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  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:正多边形和圆

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例 选择题:‎ ‎(1)下列叙述正确的是( ).‎ ‎ (A)各边相等的多边形是正多边形 (B)各角相等的多边形是正多边形 ‎ (C)各边相等,各角也相等的多边形是正多边形 (D)轴对称图形是正多边形 答案(C)‎ ‎(2)正多边形的每个内角与外角的关系是( ).‎ ‎ (A)内角大于外角 (B)内角小于外角 ‎ (C)内角等于外角 (D)可能大于外角,可能小于外角,也可能等于外角 答案(D)‎ ‎(3)在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中,其中共有( )个中心对称图形.‎ ‎ (A)0 (B)l (C)2 (0)4‎ 答案(C).‎ 说明:①巩固正多边形的概念;②在第(3)小题中,正方形和正六边形是中心对称图形,一般地,正2n边形既是轴对称图形也是中心对称图形,正2n+l边形是轴对称图形但不是中心对称图形.‎ 例 已知:如图,圆O的内接等腰三角形ABC,AB=AC,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,BE=BC.求证:五边形AEBCD是正五边形.‎ 证明:在△ABC中,‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ 又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB,∴===,‎ 又∵BE=BC,∴=‎ ‎∴点A、E、B、C、D把圆O五等分,‎ ‎∴五边形AEBCD是正五边形.‎ 说明:①此题利用第一个定理(判断正多边形);②应用等腰三角形、角分线、圆周角等知识.‎ 例 求证:如果一个四边形有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆,那么这个四边形是正方形.‎ 已知:如图,四边形ABCD内接于大圆O,且各边与小圆相切于点E、F、G、H.‎ 求证:四边形ABCD是正方形.‎ ‎ 证明:连结OE、OF、OG、OH.‎ ‎ ∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H,‎ ‎ ∴OE=OF= OG=OH=,且OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD.‎ ‎ ∴AB=BC=CD=DA.‎ ‎ ∴A、B、C、D是大圆O的四等分点.‎ ‎∴四边形ABCD是正方形.‎ 说明:①此题训练学生把文字语言转化为数学语言;②应用第一个定理、切线的性质、垂径定理等知识;③此题可以推广到边数是n的多边形.‎ 例 如图,在正六边形ABCDEF中,G是BF的中点,切GH⊥AB于H.‎ 求证AH: AB.‎ 证明:∵AB=AF,G是BF的中点,‎ ‎∴AG⊥BF,‎ 又∠BAF=,‎ ‎∴∠ABG=30°=∠AGH,‎ 设AH=x,则AG=2x,AB=4x.‎ ‎∴AH:AB=x:4x=1:4‎ 说明:此题应用正多边形的定义,直角三角形的有关性质.‎ 典型例题五 例 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积、、间的大小关系是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析 设它们的周长为,则正三角形的边长是,正四边形的边长为,正六边形的边长为.‎ ‎.故选B 说明:一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件,否则容易得出错误结论.‎ 典型例题六 例 已知:如图,正五边形的对角线和相交于点,求证:(1);(2).‎ 分析:若作出外接圆可以轻易解决问题.‎ 证明(1)正五边形必有外接圆,作出这个辅助圆,则,,‎ ‎,‎ ‎(2),,‎ 又公共角,‎ ‎∽,‎ 典型例题七 例 已知正三角形的边长为,那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.‎ 分析与解答:由于正三角形内切圆和外切圆是同心圆,结合正三角形的性质(如图)‎ 则圆环面积 ‎ ‎ ‎ ‎ 解之得.‎ 典型例题八 例 设计一个商标图案(如图阴影部分),矩形中,,且,以点为圆心,的长为半径作半圆,则商标图案面积等于( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 分析与解答:仔细观察图形,阴影部分面积=(⊙的面积+矩形面积)-的面积.解之,选(A).‎ 说明:在求阴影部分面积时,关键在于观察图形,将图形进行分割和组合,把不规则图形转化为可计算的规则图形.‎ 典型例题九 例 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,进行如下讨论:‎ ‎ 甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;‎ ‎ 已同学:我发现达数是6时,它也不一定是正多边形.如图一,是正三角形,,可以证明六边形的各内角相等,但它未必是正六边形;‎ ‎ 丙同学:我能证明,边数是5时,它是正多边形.我想,边数是7时,它可能也是正多边形.‎ ‎ (l)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等.‎ ‎ (2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).‎ ‎ (3)根据以上探索过程,提出你的猜想(不必证明).‎ ‎ ‎ 解:(1)由图知对. 因为,‎ ‎ 而对的 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以. 同理可证,其余各角都等于. ‎ 所以,图1中六边形各内角相等.‎ ‎ (2)因为对,对,又因为, 所以. ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 同理. ‎ 所以 七边形是正七边形. ‎ ‎ (3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9……时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形. ‎ ‎ (若仅猜想边数是某些具体奇数(不能是3,5,7)时,各内角相等的圆内接多边形是正多边形. 给1分)‎ 典型例题十 例 有两个正多边形边数比为2:1,内角度数比为4:3,求它们的边数.‎ 解 设两个正多边形的边数为,‎ 则 解得 答 它们是正五边形和正十边形.‎ 说明: 本题考查正多边形的边、角关系,掌握边角关系计算公式是解题关键.‎ 典型例题十一 例 下图中,不是中心对称的图形是( )‎ ‎ 解 A,C,D相当于边数是偶数的正多边形,因此是中心对称图形,B相当于边数是奇数的正多边形(具体地说相当于正三角形),所以不是中心对称图形,选B.‎ ‎ 说明:本题可以理解为是考查正多边形的一个性质,解题关键是用类比的方法结合正多边形的性质去研究,易错点不善于将其类比于恰当的正多边形,乱选一气.‎ 选择题 ‎1.一个正三角形与一个正六边形的周长相等,则它们对应的面积比为()‎ A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.3:2‎ ‎2.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()‎ A.菱形 B.矩形 C.等边三角形 D.圆 ‎3.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是()‎ A.两角互余 B.两角互补 C.两角互余或互补 D.不能确定 ‎4.下列命题中,其命题是().‎ ‎ A.各边相等的圆外切多边形是正多边形 ‎ B.各角相等的圆内接多边形是正多边形 ‎ C.顶点等分圆周的圆内接多边形是正多边形 ‎ D.两个相似的多边形是正多边形 ‎5.下列说法正确的是().‎ ‎ A.正多边形是轴对称图形,也是中心对称图形 ‎ B.半径相等的两个正多边形,中心角越大,周长越大 ‎ C.两个正多边形一定相似 ‎ D.一个圆的外切正n边形与它的内接正n边形相似 ‎6.两个边数相同的正多边形周长的比不等于().‎ ‎ A.边长的比B、半径的比C.边心距的比D.面积的比 ‎7.一个正多边形的一个内角是144°,这个正多边形是().‎ ‎ A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形 ‎8.四边形的外接圆和内切圆是同心圆,这样的四边形是().‎ ‎ A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 ‎9.如图,正六边形内接于⊙O,则的度数是( )‎ A.60° B.45° C.30° D.22.5°‎ ‎10.钝角三角形最长边为C,外接圆半径为R,要剪一个圆形纸片盖住这个三角形,则这个纸片的最小半径是( )。‎ A.R B.2R C. D.C 参考答案:‎ ‎1.B 2. C 3. B. 4. C 5. D 6. D 7. D 8. D 9 .C 10.C.‎ 填空题 ‎1. 正n边形的内角和为    ,每一个内角都等于 ,每一个外角都等于 .‎ ‎2. 正n边形的一个外角为24°,那么n= ,若它的一个内角为135°,则n= .‎ ‎3. 若一个正n边形的对角线的长都相等,则n= .‎ ‎4. 正八边形有 条对称轴,它不仅是 对称图形,还是 对称图形.‎ ‎5. 若一个正多边形的外角大于它的一个内角,则它的边数为 .‎ ‎6. 两个相似正多边形的面积比是9﹕4,则多边形对应边之比是 .‎ ‎7. 已知:正三角形的边长为,则它的外接圆和内切圆组成的圆环面积是_______‎ ‎8. 如果一个正多边形的每个内角都等于,则这个正多边形的边数是________‎ ‎9. 若正多边形的内角和是,那么这个多边形是正_____边形。‎ ‎10. 有一个边长为的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个圆形纸片的最小半径是_______.‎ ‎11. 正多边形有两个特征:一是________相等,二是________相等。‎ ‎12. 中心角为72°的正多边形是正________边形。‎ ‎13. 正五边形共有_____条对称轴,______条对角线;正六边形共有______条对角线,_________条对称轴.‎ ‎14. 边数相同的两个正n边形周长之比是,则它们的面积比是______.‎ ‎15. 若已知圆的半径为2,那么它的内接三角形的边长;外切正三角形的边长是_________;它的内切正方形的边长;外切正方形的边长是__________.‎ ‎16. 某外角等于内角的的正多边形是_________.‎ ‎17. 一个正五边形,绕它的中心至少要转_________,才能和原来的正五边形重合,在不超过360°的角度内,这样的角度有________个.‎ ‎18. 一个内角为156°的正多边形是_____边形.‎ ‎19.如图,有一边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个图形纸片的最小半径是________。‎ 参考答案:‎ ‎1. (n-2)180°、(n-2)180°/n 、 360°/n ;2. 15、8;3. 4或5;4. 8、轴、中心 ;5. 3 ; 6. 3:2. 7. 8. 10 9. 五 10. 2cm.. 11. 各边,各角 12. 五 13. 5,5,6,9 14. 3:2 15. ;4 16. 正五边形 17. 72,5 18. 正十五 19.cm..‎ 判断题 ‎(1)各边都相等的多边形是正多边形.( )‎ ‎(2)每条边都相等的圆内接多边形是正多边形.( )‎ ‎(3)每个角都相等的圆内接多边形是正多边形.( )‎ ‎(4)所有正多边形都有对称中心.( )‎ ‎(5)有一对角相等两个正多边形相似.( )‎ 参考答案:‎ 判断题:(1)×;(2)√;(3)√;(4)×;(5)√.‎ 解答题 ‎1.已知正五边形,求证:对角线 ‎2.已知正六边形的对角线与对角线、分别交于、,求证:‎ ‎3. 求证:一个六边形有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆,那么这个六边形是正六边形. ‎ ‎4.甲、乙两个正多边形中,甲的边数是乙的边数的2倍,甲的一个内角与乙的一个内角的比是9:8,求甲、乙两个正多边形的边数.‎ ‎5.如图,正六边形ABCDEF的对角线BF,与对角线AC,AE交于G,H.求证:‎ ‎6.将正各边三等分,设分点为求证:是正六边形.‎ ‎7.正多边形的内角度数为,外角为,旦,求这个正多边形的边数.‎ ‎ ‎ 参考答案:‎ ‎1.作正五边形的外接圆,有,,,有.‎ ‎2.略 ‎3. 已知:如图,同心圆⊙O分别为六边形ABCDEF内切圆和外接圆,切点分别为A’、B’、C’、D’、E’、F’.‎ 求证:六边形ABCDEF是正六边形.‎ 证明:连结OA’、OB’、OC’、OD’、OE’、OF’.‎ ‎∵六边形ABCDEF有内切圆O.‎ ‎∴OA’⊥AB、OB’⊥BC、OC’⊥CD、OD’⊥DE、OE’⊥EF、OF’⊥‎ FA .‎ 又∵六边形ABCDEF有外接圆O.‎ ‎∴AB=BC=CD=DE=EF=FA. ∴=====‎ ‎∴A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点,∴六边形ABCDEF是正六边形.‎ 说明:(1)考察学生的数学表达能力;(2)正多边形的判断和证明能力.‎ ‎4.甲边数为20,乙边数为10‎ ‎5.作正六边形的外接圆O,则,∴,∴,又;∴。即 ‎6.略 .7.6.‎ 作图题 ‎(1)已知:如图,正三角形,求作:正三角形ABC的外接圆和内切圆。‎ ‎(2)已知:如图,正五边形,求作:正五边形的外接圆和内切圆。(要求:保留痕迹,不写作法)‎ 参考答案:‎ ‎ 略.‎