2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题16 概率 35页

概率 一.选择题 1. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5 分）在四张背面完全相同的卡片上分别印 有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽 取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都 是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：分别用 A.B.C.D 表示正方形、正五边形、正六边形、圆， 其中正方形、正六边形、圆是中心对称图形， 画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有 6 种情况， ∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树 状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法 适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 2.（2020•宁夏省•3 分）现有 4 条线段，长度依次是 2.4.6.7，从中任选三条，能组成三角形 的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所 1 4 1 3 1 2 3 4 6 1 12 2 = 求的概率． 【解答】解：画树状图如图： 共有 24 个等可能的结果，能组成三角形的结果有 12 个， ∴能构成三角形的概率为 ＝ ， 故选：B． 【点评】本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有 n 种可 能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝ ． 3.（2020•辽宁省营口市•3 分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环 以上”的次 数 18 68 82 168 327 823 “射中九环 以上”的频 率（结果保 留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【分析】根据大量的实验结果稳定在 0.82 左右即可得出结论． 【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.82 附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是 0.82． 故选：B． 4. (2020•山东省枣庄市•3 分)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白 球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是(　　) A． B． C． D． 【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率． 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中两次都是白球的有 4 种，∴P(两次都是白球)＝ ，故选 A． 【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果 数是正确解答的关键． 5.（2020•山东东营市•3 分）如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，则能让两盏灯泡同 时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可. 【详解】根据题意画出树状图如下： 1S 2S 3S 2 3 1 2 1 3 1 6 共有 6 种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有 2 种情况， ∴ ，故选 C. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键. 6.（2020•山东临沂市•3 分）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿 服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出恰好抽到马鸣和杨豪的 情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有 2 种， 则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 ＝ ； 故选：C． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总 情况数之比． 7. 2020 年内蒙古通辽市下列事件中是不可能事件的是(　　　) ( ) 2 1=6 3P两盏灯泡同时发光 A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿 杨 【答案】C 【解析】 【分析】 不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A.守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B.瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合； C.水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合； D.百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选 C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的 概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发 生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8. 2020 年内蒙古通辽市从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　) （1）无理数都是无限小数； （2）因式分解 ； （3）棱长是 的正方体的表面展开图的周长一定是 ； （4）弧长是 ，面积是 的扇形的圆心角是 ． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解. 【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题， （2）因式分解 ，是真命题， ( )( )2 1 1ax a a x x− = + − 1cm 14cm 20 cmπ 2240 cmπ 120° 1 4 1 2 3 4 ( )( )2 1 1ax a a x x− = + − （3）棱长是 的正方体的表面展开图的周长一定是 ，是真命题， （4）设扇形半径为 r，圆心角为 n， ∵弧长是 ，则 = ，则 ， ∵面积是 ，则 = ，则 360×240， 则 ，则 n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是 ，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是 ， 故选 C. 【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展 开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 9. （2020•福建省•4 分）若从甲、乙、丙 3 位“爱心辅学”志愿者中随机选 1 位为学生在线辅 导功课，则甲被选到的概率为　 　． 【分析】直接利用概率公式求解可得． 【解答】解：∵从甲、乙、丙 3 位“爱心辅学”志愿者中随机选 1 位共有 3 种等可能结果， 其中甲被选中只有 1 种结果， ∴甲被选到的概率为 ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 10.（2020•北京市•2 分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字 外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随 机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（　　） A． B． C． D． 1cm 14cm 20 cmπ 180 n rπ 20π 3600nr = 2240 cmπ 2 360 n rπ 240π 2nr = 2 360 240 243600 nr rnr ×= = = 150° 3 4 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字 之和为 3 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 1 2 3 2 3 4 由表可知，共有 4 种等可能结果，其中两次记录的数字之和为 3 的有 2 种结果， 所以两次记录的数字之和为 3 的概率为 ＝ ， 故选：C． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之 比． 二.填空题 1. （2020·天津市·3 分）不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除 颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是　 　． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二 者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：∵袋子中装有 8 个小球，其中红球有 3 个， ∴从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5 分）某林业部门统计某种幼树在一定条件 下的移植成活率，结果如下表所示： 移植总数（n） 200 500 800 2000 12000 成活数（m） 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为___（精确到 0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】 由题意根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越 多的频率越接近于概率进行分析即可． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数 越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.9. 故答案为：0.9. 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频 率=所求情况数与总情况数之比． 3.（2020•宁夏省•3 分）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字 4.5.6，从 这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是　 　． 【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情 况数的多少即可． 【解答】解：列表得： 4 5 6 4 9 10 5 9 11 6 10 11 共有 6 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 4 种， m n ∴两次抽出数字之和为奇数的概率为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字 之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情 况数之比． 4.（2020•内蒙古包头市•3 分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数 字 1，2，3．随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第 一张卡片上的数字的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得基本事件总 3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上 的数字的事件数，最后由概率公式计算即可． 【详解】解：分别从标有数字 1.2.3 的 3 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1， 2）、（1，3）和（2，3）3 种情况 则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ． 故答案 ． 【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本 题的关键． 5.（2020•辽宁省本溪市•3 分）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中 取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　 　． 1 3 3 1 9 3 = 为 1 3 【分析】先设阴影部分的面积是 5x，得出整个图形的面积是 9x，再根据几何概率的求法 即可得出答案． 【解答】解：设阴影部分的面积是 5x，则整个图形的面积是 9x， 则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用 阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例 即事件（A）发生的概率． 6. （2020 山东省德州市 4 分）如图，在 4×4 的正方形网格中，有 4 个小正方形已经涂黑， 若再涂黑任意 1 个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成 的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　 　． 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案． 【解答】解：如图所示：当分别将 1，2 位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形， 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是： ＝ ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确掌握轴对称图形的性质是 解题关键． 7.（2020•山东聊城市•3 分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文 学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　 　． 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数， 然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有 3 种结果， 所以抽到同一类书籍的概率为 ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 8.（2020•山东菏泽市•3 分）从﹣1，2，﹣3，4 这四个数中任取两个不同的数分别作为 a，b 的值，得到反比例函数 y＝ ，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　 　． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概 率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 则共有 12 种等可能的结果， ∵反比例函数 y＝ 中，图象在二、四象限， ∴ab＜0， ∴有 8 种符合条件的结果， ∴P（图象在二、四象限）＝ ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 9．（3 分 2020 年辽宁省辽阳市）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在 图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　 　． 【分析】先设阴影部分的面积是 5x，得出整个图形的面积是 9x，再根据几何概率的求法 即可得出答案． 【解答】解：设阴影部分的面积是 5x，则整个图形的面积是 9x， 则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用 阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例 即事件（A）发生的概率． 10．（2020 年山东省滨州市 5 分）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取 三根，可以组成三角形的概率为　 　． 【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三 角形的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3.5.8；3.5.10；3.5.13； 3.8.10；3.8.13；3，10，13；5.8.10；5.8.13；5.10.13；8.10.13； 共有 10 种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为 4，所以可以组成三角形的 概率＝ ＝ ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了三角形三边的关系． 三.解答题 1.（2020•山东东营市•8 分）东营市某中学对 2020 年 4 月份线上教学学生的作业情况进行了 一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表． 作业情况 频数 频率 非常好 较好 一般 不好 0.22 68 40 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样共调查了多少名学生？ （2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上； （3）若该中学有 名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少 名？ （4）某学习小组 名学生的作业本中，有 本“非常好”(记为 )，本“较好”(记为 )， 本“一般”(记为 )，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同， 从中抽取一本，不放回， 从余下的 本中再抽取一本 ，请用“列表法”或“画树状图”的方法 求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）约 名；（4） ． 【解析】 【分析】 (1)用 72°除 360°得到“不好”的学生人数的占比，然后再用 40 除以该百分比即可得到总共调 查的学生人数； (2)先算出“非常好”的人数，然后再用总分数减去“非常好”、“较好”、“不好”的人数即得到“一 般”的人数，最后分别用求出其人数除总人数得到其频率； (3)先算出“非常好”和“较好”的学生的频率，再乘以 1800 即可求解； (4)采用列表法将所有可能的情况列出，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：(1)由图形可知：72°占 360°的百分比为 ， 故调查的总的学生人数为 (名)， 故答案为：200(名) ． (2)“非常好”的学生人数为：0.22×200=44(人)， 1800 4 2 1 2A A、 B C 3 200 1008 1 6 72 =20%360 40 20% 200÷ = 总人数减去“非常好”、“较好”、“不好”的人数即得到“一般”的人数， 故一般的人数为 200-44-68-40=48，其频率为 48÷200=0.24， 同样可算出“较好”、“不好”的频率为 0.34 和 0.2，补充如下表所示： 作业情况 频数 频率 非常好 较好 一般 不好 (3) “非常好”和“较好”的学生的频率为 ， ∴该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约 (名)， 故答案 ： ； (4)由题意知，列表如下: 第一次 第二次 由列表可以看出，一共有 种结果，并且它们出现的可能性相等. 其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有 种， ∴两次抽到的作业本都是非常好的概率为 ， 44 0.22 68 0.34 48 0.24 40 0.2 0.22 0.34=0.56+ 1800 0.56 1008× = 为 1008 1A 2A B C 1A ( )1 2,A A ( )1,A B ( )1,A C 2A ( )2 1,A A ( )2 ,A B ( )2 ,A C B ( )1,B A ( )2,B A ( ),B C C ( )1,C A ( )2,C A ( ),C B 12 2 2 1 12 6 = 故答案为： ． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2.（2020•山东济宁市•7 分）某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派 10 名同学参 加预赛，依据各参赛选手 成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)． (1)统计表中，a=________， b =________； (2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另 外两个名额 在成绩为 98 分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概 率． 【答案】（1）96，96；（2） 【解析】 【分析】 1 6 的 3 5 （1）分别将两个班级的成绩罗列出来，再根据众数和中位数的概念解答即可； （2）设八（1）班 98 分的学生分别为 A，B，八（2）班 98 分的学生分别为 D.C.E，将所有 情况列出，再得出符合条件的个数，利用概率公式求解. 【详解】解：（1）由图可知： 八（1）班学生成绩分别为：100、92.98.96.88.96.89.98.96.92， ∴八（1）班的众数为：96，即 a=96， 八（2）班学生成绩分别为：89.98.93.98.95.97.91.90、98.99， 从小到大排列为：89.90、91.93.95.97.98.98.98.99， 八（2）班的中位数为：（95+97）÷2=96，即 b=96； 故答案为：96；96； （2）设八（1）班 98 分的学生分别为 A，B，八（2）班 98 分的学生分别为 D.C.E， 可知共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D）， （C，E），（D，E）10 种情况， 其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有（A，C），（A，D），（A，E），（B，C）， （B，D），（B，E），共 6 种， ∴另外两个决赛名额落在不同班级的概率为 . 【点睛】本题考查了中位数和众数，列举法求概率，解题的关键是理解题意，掌握中位数和 众数的求法和概率公式的运用. 三、解答题 1.（ 2020 年辽宁省辽阳市）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走 近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每 周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 x 小时，将它分为 4 个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如 图两幅不完整的统计图： 6 3 10 5 = 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了　50　名学生； （2）在扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为　108　°； （3）请补全条形统计图； （4）在等级 D 中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本 次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【分析】（1）由 B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用 360°乘以 D 等级人数所占比例即可得； （3）根据四个等级人数之和等于总人数求出 C 等级人数，从而补全图形； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结 果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）本次共调查学生 ＝50（名）， 故答案为：50； （2）扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 360°× ＝108°， 故答案为：108； （3）C 等级人数为 50﹣（4+13+15）＝18（名）， 补全图形如下： （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为 2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了统计图． 2. 2020 年内蒙古通辽市甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装 有 3 个相同小球，它们分别写有数字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有 数字 6，7．从三个口袋各随机取出 1 个小球．用画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； 5 12 1 6 【详解】解：画树状图得： （1）∵共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上恰好有 1 个偶数数字的有 5 种情况， ∴取出的 3 个小球上只有 1 个偶数数字的概率是 ： （2）∵共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上全是奇数数字的有 2 种情况， ∴取出的 3 个小球上全是奇数数字的概率是 . 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结 果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 3.（2020•四川省达州市•7 分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文 明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩/分 频数 A 95≤x≤100 a B 90≤x＜95 8 C 85≤x＜90 5 D 80≤x＜85 4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a＝　3　，b＝　40　； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图 的方法求出恰好抽到一男一女的概率． 5 12 2 1 12 6 = 【分析】（1）由四个等级的人数之和等于总人数可得 a 的值，利用百分比的概念可得 b 的值； （2）用总人数乘以样本中 A.B 等级人数和所占比例即可得； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 解：（1）由题意知 a＝20﹣（8+5+4）＝3，b%＝ ×100%＝40%，即 b＝40； 故答案为：3.40； （2）估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数为 1200× ＝660（人）； （3）列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种， ∴恰好抽到一男一女的概率为 ＝ ． 4. （2020•陕西•7 分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个 红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则： 先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是 白球、一个是黄球的概率． 【分析】（1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中 一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，这 10 次中摸出红球的 频率＝ ＝ ； （2）画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有 2 种情况， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝ ＝ ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或 两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 5. （2020•四川省成都市•8 分）2021 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第 一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确 定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种 观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有_________人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列 表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）180；（2）126°；（3） ． 【解析】 【分析】 （1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数； （2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到 篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以 360°即可得到结果； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然 后根据概率公式求解．. 【详解】（1）54÷30%=180（人） 故答案为：180； （2）田径人数：180×20%=36（人）， 游泳人数：180×15%=27（人）， 篮球人数为：180-54-36-27=63（人） 图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为： ， 故答案为：126°； （3）画树状图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种． 所以 P（恰好选中甲、乙两位同学）= ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了统计图． 6. （2020•四川省甘孜州•10 分）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全 校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图． 1 6 63360 =126180 °× ° 2 1=12 6 的 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了________名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆 心角的度数为________； （2）若该学校有 1500 名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数； （3）现从最喜欢夏季的 3 名同学 A，B，C 中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏 天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到 A，B 去参加比赛的概率． 【答案】（1）120；108°；（2） 名；（3） ． 【解析】 【分析】 （1）由“夏季”的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出“春季”占的比例，乘 以 即可得到结果； （2）用全校学生数×最喜欢冬季的人数所占比例即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 名学生中 恰好有 A，B 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）根据题意得：18÷15%=120（名）； “春季”占的角度为 36÷120×360°=108°． 故答案为：120；108°； （2）该校最喜欢冬季的同学的人数为：1500 （名）； （3）画树状图得： 150 1 3 360° 12 150120 × = ∵共有 6 种等可能的结果，恰好选到 A，B 的有 2 种情况， 故恰好选到 A，B 的概率是： ． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．列 表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件， 树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比． 7. （2020•甘肃省天水市•8 分）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度， 某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意， 非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图． 请结合图中的信息，解决下列问题： （1）此次调查中接受调查的人数为__________人； （2）请你补全条形统计图； （3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度； （4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的 4 位市民中随机选择 2 位进行回访，已知这 4 位市民中有 2 位男性，2 位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的 概率． 【答案】（1）50；（2）答案见解析；（3）144；（4） ． 【解析】 【分析】 2 1 6 3 = 2 3 （1）由非常满意的有 18 人，占 36%，即可求得此次调查中接受调查的人数． （2）用总人数减去不满意人数、一般人数、非常满意人数，即可求得此次调查中结果为满 意的人数． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与“一男一女”的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1） (人)， 故答案为：50； （2） 补全图形如下： （3） ， 故答案为：144； （4）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，其中是“一男一女”的有 8 种情况， ∴一男一女的概率为：P（一男一女）= ． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点 为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18 36% 50÷ = ( )50 4 8 18 20− + + = 20 360 14450 × ° = ° 8 2=12 3 8.（2020•福建省•4 分）若从甲、乙、丙 3 位“爱心辅学”志愿者中随机选 1 位为学生在线辅 导功课，则甲被选到的概率为　 　． 【分析】直接利用概率公式求解可得． 【解答】解：∵从甲、乙、丙 3 位“爱心辅学”志愿者中随机选 1 位共有 3 种等可能结果， 其中甲被选中只有 1 种结果， ∴甲被选到的概率为 ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 9.（2020•安徽省•12 分）某单位食堂为全体 960 名职工提供了 A，B，C，D 四种套餐，为了 解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取 240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐 （必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信 息如下： （1）在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为　60　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆 心角的大小为　108　°； （2）依据本次调查的结果，估计全体 960 名职工中最喜欢 B 套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概 率． 【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢 A 套餐人数所占百分比即可得其人数；再 由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出 C 对应人数，继而用 360°乘以最喜欢 C 套餐 人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以样本中最喜欢 B 套餐的人数所占比例即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可 得答案． 【解答】解：（1）在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为 240×25%＝60（人）， 则最喜欢 C 套餐的人数为 240﹣（60+84+24）＝72（人）， ∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 360°× ＝108°， 故答案为：60、108； （2）估计全体 960 名职工中最喜欢 B 套餐的人数为 960× ＝336（人）； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为 6， ∴甲被选到的概率为 ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了统计图． 10.（2020•贵州省黔西南州•14 分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了 解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合 测试．测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及 格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　40　名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 α 的度数是　54°　，并把条形统计图补充完 整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　75 人　； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E.F、G、H，其中 E 为小明），班主任要从中随 机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【分析】（1）由题意可得本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）， （2）首先可求得 A 级人数的百分比，继而求得∠α 的度数，然后补出条形统计图； （3）根据 A 级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）； （2）∵A 级的百分比为： ×100%＝15%， ∴∠α＝360°×15%＝54°； C 级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）． 如图所示： （3）500×15%＝75（人）． 故估计优秀的人数为 75 人； （4）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，选中小明的有 6 种情况， ∴选中小明的概率为 ． 故答案为：40；54°；75 人． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知 识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11.（2020•辽宁省营口市•12 分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复 学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，② 戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者 服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　； （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法． 【专题】543：概率及其应用；69：应用意识． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有 16 种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督 岗的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝ ； 故答案为： ； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为 4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ ＝ ． 12.（2020•辽宁省本溪市•12 分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了 以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分 学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 x 小时，将它 分为 4 个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘 制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了　50　名学生； （2）在扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为　108　°； （3）请补全条形统计图； （4）在等级 D 中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本 次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【分析】（1）由 B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用 360°乘以 D 等级人数所占比例即可得； （3）根据四个等级人数之和等于总人数求出 C 等级人数，从而补全图形； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结 果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）本次共调查学生 ＝50（名）， 故答案为：50； （2）扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 360°× ＝108°， 故答案为：108； （3）C 等级人数为 50﹣（4+13+15）＝18（名）， 补全图形如下： （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为 2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了统计图． 13.（2020•江西省•6 分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招 收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七 年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试. （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率. 【解析】 （1） （2）根据题意画出树状图如下： 由树状图可得所有可能出现的结果共有 12 种，这些结果出现的可能性相等“其中两位同学均 来自八年级”的结果共有 2 种，∴P（两位同学均来自八年级）= 14.（2020•四川省攀枝花市•10 分）刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏．五张卡片上分别 写有 2.4.6.8.x 这五个数字，其中两张卡片上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知 P （抽到数字 4 的卡片）＝ ． （1）求这五张卡片上的数字的众数； （2）若刘雨泽已抽走一张数字 2 的卡片，黎昕准备从剩余 4 张卡片中抽出一张． 4 1 6 1 12 2 = ①所剩的 4 张卡片上数字的中位数与原来 5 张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说 明理由； ②黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用列表法（或树状图）求黎 昕两次都抽到数字 4 的概率． 【分析】（1）根据抽到数字 4 的卡片的概率为 可得 x 值，从而可得众数； （2）①分别求出前后两次的中位数即可； ②画出树状图，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵2.4.6.8.x 这五个数字中，P（抽到数字 4 的卡片）＝ ， 则数字 4 的卡片有 2 张，即 x＝4， ∴五个数字分别为 2.4.4.6.8， 则众数为：4； （2）①不同，理由是： 原来五个数字的中位数为：4， 抽走数字 2 后，剩余数字为 4.4.6.8， 则中位数为： ＝5， 所以前后两次的中位数不一样； ②根据题意画树状图如下： 可得共有 16 种等可能的结果，其中两次都抽到数字 4 的情况有 4 种， 则黎昕两次都抽到数字 4 的概率为： ＝ ． 【点评】本题考查了中位数，众数的概念及求法，以及列表法或树状图法求概率，解题 的关键是理解题意，分清放回与不放回的区别．