2012年湖南省郴州市中考数学试题（含答案） 10页

‎2012年中考数学试题（湖南郴州）‎ ‎（本试卷满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．－3的相反数是【 】‎ A．3 B．－3 C． D． ‎ ‎【答案】A。‎ ‎2．下列计算正确的是【 】‎ A．a2•a3=a6 B．a+a=a2 C．（a2）3=a6 D．a8÷a2=a4‎ ‎【答案】C。[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是【 】‎ A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm ‎【答案】B。‎ ‎4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是【 】‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎5．函数y= 中自变量x的取值范围是【 】‎ A．x=2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2‎ ‎【答案】B。‎ ‎6．不等式x－2＞1的解集是【 】‎ A．x＞－1 B．x＞3 C．x＜3 D．x＜－1‎ ‎【答案】B。‎ ‎7．抛物线的顶点坐标是【 】‎ A．（－1，2） B．（－1，－2） C．（1，－2） D．（1，2）‎ ‎【答案】D。‎ ‎8．为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是【 】‎ A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况 B．从中抽取的100名师生 C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况 D．100‎ ‎【答案】C。‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．分解因式：x2－4= ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎10．一元一次方程3x－6=0的解是 ▲ ．‎ ‎【答案】x=2。‎ ‎11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎12．按照《联合国海洋法公约》的规定，我国管辖的海域面积约为3000000平方千米，3000000平方千米用科学记数法表示为 ▲ 平方千米．‎ ‎【答案】3×106。‎ ‎13．如图，已知AB∥CD，∠1=60°，则∠2= ▲ 度．‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎【答案】120。‎ ‎14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 ▲ （只需写一个）．‎ ‎【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）。‎ ‎15．圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为 ▲ ‎ cm2（结果保留π）．‎ ‎【答案】27π。‎ ‎16．元旦晚会上，九年级（1）班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率是 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ 三、解答题（共6小题，每小题6分，满分36分）‎ ‎17．计算：.‎ ‎【答案】解：原式=2＋1－2×1＋1=2＋1－2＋1=2。‎ ‎18．解方程组 ．‎ ‎【答案】解： ，‎ ‎①+②得：3x=6，解得x=2。‎ 将x=2代入②得：2－y=1，解得y=1。‎ ‎∴原方程组的解为。‎ ‎19．作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．‎ ‎【答案】解：如图所示：‎ ‎①过点A作AD⊥MN，延长AD使AD=A1D；‎ ‎②过点B作BE⊥MN，延长BE使B1E=BE；‎ ‎③过点C作CF⊥MN，延长CF使CF=C1F；‎ ‎④连接A1 B1、C1B1、A1 C1即可得到△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1。‎ ‎20．已知反比例函数的图象与直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），‎ 把A（1，a）代入y=2x得a=2，则A点坐标为（1，2）。‎ 把A（1，2）代入得k=1×2=2。‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎21．我市启动”阳光体育“活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．某校数学兴趣小组为了解本县八年级学生最喜爱的体育运动项目，对全县八年级学生进行了跳绳、踢毽子、球 类、跳舞等运动项目最喜爱人数的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图两个不完整的统计图．‎ ‎ ‎ 请你根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）根据抽样调查结果，请你估计该县5000名八年级学生中，大约有多少名学生最喜爱球类运动．‎ ‎【答案】解：（1）200。‎ ‎（2）跳舞人数为200-30-20-80-10=60，补全图形如图所示：‎ ‎（3）估计该县5000名八年级学生中，最喜爱球类运动的学生大约有5000×80 200 =2000。[来源:学科网]‎ ‎22．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据： ）‎ ‎【答案】解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米，∴AE=BE=20米。‎ 在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20。‎ ‎∴AF=EF－AE=20－20≈15。‎ ‎∴AF的长约为15米。‎ 四、证明题（共1小题，满分8分）‎ ‎23．已知：点P是ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F．求证：AE=CF．‎ ‎【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PAE=∠PCF。‎ ‎∵点P是ABCD的对角线AC的中点，∴PA=PC。‎ 在△PAE和△PCE中，∵∠PAE=∠PCF，PA=PC，∠APE=∠CPF，‎ ‎∴△PAE≌△PCE（ASA）。∴AE=CF。‎ 五、应用题（共1小题，满分8分）‎ ‎24．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．‎ ‎（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？‎ ‎（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？‎ ‎【答案】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，‎ 则y=20x＋80（100－x）=8000－60x。 （2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100－x），根据题意得：‎ ‎ ，解得：23≤x≤25。‎ ‎∵x为整数，∴x取23，24，25。‎ ‎∴有3种购买方案：‎ 当买排球23个时，篮球的个数是77个，‎ 当买排球24个时，篮球的个数是76个，‎ 当买排球25个时，篮球的个数是75个。‎ ‎（3）根据（2）得：‎ 当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20＋77×80=6620（元），‎ 当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20＋76×80=6560（元），‎ 当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元）。‎ ‎∴采用买排球25个，篮球75个时更合算。‎ 六、综合题（共2小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及对称轴．‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，‎ ‎∴ ，解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。‎ ‎（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。‎ 如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。‎ 设直线AC的解析式为y=kx＋b，[来源:学&科&网]‎ ‎∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得 ‎。‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=x＋3。‎ 令x=1，得y= 。∴M点坐标为（1，）。‎ ‎（3）结论：存在。‎ 如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：‎ ‎①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。‎ 由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。‎ 在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。‎ ‎∴P1（－2，0）。‎ ‎∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。‎ ‎∴四边形ABCP1为梯形。‎ ‎②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。‎ 设CP2与x轴交于点N，‎ ‎∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。‎ 设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。‎ ‎∴直线CN的解析式为：y=x+3。‎ ‎∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，‎ ‎∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。‎ ‎∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。‎ ‎∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。‎ 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。‎ ‎26．阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ．‎ ‎  例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d= ．‎ 解答下列问题：‎ 如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．‎ ‎（1）求点M到直线AB的距离．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）将化为4x＋3y＋12=0，，由上述距离公式得：‎ ‎ d= 。‎ ‎ ∴点M到直线AB的距离为6。[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（2）存在。‎ ‎ 设P（x，），则点P到直线AB的距离为：‎ ‎ d= 。‎ ‎ 由图象，知点P到直线AB的距离最小时x＞0，＞0，‎ ‎ ∴d= 。‎ ‎ ∴当时，d最小，为。‎ ‎ 当时，，∴P（，）。‎ ‎ 又在中，令x=0，则y=－4。∴B（0，－4）。‎ ‎ 令y=0，则x=－3。∴A（－3，0）。‎ ‎ ∴AB==5。‎ ‎ ∴△PAB面积的最小值为 。‎