华师版九年级数学下册第27 章 圆 教学课件 370页

27.1 圆的认识 1. 圆的基本元素 第 27 章 圆 1. 认识圆，理解圆的本质属性 . （重点） 2. 认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系 . （难点） 3. 掌握同圆中半径相等的性质并能运用 . （难点） 学习目标 观察与思考 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形 . 骑车运动 看了此画 , 你有何想法 ? 思考： 车轮为什么做成圆形 ? 做成三角形、正方形可以吗？ 情景： 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 探究圆的概念 合作探究 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径 . · r O A 圆的旋转定义 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转 一周 ，另一个端点所形成的图形叫做 圆 ．以点 O 为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆 O ”. 有关概念 固定的端点 O 叫做 圆心 ， 线段 OA 叫做 半径 ，一般用 r 表示． 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 一是 圆心 ，圆心确定其 位置 ； 二是 半径 ，半径确定其 大小 ． 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 确定一个圆的要素 （ 1 ） 圆上各点到定点（圆心 O ）的距离都等于 ． （ 2 ） 到定点的距离等于定长的点都在 ． 圆心为 O 、 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． O · A C E r r r r r D 定长 r 同一个圆上 圆的集合定义 想一想： 从画圆的过程可以看出什么呢？ 要点归纳 o • 同圆半径相等 . 典例精析 例 1 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于 O . 求证： A 、 B 、 C 、 D 在以 O 为圆心的同一圆上 . A B C D O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = OC ， OB = OD . 又 ∵ AC = BD ， ∴ OA = OB = OC = OD. ∴ A 、 B 、 C 、 D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上 . 弦 : · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC ）叫做 弦 . 经过圆心的弦（如图中的 AB ）叫做 直径 ． 1. 弦和直径都是线段 . 2. 直径是弦 , 是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径 . 圆的有关概念 弧 : · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆 ． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 小于半圆的弧叫做 劣弧 . 如图中的 AC ; ( 大于半圆的弧叫做 优弧 . 如图中的 ABC . ( 等圆 : · C O A 能够重合的两个圆叫做 等圆 . · C O 1 A 容易看出： 等圆是两个半径相等的圆 . 等弧 : 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧 . 想一想： 长度相等的弧是等弧吗？ A B C D 观察 AD 和 BC 是否相等 ？ ⌒ ⌒ O 例 2 如图 . (1) 请写出以点 A 为端点的优弧及劣弧 ; (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径 . 弦 AF,AB,AC. 其中弦 AB 又是直径 . （ 3 ） 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧 . 答案不唯一，如：弦 AF, 它所对的弧是 . A B C E F D O 劣弧： 优弧： A F, ( A D, ( A C, ( A E. ( A FE, ( A FC, ( A DE, ( A DC. ( A F ( 要点归纳 1. 根据圆的定义，“圆”指的是 “ 圆周 ” ，而不是“ 圆面 ” ． 2. 直径是圆中 最长的弦 . 附图解释： · C O A B 连接 OC , 在△ AOC 中，根据三角形三边关系有 AO+OC>AC, 而 AB= 2 OA,AO=OC, 所以 AB>AC . 例 3 如图， MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点 A 、 D 在半圆上，顶点 B 、 C 在直径 MN 上，求证： OB=OC. 连 OA,OD 即可， 同圆的半径相等 . Ⅰ Ⅱ 10 ？ x 2x 在 Rt △ ABO 中， 算一算： 设在例 3 中， ⊙ O 的半径为 10 ，则正方形 ABCD 的边长为 . x x x x 变式： 如图，在扇形 MON 中， ，半径 MO=NO=10 ， , 正方形 ABCD 的顶点 B 、 C 、 D 在半径上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长 . 解：连结 OA. ∵ ABCD 为正方形 ∴ DC=CO 设 OC= x , 则 AB=BC=DC=OC= x 又∵ OA=OM=10 ∴在 Rt △ ABO 中 , 圆心角 概念学习 O A B M 1 . 圆心角： 顶点在圆心 , 角的两边与圆相交的角叫 圆心角 ，如 ∠ AOB . 3. 圆心角 ∠ AOB 所对的弦为 AB . 2. 圆心角 ∠ AOB 所对的弧为 AB . ⌒ 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由 . 圆内角 圆外角 圆周角（后面会学到） 圆心角 练一练 1. 填空： （ 1 ） ______ 是圆中最长的弦，它是 ______ 的 2 倍． （ 2 ） 图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以 A 为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条． 直径 半径 一 二 四 四 A B C D O F E 2. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例 . (1) 弦是直径； (2) 半圆是弧； (3) 过圆心的线段是直径； (4) 过圆心的直线是直径； (5) 半圆是最长的弧； (6) 直径是最长的弦； (7) 长度相等的弧是等弧 . 3 ． 一根 5m 长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域． 5 m 5m O 4m 5m O 4m 参考答案： 圆 定义 旋转定义 要画一个确定的圆，关键是 确定圆心和半径 集合定义 同圆半径相等 有关 概念 弦（直径） 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 同心圆 等圆 同圆 等弧 能够互相重合的两段弧 圆心角 顶点在 圆心 ，并且 两边都和圆周相交 的角 　 27.1 圆的认识 2. 圆的对称性 第 1 课时 圆的对称性 1. 理解掌握圆的对称性 . （重点） 2. 运用圆的对称性研究圆心角、弧、弦之间的关系 . （难点） 3. 掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用 . （难点） 学习目标 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 圆的对称性 （ 1 ）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （ 2 ）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 . 用折叠的方法 ● O 说一说 圆是中心对称图形 . O A B 180° 观察： 1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 . · 在同圆中探究 在 ⊙ O 中，如果 ∠ AOB = ∠ COD ，那么， AB 与 CD ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ C · O A B D 圆心角、弧、弦之间的关系 由圆的旋转不变性，我们发现： 在 ⊙ O 中， 如果 ∠ AOB = ∠ COD ， 那么， ， 弦 AB = 弦 CD · O A B 如图，在等圆中，如果 ∠ AOB ＝∠ CO ′ D ， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O ′ C D 在等圆中探究 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果 ∠ AOB =∠ COD ， 那么， AB = CD ， 弦 AB = 弦 CD. ⌒ ⌒ 在同一个圆中， 如果圆心角相等，那么它们所对的 弧相等 ，所对的 弦相等 ． ①∠AOB=∠ C O D ② AB= CD ⌒ ⌒ ③ AB= CD A B O D C 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 想一想： 定理“ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图 . A B O D C 如果 弧 相等 那么 弧所对的 圆心角 相等 弧所对的 弦 相等 如果 弦 相等 那么 弦所对应的 圆心角 相等 弦所对应的 优弧 相等 弦所对应的 劣弧 相等 如果 圆心角 相等 那么 圆心角所对的 弧 相等 圆心角所对的 弦 相等 在同圆或等圆中 题设 结论 在同一个圆中 ，如果 弧相等 ，那么它们所对的 圆心角相等， 所对的 弦相等 ． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 要点归纳 在同一个圆中 ，如果 弦相等 ，那么它们所对的 圆心角相等， 所对的 弧相等 ． 关系结构图 × × √ 抢答题 1. 等弦所对的弧相等 . （ ） 2. 等弧所对的弦相等 . （ ） 3. 圆心角相等，所对的弦相等 . ( ） 4. 如图， AB 是 ⊙ O 的直径，　 BC = CD = DE ， ∠ COD= 35° ， ∠ AOE = ． · A O B C D E 75° 解： ∵ 例 1 如图， AB 是 ⊙ O 的直径， ∠ COD= 35° ， 求 ∠ AOE 的度数． · A O B C D E 关系定理及推论的运用 典例精析 证明： ∴ AB=AC ． △ ABC 是等腰三角形 . 又 ∠ ACB =60° ， ∴ △ ABC 是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB ＝ ∠ BOC ＝ ∠ AOC. 例 2 如图，在 ⊙ O 中 ， AB=AC , ∠ ACB =60°, 求证： ∠ AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ 温馨提示： 本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键 . ∵ AB=CD ， ⌒ ⌒ 填一填： 如图， AB 、 CD 是 ⊙ O 的两条弦． （ 1 ） 如果 AB=CD ，那么 ___________ ， ____________ ． （ 2 ） 如果 ，那么 ____________ ， _____________ ． （ 3 ） 如果 ∠ AOB = ∠COD ，那么 _____________ ， _________ ． （ 4 ） 如果 AB=CD ， OE ⊥ AB 于 E ， OF ⊥ CD 于 F ， OE 与 OF 相等吗？为什么？ · C A B D E F O AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠ AOB = ∠ COD ∠ AOB = ∠ COD AB = CD ( ( AB=CD ( ( 解： OE = OF . 理由如下： 1 ． 如果两个圆心角相等，那么 （ ） A ． 这两个圆心角所对的弦相等 B ． 这两个圆心角所对的弧相等 C ． 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ． 以上说法都不对 2 . 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　 . D 60 ° 3. 在同圆中，圆心角 ∠ AOB =2∠ COD , 则 AB 与 CD 的关系是（ ） ⌒ ⌒ A A. AB =2 CD ⌒ ⌒ B. AB > CD ⌒ ⌒ C. AB < CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 4. 如图，已知 AB、CD 为 ⊙ O 的两条弦， 求证 :AB ＝ CD . . C A B D O 能力提升： 如图，在 ⊙ O 中 ， 2 ∠ AOB = ∠ COD ，那么 CD = 2 AB 成立吗？ CD=2AB 也成立吗？请说明理由； 如不是，那它们之间的关系又是什么？ ⌒ ⌒ 答： CD =2 AB 成立， CD = 2 AB 不成立 . 不是，取 的中点 E , 连接 OE. 那么 ∠ AOB = ∠ COE = ∠ DOE , 所以 = = . = 2 ，弦 AB = CE = DE , 在△ CDE 中， CE + DE > CD , 即 CD ＜ 2 AB . ⌒ ⌒ A B C D E O 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化 . 27.2 圆的对称性 2. 圆的对称性 第 2 课时 垂径定理 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形 . 2. 理解 垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题 . （重点） 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题 . （难点） 学习目标 问题 : 你知道赵州桥吗 ? 它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.23m ， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 情境引入 问题： 如图 , AB 是 ⊙ O 的一条弦 , 直径 CD ⊥ AB, 垂足为 E. 你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 ? 为什么 ? 线段 : AE = BE 弧 : AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合， AE 与 BE 重合， AC 和 BC , AD 与 BD 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 一 . 垂径定理及其推论 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径 平分这条弦 , 并且平分这条弦所对的两条弧 . ∵ CD 是直径， CD ⊥ AB ， ∴ AE = BE , ⌒ ⌒ AC = BC , ⌒ ⌒ AD = BD . 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理 , 三种语言要相互转化 , 形成整体 , 才能运用自如 . 归纳总结 想一想： 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧 . 上述五个条件中的 任何两个条件 都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知 : 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB ，垂足为 E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径 CD ，使 AE=BE. （ 1 ） CD ⊥ AB 吗？为什么？ （ 2 ） · O A B C D E ⌒ AC 与 BC 相等吗？ AD 与 BD 相等吗？为什么？ ⌒ （ 2 ）由垂径定理可得 AC =BC ， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （ 1 ）连接 AO , BO , 则 AO = BO , 又 AE = BE ，∴△ AOE ≌△ BOE （ SSS ） ， ∴∠ AEO = ∠ BEO =90° ， ∴ CD ⊥ AB . 证明举例 ⌒ ⌒ 思考： “ 不是直径 ”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例 . 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于这条弦 , 并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 . 垂径定理 的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的 . 归纳总结 例 1 如图， OE ⊥ AB 于 E ，若 ⊙ O 的半径为 10 cm , OE =6 cm , 则 AB = cm . · O A B E 解析：连接 OA ， ∵ OE ⊥ AB ， ∴ AB =2 AE =16 cm . 16 一 垂径定理及其推论的计算 ∴ cm. 典例精析 例 2 如图， ⊙ O 的弦 AB ＝ 8 cm ， 直径 CE ⊥ AB 于 D ， DC ＝ 2 cm ， 求半径 OC 的长 . · O A B E C D 解：连接 OA ， ∵ CE ⊥ AB 于 D ， ∴ 设 OC = x cm ， 则 OD = x -2 , 根据勾股定理，得 解得 x =5 ， 即半径 OC 的长为 5cm. x 2 =4 2 +( x -2) 2 ， 例 3 ： 已知：⊙ O 中弦 AB∥CD, 求证： AC ＝ BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径 MN⊥AB. ∵ AB∥CD ，∴ MN⊥CD. 则 AM ＝ BM ， CM ＝ DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM － CM ＝ BM － DM ∴AC ＝ BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件 . 归纳总结 试一试： 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗 ? 三 . 垂径定理的实际应用 A B O C D 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O ， 半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D ，与弧 AB 交于点 C ， 则 D 是 AB 的中点， C 是弧 AB 的中点， CD 就是拱高 . ∴ AB =37m ， CD =7.23m. 解得 R ≈ 27.3 （ m ） . 即主桥拱半径约为 27.3m. = 18.5 2 +( R -7.23) 2 ∴ AD = AB =18.5m ， OD = OC - CD = R -7.23. 练一练： 如图 a 、 b, 一弓形弦长为 　 cm ，弓形所在的圆的半径为 7cm ， 则弓形的高为＿＿＿ ____ ＿ . C D C B O A D O A B 图 a 图 b 2cm 或 12cm 在圆中有关弦长 a , 半径 r , 弦心距 d （ 圆心到弦的距离 ），弓形高 h 的计算题时，常常通过 连半径 或作 弦心距 构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解 . 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a ， 弦心距 d ， 弓形高 h ， 半径 r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h =r O A B C · 归纳总结 1. 已知 ⊙ O 中，弦 AB =8cm ， 圆心到 AB 的距离为 3cm ，则此圆的半径为 . 5cm 2. ⊙ O 的直径 AB =20cm, ∠ BAC =30 ° 则弦 AC = . 10 3 cm 3. （分类讨论题 ） 已知 ⊙ O 的半径为 10cm ，弦 MN∥EF , 且 MN =12cm, EF =16cm , 则弦 MN 和 EF 之间的距离为 . 14cm 或 2cm 4. 如图，在⊙ O 中， AB 、 AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD ⊥ AB 于 D ， OE ⊥ AC 于 E ，求证四边形 ADOE 是正方形． D · O A B C E 证明： ∴ 四边形 ADOE 为矩形， 又　∵ AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形 ADOE 为正方形 . 5. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C ， D 两点。你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？ 证明：过 O 作 OE⊥AB ，垂足为 E ， 则 AE ＝ BE ， CE ＝ DE. ∴ AE － CE ＝ BE － DE 即 AC ＝ BD. . A C D B O E 注意： 解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． 6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ( 即图中弧 CD , 点 O 是弧 CD 的圆心 ), 其中 CD = 600m , E 为弧 CD 上的一点 , 且 OE ⊥ CD ， 垂足为 F , EF = 90m . 求这段弯路的半径 . 解 : 连接 OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为 R m , 则 OF =( R -90)m. 根据勾股定理，得 解得 R =545. ∴ 这段弯路的半径约为 545m. 拓展提升： 如图， ⊙ O 的直径为 10 ，弦 AB = 8 , P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的 取值范围 . 3cm≤ OP ≤5cm B A O P 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线 满足 : ① 过圆心 ; ② 垂直于弦 ; ③ 平分弦 （ 不是直径 ） ; ④ 平分弦所对的优弧 ; ⑤ 平分弦所对的劣弧 . 满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（ “ 知二推三 ”） 垂直于弦的直径 平分弦 , 并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造 Rt △ 利用勾股定理计算或建立方程 . 基本图形及变式图形 27.1 圆的认识 3. 圆周角 学习目标 1. 理解圆周角的概念， 会叙述并证明圆周角定理 . 2. 理解圆周角与圆心角的关系并 能运用圆周角定理解决简单的几何问题 . （重点、难点） 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用 . （难点） 问题 1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角 , ∠ BOC. 问题 2 如图，∠ BAC 的顶点和边有哪些特点 ? A ∠ BAC 的顶点在☉ O 上，角的两边分别交☉ O 于 B 、 C 两点 . 复习引入 C A E D B 思考： 图中 过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 圆周角 . （两个条件必须同时具备，缺一不可） 一 . 圆周角的定义 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判： 下列各图中的 ∠ BAC 是否为圆周角并简述理由 . （ 2 ） （ 1 ） （ 3 ） （ 5 ） （ 6 ） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边 AC 没有和圆相交 √ √ √ 想一想 如图，线段 AB 是 ☉ O 的直径，点 C 是 ☉ O 上的任意一点（除点 A 、 B 外），那么， ∠ABC 就是直径 AB 所对的圆周角，想一想， ∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 解： ∵OA=OB=OC ， ∴ △ AOC 、△ BOC 都是等腰三角形 . ∴ ∠OAC=∠OCA ， ∠OBC=∠OCB. 又 ∵ ∠OAC + ∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180° ÷ 2=90°. 圆周角和直径的关系 圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90° . 知识要点 典例精析 例 1 如图， AB 是 ☉ O 的直径， ∠A=80 °. 求 ∠ ABC 的大小 . O C A B 解： ∵AB 是 ☉ O 的直径， ∴∠ACB=90 ° （直径所对的圆周角等于 90° . ） ∴∠ABC=180 ° - ∠A - ∠ACB =180 ° - 90 ° - 80 ° =10°. 如图，连接 BO , CO , 得圆心角∠ BOC . 试猜想 ∠ BAC 与∠ BOC 存在怎样的数量关系 . 二 . 圆周角定理及其推论 测量与猜测 圆心 O 在∠ BAC 的 内部 圆心 O 在∠ BAC 的 一边上 圆心 O 在∠ BAC 的 外部 推导与论证 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 （ 特殊情形 ） OA=OC ∠ A = ∠ C ∠ BOC = ∠ A + ∠ C O A B D O A C D O A B C D 圆心 O 在∠ BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D 圆心 O 在∠ BAC 的外部 三 . 圆周角定理的推论 问题 1 如图， OB ， OC 都是⊙ O 的半径，点 A ,D 是上任意两点，连接 AB ， AC ， BD ， CD . ∠ BAC 与 ∠ BDC 相等吗？请说明理由 . D 互动探究 ∴ ∠ BAC= ∠ BDC 相等 D A B O C E F 问题 2 如图，若 ∠ A 与 ∠ B 相等吗？ 相等 想一想： (1) 反过来，若 ∠ A =∠ B ，那么 成立吗？ (2) 若 CD 是直径，你能求出 ∠ A 的度数吗？ 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的 圆心角 的 一半； 相等的圆周角所对的弧也相等. 圆周角定理 A 1 A 2 A 3 要点归纳 推论 1 ： 90 °的圆周角所对的 弦是直径 . 试一试： 1. 如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在 ☉ O 上，点 A 与点 D 在点 B 、 C 所在直线的同侧， ∠ BAC =35º. (1)∠ BOC = º ，理由 是 ; (2)∠ BDC = º ， 理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (1) 完成下列填空： ∠ 1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2. 如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上， AC 、 BD 为四边形 ABCD 的对角线 . ∠ 4 ∠ 8 ∠ 6 ∠ 7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 例 2 如图，分别求出图中 ∠ x 的大小 . 60° x 30° 20° x 解： (1)∵ 同弧所对圆周角相等 ， ∴∠ x =60 °. A D B E C (2) 连接 BF ， F ∵ 同弧所对圆周角相等 ， ∴∠ABF=∠D=20 ° ， ∠FBC=∠E=30 °. ∴∠ x =∠ABF+∠FBC=50 °. 例 3 ： 如图， ⊙ O 的 直径 AC 为 10cm ，弦 AD 为 6cm. （ 1 ） 求 DC 的长； （ 2 ） 若 ∠ ADC 的平分线交 ⊙ O 于 B, 求 AB 、 BC 的长． B 解： (1) ∵ AC 是直径， ∴ ∠ ADC =90°. 在 Rt△ ADC 中， 在 Rt△ ABC 中 ， AB 2 + BC 2 = AC 2 ， (2)∵ AC 是直径 , ∴ ∠ ABC =90°. ∵ BD 平分 ∠ ADC , ∴ ∠ ADB =∠ CDB . 又 ∵∠ ACB =∠ ADB , ∠ BAC =∠ BDC . ∴ ∠ BAC =∠ ACB , ∴ AB = BC . B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解 . 如图， BD 是 ⊙ O 的直径， ∠ CBD ＝ 30° ，则 ∠ A 的度数为 ( 　　 ) A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 75° 解析： ∵ BD 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ BCD ＝ 90°. ∵∠ CBD ＝ 30° ， ∴∠ D ＝ 60° ， ∴∠ A ＝ ∠ D ＝ 60°. 故选 C. 方法总结 ：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 练一练 C 例 4 如图 , AB 是⊙ O 的直径 , 弦 CD 交 AB 于点 P , ∠ ACD =60°,∠ ADC =70°. 求∠ APC 的度数 . . O A D C P B 解 : 连接 BC, 则∠ ACB =90°, ∠ DCB ＝∠ ACB －∠ ACD ＝ 90° － 60°=30°. 又∵∠ BAD =∠ DCB =30°, ∴∠ APC =∠ BAD ＋∠ ADC ＝ 30° ＋ 70° ＝ 100°. 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的 外接圆 . 这个多边形叫做圆的 内接多边形 . 圆内接四边形 如图，四边形 ABCD 为 ⊙ O 的内接四边形， ⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆 . 探究性质 猜想： ∠ A 与 ∠ C , ∠ B 与 ∠ D 之间 的关系为： ∠ A + ∠ C =180º ， ∠ B + ∠ D =180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角的和是周角， ∴∠ A ＋ ∠ C ＝180°， 同理 ∠ B ＋∠ D ＝ 180° ， 证明猜想 归纳总结 推论： 圆的内接四边形的对角互补 . C O D B A ∵ 弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角的和是周角， ∴∠ A ＋ ∠ C ＝180°， 同理 ∠ B ＋∠ D ＝ 180° ， E 延长 BC 到点 E ，有 ∠ B CD ＋∠ D CE ＝ 180°. ∴∠ A ＝∠ D C E . 想一想 图中 ∠ A 与∠ D C E 的大小有何关系？ 归纳总结 推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 . C O D B A E 1 ． 四边形 ABCD 是 ⊙ O 的内接四边形，且 ∠ A =110 °，∠ B =80 °， 则 ∠ C = ，∠ D = . 2 ．⊙ O 的内接四边形 ABCD 中， ∠ A ∶∠ B ∶∠ C =1 ∶ 2 ∶ 3 ，则 ∠ D = . 70º 100º 90º 练一练 例 5 ： 如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CF ⊥ AB 于 E ，交 ⊙ O 于 D ， AF 交 ⊙ O 于 G . 求证： ∠ FGD ＝ ∠ ADC . 证明： ∵ 四边形 ACDG 内接于 ⊙ O ， ∴∠ FGD ＝ ∠ ACD . 又 ∵ AB 为 ⊙ O 的直径， CF ⊥ AB 于 E ， ∴ AB 垂直平分 CD ， ∴ AC ＝ AD ， ∴∠ ADC ＝ ∠ ACD ， ∴∠ FGD ＝ ∠ ADC . 方法总结： 圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 如图，在 ⊙ O 的内接四边形 ABCD 中， ∠ BOD ＝ 120° ，那么 ∠ BCD 是 ( 　　 ) A ． 120° B ． 100° C ． 80° D ． 60° 解析： ∵∠ BOD ＝ 120° ， ∴∠ A ＝ 60° ， ∴∠ C ＝ 180° － 60° ＝ 120° ，故选 A. 练一练 A 解：设∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的度数分别对于 2 x ， 3 x ， 6 x ， 例 6 在圆内接四边形 ABCD 中， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的度数之比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数 . ∵ 四边形 ABCD 内接于圆， ∴ ∠ A + ∠ C =∠ B + ∠ D =180° ， ∵ 2 x +6 x =180° ， ∴ x =22.5°. ∴ ∠ A=45° ， ∠B=67.5° ， ∠ C =135° ， ∠ D=180° - 67.5°=112.5°. 1. 判断 （ 1 ） 同一个圆中 等弧所对的圆周角相等 （ ） （ 2 ） 相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （ 3 ） 同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 2. 已知△ ABC 的三个顶点在 ⊙ O 上 , ∠ BAC =50°, ∠ ABC =47°, 则∠ AOB = ． B A C O 166° 3. 如图，已知 BD 是⊙ O 的直径，⊙ O 的弦 AC ⊥ BD 于点 E ，若∠ AOD= 60° ，则∠ DBC 的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【 规律方法 】 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题 , 要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角 , 然后再灵活运用圆周角定理 . A B C D O 4. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O , 如果∠ BOD =130°, 则∠ BCD 的度数是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50° 5. 如图，等边三角形 ABC 内接于⊙ O ， P 是 AB 上的一点，则∠ APB = . A B C P C 120° 6. 如图，已知圆心角∠ AOB =100° , 则圆周角 ∠ ACB = ，∠ ADB = . D A O C B 130 ° 50 ° 7. 如图， △ ABC 的顶点 A 、 B 、 C 都在 ⊙ O 上， ∠ C ＝ 30 ° ， AB ＝ 2 ， 则 ⊙ O 的半径是 . C A B O 解：连接 OA 、 OB ∵∠C=30 ° ， ∴∠AOB=60 ° 又 ∵OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2 ，即半径为 2. 2 A O B C ∴∠ ACB =2∠ BAC 证明： 8. 如图， O A ， OB ， OC 都是⊙ O 的半径，∠ AOB = 2∠ BOC . 求证：∠ ACB =2∠ BAC . ∠ AOB =2∠ BOC ， 9. 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图， A 、 B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A 、 B 两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠ α 与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙ O 外） ，与两个灯塔的夹角∠ α 小于“危险角” . 拓展提升： 如图，在△ ABC 中， AB = AC , 以 AB 为直径的圆交 BC 于 D , 交 AC 于 E , (1) BD 与 CD 的大小有什么关系 ? 为什么 ? (2) 求证： . A B C D E ∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上， ∴∠ ADB =90° ， ∴ AD ⊥ BC ， ∵ AB = AC ， ∴ BD = CD . ∵ AD 平分顶角 ∠ BAC ， 即 ∠ BAD =∠ CAD ， （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等） . 解 : BD = CD . 理由是 : 连接 AD , 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 . 1.90° 的圆周角所对的弦是直径； 2. 圆内接四边形的对角互补 . 1. 顶点在圆上， 2. 两边都与圆相交的角（二者必须同时具备） 圆周角与直 线的关系 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90° （直角） . 27.2 与圆有关的位置关系 1. 点和圆的位置关系 第 27 章 圆 1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系 . （重点） 2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用 . （重点） 3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念 . 学习目标 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 情境引入 想一想 问题 1 ： 观察 下图中 点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . . A . 点与圆的位置关系有三种： 点在 圆内 ， 点在 圆上 ， 点在 圆外 . 一 . 点和圆的位置关系 问题 2 ： 设点到圆心的距离为 d , 圆的半径为 r ，量一量在 点和圆三种不同位置关系时， d 与 r 有怎样的数量关系？ 点 P 在 ⊙ O 内 点 P 在 ⊙ O 上 点 P 在 ⊙ O 外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1. ⊙ O 的半径为 10cm， A、B、C 三点到圆心的距离分别为 8cm 、 10cm 、 12cm， 则点 A 、 B 、 C 与 ⊙ O 的位置关系是：点 A 在 ；点 B 在 ；点 C 在 . 练一练 ： 圆内 圆上 圆外 2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2 ，若 OP = ，则点 P 在（ ） A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 o D 要点归纳 r P d P r d P r d R r P 点 P 在 ⊙ O 内 dr 点 P 在 圆环 内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 例 1 ： 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ， AD=4. （ 1 ）以 A 为圆心， 4 为半径作⊙ A ，则点 B 、 C 、 D 与⊙ A 的位置关系如何？ 解： AD=4=r ，故 D 点在⊙ A 上 AB=3r ，故 C 点在⊙ A 外 （ 2 ）若以 A 点为圆心作⊙ A ，使 B 、 C 、 D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙ A 的半径 r 的取值范围？（直接写出答案） 3< r <5 变式： 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2,1 ）， P 是 x 轴上一点，要使△ PAO 为等腰三角形，满足条件的 P 有几个？求出点P的坐标 . 二 . 过不共线三点作圆 问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？ 合作探究 · · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆 . A 问题 2 如何过两点 A 、 B 作一个圆？过两点可以作多少 个圆？ · · · · A B 作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点 A 或 B 的距离为半径画圆即可 ; 可作无数个圆 . 问题 3 ： 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C D E G F ● o 经过 B,C 两点的圆的圆心在线段 B C 的垂直平分线上. 经过 A,B,C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置 . 经过 A,B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 有且只有 位置关系 定理： 不在同一直线上的三个点 确定一个 圆 . A B C D E G F ● o 归纳总结 已知：不在同一直线上的三点 A 、 B 、 C. 求作： ⊙ O, 使它经过点 A 、 B 、 C. 作法： 1 、连结 AB ，作线段 AB 的垂直平分线 MN ； 2 、连接 AC ，作线段 AC 的垂直平分线 EF ，交 MN 于点 O ； 3 、以 O 为圆心， OB 为半径作圆。 所以⊙ O 就是所求作的圆 . O N M F E A B C 练一练 问题 4: 现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法 : 1 、在圆弧上任取三点 A 、 B 、 C; 2 、作线段 AB 、 BC 的垂直平分线 , 其交点 O 即为圆心 ; 3 、以点 O 为圆心， OC 长为半径作圆 . ⊙ O 即为所求 . A B C O 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 A 、 B 、 C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ ● ● ● B A C 针对训练 试一试： 已知△ ABC ，用直尺与圆规作出过 A 、 B 、 C 三点的圆 . A B C O 三 . 三角形的外接圆及外心 1. 外接圆 ⊙ O 叫做 △ ABC 的 ________ ， △ ABC 叫做 ⊙ O 的 ____________. 到三角形 三个顶点 的距离相等 . 2. 三角形的外心： 定义 ： ● O A B C 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做三角形的 外心 . 作图 ： 三角形三边 中垂线 的交点 . 性质 ： 要点归纳 判一判： 下列说法是否正确 (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆 ( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( ) √ × × √ 画一画： 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形 内 , 直角三角形的外心位于直角三角形 斜边的中点 , 钝角三角形的外心位于三角形 外 . A B C ● O A B C C A B ┐ ● O ● O 经 过三角形的三个顶点的圆叫做 三角形的外接圆 ；外接圆的圆心叫三角形的 外心 ； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 . 要点归纳 例 2 ： 如图，将 △ AOB 置于平面直角坐标系中， O 为原点， ∠ ABO ＝ 60° ，若 △ AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D (0 ， 3) ． (1) 求 ∠ DAO 的度数； (2) 求点 A 的坐标和 △ AOB 外接圆的面积． 解： (1)∵∠ ADO ＝ ∠ ABO ＝ 60° ， ∠ DOA ＝ 90° ， ∴∠ DAO ＝ 30° ； 典例精析 (2) 求点 A 的坐标和 △ AOB 外接圆的面积． (2)∵ 点 D 的坐标是 (0 ， 3) ， ∴ OD ＝ 3. 在直角 △ AOD 中， OA ＝ OD ·tan∠ ADO ＝ ， AD ＝ 2 OD ＝ 6 ， ∴ 点 A 的坐标是 ( ， 0) ． ∵∠ AOD ＝ 90° ， ∴ AD 是圆的直径， ∴△ AOB 外接圆的面积是 9π. 方法总结： 图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径 ( 或半径 ) 长度． 例 3 如图，在 △ ABC 中， O 是它的外心， BC ＝ 24cm ， O 到 BC 的距离是 5cm ，求 △ ABC 的外接圆的半径． 解：连接 OB ，过点 O 作 OD ⊥ BC. D 则 OD ＝ 5cm ， 在 Rt△ OBD 中 即 △ ABC 的外接圆的半径为 13cm. 解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB ，过点 O 作 OD ⊥ BC ，易得 BD ＝ 12cm. 由此可求它的外接圆的半径． 1 . 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法? A B C O 2. 正方形 ABCD 的边长为 2cm ，以 A 为圆心 2cm 为半径作 ⊙ A ，则点 B 在 ⊙ A ； 点 C 在 ⊙ A ； 点 D 在 ⊙ A . 上 外 上 3. ⊙ O 的半径 r 为 5㎝ ， O 为原点，点 P 的坐标为 （ 3,4 ）， 则点 P 与 ⊙ O 的位置关系为 （ ） A. 在 ⊙ O 内 B. 在 ⊙ O 上 C. 在 ⊙ O 外 D. 在 ⊙ O 上或 ⊙ O 外 B 4. 判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ） √ × × × 5. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= . 5 6. 如图， △ ABC 内接于 ⊙ O ，若 ∠ OAB ＝ 20° ，则 ∠ C 的度数是 ________ ． 70° 7. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） M R Q A B C P A．点P B．点Q C．点R D．点M B 8. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 D 1 · 2cm 3cm 9. 画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm 并且小于或等于 3cm 的点组成的图形 . O 10. 如 图，已知 Rt △ ABC 中 ， 若 AC=12cm ， BC=5cm ，求的外接圆半径 . C B A O 解：设Rt △ ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC . ∴ O是斜边AB 的中点 . ∵∠C=900， AC=12cm，BC=5cm . ∴AB=13 cm，OA=6.5cm . 故Rt △ ABC 的外接圆半径为6.5cm . 能力拓展： 一个 8×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置 , 这种装置喷水的半径为 5 米 , 你准备安装几个 ? 怎样安装 ? 请说明理由 . 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d > r d = r d < r 位置关系数量化 作圆 过一点可以作 无数个 圆 过两点可以作 无数个 圆 定理： 过不在同一直线上的三个点 确定一个 圆 一个三角形的外接圆是唯一的 . 注意：同一直线上的三个点不能作圆 点 P 在 圆环 内 r≤d≤R R r P 27.2 与圆有关的位置关系 2. 直线和圆的位置关系 第 27 章 圆 学习目标 1. 理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系 . 2. 能根据圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系 .( 重点） 点和圆的位置关系有几种？ d < r d=r d>r 用数量关系如何来 判断呢？ ⑴ 点在圆内 · P ⑵ 点在圆上 · P ⑶ 点在圆外 · P ( 令 OP= d ) 知识准备 观赏视频 问题 1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 一 . 用定义判断直线与圆的位置关系 问题 2 请同学在纸上画一条直线 l ，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ ● ● ● l 0 2 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2 个 交点 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 填一填： 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做 圆的切线（如图直线 l ） ，这个唯一的公共点叫做 切点（如图点 A ） . A l O 要点归纳 1. 直线与圆最多有两个公共点 . 2. 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上 . 3. 若 A 是 ⊙ O 上一点，则直线 AB 与 ⊙ O 相切 . 4. 若 C 为 ⊙ O 外一点，则过点 C 的直线与 ⊙ O 相交或相离 . 5. 直线 a 和 ⊙ O 有公共点，则直线 a 与 ⊙ O 相交 . 判一判 ： √ × × × × 问题 1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点（ A ) 到直线 ( l ) 的垂线段 ( OA ) 的长度 . l A O 二 . 用数量关系判断直线与圆的位置关系 问题 2 怎样用 d ( 圆心与直线的距离 ) 来判别直线与圆的位置关系呢？ O d 合作探究 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r r d ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 （用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分） o o o 公共点个数 要点归纳 1. 已知圆的半径为 6cm ，设直线和圆心的距离为 d ： （ 3 ） 若 d =8cm , 则直线与圆 ______ , 直线与圆有 ____ 个公共点 . （ 2 ） 若 d =6cm , 则直线与圆 ______ , 直线与圆有 ____ 个公共点 . （ 1 ） 若 d =4cm , 则直线与圆 　　　 , 直线与圆有 ____ 个公共点 . (3) 若 AB 和 ⊙ O 相交 , 则 . 2. 已知 ⊙ O 的半径为 5cm, 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d , 根据条件 填写 d 的范围 : (1) 若 AB 和 ⊙ O 相离 , 则 ; (2) 若 AB 和 ⊙ O 相切 , 则 ; 相交 相切 相离 d > 5cm d = 5cm 0cm ≤d < 5cm 2 1 0 练一练： B C A 4 3 例 1 在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， AC =3cm ， BC =4cm ， 以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ ( 1 ) r =2cm ； ( 2 ) r =2.4cm； (3) r =3cm ． 分析： 要了解 AB 与 ⊙ C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r ，只需求出 C 到 AB 的距离 d . D 典例精析 解：过 C 作 CD ⊥ AB ， 垂足为 D. 在 △ ABC 中， AB = 5. 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心 C 到 AB 的距离 d =2.4cm. 所以 (1) 当 r =2cm 时 , 有 d > r , 因此 ⊙ C 和 AB 相离 . B C A 4 3 D d 记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边 . （ 2 ） 当 r =2.4cm 时 , 有 d = r. 因此 ⊙ C 和 AB 相切 . B C A 4 3 D d （ 3 ） 当 r =3cm 时，有 d < r ， 因此， ⊙ C 和 AB 相交 . B C A 4 3 D d A B C A D 4 5 3 变式题 : 1. Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm ， BC=4cm ， 以 C 为圆心画圆 ， 当半径 r 为何值时 ， 圆 C 与直线 AB 没有公共点 ？ 当 0cm ＜ r ＜ 2 .4 cm 或 r ＞ 4cm 时 , ⊙C 与线段 AB 没有公共点 . 2. Rt△ABC,∠C=90 ， AC=3cm ， BC=4cm ，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与 线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与 线段 AB 有两个公共点？ A B C A D 4 5 3 当 r=2.4cm 或 3cm ≤ r ＜ 4 cm 时 , ⊙C 与线段 AB 有一个公共点 . 当 2.4cm ＜ r ≤ 3 cm 时 , ⊙C 与线段 AB 有两公共点 . 例 2 如图， Rt△ ABC 的斜边 AB= 10cm, ∠A= 30 ° . (1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时， AB 与☉ C 相切？ (2) 以点 C 为圆心，半径 r 分别为 4cm,5cm 作两个圆，这两个圆与斜边 AB 分别有怎样的位置关系？ A C B 解： (1) 过点 C 作边 AB 上的高 CD . D ∵∠ A =30 °， AB =10cm, 在 Rt △ BCD 中，有 当半径为 时， AB 与☉ C 相切 . . O . O . O . O . O 1. 看图判断直线 l 与 ☉ O 的位置关系？ (1) (2) (3) (4) (5) 相离 相交 相切 相交 ? 注意 ：直线是可以无限延伸的 ． 相交 2 ． 直线和圆相交，圆的半径为 r , 且 圆心 到 直线 的距离为 5 ， 则有（ ） A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 3. ☉ O 的最大弦长为 8 ， 若圆心 O 到直线 l 的距离为 d =5 ， 则直线 l 与 ☉ O . 4. ☉ O 的半径为 5, 直线 l 上的一点到圆心 O 的距离是 5 ， 则直线 l 与 ☉ O 的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 B 相离 A 解析：过点 A 作 AQ ⊥ MN 于 Q ，连接 AN ，设半径为 r ，由垂径定理有 MQ ＝ NQ ，所以 AQ ＝ 2 ， AN ＝ r ， NQ ＝ 4 － r ，利用勾股定理可以求出 NQ ＝ 1.5 ，所以 N 点坐标为 ( － 1 ，－ 2) ．故选 A. 5. 如图，在平面直角坐标系中， ⊙ A 与 y 轴相切于原点 O ，平行于 x 轴的直线交 ⊙ A 于 M 、 N 两点．若点 M 的坐标是 ( － 4 ，－ 2) ，则点 N 的坐标为 ( 　　 ) A ． ( － 1 ，－ 2) B ． (1 ， 2) C ． ( － 1.5 ，－ 2) D ． (1.5 ，－ 2) A 拓展提升： 已知 ☉ O 的半径 r =7cm , 直线 l 1 // l 2 , 且 l 1 与 ☉ O 相切 , 圆心 O 到 l 2 的距离为 9cm. 求 l 1 与 l 2 的距离 . o l 1 l 2 A B C l 2 解 ：（ 1 ） l 2 与 l 1 在圆的同一侧： m =9-7=2 cm （ 2 ） l 2 与 l 1 在圆的两侧： m =9+7=16 cm 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离 相切 相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 特别提醒：在图中没有 d 要先做出该垂线段 相离 :0 个 相切： 1 个 相交： 2 个 相离 : d > r 相切 : d = r 相交 : d < r 0 个：相离； 1 个：相切； 2 个：相交 d > r ：相离 d = r : 相切 d < r ：相交 27.2 与圆有关的位置关系 第 1 课时 切线的性质与判定 3. 切线 学习目标 1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线 . 2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理 . （重点） 3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题 . （难点） 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的 . 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白 . Ｏ A B C 问题： 已知圆 O 上一点 A ，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ 观察 ： （ 1 ） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的半径有什么数量关系 ? （ 2 ） 二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理 O 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 . OA 为 ⊙ O 的 半径 BC ⊥ OA 于 A BC 为 ⊙ O 的 切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 判一判： 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O . A O . A B A O (1) (2) (3) (1) 不是，因为没有垂直 . (2),(3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A . 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线 . 注意 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法： 直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线 ; 2. 数量关系法： 圆心到这条直线的距离等于半径 ( 即 d = r ) 时，直线与圆相切； 3. 判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . l A l O l r d 要点归纳 例 1 如图 , ∠ ABC =45° ， 直线 AB 是 ☉ O 上的直径，点 A, 且 AB=AC . 求证： AC 是 ☉ O 的切线 . 解析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AB 即可 . 证明： ∵ AB = AC ， ∠ ABC ＝ 45° ， ∴ ∠ ACB ＝∠ ABC ＝ 45°. ∴ ∠ BAC =180 ° - ∠ ABC - ACB= 90°. ∵ AB 是☉ O 的直径， ∴ AC 是☉ O 的切线 . A O C B 例 2 已知：直线 AB 经过 ⊙ O 上的点 C ，并且 OA = OB ， CA = CB . 求证：直线 AB 是 ⊙ O 的切线 . O B A C 分析：由于 AB 过 ⊙ O 上的点 C ，所以连接 OC ， 只要证明 AB ⊥ OC 即可 . 证明 ： 连接 OC ( 如图 ) . ∵ OA ＝ OB,CA ＝ CB , ∴ OC 是等腰三角形 OAB 底边 AB 上的中线 . 　 ∴ AB ⊥ OC . ∵ OC 是 ⊙ O 的半径 , ∴ AB 是 ⊙ O 的切线 . 例 3 如图 , △ ABC 中， AB ＝ AC ， O 是 BC 的 中点， ⊙ O 与 AB 相切于 E . 求证： AC 是 ⊙ O 的切线 ． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙ O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是 ⊙ O 的半径就可以了 ， 而 OE 是 ⊙ O 的半径 ， 因此只需要证明 OF = OE . F 证明： 连接 OE ， OA, 过 O 作 OF ⊥ AC. ∵⊙ O 与 AB 相切于 E ， ∴ OE ⊥ AB. 又 ∵△ ABC 中 ， AB ＝ AC ， 　　 O 是 BC 的 中点 ． ∴ AO 平分 ∠ BAC ， F B O C E A ∴ OE ＝ OF. ∵ OE 是 ⊙ O 半径 ， OF ＝ OE ， OF ⊥ AC. ∴ AC 是 ⊙ O 的切线 ． 又 OE ⊥ AB ， OF ⊥ AC. 如图，已知直线 AB 经过 ⊙ O 上的点 C ， 并且 OA ＝ OB ， CA ＝ CB 求证：直线 AB 是 ⊙ O 的切线 . C B A O 如图， OA ＝ OB=5 ， AB ＝ 8, ⊙ O 的直径为 6. 求证：直线 AB 是 ⊙ O 的切线 . C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 (1) 有交点， 连半径,证垂直 ; (2) 无交点， 作垂直,证半径 . 证切线时辅助线的添加方法 例 1 例 2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直 . 切线的其他重要结论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 ; （ 2 ） 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 . 要点归纳 思考： 如图，如果直线 l 是 ⊙ O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O ∵直线 l 是 ⊙ O 的切线， A 是切点， ∴直线 l ⊥ OA. 二 . 切线的性质定理 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 小亮的理由是 : 直径 AB 与直线 CD 要么垂直 , 要么不垂直 . （ 1 ） 假设 AB 与 CD 不垂直 , 过点 O 作一条直径垂直于 CD , 垂足为 M , （ 2 ） 则 OM < OA , 即圆心到直线 CD 的距离小于 ⊙ O 的半径 , 因此 , CD 与 ⊙ O 相交 . 这与已知条件“直线与 ⊙ O 相切”相矛盾 . C D B O A （ 3 ） 所以 AB 与 CD 垂直 . M 证法 1 ： 反证法 . 性质定理的证明 反证法的证明视频 C D O A 证法 2 ： 构造法 . 作出小 ⊙ O 的同心圆大 ⊙ O ， CD 切小⊙ O 于点 A , 且 A 点为 CD 的中点，连接 OA , 根据垂径定理，则 CD ⊥ OA , 即圆的切线垂直于经过切点的半径 ． 1. 如图：在⊙ O 中， OA 、 OB 为半径，直线 MN 与⊙ O 相切于点 B ，若∠ ABN=30° ，则∠ AOB= . 2. 如图 AB 为⊙ O 的直径， D 为 AB 延长线上一点， DC 与⊙ O 相切于点 C ，∠ DAC=30° ， 若⊙ O 的半径长 1cm ，则 CD= cm. 60° 练一练 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题 . 方法总结 例 4 如图， PA 为 ⊙ O 的切线， A 为切点．直线 PO 与 ⊙ O 交于 B 、 C 两点， ∠ P ＝ 30° ，连接 AO 、 AB 、 AC . (1) 求证： △ ACB ≌ △ APO ； (2) 若 AP ＝ ，求 ⊙ O 的半径． 解析： (1) 根据已知条件我们易得∠ CAB =∠ PAO =90°，由∠ P =30°可得出∠ AOP =60°，则∠ C =30°=∠ P ，即 AC = AP ；这样就凑齐了角边角，可证得 △ ACB ≌ △ APO ； O A B P C (2) 由已知条件可得△ AOP 为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径 OA 的长 . (1) 求证： △ ACB ≌ △ APO ； O A B P C 在 △ ACB 和 △ APO 中， ∠ BAC ＝ ∠ OAP ， AB ＝ AO ， ∠ ABO ＝ ∠ AOB ， ∴△ ACB ≌ △ APO . (1) 证明： ∵ PA 为 ⊙ O 的切线， A 为切点， 又 ∵∠ P ＝ 30° ， ∴∠ AOB ＝ 60° ， 又 OA ＝ OB ， ∴△ AOB 为等边三角形． ∴ AB ＝ AO ， ∠ ABO ＝ 60°. 又 ∵ BC 为 ⊙ O 的直径， ∴∠ BAC ＝ 90°. ∴∠ OAP ＝ 90°. (2) 若 AP ＝ ，求 ⊙ O 的半径． O A B P C ∴ AO ＝ 1 ， ∴ CB ＝ OP ＝ 2 ， ∴ OB ＝ 1 ，即 ⊙ O 的半径为 1. (2) 解：在 Rt△ AOP 中， ∠ P ＝ 30° ， AP ＝ ， 1. 判断下列命题是否正确 . ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线 . （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线 . （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 . （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 . （ ） ⑸ 过直径一端 点 且垂直于直径的直线是圆的切线 . （ ） × × √ √ √ 3. 如图，在 ☉ O 的内接四边形 ABCD 中， AB 是直径， ∠ BCD =120° ， 过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P ， 则 ∠ ADP 的度数为（ ） A ． 40° B ． 35° C ． 30° D ． 45° 2. 如图所示， A 是 ☉ O 上一点，且 AO =5, PO =13, AP =12, 则 PA 与 ☉ O 的位置关系是 . A P O 第 2 题 P O 第 3 题 D A B C 相切 C 4. 如图 , ⊙ O 切 PB 于点 B , PB =4, PA =2, 则⊙ O 的半径多少？ O P B A 解：连接 OB ，则 ∠OBP =90 ° . 设 ⊙ O 的 半径为 r , 则 OA=OB=r , OP=OA + PA= 2 +r . 在 Rt △ OBP 中， OB 2 +PB 2 =PO 2 ，即 r 2 +4 2 =(2+ r ) 2 . 解得 r =3 ， 即⊙ O 的半径为 3. 证明：连接 OP . ∵ AB = AC ,∴∠ B =∠ C . ∵ OB = OP ， ∴∠ B =∠ OPB ， ∴∠ OBP =∠ C . ∴ OP∥AC . ∵ PE ⊥ AC ， ∴ PE ⊥ OP . ∴ PE 为 ⊙ O 的切线 . 5. 如图 , △ ABC 中， AB = AC ， 以 AB 为直径的 ⊙ O 交 边 BC 于 P ， PE ⊥ AC 于 E . 求证 : PE 是 ⊙ O 的切线 . O A B C E P 6. 如 图， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心， OA 长为半径的⊙ O 与 BC 相切于点 M. 求证： CD 与⊙ O 相切． 证明：连接 OM ，过点 O 作 ON ⊥ CD 于点 N ， ∵⊙ O 与 BC 相切于点 M ， ∴ OM ⊥ BC . 又 ∵ ON ⊥ CD ， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， ∴ OM ＝ ON ， ∴ CD 与 ⊙ O 相切． M N 7. 已知： △ ABC 内接于 ☉ O ，过点 A 作直线 EF . （ 1 ） 如图 1 ， AB 为直径，要使 EF 为 ☉ O 的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （ 2 ） 如图 2 ， AB 是非直径的弦， ∠ CAE =∠ B ， 求证： EF 是 ☉ O 的切线 . BA ⊥ EF ∠ CAE =∠ B A F E O A F E O B C B C 图 1 图 2 证明：连接 AO 并延长交 ☉ O 于 D , 连接 CD , 则 AD 为 ☉ O 的直径 . ∴ ∠ D + ∠ DAC =90 °, ∵ ∠ D 与 ∠ B 同对 , ∴ ∠ D = ∠ B , 又∵ ∠ CAE = ∠ B , ∴ ∠ D = ∠ CAE , ∴ ∠ DAC + ∠ EAC =90°, ∴ EF 是 ☉ O 的切线 . A F E O B C 图 2 D 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1 个公共点，则相切 d = r ， 则相切 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线 . 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ② 无公共点，作垂直，证半径 . 有 1 个公共点 d = r 性质定理 圆的切线 垂直 于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直 . 27.2 与圆有关的位置关系 第 2 课时 切线长定理及三角形的内切圆 3. 切线 学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理 . （重点） 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明 . （难点） 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 切线长定理及应用 互动探究 问题 1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 ( 如左图所示 ) ，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点 作圆的切线，可以作几条？ P O B A O . P A B P 1. 切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的 切线长 ． A O ①切线是直线，不能度量 . ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 问题 2 PA 为 ☉ O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B ． OB 是 ☉ O 的一条半径吗？ PB 是 ☉ O 的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA 、 PB 有何关系？ ∠ APO 和 ∠ BPO 有何关系？ O . P A B B P O A 切线长定理 : 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等 . 圆心与 这一点 的连线平分两条切线的夹角 . P A 、 PB 分别切 ☉ O 于 A 、 B PA = PB ∠ OPA =∠ OPB 几何语言 : 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法 . 注意 知识要点 O . P 已知，如图 PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线 ， A 、 B 为切点 . 求证： PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 证明： ∵PA 切☉ O 于点 A ， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA=OB ， OP= OP ， ∴ Rt △ OAP ≌ Rt △ OBP ， ∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想： 若连结两切点 A 、 B ， AB 交 OP 于点 M . 你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点 ∴ PA = PB ， ∠ OPA=∠OPB ∴△ PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线 ∴ OP 垂直平分 AB. O . P A B M 想一想： 若延长 PO 交⊙ O 于点 C ， 连结 CA 、 CB ， 你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点， ∴ PA = PB ，∠ OPA =∠ OPB . ∴ PC = PC . ∴ △ PCA ≌ △ PCB ， ∴ AC = BC. CA = CB O . P A B C 典例精析 例 1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 与⊙ O 分别相切与点 E 、 F 、 G 、 H . 求证： AB+CD=AD+BC. · A B C D O 证明： ∵ AB 、 BC 、 CD 、 DA 与⊙ O 分别相切与点 E 、 F 、 G 、 H ， E F G H ∴ AE=AH ， BE=BF ， CG=CF ， DG=DH . ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴ AB+CD=AD+BC. 例 2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 在 Rt△ OPA 中， PA ＝ 5 ， ∠ POA ＝ 30° ， O Q 解：过 O 作 OQ ⊥ AB 于 Q ，设铁环的圆心为 O ，连接 OP 、 OA . ∵ AP 、 AQ 为 ⊙ O 的切线， ∴ AO 为 ∠ PAQ 的平分线，即 ∠ PAO ＝ ∠ QAO . 又 ∠ BAC ＝ 60° ， ∠ PAO ＋ ∠ QAO ＋ ∠ BAC ＝ 180° ， ∴∠ PAO ＝ ∠ QAO ＝ 60°. 即铁环的半径为 1. PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线 ， A 、 B 为切点 ， 直线 OP 交 ☉ O 于点 D 、 E ， 交 AB 于 C . （ 1 ） 写出图中所有的垂直关系； OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB ， AB ⊥ OP. （ 3 ）写出图中所有的全等三角形； △ AOP ≌ △ BOP ， △ AOC ≌ △ BOC ， △ ACP ≌ △ BCP. （ 4 ） 写出图中所有的等腰三角形 . △ ABP △ AOB （ 2 ） 写出图中与 ∠ OAC 相等的角； ∠ OAC =∠ OBC =∠ APC =∠ BPC. B P O A C E D 练一练 B P O A 2. PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线， A,B 是切点， OA =3. （ 1 ） 若 AP =4, 则 OP = ; （ 2 ） 若 ∠ BPA =60 °, 则 OP = . 5 6 3. 如图， PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线，点 A 、 B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C ，过点 C 作 ☉ O 的切线，分别交 PA 、 PB 于点 D 、 E . 已知 PA =7 ，∠ P =40°. 则 ⑵ ∠ DOE = . ⑴ △ PDE 的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 解析：连接 OA 、 OB 、 OC 、 OD 和 OE .∵ PA 、 PB 是☉ O 的两条切线，点 A 、 B 是切点， ∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO= 90 °. ∠AOB=360 ° - ∠PAO - ∠PBO - ∠P=140 °. 又 ∵ DC 、 DA 是☉ O 的两条切线，点 C 、 A 是切点， ∴ DC = DA . 同理可得 CE = CB . O P A B C E D ∵ D ， E 是切线 PA ， PB 上的点， ∴∠ DOC =∠ DOA = ∠ AOC . ∠DOE=∠DOC+∠COE= ( ∠AOC+∠COB ) = 70 °. ∴∠ COE =∠ BOE = ∠ AOC . ∴S △ PDE =PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB= 14. 切线长问题辅助线添加方法： （ 1 ）分别连接圆心和切点； （ 2 ）连接两切点； （ 3 ）连接圆心和圆外一点 . 方法归纳 小 明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 二 . 三角形的内切圆及作法 互动探究 问题 1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 问题 2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉ I 与△ ABC 的三边都相切，那么圆心 I 应满足什么条件？ (2) 在△ ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？ 圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等 . 圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点 . 为什么呢？ 已知： △ ABC. 求作： 和 △ ABC 的各边都相切的圆 . M N D 作法： 1. 作 ∠ B 和∠ C 的平分线 BM 和 CN ， 交点为 O. 2. 过点 O 作 OD ⊥ BC. 垂足为 D. 3. 以 O 为圆心 ， OD 为半径作圆 O. ☉ O 就是所求的圆 . 做一做 1. 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的 内切圆 . 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的 内心 . 3. 这个三角形叫做这个圆的 外切三角形 . B A C I ☉ I 是△ ABC 的内切圆，点 I 是△ ABC 的内心，△ ABC 是 ☉ I 的外切三角形 . 知识要点 三 . 三角形的内心的性质 B A C I 问题 1 如图， ☉ I 是△ ABC 的内切圆，那么线段 OA ， OB , OC 有什么特点？ 互动探究 线段 OA ， OB , OC 分别是 ∠A ， ∠B ， ∠C 的平分线 . B A C I 问题 2 如图，分别过点作 AB 、 AC 、 BC 的垂线，垂足分别为 E 、 F ， G ，那么线段 IE 、 IF 、 IG 之间有什么关系？ E F G IE=IF=IG 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的 角平分线上 . 三角形的内心到三角形的三边距离相等 . B A C I E F G IA ， IB ， IC 是△ ABC 的角平分线， IE=IF=IG . 例 3 如图，△ ABC 中，∠ B =43° ，∠ C =61 ° ，点 I 是△ ABC 的内心，求∠ BIC 的度数 . 解：连接 IB ， IC . A B C I ∵ 点 I 是 △ ABC 的内心， ∴ IB ， IC 分别 是 ∠ B ， ∠ C 的平分线， 在△ IBC 中， 例 4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱 . 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3cm ，求圆柱底面圆的半径 . 该木模可以抽象为几何如下几何图形 . C A B r O D 解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D ，连接 OA 、 OB 、 OD . ∵ 圆 O 是△ ABC 的内切圆 , ∴ AO 、 BO 是∠ BAC 、∠ ABC 的角平分线 ∵ △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ OAB =∠ OBA =30 o ∵ OD ⊥ AB ， AB =3cm ， ∴ AD = BD = AB =1.5(cm) ∴ OD = AD · tan30 o = (cm) 答 : 圆柱底面圆的半径为 cm. 例 5 △ ABC 的内切圆 ☉ O 与 BC 、 CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F ， 且 AB =13cm ， BC =14cm ， CA =9cm ， 求 AF 、 BD 、 CE 的长 . 想一想： 图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解 : 设 AF = x cm ，则 AE = x cm . ∴ CE=CD=AC-AE =9- x (cm) ， BF=BD=AB-AF =13- x (cm) . 由 BD+CD=BC ， 可得 (13- x )+(9- x )=14 ， ∴ AF =4(cm) ， BD =9(cm) ， CE =5(cm). 方法小结： 关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 . 解得 x= 4. A C E D F O 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心： 三角形外接圆的圆心 内心： 三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂 线的交 点 1. OA=OB=OC 2. 外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分 线的 交点 1. 到三边的距离相等； 2. OA 、 OB 、 OC 分别平分 ∠ BAC 、∠ ABC 、∠ ACB 3. 内心在三角形内部． A B O A B C O C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径 . 解：如图，由题意可知 BC =6cm, ∠ ABC =60 °， OD ⊥ BC ， OB 平分 ∠ ABC . ∴∠ OBD =30 °， BD=3cm, △ OBD 为直角三角形 . 内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比 . sin ∠ OBD = sin30° = C A B R r O D A B C O D E F A B C D E F O 2. 设△ ABC 的面积为 S ，周长为 L ， △ ABC 内切圆 的半径为 r ，则 S ， L 与 r 之间存在怎样的数量关系？ A B C O c D E r 3. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a 、 b , 斜边为 c ，则其内切圆的半径 r 为 ___________ （以含 a 、 b 、 c 的代数式表示 r ） . 解析：过点 O 分别作 AC ， BC ， AB 的垂线，垂足分别为 D ， E ， F . F 则 AD=AC - DC= b - r , BF=BC - CE=a - r , 因为 AF=AD ， BF=BE ， AF+BF=c, 所以 a - r+b - r =c , 所以 A 2. 如图，已知点 O 是 △ ABC 的内心，且 ∠ ABC = 60 °, ∠ ACB = 80 °, 则 ∠ BOC = . 1. 如图， PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线，切点分别是 A 、 B ，如果 AP =4, ∠ APB = 40 ° , 则 ∠ APO = , PB = . B P O A 第 1 题 B C O 第 2 题 20 ° 4 110 ° （ 3 ）若∠ BIC=100 ° ，则∠ A = 度 . （ 2 ）若∠ A=80 ° ，则∠ BIC = 度 . 130 20 3. 如图，在△ ABC 中，点 I 是内心， （ 1 ）若∠ ABC=50° ， ∠ ACB=70° ，∠ BIC=_____. A B C I （ 4 ）试探索： ∠ A 与∠ BIC 之间存在怎样的数量关系？ 120° 4 .如图所示，已知在△ ABC 中，∠ B ＝ 90° ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB 为半径的圆与 AB 交于 E ， 与 AC 相切于点 D .求证： DE ∥ OC . 方法一： 证明：连接 OD， ∵ AC 切 ⊙O 点 D， ∴ OD⊥AC， ∴ ∠ODC=∠B =90° . 在Rt△ OCD 和Rt△ OCB 中， OD＝OB ，OC＝OC ∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC （HL）， ∴ ∠DOC=∠BOC . ∵ OD=OE， ∴ ∠ODE=∠OED， ∵ ∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴ ∠BOC=∠OED， ∴ DE∥OC． 方法二： 证明：连接 B D， ∵ AC 切 ⊙O 于 点 D， AC 切 ⊙O 于 点 B ， ∴ DC=BC ， OC 平分 ∠DCB. ∴ OC ⊥ BD. ∵BE 为 ⊙O 的直径， ∴ DE⊥BD. ∴ DE∥OC． 5. 如图，△ ABC 中， I 是内心，∠ A 的平分线和△ ABC 的外接圆相交于点 D . 求证： D I ＝ DB . 证明：连接 BI . ∵ I 是△ ABC 的内心， ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵ ∠CBD=∠CAD， ∴ ∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴ ∠BID=∠IBD， ∴ BD=ID． 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 . 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 . 有关概念 内心概念及性质 应用 27.3 圆中的计算问题 第 27 章 圆 第 1 课时 弧长和扇形面积 学习目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程 .( 难点） 2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算 . （重点） 图片欣赏 问题 1 如图，在运动会的 4 × 100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题 2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的 . 一 . 与弧长相关的计算 问题 1 半径为 R 的圆 , 周长是多少？ O R 问题 2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 ? O R 180° O R 90° O R 45° O R n ° 合作探究 (1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (4) 圆心角是 n ° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. 用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的 . 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为 60 ° ， 半径是 4 ， 则弧长为 ____ . 知识要点 弧长公式 典例精析 · O A 解：设半径 OA 绕轴心 O 逆时针 方向旋转的度数为 n °. 解得 n ≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为 90° 。 例 1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 r=10cm ，当重物上升 15.7cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与 滑轮之间没有滑动， 取 3.14 ）？ 例 2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午周长）的简单方法 . 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为 5 000 希腊里 (1 希腊里 ≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α . 实际测得α是 7.2 °，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？ O α A S O α A S 解： ∵ 太阳光线可看作平行的， ∴ 圆心角 ∠AOS= α =7.2 ° . 设地球的周长为 C 1 ，则 答：地球的周长约为 39625km. 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 l. ( 单位： mm ，精确到 1 mm ) 解：由弧长公式，可得弧 AB 的长 因此所要求的展直长度 l =2×700+1570=2970 （ mm ） . 答：管道的展直长度为 2970mm ． 700mm 700mm R =900mm ( 100 ° A C B D O 练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作 扇形 . 如图，黄色部分是一个扇形，记作 扇形 OAB . 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 二 . 与扇形面积相关的计算 概念学习 下列图形是扇形吗？ 判一判 √ × × × √ 合作探究 问题 1 半径为 r 的圆 , 面积是多少？ O r 问题 2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢 ? 圆心角占 周角的比例 扇形面积 占 圆 面积 的比例 扇形的 面积 = O r 180° O r 90° O r 45° O r n ° 半径为 r 的圆中，圆心角为 n ° 的扇形的面积 ① 公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的； ② 公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆） . 知识要点 ___ 大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大 . 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大 . 圆心角 半径 圆心角 总结： 扇形的面积与 圆心角、半径 有关。 O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 问题： 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 例 3 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10cm . 求这个扇形的面积和周长 . （精确到 0.01cm 2 和 0.01cm ） O R 60° 解： ∵ n =60 ， r = 10cm ， ∴ 扇形的面积为 扇形的周长为 1. 已知半径为 2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积 S 扇 = ． 2. 已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 2 ，则这个扇形的面积 S 扇 = . 试一试 例 4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ ACO =∠A=30°． ∴∠OCD=180° - ∠A - ∠D - ∠ ACO =90°． 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． (2) ∵∠A=30°， ∴∠ COB =2∠A=60°． 在 Rt △ OCD 中， 例 5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ，其中水面高 0.3cm ，求截面上有水部分的面积 . （精确到 0.01cm ） (1) O . B A C 讨论： (1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分 . O. B A C D (2) O. B A C D (3) (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段 DC . 过点 O 作 OD 垂直符号于 AB 并长交圆 O 于 C . (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积 = 扇形 OAB 的面积 - △ OAB 的面积 解：如图，连接 OA ， OB ，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D ，交 AB 于点 C , 连接 AC . ∵ OC ＝ 0.6, DC ＝ 0.3, ∴ OD ＝ OC - DC ＝ 0.3 ， ∴ OD ＝ DC . 又 AD ⊥ DC ， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线， ∴ AC ＝ AO ＝ OC . 　 从而 ∠ AOD ＝ 60˚, ∠ AOB =120˚. O . B A C D (3) 　　 有水部分的面积： 　　 S ＝ S 扇形 OAB - S Δ OAB O B A C D (3) O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 S 弓形 = S 扇形 - S 三角形 S 弓形 = S 扇形 + S 三角形 知识要点 弓形的面积公式 C B ． C. D. 1. 已知弧所对的 圆周角 为 90°, 半径是 4, 则弧长为 . 2. 如图， Rt △ ABC 中，∠ C =90°, ∠ A =30°, BC =2, O 、 H 分别为 AB 、 AC 的中点，将 △ ABC 顺时针旋转 120° 到 △ A 1 BC 1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过的面积为 （ ） A B C O H C 1 A 1 H 1 O 1 3. 如图， ☉ A 、 ☉ B 、 ☉ C 、 ☉ D 两两不相交，且半径都是 2cm ， 则图中阴影部分的面积是 . A B C D 解析：点 A 所经过的路线的长为三个半径为 2 ，圆心角为 120° 的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为 90° 的扇形弧长之和， 即 4. 如图， Rt△ ABC 的边 BC 位于直线 l 上， AC ＝ ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ A ＝ 30°. 若 Rt△ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为 ________( 结果用含 π 的式子表示 ) ． 5. （例题变式题） 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ，其中水面高 0.9cm ， 求截面上有水部分的面积 . O A B D C E 解： 6. 如图，一个边长为 10cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到△ A ' B ' C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程为多少 . A B A' B' C 解 由图可知，由于 ∠ A ' CB ' =60 °，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了 120 °，即 ∠A CA ' =120 °，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 A A ' 的长 . ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10cm ， ∴ 弧 A A ' 所在圆的半径为 10cm. ∴ l 弧 A A ' 答：顶点 A 从开始到结束时所经过的路程为 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法： 整体思想 弓形 公式 S 弓形 = S 扇形 - S 三角形 S 弓形 = S 扇形 + S 三角形 割补法 27.3 圆中的计算问题 第 2 课时 圆锥的侧面积和全面积 学习目标 1. 体会圆锥侧面积的探索过程 . （重点） 2. 会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题 . （重点、难点） 图片欣赏 与圆锥的侧面展开图相关的计算 互动探究 顶点 母线 底面半径 侧面 高 圆锥的形成 圆锥的高 母线 S A O B r 我们把连接圆锥的顶点 S 和底面圆上任一点的连线 SA ， SB 等叫做 圆锥的母线 ． 圆锥的母线 圆锥有 无数条 母线，它们都 相等． 圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 知识要点 重要数量关系 由勾股定理得： 如果用 r 表示圆锥底面的半径 , h 表示圆锥的高线长 , l 表示圆锥的母线长 , 那么 r 、 h 、 l 之间数量关系是： r 2 + h 2 = 2 h O r 知识要点 根据下列条件求值（其中 r 、 h 、 l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （ 1 ） l = 2 ， r =1 则 h =_______. (2) h =3, r =4 则 l =_______. (3) l = 10, h = 8 则 r =_______. 5 6 O h r 填一填 l o r 圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形 圆锥的侧面展开图是扇形 想一想 问题： 1. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 2. 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 相等 母线 l o 侧面 展开图 l r 其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l 侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长 公式推导 圆锥的侧面积计算公式 例 1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120 ° 、弧长为 20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长 . 解：设该圆锥的底面的半径为 r ，母线长为 a . 可得 r =10. 可得 a =30. 又 典例精析 例 2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80cm, 母线为 50cm. 在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积 . 解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示 . 设该扇形的面积为 S. α O h r l α O h r l 例 3 : 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35m 2 ，高为 3.5m ，外围高为 1.5m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到 1m 2 ）？ 解：如图是一个蒙古包示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为 35m 2 ， 高为 1.5m ； 上部圆锥的高为 3.5 － 1.5=2 （ m ）． 圆柱的底面积半径为 圆锥的母线长为 侧面积为 2π×3.34×1.5≈31.46 （ 平方米）， 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 20× （ 31.46+40.81 ）≈ 1446 （平方米）． 如图所示的扇形中，半径 R =10， 圆心角 θ =144 ° ， 用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1) 则这个圆锥的底面半径 r = ． (2) 这个圆锥的高 h = . A C B θ R =10 O r 4 练一练 1 . 圆锥的底面半径为 3cm， 母线长为 6cm， 则这个圆锥 侧面展开图扇形的圆心角是 _______． 2 . 一个扇形，半径为 30cm， 圆心角为 120 度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ． 180° 10cm 3. 已知圆锥的底面的半径为 3cm ， 高为 4cm ， 则 它的侧面积 是 ， 全面积是 ． 15πcm 2 24πcm 2 4. （ 1 ） 在半径为 10 的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？ （ 2 ） 若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？ （ 3 ） 能否从最大的余料 ③ 中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由． A B C ① ② ③ O 解：（ 1 ） 连接 BC ，则 BC =20 ， ∵∠ BAC =90° ， AB = AC ， （ 3 ） 延长 AO 交 ⊙ O 于点 F ， 交扇形于点 E ， EF = 最大半径为 ∴ 不能． A B C ① ② ③ O ∴ S 扇形 = ∴ AB = AC = （ 2 ） 圆锥侧面展开图的弧长为： E F r 2 + h 2 = l 2 S 圆锥侧 ＝ π rl . 圆锥的高 母线 r S A O B h l o 侧面 展开图 r 底面 ① 其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l ② 侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长 重要图形 重要结论 27.4 正多边形和圆 第 27 章 圆 1. 了解正多边形和圆的有关概念 . 2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系 . ( 重点 ) 3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题 . （难点） 学习目标 问题： 观看大屏幕上这些美丽的图案 , 都是在日常生活中我们经常能看到的 . 你能从这些图案中找出 类似的图形 吗 ? 观察与思考 问题 1 什么叫做正多边形？ 各边相等 , 各角也相等的多边形叫做正多边形 . 问题 2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 问题 3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形 . 什么叫做正多边形？ 问题 1 问题 3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 归纳 正多边形的性质 互动探究 O A B C D 问题 1 以正四边形为例 , 根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H EF 是边 AB 、 CD 的垂直平分线， ∴ OA=OB ， OD=OC. GH 是边 AD 、 BC 的垂直平分线， ∴ OA=OD ； OB=OC. ∴ OA=OB=OC=OD. ∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆 . O A B C D E F G H AC 是 ∠ DAB 及 ∠ DCB 的角平分线， BD 是 ∠ ABC 及 ∠ ADC 的角平分线， ∴ OE=OH=OF=OG. ∴ 正方形 ABCD 还有一个以点 O 为圆心的内切圆 . 所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 . 想一想 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的 中心 . 外接圆的半径叫作正多边形的 半径 . 内切圆的半径叫作正多边形的 边心距 . 知识要点 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的 中心角 . 正多边形的每个中心角都等于 问题 1 中心角 A B C D E F O 半径 R 边心距 r 中心 正多边 形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60 ° 120 ° 120 ° 90 ° 90 ° 90 ° 120 ° 60 ° 60 ° 正多边形的外角 = 中心角 练一练 完成下面的表格： 如图 ， 已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF ： ① 它的中心角等于 度 ； ② OC BC ( 填＞、＜或＝）； ③△ OBC 是 三角形 ； ④ 圆内接正六边形的面积是 △ OBC 面积的 倍 . ⑤ 圆内接正 n 边形面积公式 :________________________. C D O B E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 探究归纳 例 1 ： 有一个亭子 , 它的地基是半径为 4 m 的正六边形 , 求地基的 周长和面积 ( 精确到 0.1 m 2 ). C D O E F A P 抽象成 典例精析 利用勾股定理 , 可得边心距 亭子地基的面积 在 Rt △ OMB 中 , OB ＝ 4, MB ＝ 4 m O A B C D E F M r 解： 过点 O 作 OM ⊥ BC 于 M. 想一想 问题 1 正 n 边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P 问题 2 正 n 边形的边长 a ，半径 R ，边心距 r 之间有什么关系？ a R r 问题 3 边长 a ，边心距 r 的 正 n 边形的面积如何计算？ 其中 l 为正 n 边形的周长 . 如图所示，正五边形 ABCDE 内接于⊙ O ，则∠ ADE 的度数是 （ ） A ． 60° B ． 45° C ． 36° D ． 30° · A B C D E O 练一练 C 2. 作边心距，构造直角三角形 . 1. 连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 方法归纳 O 边心距 r 边长一半 半径 R C M 中心角一半 正多边 形 边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2. 若正多边形的边心距与 半径 的比为 1:2 ， 则这个多边形的边数是 . 3 4. 要用圆形铁片截出边长为 4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 ____ cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___ 度 . （不取近似值） 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， 则半径为 ∴⊙O的面积为 ∴正方形的边长AB=2 . A B C D E F P 6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G . G H K ∴ P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长 . ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK . ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD= 6. 拓广探索 如图 , M,N 分别是 ☉ O 内接正多边形 AB,BC 上的点 , 且 BM=CN . (1) 求图①中∠ MON=_______ ; 图②中∠ MON = ; 图③中∠ MON = ; (2) 试探究∠ MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系 . A B C D E A B C D . A B C M N M N M N O O O 90 ° 72 ° 120 ° 图① 图② 图③ 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 第 27 章 圆 小结与复习 · 一 . 与圆有关的概念 1. 圆 : 平面内 到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 . 2. 弦 : 连结圆上任意两点的线段 . 3. 直径 : 经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦 . 4. 劣弧 : 小于半圆周的圆弧 . 5. 优弧 : 大于半圆周的圆弧 . 6. 等弧 : 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 . 7. 圆心角 : 顶点在圆心，角的两边与圆相交 . 8. 圆周角 : 顶点在圆上，角的两边与圆相交 . [ 注意 ] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小． (2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 . · 9. 外接圆、内接正多边形 : 将 一个圆 n ( n ≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个 圆的内接正多边形 ，这个圆是这个 正多边形的外接圆 . 10. 三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心 . [ 注意 ] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点． (2) 一个三角形的外接圆是唯一的 . 11. 三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心 . [ 注意 ] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点． (2) 一个三角形的内切圆是唯一的 . 12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的 中心 . (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的 半径 . (3) 边心距： 中心到正多边形一边的距离 叫做正多边形的 边心距 . (4) 中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的 中心角 . 二、与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到． 设 ☉ O 的半径是 r ，点 P 到圆心的距离为 d ，则有 点 P 在圆内； d ＜ r 点 P 在圆上； d=r 点 P 在圆外 . d ＞ r [ 注意 ] 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系． 2. 直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离 直线与圆的 位置关系 图形 d 与 r 的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 d ＞ r d=r d ＜ r 三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条 _______ 所在的直线都是它的对称轴 . 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质 . (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等 . (2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 (2) 垂径定理的推论：平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 . 三、 有关定理及其推论 1. 垂径定理 (1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 　 　 . [ 注意 ] ① 条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 两条弧 2. 圆周角定理 (1) 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 . (3) 推论 2 ： 90 °的圆周角所对的弦是直径 . [ 注意 ] “ 同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (4) 推论 3 ：圆的内接四边形的对角互补 . (2) 推论 1 ：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等 . 3. 与切线相关的定理 (1) 判定定理： 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . (2) 性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 . (3) 切线长定理： 经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等 . 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 . 四、 圆中的计算问题 1. 弧长公式 半径为 R 的圆中， n °圆心角所对的弧长 l =________. 2 . 扇形面积公式 半径为 R ，圆心角为 n °的扇形面积 S= ____________. 或 3. 弓形面积公式 O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 (3) 圆锥的侧面积为 　 　 . [ 注意 ] 圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长． (4) 圆锥的全面积为 　 　 . 4. 圆锥的侧面积 (1) 圆锥的侧面展开图是一个 　 　 . (2) 如果圆锥母线长为 l ，底面圆的半径为 r ，那么这个扇形的半径为 　　 ，扇形的弧长为 　 　 . 扇形 l 5. 圆内接正多边形的计算 (1) 正 n 边形的中心角为 (2) 正 n 边形的边长 a ，半径 R ，边心距 r 之间的关系 (3) 边长 a ，边心距 r 的 正 n 边形的面积为 其中 l 为正 n 边形的周长 . 考点一 圆周角定理 例 1 在图中， BC 是 ☉ O 的直径， AD ⊥ BC , 若 ∠ D =36° , 则 ∠ BAD 的度数是（ ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° A B C D B 135° 1. 如图 a ，四边形 ABCD 为 ☉ O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B , C 重合），则∠ BPC 的度数是 . C D B A P O 图 a 针对训练 2. 如图 b ，线段 AB 是直径，点 D 是☉ O 上一点， ∠ CDB =20 °, 过点 C 作☉ O 的切线交 AB 的延长线于点 E , 则∠ E 等于 . O C A B E D 图 b 50° 考点二 垂径定理 例 2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm , 测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm , 如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm . 8mm A B 8 C D O 解析 设圆心为 O ，连接 AO , 作出过点 O 的弓形高 CD ，垂足为 D , 可知 AO =5 mm , OD =3 mm , 利用勾股定理进行计算， AD =4 mm ，所以 AB =8 mm . A O B C E F 图 a 3. 如图 a ，点 C 是扇形 OAB 上的 AB 的任意一点， OA =2 , 连接 AC , BC , 过点 O 作 OE ⊥ AC , OF ⊥ BC ， 垂足分别为 E , F ，连接 EF ， 则 EF 的长度等于 . （ 针对训练 A B C D P O 图 b D’ P 4. 如图 b , AB 是 ⊙ O 的直径，且 AB =2 ， C , D 是同一半圆上的两点，并且 AC 与 BD 的度数分别是 96 ° 和 36 ° ，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . （ （ 考点三 与圆有关的位置关系 B 北 60 ° 30 ° A C 例 3 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60 0 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东 30 0 的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由 . （参考数据 =1.732 ） 解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心， 7 海里为半径的圆中，都是暗礁 . 渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系 . B 北 60 ° 30 ° A C B 北 60 ° 30 ° A C D 解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D ，根据题意，得 BC=8. 设 AD 为 x. ∵∠ABC=30 °， ∴AB=2x. BD= x. ∵∠ACD=90 ° -30 ° =60 °， ∴ AD=CD×tan60 °， CD= . BC=BD-CD= =8. 解得 x= 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险 . 5. ☉ O 的半径为 R ，圆心到点 A 的距离为 d ，且 R 、 d 分别是方程 x 2 － 6 x ＋ 8 ＝ 0 的两根，则点 A 与 ☉ O 的位置关系是（ ） A ．点 A 在 ☉ O 内部 B ．点 A 在 ☉ O 上 C ．点 A 在 ☉ O 外部 D ．点 A 不在 ☉ O 上 解析：此题需先计算出一元二次方程 x 2 － 6 x ＋ 8 ＝ 0 的两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉ O 的关系 . D 针对训练 例 4 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心， OA 长为半径的 ☉ O 与 BC 相切于点 M . (1) 求证： CD 与 ☉ O 相切； A B C D O M (1) 证明：过点 O 作 ON ⊥ CD 于 N . 连接 OM ∵ BC 与 ☉ O 相切于点 M , ∴ ∠ OMC =90 °, ∵四边形 ABCD 是正方形，点 O 在 AC 上 . ∴ AC 是∠ BCD 的角平分线， ∴ ON = OM ， ∴ CD 与 ☉ O 相切 . N A B C D O M (2) 解 : ∵ 正方形 ABCD 的边长为 1, AC = . 设 ☉ O 的半径为 r, 则 OC = . 又易知△ OMC 是等腰直角三角形， ∴ OC = 因此有 ，解得 . （ 2 ）若正方形 ABCD 的边长为 1 ，求☉ O 的半径 . 方法归纳 （ 1 ）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直； （ 2 ）设未知数，通常利用勾股定理建立方程 . 6. （多解题）如图，直线 AB , CD 相交于点 O ， ∠ AOD =30 °, 半径为 1cm 的 ☉ P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6cm , 如果 ☉ P 以 1cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉ P 与直线 CD 相切 . 4 或 8 解析： 根本题应分为两种情况： (1) ☉ P 在直线 AB 下面与直线 CD 相切； (2) ☉ P 在直线 AB 上面与直线 CD 相切 . 针对训练 A B D C P P 2 P 1 E 例 5 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数； 解： (1) 连接 OA 、 OB 、 OC ， ∵⊙O 分别切 PA 、 PB 、 DE 于点 A 、 B 、 C ， ∴OA⊥PA ， OB⊥PB ， OC⊥DE,AD ＝ CD,BE ＝ CE ， ∴OD 平分 ∠AOC ， OE 平分 ∠BOC. ∴∠DOE ＝ ∠AOB. ∵∠P ＋ ∠AOB ＝ 180° ， ∠P ＝ 70° ， ∴∠DOE ＝ 55°. (2)∵⊙O 分别切 PA 、 PB 、 DE 于 A 、 B 、 C ， ∴AD ＝ CD ， BE ＝ CE. ∴△PDE 的周长＝ PD ＋ PE ＋ DE ＝ PD ＋ AD ＋ BE ＋ PE ＝ 2PA ＝ 8(cm) (2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长． 例 6 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B 、 C 在以点 O 为圆心的圆上 , OA=1,∠AOC=120° ，∠ 1=∠2 ，则扇形 OEF 的面积？ 解：∵四边形 OABC 为菱形 ∴ OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120° ，∠ 1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点 C 在以点 O 为圆心的圆上 考点四 圆中的计算问题 7. （ 1 ）一条弧所对的圆心角为 135 ° ，弧长等于半径为 5cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 . （ 2 ）若一个正六边形的周长为 24 ，则该正六边形的面积为 ______. 4 0cm 针对训练 8. 如图，已知 C ， D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点， O 是圆心，半径 OA=2 ，∠ COD=120° ，则图中阴影部分的面积等于 _______ ． 例 7 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积 . 解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合， 点 C 到达点 C' 的位置 . 连接 AC ，如图所示 . 根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形 . ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16 ， CC'=EF=8. 在 Rt △ AC'C 中，得 ∴ 正方形 ABCD 外接圆的半径为 ∴ 正方形 ABCD 的边长为 当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件. 方法总结 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积； 解： ⑴∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴EF=OF=5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴FG=EF=5 ， ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25. 针对训练 ⑵∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE=60 0 . ∴ 正方形的内角是 90 0 ， ∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=60 0 +90 0 =150 0 . 由 ⑴ 得 OF=FG ， ∴∠OGF= （ 180 0 -∠OFG ） = （ 180 0 -150 0 ） =15 0 . ⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数． 考点五 与圆有关的作图 · a b c d a 例 8 如何解决“破镜重圆”的问题： O · 例 9 如何作圆内接正五边形怎么作？ · O E 72 ° B A D C （ 1 ）用量角器作 72 °的中心角，得圆的五等分点； （ 2 ）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形. 考点六 圆的综合 [ 解析 ] 连接 BD ，则在 Rt △BCD 中， BE ＝ DE ，利用角的互余证明∠ C ＝∠ EDC. 例 10 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ABC=90 °，以 AB 为直径的 ☉ O 交 AC 于点 D ，过点 D 的切线交 BC 于 E. （ 1 ）求证： BC=2DE. 解：（ 1 ）证明：连接 BD ， ∵AB 为直径， ∠ABC=90 °， ∴BE 切 ☉ O 于点 B. 又 ∵D E 切 ☉ O 于点 D ， ∴DE=BE ， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90 °， ∴∠EBD+∠C=90 °， ∠BDE+∠CDE=90 ° . ∴∠C=∠CDE ， DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE. （ 2 ） ∵DE=2 ， ∴BC=2DE=4. 在 Rt △ ABC 中， ∴AB=BC • = 在 Rt △ ABC 中， 又 ∵ △ ABD∽ △ ACB ， ∴ 即 ∴ （ 2 ）若 tanC= ,DE=2 ，求 AD 的长 . 10. 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ABC=90 °，以 AB 为直径的 ☉ O 交 AC 于点 D ，连接 BD. 针对训练 解：（ 1 ） ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90 ° . ∵AD=3 ， BD=4 ， ∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC ， ∠A=∠A ， ∴ △ ADB∽ △ ABC ， ∵ 即 ∴BC= （ 1 ）若 AD=3 ， BD=4 ，求边 BC 的长 . 又 ∵∠OBD+∠DBC=90 °， ∠C+∠D=90 °， ∴ ∠C= ∠OBD ， ∴∠BDO=∠CDE. ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90 °， ∴∠BDC=90 °， 即 ∠BDE+∠CDE=90 ° . ∴∠BDE+∠BDO=90 °，即 ∠ODE=90 ° . ∴ED 与 ☉ O 相切 . （ 2 ）证明：连接 OD ，在 Rt △ BDC 中， ∵E 是 BC 的中点， ∴CE=DE ， ∴∠C=∠CDE. 又 OD=OB ， ∴∠ODB=∠OBD. （ 2 ）取 BC 的中点 E ，连接 ED ，试证明 ED 与 ☉ O 相切 . 圆 圆的性质 与圆有关的位置关系 弧长与扇形面积的计算 圆的对称性 圆是中心对称图形 垂径定理 四边形的内接圆、三角形的外接圆 直线与圆的位置的关系 切线长定理 圆的概念 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴 切线 三角形的内切圆 正多边形与圆 作图