小结 小结与复习 第 23 章 解直角三角形 (2)∠A 的余弦： cosA ＝ 　　　　　　 ＝ 　　　 ； (3)∠A 的正切： tanA ＝ 　　　　　　 ＝ 　　　 . 要点梳理 1. 锐角三角函数 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1) ∠A的正弦： ∠A 的对边 斜边 sin A = ∠A 的邻边 斜边 ∠A 的邻边 ∠A 的对边 sin30° ＝ 　　 ， sin45° ＝ 　　 ， sin60° ＝ 　　 ； cos30° ＝ 　　 ， cos45° ＝ 　　 ， cos60° ＝ 　　 ； tan30° ＝ 　　 ， tan45° ＝ 　　 ， tan60° ＝ 　　 . 2. 特殊角的三角函数 1 合作探究 (1) 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， a ， b ， c 分别是∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边． 三边关系： 　 　 ； 三角关系： __________________ ； 边角关系： sinA ＝ cosB ＝ _______ ， cosA ＝ sinB ＝ ____ ， tanA ＝ ____________ ， tanB ＝ ___________ . a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ∠ A ＝ 90° －∠ B 　 3. 解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素 ( 至少 有一个是边 ) ，就可以求出其余的 3 个未知元素． ◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦 ( 或余弦 ) 求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = _____________ ， sin 2 α + cos 2 α = . tanα · tan(90 °－ α) = ___ . cos(90 °－ α) sin(90 °－ α) 1 1 对于 sin α 与 tan α ，角度越大，函数值越 ； 对于 cos α ，角度越大，函数值越 ____ . 大 小 (4) 锐角 三角函数的增减性 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果 . ( 也有的计算器是先输入角度再按函数名称键 ) 第一步：按计算器 键， sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的度数 . 第二步：输入函数值 屏幕显示答案 ( 按实际需要进行精确 ) 方法①： ° ＇ ″ 2nd F 第一步：按计算器 键， 2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入 锐角函数值 屏幕显示答案 ( 按实际需要选取精确值 ) . 第一步：按计算器 键， ° ＇ ″ 2nd F (1) 仰角 和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 仰角 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角 . 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90 0 的角，叫做方位角 . 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α ，有 i = tan α . 坡度通常写成 1∶ m 的形式，如 i =1∶6 . 显然，坡度越 大 ，坡角 α 就越 大 ， 坡面就越 陡 . 如图：坡面的铅垂高度 （ h ） 和水平长度 （ l ） 的比叫做坡面 坡度 . 记作 i ，即 i = . (3) 坡度， 坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE=α ； E ②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN=l ； ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l · tan α +a . α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角 ∠MCE=α ； A C B D M N E α ②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角 ∠MDE=β ； β ③量出测倾器的高度 AC=BD=a ，以及测点 A ， B 之间的距离 AB=b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度 . 考点一 求三角函数的值 考点讲练 例 1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为 ( ) A.　　 B.　 　 C.　 　D. 解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝ B 方法总结： 求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值． 1. 在 △ ABC 中， ∠ A 、 ∠ B 都是锐角，且 sinA = cosB ， 那么 △ ABC 一定是 ______ 三角形． 直角 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ____. 针对训练 例 2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE． 分析： 根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF 的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值． 10 8 解：由折叠的性质可得， CF=CD ， ∠EFC=∠EDC=90° . ∵ ∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°， ∴ ∠AFE+∠BFC=90° . ∵ ∠BCF+∠BFC=90°， ∴ ∠AFE=∠BCF . 在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10， 由勾股定理易得BF=6 . ∴ tan∠BCF = . ∴ tan∠AFE=tan∠BCF= . 10 8 针对训练 解： ∵ 在直角 △ABD 中， tan∠BAD = ∴BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9 ， ∴CD = BC － BD = 14 － 9 = 5 ， ∴ ∴sinC = 3. 如图， △ABC 中， AD⊥BC ，垂足是 D ，若 BC ＝ 14 ， AD ＝ 12 ， tan∠BAD ＝ ，求 sinC 的值． 考点二 特殊角的三角函数值 例 3 计算： 解：原式＝ (1) tan30° ＋ cos45° ＋ tan60° ； (2) tan30° · tan60° ＋ cos 2 30°. 4. 计算： 解：原式 解：原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例 4 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，点 D 在 BC 上， BD ＝ 4 ， AD ＝ BC ， cos∠ADC = ，求： (1) DC 的长； 分析： 题中给出了两个直角三角形， DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ ABC 中求得，由 AD ＝ BC ，图中 CD ＝ BC － BD ，由此可列方程求出 CD ． A B C D 又 BC － CD ＝ BD ， 解得 x =6 ， ∴ CD=6. A B C D 解：设 CD ＝ x ，在 Rt△ACD 中， cos∠ADC = ， (2) sinB 的值． A B C D 解： BC=BD+CD=4+6=10=AD ， 在 Rt△ACD 中， 在 Rt△ABC 中， 方法总结： 本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角 . 解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解 . 5 . 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3. 点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°. 求△ABC的周长 (结果保留根号). 针对训练 解：在Rt△ADC中， ∴ BD＝2AD＝4. ∴ BC＝BD＋DC＝5. 在Rt△ABC中， ∴ △ABC的周长为AB＋BC＋AC 解：连接OC . ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OCB＝90°， ∴∠OCA＋∠BCA＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＋∠BCA＝90°， ∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°， ∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP . 例 5 已知：如图， Rt△AOB 中， ∠O ＝ 90 ° ，以 OA 为半径作 ⊙ O ， BC 切 ⊙ O 于点 C ，连接 AC 交 OB 于点 P. (1) 求证：BP＝BC； 解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中， ∵sin∠PAO＝ ，设OP＝x，AP＝3x， ∴AO＝ x. ∵AO＝OE，∴OE＝ x， ∴AE＝ x. ∵sin∠PAO＝ ， ∴在Rt△ACE中 ，∴ ，解得x＝3， ∴AO＝ x＝ ，即⊙O的半径为 . (2) 若sin∠PAO＝ ，且PC＝7，求⊙O的半径． E 6. 如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点 B 的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C = ，DF=3， 求⊙O的半径． 针对训练 解：连接BD． 在⊙O中，∠C=∠A， ∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°． 设AB=4x，则AF=5x， 由勾股定理得，BF=3x． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD， ∴cosA=cosC= ∴△ABF∽△BDF， ∴ ⊙O的半径为 考点四 三角函数的应用 例 6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥ BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE． ( 结果保留根号 ) 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中， ∠ABF =∠α=60°， 则AF=AB·sin60°= (m)， 在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°， 则 (m). 故改造后的坡长 AE 为 m. F 7. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 ( 横断 面为梯形 ABCD ) 急需加固，背水坡的坡角为45°， 高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加 固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底 加宽2米，加固后背水坡 EF 的坡比 i =1: 　 ．求加固 后坝底增加的宽度 AF . ( 结果保留根号 ) 针对训练 A B C D E F 45° i=1: A B C D E F 45° i=1: G H 解：作 DG⊥AB 于 G ， EH⊥AB 于 G ， 则 GH=DE=2 米， EH=DG=10 米 . ( 米 ) ， ( 米 ). 又 ∵AG=DG=10 米， ∴ ( 米 ). 故 加固后坝底增加的宽度 AF 为 米 . 例 7 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73） 解：如图，过点 D 作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H， 则四边形DHCG为矩形． 故DG=CH，CG=DH，DG∥HC， ∴∠DAH=∠FAE=30°， 在直角三角形AHD中， ∵∠DAH=30°，AD=6， ∴DH=3，AH= ， ∴CG=3， 设BC为x， 在直角三角形ABC中， G H 在 Rt △BDG中，∵ BG=DG · tan30°， 解得：x ≈13， ∴大树的高度为：13米 . ∴ ∴ G H 针对训练 8. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、 C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线 上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间 的距离为40m． (1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m. C ( 2 ) 求塔高CD（结果用根号表示）． C 解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m， 则AD=AE+EB= ( m ) ， 在Rt△ADC中，∠A=30°， 答：塔高CD为 m . ∴ (m). 例8 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 解：设B处距离码头O x km， 在Rt△CAO中，∠CAO=45°， ∵tan∠CAO=CO / AO ， ∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x） · tan45°=4.5+x， 在Rt△DBO中，∠DBO=58°， ∵tan∠DBO=DO / BO ， ∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°， ∵DC=DO－CO， ∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x）， 因此，B处距离码头O大约13.5km . ∴ 9. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线 l ( 如图 ) ．救 生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海， 径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶 到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD ＝ 40 米， B 在 C 的北偏东 35° 方向， 甲、乙的游泳速度都是 2 米 / 秒，则谁先 到达 B 处？请说明理由 ( 参考数据： sin55°≈0.82 ， cos55°≈0.57 ， tan55°≈1.43). 针对训练 分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC ， BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可． 解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)． BC＝CD · cos∠BCD＝40×cos55°≈70.2(米)． ∴t 甲 ≈57.22÷ 2 ＋10＝38.6(秒)， t 乙 ≈70.22÷ 2 ＝35.1(秒)． ∴t 甲 >t 乙 ． 答：乙先到达B处． 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 课堂小结 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题