初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第七章 图形变化 聚焦中考、第32讲图形的相似 51页

人教 数 学 第七章　图形的变化 第 32 讲　图形的相似 要点梳理 1 ． 比和比例的有关概念 (1) 表示两个比相等的式子叫做 __ 比例式 __ ， 简称 比例． (2) 第四比例项：若 a b ＝ c d 或 a ∶ b ＝ c ∶ d ， 那么 d 叫做 a ， b ， c 的 __ 第四比例项 __ ． (3) 比例中项：若 a b ＝ b c 或 a ∶ b ＝ b ∶ c ， 那么 b 叫做 a ， c 的 __ 比例中项 __ ． (4) 黄金分割：把一条线段 ( AB ) 分成两条线段 ， 使其中较长线段 ( AC ) 是原线段 ( AB ) 与 较短线段 ( BC ) 的比例中项 ， 就叫做把这条线段 __ 黄金分割 __ ．即 AC 2 ＝ __ AB·BC __ ， AC ＝ __ 5 － 1 2 __ AB ≈ __ 0.618 __ AB . 一条线段的黄金分割点有 __ 两 __ 个． 要点梳理 2 ． 比例的基本性质及定理 ( 1 ) a b ＝ c d ⇒ ad ＝ bc ； ( 2 ) a b ＝ c d ⇒ a ± b b ＝ c ± d d ； ( 3 ) a b ＝ c d ＝ … ＝ m n ( b ＋ d ＋ … ＋ n ≠ 0 ) ⇒ a ＋ c ＋ … ＋ m b ＋ d ＋ … ＋ n ＝ a b . 要点梳理 3 ． 平行线分线段成比例定理 (1) 三条平行线截两条直线 ， 所得的对应线段成 _ (2) 平行于三角形一边截其他两边 ( 或两边的延长线 ) ， 所得的对应线段成 ； (3) 如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) ， 所得的对应线段成 ， 那么这条直线平行于三角形的第三边； (4) 平行于三角形的一边 ， 并且和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交的直线 ， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 比例 比例 比例 要点梳理 4 ． 相似三角形的定义： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 ． 相似比：相似三角形的对应边的比 ， 叫做两个相似三角形的 ． 5 ． 相似三角形的判定 (1) 平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交 ， 所截得的三角形与原三角形相似； (2) 两角对应相等 ， 两三角形相似； (3) 两边对应成比例且夹角相等 ， 两三角形相似； (4) 三边对应成比例 ， 两三角形相似； (5) 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ， 两直角三角形相似； (6) 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 相似三角形 相似比 要点梳理 6 ． 相似三角形性质 相似三角形的对应角相等 ， 对应边成比例 ， 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 ， 周长比等于相似比 ， 面积比等于相似比的平方． 要点梳理 7 ． 射影定理： 如图 ， △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， CD 是斜边 AB 上的高 ， 则有下列结论． (1) AC 2 ＝ AD · AB ； (2) BC 2 ＝ BD · AB ； (3) CD 2 ＝ AD · BD ； (4) AC 2 ∶ BC 2 ＝ AD ∶ BD ； (5) AB · CD ＝ AC · BC . 要点梳理 8 ． 相似多边形的性质 (1) 相似多边形对应角 ， 对应边 ． (2) 相似多边形周长之比等于 ， 面积之比等于 ． 9 ． 位似图形 (1) 概念：如果两个多边形不仅 ， 而且对应顶点的连线相交于 ， 这样的图形叫做位似图形．这个点叫做 ． (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ． 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似 一点 位似中心 位似比 两个注意 ( 1 ) 求两条线段的比时 ， 对两条线段要采用同一长度单 位 ． 如果单位不同 ， 那么必须先化成同一单位 ， 且两条线 段的比是一个实数 ， 没有单位 ． ( 2 ) 四条线段成比例与它们的排列顺序有关 ， 线段 a ， b ， c ， d 成比例表示成 a b ＝ c d ， 而线段 b ， a ， c ， d 成比例则表示 成 b a ＝ c d . “ 三点定形 ” 法 证明比例式或等积式的方法主要有 “ 三点定形 ” 法： (1) 横向定 形：欲证 AB DE ＝ BC EF ， 横向观察 ， 比例式中分子的两条线段是 AB 和 BC ， 三个字母 A ， B ， C 恰为 △ ABC 的顶点；分母的两条线 段是 DE 和 EF ， 三个字母 D ， E ， F 恰为 △ DEF 的三个顶点．因 此只需证 △ ABC ∽△ DEF ； ( 2 ) 纵向定形：欲证 AB BC ＝ DE EF ， 纵向观察 ， 比例式中左边 的两条线段 AB 和 BC 中的三个字母 A ， B ， C 恰为 △ ABC 的顶点；右 边的两条线段 DE 和 EF 中的三个字母 D ， E ， F 恰为 △ DEF 的三个顶点 ． 因此只需证 △ ABC ∽△ DEF ； (3) 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况 ， 此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后 ， 再考虑运用三点定形法寻找相似三角形 ， 这种方法就是等量代换法．在证明比例式时 ， 常常要用到中间比． 四个解题技巧 判定两个三角形相似的常规思考过程是： (1) 先找两对对应角相等 ， 一般这个条件比较简单； (2) 若只能找到一对对应角相等 ， 则判断相等角的两夹边是否对应成比例； (3) 若找不到角相等 ， 就判断三边是否对应成比例； (4) 若题目出现平行线 ， 则直接运用基本定理得出相似的三角形． 五种基本思路 (1) 条件中若有平行线 ， 可采用相似三角形的基本定理； (2) 条件中若有一对等角 ， 可再找一对等角 ( 用判定定理 1) 或再找夹边成比例 ( 用判定定理 2) ； (3) 条件中若有两边对应成比例 ， 可找夹角相等； (4) 条件中若有一对直角 ， 可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5) 条件中若有等腰三角形 ， 可找顶角相等 ， 或找一对底角相等 ， 或找底和腰对应成比例． 1 ． ( 2014· 厦门 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上 ， 若 DE ∥ BC ， DE ＝ 2 ， BC ＝ 3 ， 则 AE AC ＝ __ __ ． 2 ． ( 2014· 长沙 ) 如图 ， △ ABC 中 ， DE ∥ BC ， DE BC ＝ 2 3 ， △ ADE 的面积为 8 ， 则 △ ABC 的面积为 ____ ． 3 ． ( 2014· 凉山州 ) 如果两个相似多边形面积的比为 1 ∶ 5 ， 则它们的相似比为 ( ) A ． 1 ∶ 25 B ． 1 ∶ 5 C ． 1 ∶ 2.5 D ． 1 ∶ 5 18 D 4 ． ( 2014 · 玉林 ) △ ABC 与 △ A′B′C′ 是位似图形 ， 且 △ ABC 与 △ A′B′C′ 的位似比是 1 ∶ 2 ， 已知 △ ABC 的面积是 3 ， 则 △ A′B′C′ 的面积 是 ( ) A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 12 D 5 ． ( 2014 · 莱芜 ) 如图， 在 △ ABC 中 ， D ， E 分别是 AB ， BC 上的点 ， 且 DE ∥ AC ， 若 S △ BDE ∶ S △ CDE ＝ 1 ∶ 4 ， 则 S △ BDE ∶ S △ ACD ＝ ( ) A ． 1 ∶ 16 B ． 1 ∶ 18 C ． 1 ∶ 20 D ． 1 ∶ 24 C 比例的基本性质、黄金分割 【 例 1 】 ( 2012· 凉山州 ) 已知 b a ＝ 5 13 ， 则 a － b a ＋ b 的值是 ( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 9 4 D. 4 9 【 点评 】 此题考查了比例的性质 ． 此题比较简单 ， 解 题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形 ． D 1 ． ( 1 ) 若 a 2 a － b ＝ 2 3 ， 则 b a ＝ __ __ ． ( 2 ) 已知 a 2 ＝ b 5 ＝ c 7 ， 且 a ＋ b ＋ c ≠ 0 ， 则 2 a ＋ 3 b － 2 c a ＋ b ＋ c 的值为 ( ) A. 5 14 B. 5 11 C. 14 5 D. 16 17 A 三角形相似的性质及判定 【 例 2】 　 ( 2014 · 宜昌 ) 已知：如图 ，四边形 ABCD 为平行四边形，以 CD 为直径作 ⊙ O ， ⊙ O 与边 BC 相交于点 F ， ⊙ O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E ，且 AE ＝ 3EB. (1) 求证： △ ADE ∽△ CDF ； 解： ( 1 ) 证明： ∵ CD 是 ⊙ O 的直径 ， ∴∠ DFC ＝ 90 ° ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴∠ A ＝ ∠ C ， AD ∥ BC ， ∴∠ ADF ＝∠ DFC ＝ 90 ° ， ∵ DE 为 ⊙ O 的切线 ， ∴ DE ⊥ DC ， ∴∠ EDC ＝ 90 ° ， ∴∠ ADF ＝ ∠ EDC ＝ 90 ° ， ∴∠ ADE ＝ ∠ CDF ， ∵∠ A ＝ ∠ C ， ∴△ ADE ∽△ CDF 　 (2) 当 CF ∶ FB ＝ 1 ∶ 2 时 ， 求 ⊙ O 与 ▱ ABCD 的面积之比． 【 点评 】 　本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用 ， 主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 2 ． ( 2014 · 玉林 ) 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， 点 M 是 BC 边上的任一点 ， 连接 AM 并将线段 AM 绕点 M 顺时针旋转 90° 得到线段 MN ， 在 CD 边上取点 P 使 CP ＝ BM ， 连接 NP ， BP. (1) 求证：四边形 BMNP 是平行四边形； (2) 线段 MN 与 CD 交于点 Q ， 连接 AQ ， 若△ MCQ∽△AMQ ， 则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由． 相似三角形综合问题 【 例 3】 　 ( 2014 · 安顺 ) 如图 ，已知 AB 是 ⊙ O 的直径， BC 是 ⊙ O 的弦，弦 ED ⊥ AB 于点 F ，交 BC 于点 G ，过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P ， PC ＝ PG. (1) 求证： PC 是 ⊙ O 的切线； 解： ( 1 ) 证明：连 OC ， 如图 ， ∵ ED ⊥ AB ， ∴∠ FBG ＋ ∠ FGB ＝ 90 ° ， 又 ∵ PC ＝ PG ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 而 ∠ 2 ＝ ∠ FGB ， ∠ 4 ＝ ∠ FBG ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 4 ＝ 90 ° ， 即 OC ⊥ PC ， ∴ PC 是 ⊙ O 的切线 (2) 当点 C 在劣弧 AD 上运动时 ， 其他条件不变 ， 若 BG 2 ＝ BF·BO. 求证：点 G 是 BC 的中点； 证明：连 OG ， 如图 ， ∵ BG 2 ＝ BF · BO ， 即 BG ∶ BO ＝ BF ∶ BG ， 而 ∠ FBG ＝ ∠ GBO ， ∴△ BGO ∽△ BFG ， ∴∠ OGB ＝ ∠ BFG ＝ 90 ° ， 即 OG ⊥ BG ， ∴ BG ＝ CG ， 即点 G 是 BC 的中点 ( 3 ) 在满足 ( 2 ) 的条件下 ， AB ＝ 10 ， ED ＝ 4 6 ， 求 BG 的长 ． 【 点评 】 　本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用． 3 ． ( 2014 · 绍兴 ) 课本中有一道作业题： 有一块三角形余料 ABC ， 它的边 BC ＝ 120 mm ， 高 AD ＝ 80 mm . 要把它加工成正方形零件 ， 使正方形的一边在 BC 上 ， 其余两个顶点分别在 AB ， AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？ 小颖解得此题的答案为 48 mm ， 小颖善于反思 ， 她又提出了如下的问题． (1) 如果原题中要加工的零件是一个矩形 ， 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 ， 如图 ① ， 此时 ， 这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算． (2) 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形 ， 如图 ② ， 这样 ， 此矩形零件的两条边长就不能确定 ， 但这个矩形面积有最大值 ， 求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 相似多边形与位似图形 【 例 4】 　 ( 2012 · 安徽 ) 如图 ， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中 ， 按要求画出 △ A 1 B 1 C 1 和 △ A 2 B 2 C 2 ； (1) 将 △ ABC 先向右平移 4 个单位 ， 再向上平移 1 个单位 ， 得到 △ A 1 B 1 C 1 ； (2) 以图中的点 O 为位似中心 ， 将 △ A 1 B 1 C 1 作位似变换且放大到原来的两倍 ， 得到 △ A 2 B 2 C 2 . 【 点评 】 　本题考查了平移、位似的作图 ， 熟练掌握网格结构 ， 准确找出对应点的位置是解题的关键． 4 ． ( 2014 · 南通 ) 如图 ， 点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点 ， 以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG ， 且菱形 AEFG ∽ 菱形 ABCD ， 连接 EB ， GD. (1) 求证： EB ＝ GD ； ( 2 ) 若 ∠ DAB ＝ 60 ° ， AB ＝ 2 ， AG ＝ 3 ， 求 GD 的长 ． 试题 如图 ， △ ABC 中 ， D ， E 分别为 AB ， BC 上的点 ， AE ， CD 相交于点 O . AD DB ＝ 2 3 ， BE EC ＝ 5 4 ， 求 AO OE 和 DO OC 的值 ． 审题视角 三角形内从两个顶点出发 ， 分别与其对边相交的线段 ， 它们又 相交于一点．这时 ， 三角形的两边、上述两条相交线段均被有关分 点分成不同的线段比 ， 这些线段的比之间存在相互依存和制约的关 系 ， 知道其中任意两条线段被分点分成的比 ， 就可以求出其他任一 线段被分点所分成的比． 这一问题的解决办法 ， 主要是利用平行线 ( 作辅助线 ) ．辅助线 的作法：主要是过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线 ， 构成 两对相似三角形．本题可以过点 E 作 EG ∥ CD 交 AB 于点 G ， 则 有 △ BEG ∽△ BCD ， △ ADO ∽△ AGE . 本题也可过点 D 作 AE 的平行线 ， 同样也可以求得相关的比值． 规范解题 解：过点 E 作 EG ∥ CD 交 AB 于点 G ， 则 △ BEG ∽△ BCD ， ∴ BG GD ＝ BE EC ＝ 5 4 ， ∴ BG ＋ GD GD ＝ 5 ＋ 4 4 ， 即 BD GD ＝ 9 4 ， ∴ AD GD ＝ 2 3 DB GD ＝ 2 3 × 9 4 ＝ 3 2 ， 又 ∵△ ADO ∽△ AG E ， ∴ AO OE ＝ AD DG ＝ 3 2 ， ∴ DO GE ＝ AD AG ＝ 3 5 ， GE DC ＝ BE BC ＝ 5 9 ， ∴ DO GE × GE DC ＝ 3 5 × 5 9 ＝ 1 3 ， 即 DO DC ＝ 1 3 ， ∴ DO OC ＝ 1 2 . 答题思路 第一步：审题 ， 理解问题 ， 清楚问题中的已知条件与未知结论； 第二步：过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线 ， 构成两对相似三角形； 第三步：根据相似三角形的性质 ， 得出与欲求分比线段相关联的两线段的比值； 第四步：根据比例的性质逐步求得欲求分比线段的比值； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题 如图 ， 在 Rt △ ABC 与 Rt △ ADC 中 ， ∠ ACB ＝ ∠ ADC ＝ 90 ° ， AC ＝ 6 ， AD ＝ 2 ， 问：当 AB 的长为 多少时 ， 这两个直角三角形相似？ 错解 在 Rt △ ADC 中 ， ∵ AC ＝ 6 ， AD ＝ 2 ， ∴ CD ＝ AC 2 － AD 2 ＝ 2 . 要使这两个三角形相似 ， 有 AC AD ＝ AB AC ， ∴ AB ＝ AC 2 AD ＝ （ 6 ） 2 2 ＝ 3. 故当 AB 的长为 3 时 ， 这两个直 角三角形相似 ． 剖析 　 (1) 此题中 ， Rt △ ABC 与 Rt △ ADC 中 ， ∠ ACB ＝ ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ B 可能与 ∠ ACD 相等 ， 也可能与 ∠ CAD 相等 ， 三角形 △ ABC 与 △ ADC 相似可能是 △ ABC ∽△ ACD 或 △ ABC ∽△ CAD . 根据对应边成比例 ， 有两种情况需要分类讨论． (2) 分类讨论在几何中的应用也很广泛 ， 可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法． (3) 在解题过程中 ， 不仅要掌握问题中的条件与结论 ， 还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件 ， 以便全面、正确、迅速地解决问题．忽视已知条件 ， 实质上是对概念理解不详、把握不准的表现． 正解 在 Rt △ ADC 中 ， ∵ AC ＝ 6 ， AD ＝ 2 ， ∴ CD ＝ AC 2 － AD 2 ＝ 2 . 要使这两个三角形相似 ， 有 AC AD ＝ AB AC 或 AC CD ＝ AB AC ， ∴ AB ＝ AC 2 AD ＝ （ 6 ） 2 2 ＝ 3 ， 或 AB ＝ AC 2 CD ＝ （ 6 ） 2 2 ＝ 3 2 . 故当 AB 的长为 3 或 3 2 时 ， 这两个直角 三角形相似 ．