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- 2021-11-06 发布
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北师大版九年级数学上册-6-反比例函数导学案
(新版)+平行线分线段成比例导学案+菱形与正方形练习题
九年级数学上册 1.4.1 角平分线(一)导学案 北师大版
课题 §1.4.1 角平分线(1)学案 课型 新授课 课时 教师
教学
目标
1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程,掌握该定理及逆定理,并运用之进行
证明、计算、作图,以及掌握该定理在三角形中的应用;2、通过探索与证明,进
一步发展推理意识及能力;
3、证明是严密推理的方法,并培养自身的逆向思维能力。
重点 掌握该定理及逆定理,并运用之进行证明、计算、作图,以及掌握该定理在三角形中的应用
难点 掌握该定理及逆定理,并运用之进行证明、计算、作图,以及掌握该定理在三角形中的应用
教法 合作探究
学法 合作交流 时间 xx 年 9 月 日
一、
前置
准备
角 平 分 线 的 定 义 : _______________________
___ ___ 。
学习困惑记录
二、
讲授
新课
问题 1:还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是
怎样得到的?你能证明它吗?
已知:OC 是∠AOB 的平分线,点 P在 OC 上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为 D,E。
求证:PD=PE
定理:角平分线上的点到这个角两边的
距离相等。
问题 2:你能写出这个定理的逆命题?它是真命题
吗?如果是,你作证明它?
学习困惑记录
O
D
A
P
E
B
C
已知:如图,点 P在射线 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为 D,E,且 PD=PE。
求证:OC 是∠AOB 的角平分线
定理:在一个角的内部,且到角的两边
距离相等的点,在这个角的平分线上。
三、合作交流:(做一做)用尺规作已知角的平分线
已知:∠AOB
求作:射线 OC,使∠AOC=∠BOC。
四、例题解析:
如图,已知 AD 为△ABC 的角平分线,∠B=90°,DF
⊥AC,垂足为 F,DE=DC,
求证:BE=CF
[分析]要证 BE=CF,只需证△ADE≌△FDC
三、
应用
、当堂训练:
1、如图在△ABC 中 AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB 于 R,PS⊥
随时纠错
O
D
A
P
E
B
C
深化 AC 于 S,则三个结论:
①AS=AR,②QP∥AR,③△BRP≌△QSP 中( )
A 全部正确 B:仅①和②正确 C:仅①正确 D:
仅①和③正确。
2、在△ABC 中∠C=90°,∠A的平分线交 BC 于 D,BC=CM,
BD:DC:=4:3,则点 D 到 AB 的距离为___________。
3、在 RT△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,
DE 是是 斜边 AB 的垂 直平 分线 ,且 DE=1CM ,则
AC=_________.
课下训练:
1、OM 平分∠BOA,P 是 OM 上的任意一点,PD⊥OA,PE
⊥OB,垂足分别为 D、E,下列结论中错误的是( )
A、PD=PE B、OD=OE C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD
2、如图所示,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为 E,DF
⊥AC,垂足为 F,
则下列结论不正确的是( )
A、△AEG≌△AFG B、△AED≌△AFD
C、△DEG≌△DFG D、△BDE≌△CDF
3、△ABC 中, ∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O,连结
AO,若∠OBC=25°,
∠OCB=30°,则∠OAC=_____________°
4、与相交的两直线距离相等的点在( )
A、一条直线上 B、一条射线上 C、两条互相垂直的直
线上 D、以上都不对
5、∠AOB 的平分线上一点 M,M 到 OA 的距离为 2CM,则
M到 OB 的距离为____________。
6、在 RT△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,
若 BC=16,BD=10,则 D 到 AB 的距离是________。
7、已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB ,DF⊥AC,垂足分别为 E,F。
求证:EB=FC
8、如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,作 AB 的
垂直平分线,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,连接 BE,则
BE 平分∠ABC。请证明这一结论,你有几种证明方法?
C
A
B
FE
A
B
C
D
E
9、如图在两条交叉的公路 L1 与 L2 之间有两家工厂 A、
B,现在要修一个货物中转站,使它到两条公路的距离
相等,以及到两个工厂距离相等,你能帮助确定中转站
的地址吗?请试试。
中考真题:
如图,梯形 ABCD,ABCD,AD=DC=CB,AD、BC 的延长线
相交于 G,CE⊥AG 于 E,CF⊥AB 于 F,
(1)请写出图中 4 组相等的线段(已知的相等线段除
外)
(2)选择(1)中你所写的一组相等的线段,说说它们
相等的理由。
三、
小结
反馈
课后
反思
4.2 平行线分线段成比例
1.了解平行线分线段成比例定理.
2.会用平行线分线段成比例定理解决实际问题.
阅读教材 P82-83,自学“例”,掌握平行线分线段成比例定.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①如图,l1、l2分别被 l3,l4,l5所截,且 l3∥l4∥l5,则 AB 与 对应,BC 与
对应,DF 与 对应;
AB
BC
=
( )
( )
,
( )
AB
=
( )
DF
,
AB
DE
=
( )
(
)
=
( )
(
)
.
②如图所示,已知 AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )
A.
AD
DF
=
BC
CE
B.
BC
CE
=
DF
AD
C.
CD
EF
=
BC
BE
D.
CD
EF
=
AD
AF
找准对应线段是关键.
活动 1 小组讨论
例 1 如图,在△ABC 中,E,F 分别是 AB 和 AC 上的点,且 EF∥BC。
(1)如果 AE=7 ,EB=5,FC=4.那么 AF 的长是多少?
(2)如果 AB=10 ,AE=6,AF=5.那么 FC 的长是多少?
例 2 如图所示,如果 D,E,F 分别在 OA,OB,OC 上,且 DF∥AC,EF∥BC.求证:OD∶OA
=OE∶OB
活动 2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图,已知 AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )
A.
AD
DF
=
BC
CE
B.
BC
CE
=
DF
AD
C.
CD
EF
=
BC
BE
D.
CD
EF
=
AD
AF
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图
2. 如图,△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,且 DE∥BC,若 AE:EC=1:2,AD=6,则 AB 的长
为( )
A.18 B.12 C.9 D.3
3.如图,已知在△ABC 中,点 D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 上的点,DE∥BC,EF∥AB,且
AD∶DB=3∶5,那么 CF∶FB=( )
A. 5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.5∶3
4.如图,l1∥l2∥l3,直线 a,b与 l1、l2、l3分别相交于 A、B、C 和点 D、E、F.若 = ,
DE=4,则 EF 的长是 .
第 4题图 第 5 题图
5.如图, 321 //// lll ,AM=2,MB=4,CN=1.5,则 ND=______.
6.(2015•漳州)如图,AD∥BE∥CF,直线 l1,l2与这三条平行线分别交于点 A,B,C和点
D,E,F,
BC
AB
=
3
2
,DE=6,则 EF= .
第 6 题图 第 7 题图
7.如图,DE∥BC,DF∥AC,AD=4 cm,BD=8 cm,DE=5cm,则线段 BF 的长为_________cm.
8.如图,已知:△ABC 中,DE∥BC,AD=3,DB=6,AE=2,求 AC 的长.
9.如图所示,直线 l1∥l2∥l3,直线 AC 分别交这三条直线于点 A,B,C,直线 DF 分别交
这三条直线于点 D,E,F,若 AB=3,DE=
2
7
,EF=4,求 BC.
活动 3 课堂小结
平行线分线段成比例定理:
(1)两直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(关键要能熟练地找出对应线段)
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
教学至此,敬请使用《名校课堂》相应课时部分.
【预习导学 1】
自学反馈
①DE EF AC
DE
EF
AB
AC( )
=
DE
DF
( ) BC
EF
( )
( )
=
AC
DF
( )
( )
②A
【合作探究 1】
活动 2 跟踪训练
1.A 2.A 3. D 4. 6 5.3 6.9 7.10
8.∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴ AD AE
BD EC
.
又∵AD=3,DB=6,AE=2,
∴
3 2
6 EC
.
解得 EC=4.
∴AC=AE+EC=6.
9.∵直线 1l ∥ 2l ∥ 3l ,且 AB=3,DE=
2
7
,EF=4,
∴根据平行线分线段成比例定理可得
AB
BC
=
DE
EF
,
即 BC=
DE
EF
·AB= 3
2
7
4
=
7
24
.
第六章《反比例函数》
【学习目标】
1、巩固反比例函数的概念,会求反比例函数表达式并能画出图象.
2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题.
【学习重点】反比例函数的定义、图像性质。
【学习难点】反比例函数增减性的理解。
【学习过程】
一、基础知识梳理
(一)、反比例函数的概念:
一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可表示成 的形式,那么称 y是 x的反
比例函数。反比例函数有三种表达方式: 、 、 。
注意:反比例函数的自变量 x 不能为 。
(二)、绘制反比例函数凸显的基本步骤 、 、 。
(三)、反比例函数的图象和性质:
1、反比例函数的图象是两支双曲线:
当 k>0 时,两支曲线分别位于 内,在每一象限内,y 的值随 x 值的 而减小;
当 k<0 时,两支曲线分别位于 内,在每一象限内,y 的值随 x 值的 而增大.
2、反比例函数的图象不与坐标轴相交原因:因为 ,所以和 x 轴没有交点;因
为 ,所以和 y 轴没有交点.
3、反比例函数的图象 原点(填 经过 或者不经过).
4、反比 例函数的图象自身是轴对称图形,它有两条对称轴对称轴直线解析式
为 ;图象也是关于 的中心对称图形。
5、在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,分别过 P,Q 作 x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴
围成的矩形面积为 S1,S2,则有 S1=S2 = .
(四)、确定反比例函数关系式的方法:待定系数法
找 对 x 与 y 的对应值或者图像上任一点的坐标即可
(五)、反比例函数和正比例函数的图像的关系:
正比例函数 反比例函数
解析
式
___________________ ____________________________
图像 直线
位置
k>0, 象限
k<0, 象限
k>0, 象限
k<0, 象限
增减
性
k>0,y 随 x 的增大而
k<0,y 随 x 的增大而
k>0,在每个象限 y 随 x 的增大而
k<0,在每个象限 y随 x的增大而
二、典型例题
例 1、如图,直线 y=x+1 和 y=﹣x+3 相交于点 A,且分别与 x轴
交于 B,C 两点,过点 A 的双曲线 y= (x>0)与直线 y= ﹣
x+3 的另一交点为点 D.
(1)求双曲线的解析式;
(2)求△BCD 的面积.
例 2、如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是矩形,AD∥x 轴,A(﹣3, ),AB=1,
AD=2.
(1)直接写出 B、C、D 三点的坐标;
(2)将矩形 ABCD 向右平移 m个单位,使点 A、C 恰好同时落在反比例函数 y= (x>0)的
图象上,得矩形 A′B′C′D′.求矩形 ABCD 的平移距离 m 和反比例函数的解析式.
例 3、如图,直线 y=ax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,与双曲线 y= (x>0)相交
于点 P,PC⊥x 轴于点 C,且 PC=2,点 A 的坐标为(﹣2,0).
(1)求双曲线的解析式;
(2)若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点,且 QH⊥x 轴于 H,当以点 Q、C、H为顶点的三角
形与△AOB 相似时,求点 Q 的坐标.
例 4、如图,已知反比例函数 y= (k>0)的图象经过点 A(1,m),过点 A 作 AB⊥y 轴于点
B,且△AOB 的面积为 1.(1)求 m,k 的值;(2)若一次函数 y=nx+2(n≠0)的图象与反比
例函数 y= 的图象有两个不同的公共点,求实数 n 的取值范围.
三、巩固训练
(一)选择题
1、下列函数中,反比例函数是( )
A、 1)1( yx B、
1
1
x
y C、 2
1
x
y D、
x
y
3
1
2、函数
x
ky 的图象经过点(-4,6),则下列各点中在
x
ky 图象上的是( )
A、(3,8) B、(3,-8) C、(-8,-3) D、(-4,-6)
3、已知反比例函数的图像经过点(a,b ),则它的图像一定也经过( )
A、(- a ,-b ) B、(a ,-b ) C、(- a,b ) D、(0,0)
4、已知反比例函数的图象经过点 ( 2 1)P ,,则这个函数的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
5、若反比例函数
22
)12( mxmy 的图像在第二、四象限,则m 的值是( )
A、-1或 1 B、小于
2
1
的任意实数 C、-1 D、不能确定
(二)填空题
1、函数
1y
x a
,当 2x 时没有意义,则 a的值为
2、如图 8,若点 A在反比例函数 ( 0)ky k
x
的图象上,AM x 轴于点 M , AMO△ 的
面积为 3,则 k .
3、对于函数 y=
x
2
,当 x>0 时,y_______0,这部分图象在第______象限;对于 y=-
x
2
,当
x<0 时,y____这部分图象在第_____象限.
4、反比例函数
x
ky 的图像经过(-
2
3
,5)点、(a,-3)及(10,b )点,则 k = ,
a= ,b = ;
5、已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则 m 的值为 .
6、如图 9,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半轴上一点,过点 M 的直线 l∥y 轴,且直
线 l 分别与反比例函数 y= (x>0)和 y= (x>0)的图象交于 P、Q 两点,若 S△POQ=14,则
k的值为__________.
(三)简答题
1、如图,已知一次函数 y kx b 的图象交反比例函数
4 2my
x
( 0x )的图象于点
A、 B ,交 x轴于点C 。(1)求m 的取值范围; (2)若点 A的坐标是(2, 4 ),
且
1
3
BC
AB
,求m 的值和一次函数的解析式。
2、如图,已知 A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图
象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x轴的交点 C
的坐标及△AOB 的面积; (3)求方程 kx+b﹣ <0的解集(请直接写出答案).
3、如图,反比例函数 y= (k>0)与正比例函数 y=ax 相交于 A(1,k),B(﹣k,﹣1)两
点. (1)求反比例函数和正比例函数的解析式;
(2)将正比例函数 y=ax 的图象平移,得到一次函数 y=ax+b 的图象,与函数 y= (k>0)
的图象交于 C(x1,y1),D(x2,y2),且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5,求 b 的值.
4、如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,A、C 分别在坐标轴上,
点 B 的坐标为(4,2),直线 x+3 交 AB,BC 分别于点 M,N,反比例函数
的图象经过点 M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点 P 在 y 轴上,且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等,求点 P的坐标.
5、已知反比例函数
x
ky
2
和一次函数 y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,
b+k)两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点A的坐标;
(3)利用(2)的结果,请问:在 x 轴上是否存在点 P,使△AOP 为等腰三角形?若存在,
把符合条件的 P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由.
矩形、菱形与正方形
一、选择题
1.如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线
交对角线 AC 于点 F,垂足为 E,连接 DF,则∠CDF 等于
( ).A.50° B.60° C.70° D.80°
2.如图,点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点,把 ADE 沿 AE
对折,点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上,已知折痕
10 5AE cm,且
3tan
4
EFC ,那么该矩形的周长为( )
A.72 cm B.36cm C.20cm D.16cm
3.如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上,△AEF 是等边三角形,连
接 AC 交 EF 于 G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC 垂直平分 EF,
④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确的结论有( )个 A.2 B.3
C.4 D.5
4.下列命题中,真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形 B.对角
线互相垂直且平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四个
角相等的边形是矩形
5.如图,把一个 长方形的纸片按图示对
折两次,然后剪 下一部分,为了得到一个
钝角为 120° 的菱形,剪口与第二次折
痕所成角的度 数应为( )
A.15°或 30° B.30°或 45°
C.45°或 60° D.30°或 60°
(第 2 题)
6.如图,边长为 6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别
为 S1、S2,则 S1+S2的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19
7.如图,菱形 ABCD中, 60B , 4AB ,则以 AC 为边长的
正方形 ACEF 的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17
8.如图,在矩形 ABCD 中,AB<BC,AC,BD 相交于点 O,则图中
等腰三角形的个数是( )A.8 B.6 C.4 D.2
9.下列命题中,正确的是( )A.平行四边形的对角线相等 B.矩
形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线互相垂直且平分 D.梯形的
对角线相等
10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.直角梯形
11.下列命题中的真命题是( )A.三个角相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.顺次连接矩形四
边中点得到的四边形是菱形 D.正五边形既是轴对称图形又是
中心对称图形
12.如图,E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,
AE、BF 相交于点 O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;
S2
S1
F
(第 12 题图)
A
B C
D
O
E
B
A
C
D
F
E
60
(第 7 题图)
(4) AOB DEOFS S 四边形 中正确的有( )
A.4 个 B.3个 C.2个 D.1 个
13.如图,矩形 ABCD 的面积为 20cm2
,对角线交于点 O;以 AB、AO 为邻边做平
行四边形 AOC1B,对角线交于点 O1;以 AB、AO1为邻边做平行四边形 AO1C2B;…;
依此类推,则平行四边形 AO4C5B 的面积为( )A. cm2
B. cm2
C. cm2 D. cm2
14.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,点 M、N 分别在边 AD、BC 是,
连接 BM、DN,若四边形 MBND 是菱形,则
MD
AM
等于( )
A.
8
3
B.
3
2
C.
5
3
D.
5
4
15.下列说法正确的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形
是菱形 B.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C.对角线互相垂直
的四边形是平行四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
16.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB
于点 H,且 DH与 AC 交于 G,则 GH=( )
A. B. C. D.
17.在平面中,下列命题为真命题的是( )A.四个角相等的四
边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是菱形 C. 对
角线相等的四边形是矩形 D.四边相等的四边形是正方形
18.如图 4,菱形 ABCD 中,点 M,N 在 AC 上,ME⊥AD,NF⊥AB. 若
NF = NM = 2,ME = 3,则 AN = ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
19.(2013 河 北 省 ,12,3 分)如已知:线段 AB,BC,∠ABC = 90°. 求作:
矩形 ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业:
对于两人的作业,下列说法正确的是
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
对于两人的作业,下列说法正确的是( )
A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
二、填空题
B C
D
A
第14题图
M
N
1.如图 6,Rt△ABC 的斜边 AB=16, Rt△ABC 绕点 O顺时针旋转后得到 CBARt ,
则 CBARt 的斜边 BA 上的中线 DC 的长度为_____________ .
2.如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC
和CD上,下列结论:①CE=CF②∠AEB=75
0
③BE+DF=EF④S正方形ABCD=2+ 3,
其中正确的序号是 。(把你认为正确的都填上)
3.对角线互相___________的平行四边形是菱形.
4.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A,C
分别在 x,y 轴的正半轴上.点 Q 在对角线 OB 上,且 OQ=OC,连接 CQ 并延长
CQ交边 AB 于点 P,则点 P的坐标为( , ).
5.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是边 CD 的中点,将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AFE,
且点 F 在矩形 ABCD 内部.将 AF 延长交边 BC 于点 G.若
1CG
GB k
,则
AD
AB
(用
含 k的代数式表示).
6.矩形的两邻边长的差为 2,对角线长为 4,则矩形的面积为 .
7.如图,菱形 ABCD 中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为 E,
F,连接 EF,则△AEF 的面积是_________________.
8.如
图,
正方
形
ABCD 的边长为 4,点 E 在
BC 上,四边形 EFCB 也是正方形,以 B为圆心,BA 长为
半径画弧 AC,连结 AF,CF 则图中阴影部分面积为__________.
9.矩形的外角和等于__________度
10.如图(六)所示,将△ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180°得到△CDA,添加
一个条件______________,使四边形 ABCD 为矩形.
11.如图,矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,连接 DE 和 BF,分别
取 DE、BF 的中点 M、N,连接 AM,CN,MN,若 AB=2 2,BC=2 3,则图中阴影
部分的面积为 .
图(六)
O
A
B
D
C
12.如图,在正方形 ABCD 中,E是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一动
点,则 PB+PE 的最小值是 .
14. 如图,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形
A’B’C’D’的位置,旋转角为 (0<<90)。若
1=110,则= 。
15 . 如图,将菱形纸片 ABCD 折迭,使点 A 恰好落在
菱形的对称中心 O 处,折痕为 EF。若菱形 ABCD 的边长
为 2 cm, A=120,则 EF= cm。
16.如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边形,且 OB=
OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使 ABCD 成为菱形.(只需添加一
个即可)
17.如图,正方形
ABCD 的边长为 3,
点 E,F分别在边
AB,BC 上,
AE=BF=1,小球 P从点 E出发沿直线向点 F
运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球 P第一
次碰到点 E 时,小球 P与正方形的边碰撞的次数为 6 ,小球 P所经过的路程
为 .
18.如图,四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形,其中点 C 在 AF 上,点 E,G 分
别在 BC,CD 上,若∠BAD=135°,∠EAG=75°,则
AE
AB
=__________
19.对正方形 ABCD 进行分割,如图 1,其中 E、F 分别是 BC、CD 的中点,M、N、
G分别是 OB、OD、EF 的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件可
以拼出很多图案,图 2 就是用其中 6 块拼出的“飞机”。若△GOM 的面积为 1,
则“飞机”的面积为
20.已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8,M、N分别是边 BC、CD 的中点,
P是对角线 BD上一点,则 PM+PN 的最小值= 5 .
21.如图所示,菱形 ABCD 的边长为 4,且 AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,∠B=60°,
则菱形的面积为 .
22.如图,矩形 ABCD中, 3, 4AB BC ,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE ,把 B
沿 AE 折叠,使点B 落在点 'B 处,当△ 'CEB 为直角三角形时, BE 的长为
23.如图。矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0,过点 O作 OE⊥AC 交 AB 于 E,
若 BC=4,△AOE 的面积为 5,则 sin∠BOE 的值为 .
A
B C
D
B’
1
C’
D’
三、解答题
1.如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 AB、CD 上的点,AE=CF,连接 EF、BF,
EF 与对角线 AC交于点 O,且 BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证:OE=OF;(2)
若 BC= 2 3,求 AB 的长.
2.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,DH⊥AB 于 H,连接
OH,求证:∠DHO=∠DCO.
3.如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边 AB
于点 E,连接 BP 并延长 BP 交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G.(1)求证:
△APB≌△APD;(2)已知 DF︰FA=1︰2,
设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y.①
求 y 与 x 的函数关系式;②当 x=6 时,求
线段 FG 的长.
4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,点 D 在边 AB 上,连接 CD,将线段
CD 绕点 C 顺时针旋转 90°至 CE 位置,连接 AE.(1)求证:AB⊥AE;(2)若
BC2=AD·AB,求证:四边形 ADCE为正方形.
5.如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点。BE=2DE,延长 DE 到点 F,
使得 EF=BE,连接 CF.(1)求证:四边形 BCFE 是菱形;(2)若 CE=4,∠BCF=120°,
求菱形 BCFE 的面积.
6.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平
行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF.(1)求证:AF=DC;(2)若 AB⊥AC,试判
断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论.
7.如图 8,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 相交于 O,AB=5,AO=4,求 BD 的
长.
8.(1)如图 1,已知△ABC,以 AB、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△
ACE,连接 BE,CD。请你完成图形,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写做法,
保留作图痕迹)
(2)如图 2,已知△ABC,以 AB、AC为边向外做正方形 ABFD 和正方形 ACGE。
连接 BE,CD。BE 与 CD 有什么数量关系?简单说明理由;(3)运用(1)(2)解
答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 3,要测量池塘两岸相对的两点 B,
E 的距离,已经测得∠ABC=450,∠CAE=900,AB=BC=100米,AC=AE。求 BE 的长。
A B
C
D
E
F
9. 如图,矩形 ABCD中,点 P在边 CD上,且与点 C、 D不
重合,过点 A作 AP的垂线与 CB的延长线相交于点 Q,连接
PQ,PQ的中点为M. (1)求证:△ADP∽△ABQ;(2)若 AD=10,
AB=20,点 P在边 CD上运动,设 DP=x, BM 2=y,求 y与 x的
函数关系式,并求线段 BM长的最小值;(3)若 AD=10, AB=a,
DP=8,随着 a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M
落在矩形 ABCD外部时,求 a的取值范围。
10.如题 22 图,矩形 ABCD 中,以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF,使得另
一边 EF 过原矩形的顶点 C.(1)设 Rt△CBD 的面积为 1S ,Rt△BFC 的面积为 2S ,
Rt△DCE 的面积为 3S ,则 1S 2S + 3S (用“>”、“=”、“<”填空);(2)写出
题 22 图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.
11.如图(十一)所示,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=90°.点 P 是△ABC 外角
∠BCN 的角平分线上一个动点,点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点,连结 PP/交
BC 于点 M、BP/交 AC于点 D,连结 BP、AP/、CP/. (1)若四边形 BPCP/为菱形,求
BM 的长;(2)若△BMP/∽△ABC,求 BM 的长;(3)若△ABD 为等腰三角形,求
△ABD 的面积.
12. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,对角线 AC 与 BD 交于
点 O,过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F. ⑴求证:△AOE≌△COF;
⑵若∠EOD=30°,求 CE 的长.
13.如图,在△ABC中,D是 BC边上的一点,E是 AD的中点,过 A点作 BC
的平行线交 CE的延长线于点 F,且 AF=BD,连接 BF.(1)BD与 CD有什么
数量关系,并说明理由;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形 AFBD
是矩形?并说明理由.
图(十一)
P
/
N
M
A B
D
P
C
②
P
/
N
M
A B
D
P
C
③
P
/
N
M
A B
D P
C
①
14.如图,在△ABC中,D、E分别是 AB、AC的中点,BE=2DE,延长
DE到点 F,使得 EF=BE,连接 CF.(1)求证:四边形 BCFE是菱形;(2)
若 CE=4,∠BCF=120°,求菱形 BCFE的面积.
15.四边形 ABCD是正方形,E、F分别是 DC和 CB的延长线上的点,且 DE=BF,
连接 AE、AF、EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;(2)填空:△ABF可以由△ADE
绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到;(3)若
BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
16. 如图,点 E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF,分别以点 E,F为圆
心,以 AE的长为半径画弧,两弧相交于点 D,连接 DE,DF.
(1)请你判断所画四边形的性状,并说明理由;
(2)连接 EF,若 AE=8厘米,∠A=60°,求线段 EF的长.
17 .如图,在□ABCD 中,M,N 分别是 AD,BC 的中点,
∠AND=90°,连接 CM 交 DN 于点 O. ( 1)求证:
⊿ABN≌⊿CDM;(2)过点 C 作 CE⊥MN 于点 E,交 DN
于点 P,若 PE=1,∠1=∠2,求 AN的长.
18 .某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含 60°角的
直角三角板 ABC与 AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将 Rt△AEF绕 A 点按
逆时针方向旋转角α
(0°<α<90°),如图
(2),AE 与 BC 交于
点 M,AC与 EF交于
点 N,BC 与 EF 交于点
P.(1)求证:AM=AN;
(2)当旋转角α=30°
时,四边形 ABPF 是什
么样的特殊四边形?
并说明理由.
19.如图,△ABC 中,点 O是边 AC上一个动点,过 O作直线 MN∥BC.设 MN
交∠ACB 的平分线于点 E,交∠ACB 的外角平分线于点 F.(1)求证:OE=OF;(2)
若 CE=12,CF=5,求 OC的长;(3)当点 O 在边 AC上运动到什么位置时,四边
形 AECF 是矩形?并说明理由.
20.如图,在△ABC 中,∠B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一边 QP在 BC
边上,E、F 分别在 AB、AC 上,AD交 EF 于点 H.(1)求证: ;
(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ的面积最大?并求出最
大面积;(3)当矩形 EFPQ的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1
个单位的速度沿射线 DA匀速向上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点
时停止运动),设运动时间为 t秒,矩形 EFPQ与△ABC 重叠部分的面积为 S,求
S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.
21 . 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分ABC,P 是 BD 上一点,
过点 P 作 PMAD,PNCD,垂足分别为 M、N。(1) 求证:ADB=CDB; (2)
若ADC=90,求证:四边形 MPND 是正方形。
22 .如图(十二)所示,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=90°.点 P 是△ABC 外角
∠BCN 的角平分线上一个动点,点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点,连结 PP/交
BC 于点 M、BP/交 AC于点 D,连结 BP、AP/、CP/. (1)若四边形 BPCP/为菱形,求
BM 的长;(2)若△BMP/∽△ABC,求 BM 的长;(3)若△ABD 为等腰三角形,求△ABD
的面积.
图(十一)
P
/
N
M
A B
D
P
C
②
P
/
N
M
A B
D
P
C
③
P
/
N
M
A B
D P
C
①
A
B
C
D
N
M
P
23.如图,在四边形 ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是 CD上一点,BE交
AC于 F,连接 DF.(1)证明:∠ BAC=∠ DAC,∠ AFD=∠ CFE.(2)
若 AB∥CD,试证明四边形 ABCD是菱形; (3)在
(2)的条件下,试确定 E点的位置,∠ EFD=∠
BCD,并说明理由.
24.如图,在正方形 ABCD中,E是 AB上一点,F是
AD延长线上一点,且 DF=BE.(1)求证:CE=CF;
(2)若点 G在 AD上,且∠GCE=45°,则 GE=BE+GD
成立吗?为什么?
25.如图 1,在正方形 ABCD中,E、
F分别是边 AD、DC上的点,且
AF⊥ BE.(1)求证:AF=BE;
(2)如图 2,在正方形 ABCD中,
M、N、P、Q分别是边 AB、BC、
CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP
与 NQ是否相等?并说明理由.
26.如图,四边形 ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为
E,求证:AE=CE.
27如图,已知正方形 ABCD的边长为 4,对称中心为点 P,点 F为 BC边上一
个动点,点 E在 AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于
直线 AC成轴对称,设它们的面积和为 S1.(1)求证:∠APE=∠CFP;
(2)设四边形 CMPF的面积为 S2,CF=x, .①求 y关于 x的
函数解析式和自变量 x的取值范围,并求出 y的最大值;②当图中两
块阴影部分图形关于点 P成中心对称时,求 y的值.
28.某学校的校门是伸缩门(如图 1),伸缩门中的每一行菱形有 20个,每个菱
形边长为 30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为 60°(如图 2);校门打
开时,每个菱形的锐角度数从 60°缩小为 10°(如图 3).问:校门打开了多少米?
(结果精确到 1米,参考数据:sin5°≈0.0872,cos5°≈0.9962,sin10°≈0.1736,
cos10°≈0.9848).
29.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角
线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边
形.(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,
∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分
∠ABC.求证:BD是梯形 ABCD的和谐
线;(2)如图 2,在 12×16的网格图上(每
个小正方形的边长为 1)有一个扇形 BAC,
点 A.B.C均在格点上,请在答题卷给
出的两个网格图上各找一个点 D,使得以
A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角
线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形 ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形 ABCD的和
谐线,求∠BCD的度
数.
30.若一个矩形的一边是另一边的两倍,则称这个矩形为方形,如图 1,矩形ABCD
中,BC=2AB,则称 ABCD为方
形.(1)设 a,b是方形的一组邻
边长,写出 a,b的值(一组即
可).(2)在△ABC中,将 AB,
AC分别五等分,连结两边对应
的等分点,以这些连结为一边作矩形,使这些矩形的边 B1C1,B2C2,B3C3,B4C4
的对边分别在 B2C2,B3C3,B4C4,BC上,如图 2所示.①若 BC=25,BC边上
的高为 20,判断以 B1C1为一边的矩形是不是方形?为什么?
②若以 B3C3为一边的矩形为方形,求 BC 与 BC 边上的高之比.
31.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图 7-1 所示,点 A是栏杆转动的支点,
点 E 是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆 AEF 升起后的位置如图 7-2 所
示,其示意图如图 7-3 所示,其中 AB ⊥ BC , EF ∥ BC , 0143EAB ,
1.2AB AE 米,求当车辆经过时,栏杆 EF 段距离地面的高度(即直线 EF 上
任意一点到直线 BC 的距离).(结果精确到 0.1 米,栏杆宽度忽略不计参考数据:
sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈0.75.)
图 7-1 图 7-2 图 7-3
A
E F
A
E F
A
E F
B C
32.如图,已知四边形 ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是 E、
F,并且 DE=DF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)四边形 ABCD是菱形.
33.如图,在正方形 ABCD中,点M是对角线 BD上的一点,过点M
作ME∥CD交 BC于点 E,作MF∥BC交 CD于点 F.求证:AM=EF.
34.如图,在等边三角形 ABC 中, 6BC cm ,射线 AG BC∥ ,点 E 从点
A出发沿射线 AG以1 /cm s 的速度运动,同时点 F 从点 B 出发沿
射线BC 以 2 /cm s的速度运动,设运动时间为 ( )t s (1)连接 EF ,
当 EF 经过 AC 边的中点 D时,求证: ADE CDF (2)填空:
①当为 s 时,四边形 ACFE是菱形; ②当为 s 时,
以 , , ,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。
35.如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.(1)
求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.
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