中考数学 专题二 解答题重难题型突破复习1 21页

山西 数学 专题二　解答题重难题型突破 探究二 图形的设计与尺规作图综合题 近年来山西中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查 ， 图形的设计在山西中考题中经常出现 ， 2014 年 19 题 ， 2012 年 21 题 ， 都有考查．尺规作图及相关计算在 2015 年 21 题 ， 2013 年 21 题 ， 2011 年 22 题考查过 ， 其主要是培 养学生能够利用所学的图形的折叠、旋转、平移、及基本的尺规作图等知识进行图案设计 ， 同时涉及有关面积、线段长、弧长等的计算 ， 是山西省历年中考数学试题高度关注的热点内容之一 ， 难度中等 ， 预计 2016 年中考会考查图形的设计． 一、尺规作图综合题 首先要明确五种尺规作图的基本步骤 ， 注意分清题意需要用到哪种基本作图 ， 要保留作图痕迹 ， 同时规范作图结论的书写． 【 例 1 】 ( 2015 · 山西适应性试题 ) 如图 ， 已知 △ ABC . (1) 实践与操作：利用尺规按下列要求作图 ， 并在图中标明相应的字母 ( 保留作图痕迹 ， 不写作法 ) ① 作 BC 边上的高 AD ； ② 作 △ ABC 的角平分线 BE . (2) 综合与运用 若 △ ABC 中 ， AB ＝ AC 且 ∠ CAB ＝ 36° ， 请根据作图和已知写出符合括号内要求的正确结论： 结论 1 ： ________________________ ； ( 关于角 ) 结论 2 ： ________________________ ； ( 关于线段 ) 结论 3 ： ________________________ ； ( 关于三角形 ) 【 分析 】 ① 用到 过 直 线 外一点作已知直 线 的垂 线这 一基本作 图 ； ② 用到作一个角的角平分 线这 一基本作 图． (2) 可以考 虑 到等腰三角形的性 质 和 “ 黄金三角 ” 的特征来解答． 解： (1) ① 如图 AD 就是所作的 BC 上的高 ， ② 如图 BE 就是所作的 △ ABC 的角平分线 (2)( 答案不唯一 ， 正确即可 ) [ 对应训练 1] ( 2015 · 山西仿真模拟 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 120°. (1) 实践操作 ， 尺规作图并标明字母；作线段 AB 的垂直平分线 MN ， 分别交 BC ， AB 于点 M ， N ( 保留作图痕迹 ， 不写作法 ) ； (2) 猜想验证 ， 试判断 CM 与 BM 之间有何数量关系 ， 并证明你的结论． 二、图案设计 图案设计中要灵活运用平移、旋转、轴对称等构建图形 ， 根据题目要求利用基本图案结合图形的变换作出符合条件的图形． 【 例 2 】 ( 2014 · 山西 ) 阅读以下材料 ， 并按要求完成相应的任务． 几何中 ， 平行四 边 形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四 边 形 ， 大家 对 于它 们 的性 质 都非常熟悉． 生活中 还 有一种特殊的四 边 形 —— 筝形．所 谓 筝形 ， 它的形状与我 们 生活中 风 筝的骨架相似． 定义： 两 组邻边 分 别 相等的四 边 形称之 为 筝形． 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是筝形 ， 其中 AB ＝ AD ， CB ＝ CD . 判定： ① 两 组邻边 分 别 相等的四 边 形是筝形． ② 有一条 对 角 线 垂直平分另一条 对 角 线 的四 边 形是筝形． 显 然 ， 菱形是特殊的筝形．就一般筝形而言 ， 它与菱形有 许 多相同点和不同点． 如果只研究一般的筝形 ( 不包括菱形 ) ， 请根据以上材料完成下列任务： (1) 请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条； (2) 请仿照图① 的画法 ， 在图 ② 所示的 8 × 8 网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案 ， 具体要求如下： ① 顶点都在格点上； ② 所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形； ③ 将新图案中的四个筝形都涂上阴影． 【 分析 】 要比 较 筝形和菱形的性 质 ， 可以从菱形的性 质 入手 ， 从 边 的位置、数量关系、角的关系、 对 角 线 的位置、 对 称性及面 积 的 计 算等方面 进 行比 较． 解： (1) 略 (2) 如图 [ 对应训练 2] ( 2015 · 太原 ) 阅读下面材料 ， 并解答相应的问题： 旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 ， 与它本身能完全重合 ， 这种图形叫做旋转对称图形 ， 这个定点叫做旋转对称中心 ， 旋转的角度 α 叫做旋转角 (0° ＜ α ＜ 360°) ．如图 ， 正三角形 ABC 就是一个旋转对称图形 ， 对称中心为三边中线的交点 ， 旋转角 α 为 120° 或 240°. 特别地 ， 当旋转对称图形的一个旋转角是 180° 时 ， 这个图形是中心对称图形． (1) 请写出是旋转对称图形的两种多边形 ( 正三角形除外 ) 的名称 ， 并分别写出其旋转角 α 的最小值； 解：答案不唯一 ， 如：正五边形 α ＝ 72° 正九边形 ， α ＝ 40° (2) 下面的网格图都是由边长为 1 的正三角形组成的 ， 请以图中给出的图案为基本图形 ( 其顶点均为格点上 ) ， 在图 ① 、图 ② 中再分别添加若干个基本图形 ， 使添加的图形与原基本图形组成一个新图案．要求： ① 图 ① 中设计的图案既是旋转对称图形 ， 又是轴对称图形； ② 图 ② 中设计的图案是旋转对称图形 ， 但不是中心对称图形； ③ 所设计的图案顶点都在格点上 ， 并给图案涂上阴影 ( 建议用一组平行线段表示阴影 ) ． 1. ( 2015 · 山西百校联考 ) 如图 ， 已知 △ ABC . (1) 实践与操作：利用尺规按下列要求作图 ， 并在图中标明相应字母 ( 保留作图痕迹 ， 不写作法 ) ① 作 ∠ A 的平分线 AD ， 交 BC 于点 E ； ② 经过点 B 作 AD 的垂线交 AD 于点 F ； ③ 连接 CF . 解： (1) 如图所示： (2) 综合与运用 若 △ ABC 是直角三角形 ， ∠ ABC ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， 则 △ ACF 的面积是 ____ ． 3 2 ． ( 2015 · 山西百校联考二 ) 三格骨牌是多格骨牌中的一种 ， 它的特点是由三个全等的正方形连接而成．如图 ① 为 L 形的三格骨牌．请以 L 形的三格骨牌为基本图形设计图案 ， 要求如下： (1) 每个图案由四个 L 形三格骨牌构成 ， 骨牌的顶点都在点阵的阵点上； (2) 在图 ② 中设计一个既是轴对称又是中心对称的图案； (3) 在图 ③ 中设计一个是中心对称但不是轴对称的图案． 3 ． ( 2015 · 山西仿真模拟 ) 如图 ， 网格中每个小正方形的边长均为 1 ， 请你认真观察图 ① 的三个网格中阴影部分构成的图案 ， 解答下列问题： (1) 这三个图案都具有以下共同特征：都是 ______ 对称图形 ， 都不是 ____ 对称图形． (2) 请在图 ② 中设计出一个面积为 4 ， 且具备上述特征的图案 ， 要求所画图案不能与图 ① 中所给出的图案相同． 中心 轴 4 ． ( 2015 · 兰州 ) 如图 ， 在图中求作 ⊙ P ， 使 ⊙ P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到 ∠ AOB 两边的距离相等． ( 要求尺规作图 ， 不写作法 ， 保留作图痕迹 ) 解：作 ∠ AOB 的平分线 ， 作线段 MN 的垂直平分线 ， 两线的交点为圆心 P ， 以 P 为圆心 ， PM 为半径画圆即为所求 ( 图略 )