2019年江苏扬州中考数学试题（解析版） 19页

‎{来源}2019年扬州中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}扬州市二〇一九年初中学业水平考试 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，合计24分． ‎ ‎{题目}1．（2019年杨州）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}图形绕某一点旋转180°与自己能够完全重合叫中心对称图形．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年杨州）下列个数中，小于－2的数是（ ）‎ A．－ B．－ C．－ D．－1‎ ‎{答案}A ‎{解析}根据实数比较大小确定四个选项与－2的大小关系，可得－比－2小．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:实数的大小比较}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年杨州）分式可变形为（ ）‎ A． ‎ B．－ C． D．－‎ ‎{答案}D ‎{解析}分式的分母整体提取负号，则分母变成相反数，再根据分式的基本性质负号前置．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{考点:分式的基本性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4． （2019年杨州）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．3.2  D．4‎ ‎{答案}A ‎{解析}根据众数的定义即可求出这组数据的众数，在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则 这组数据的众数是2．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5． （2019年杨州）如图所示物体的左视图是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}根据左视图是从左边看得到的图形，从左边看是一个矩形，中间有二条水平的实线．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6． （2019年杨州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎{答案}C ‎{解析}结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝－x＋4的图象经过第一、二、四象限，‎ 此题得解解：∵－1＜0，4＞0，∴一次函数y＝－x＋4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．∵点P在一次函数y＝－x＋4的图象上，∴点P一定不在第三象限．故选：C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:函数图象上的点}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7． （2019年杨州）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2、n＋8、3n，则满足 条件的n的值有（ ）‎ A．4个 B． 5个 C． 6个 D． 7个 ‎{答案}D ‎{解析} 分两种情况讨论：分别依据三角形三边关系进行求解：①若n＋2＜n＋8≤3n，则 n＋2＋n＋8‎ ‎＞3n ，n＋8≤3n ，解得4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n＋2＜3n≤n＋8，则n＋2＋3n＞n＋8 ，3n≤n＋8 ，解得2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{考点:三角形三边关系}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题目}8． （2019年杨州）若反比例函数的图像上有两个不同的点关于y轴对称点都在 一次函数y＝－x＋m的图像上，则m的取值范围是（ ）‎ A． ‎  B．‎ C．  D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析} ∵反比例函数上两个不同的点关于y轴对称的点 在一次函数y＝－x＋m图像上 ‎∴是反比例函数与一次函数y＝－x＋m有两个不同的交点 两个函数联立解方程 ‎∵有两个不同的交点 ‎∴有两个不等的根△＝m2－8＞0‎ 根据二次函数图像得出不等式解集 所以．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:平方根的定义}‎ ‎{考点:最简二次根式}‎ ‎{考点:代入消元法}‎ ‎{考点:分式方程的解}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:代数选择压轴}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．‎ ‎{题目}9． （2019年杨州）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全 场约1790000米，数据1790000用科学记数法表示为 ．‎ ‎{答案}1.79×106‎ ‎{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整 数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移 动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因 此先将1790000根据科学记数法的要求表示为1.79×106．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}10． （2019年杨州）因式分解：a3b－9ab＝ ．‎ ‎{答案} ab（3－x）（3＋x）‎ ‎{解析}先提取公因式，在使用平方差公式因式分解．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}11． （2019年杨州）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下 抽取的毛绒玩具数n ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎1500‎ ‎2000‎ 优等品的频数m ‎19‎ ‎47‎ ‎91‎ ‎184‎ ‎462‎ ‎921‎ ‎1379‎ ‎1846‎ 优等品的频率 ‎0.950‎ ‎0.940‎ ‎0.910‎ ‎0.924‎ ‎0.924‎ ‎0.921‎ ‎0.919‎ ‎0.923‎ 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）‎ ‎{答案}0.92‎ ‎{解析}由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是 优等品的概率为0.92，故答案为0.92．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-3]用频率估计概率}‎ ‎{考点:利用频率估计概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12． （2019年杨州）一元二次方程的根是 ．‎ ‎{答案}x1＝1，x2＝2．‎ ‎{解析}本题考查了灵活利用提公因式的方法解一元二次方程，‎ 解： x1＝1， x2＝2．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-3] 因式分解法}‎ ‎{考点:解一元二次方程－因式分解法}‎ ‎{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13． （2019年杨州）计算：的结果是 ．‎ ‎{答案}．‎ ‎{解析}本题考查了根式的计算，记得乘方等，解．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-2]二次根式的乘除}‎ ‎{考点:有理数乘方的定义}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:平方差公式}‎ ‎{考点:二次根式的乘法法则}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14． （2019年杨州）将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD ‎＝ ．‎ ‎{答案}128°．‎ ‎{解析}本题考查了矩形的性质，轴对称性质，等腰三角形，平行线，平角等，因此本题 解：延长DC到F ‎∵矩形纸条折叠 ‎∴∠ACB＝∠BCF ‎∵AB∥CD ‎∴∠ABC＝∠BCF＝26°‎ ‎∴∠ACF＝52°‎ ‎∵∠ACF＋∠ACD＝180°‎ ‎∴∠ACD＝128°‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:折叠问题}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:角的计算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15． （2019年杨州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是 ‎⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝ ．‎ ‎ ‎ ‎{答案}15．‎ ‎{解析}本题考查了圆心角，圆内正多边形，因此 解：∵AC是⊙O的内接正六边形的一边 ‎∴∠AOC＝360°÷6＝60°‎ ‎∵BC是⊙O的内接正十边形的一边 ‎∴∠BOC＝360°÷10＝36°‎ ‎∴∠AOB＝60°－36°＝24°‎ 即360°÷n＝24°∴n＝15‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-3]正多边形和圆}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16． （2019年杨州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形 ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝ 7，BE＝5，则MN＝ ．‎ ‎ ‎ ‎{答案}MN＝．‎ ‎{解析}本题考查了正方形，中位线，勾股定理，‎ 连接FC，∵M、N分别是DC、DF的中点 ‎∴FC＝2MN ‎∵AB＝7，BE＝5‎ 且四ABCD，四EFGB是正方形 ‎∴FC＝＝13‎ ‎∴MN＝‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:与中点有关的辅助线}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}17． （2019年杨州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB’C’D’的位置，‎ 若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎ ‎ ‎{答案}32π．‎ ‎{解析}本题考查了扇形的面积，割补法求阴影面积，∵阴影部分面积＝扇形BB’A的面积＋四边形 ABCD的面积－四AB’C’D’的面积∴阴影部分面积＝扇形BB’A的面积＝．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}18． （2019年杨州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行一下操作，在边BC上从 左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点 E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的 平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019）＋5（D1F1＋ D2F2＋…＋D2019F2019）＝ ．‎ ‎{答案}40380．‎ ‎{解析}本题考查了相似三角形性质，比例性质，‎ ‎∵D1E1∥AB D1F1∥AC ‎∴ ‎ ‎∵AB＝5 AC＝4‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴4D1E1＋5D1F1＝20 ‎ 有2019组，即2019×20＝40380‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似基本图形}‎ ‎{考点:比例的性质}‎ ‎{考点:规律－数字变化类}‎ ‎{考点:规律－图形变化类}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共10小题，合计96分．‎ ‎{题目}19． （2019年杨州）计算或化简：‎ ‎（1） （2）‎ ‎{解析}本题考查了有理数的计算，因式分解，分式化简，特殊三角函数． ‎ ‎{答案}（1）解：原式＝2－1－4× （2） 解：原式 ＝‎ ‎＝－1 ＝a＋1 ‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:两个有理数相乘}‎ ‎{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{考点:约分}‎ ‎{考点:通分}‎ ‎{考点:同类二次根式}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}20． （2019年杨州）解不等式组，并写出它的所有负整数解 ‎{解析}一元一次不等式组，取整数，不等式的解集． ‎ ‎{答案}解：∴负整数解为－3，－2，－1‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}21． （2019年杨州）扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课 外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成 如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．‎ 每天课外阅读时间t/h 频数 频率 ‎0＜t≤0.5‎ ‎24‎ ‎0.5＜t≤1‎ ‎36‎ ‎0.3‎ ‎1＜t≤1.5‎ ‎0.4‎ ‎1.5＜t≤2‎ ‎12‎ b 合计 a ‎1‎ 根据以上信息，请回答下列问题：‎ ‎（1）表中a＝ ，b＝ ；‎ ‎（2）请补全频数分布直方图；‎ ‎（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天阅读时间超过1小时的人数．‎ ‎{解析}（1）由0.5＜t≤1的频数与频率可得总人数a，再用12除以总人数可得b的值；‎ ‎（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；‎ ‎（3）利用样本估计总体思想可得． ‎ ‎{答案}解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1‎ 故答案为：120，0.1；‎ ‎（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48‎ 补全图形如下：‎ ‎ （3）1200×（0.4＋0.1）＝600人 答：该校学生每天阅读时间超过1小时的人数为600 人．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-2]直方图}‎ ‎{考点:频数与频率}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}22． （2019年杨州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈 景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数 都表示为两个素数的和”．如20＝3＋17．‎ ‎（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；‎ ‎ （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1‎ 个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．‎ ‎{解析}（1）直接根据概率公式计算可得；‎ ‎（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．‎ ‎{答案}解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．‎ 故答案为．‎ ‎（2）树状图如图所示：‎ ‎ ‎ 共有12种可能，满足条件的有4种可能，‎ 所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝＝．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}23． （2019年杨州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程 队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米 所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等．甲工程队每天整治河道多少米？‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的应用问题．直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400 米所用的时间相等，得出等式求出答案．‎ ‎{答案}解设甲工程队每天整治河道x m，则乙工程队每天整治（1500－x）m 由题意得：‎ 经检验的x＝900是该方程的解 答：甲工程队每天整治河道900米．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{考点:其他分式方程的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24． （2019年杨州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8,DE＝10．‎ ‎ （1）求证：∠BEC＝90°；‎ ‎ （2）求cos∠DAE．‎ ‎ ‎ ‎{解析}（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝∠EAB，再根 据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝16，由勾股定理 的逆定理即可得出结论；‎ ‎（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE＝，得 ‎ 出cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果． ‎ ‎{答案}（1）证明：∵四ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC ∴∠AED＝∠EAB ‎ ‎∵AE平分∠DAB∴∠DAE＝∠EAB ‎∴∠AED＝∠DAE ‎∴AD＝DE＝10∴BC＝10‎ ‎∵BE＝8 CE＝6 ∴BE2＋CE2＝BC2‎ ‎∴△BEC为直角三角形∴∠BEC＝90°‎ ‎（2）解：∵ DE＝10 CE＝6‎ ‎∴AB＝16 ‎ ‎∵∠BEC＝90°‎ ‎∴AE＝‎ ‎∴cos∠EAB＝‎ ‎∵∠DAE＝∠EAB ‎∴cos∠DAE＝‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:角平分线的定义}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:勾股定理逆定理}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:余弦}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}25． （2019年杨州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP ‎＝CB．‎ （1） 求证：BC是⊙O的切线；‎ （2） 已知∠BAO＝25°，点Q是弧AmB上的一点．‎ ‎①求∠AQB的度数；‎ ‎②若OA＝18，求弧AmB的长．‎ ‎{解析}（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得 到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；‎ ‎（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角 形外角的性质得到∠POB＝∠APO－∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；‎ ‎②根据弧长公式即可得到结论．‎ ‎ ‎ ‎{答案}‎ ‎（1）解：连接OB ‎∵CP＝CB ‎ ‎∴∠CPB＝∠CBP ‎∵OA⊥OC ‎ ‎∴∠AOC＝90°‎ ‎∵OA＝OB ‎∴∠OAB＝∠OBA ‎∵∠PAO＋∠APO＝90°‎ ‎∴∠ABO＋∠CBP＝90°‎ ‎∴∠OBC＝90°‎ ‎∴BC是⊙O的切线 ‎（2） 解：①∵∠BAO＝25° OA＝OB ‎∴∠BAO＝∠OBA＝25°‎ ‎∴∠AOB＝130°∴∠AQB＝65°‎ ‎②∵∠AOB＝130° OB＝18‎ ‎∴l弧AmB＝（360°－130°）π×18÷180＝23π ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:圆的认识}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:垂线定义}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{考点:圆的其它综合题}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}26． （2019年杨州）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l1上，过点A、B两点 分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正 投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段 A1C请依据上述定义解决如下问题 ‎（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ ；‎ ‎（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面 积；‎ ‎（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AB，AC）＝ 2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD）．‎ ‎（图3）‎ ‎（图2）‎ ‎（图1）‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题考查通过阅读新定义，利用新定义解决问题．‎ （1） 直接利用新定义和正投影问题就能得出结果；‎ （2） 用新定义求出AB，再用射影定理求出高就能解决；‎ （3） 用新定义求出AC等，点到直线的距离，含30°的直角三角形就能解决.‎ ‎{答案} 解：(1)过C作CE⊥AB，垂足为E ‎∴由T（AC，AB）＝3投影可知AE＝3∴BE＝2即T（BC，AB）＝2‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于F ‎∵∠ACB＝90°CF⊥AB∴△ACF∽△CBF∴CF2＝AF·BF ‎∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9∴AF＝4 BF＝9即CF＝6‎ ‎∴S△ABC＝（AB·CF）÷2＝13×6÷2＝39‎ ‎(3)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N ‎∵∠A＝60°∠ACD＝90°∴∠CDA＝30°‎ ‎∵T（AB，AC）＝2，T（BC，AB）＝6∴AC＝2 BM＝6‎ ‎∵∠A＝60° CM⊥AB∴AM＝1 CM＝‎ ‎∵∠CDA＝30°∴MD＝3 BD＝3‎ ‎∵∠BDN＝∠CDA＝30°∴DN＝‎ ‎∵T（BC，CD）＝CN∴CN＝CD＋DN＝＋＝‎ ‎（图3）‎ ‎（图2）‎ ‎（图1）‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-29-1]投影}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{考点:新定义}‎ ‎{考点:正投影}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:射影定理}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题目}27． （2019年杨州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形 外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°，点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD－‎ DG运动，点Q沿折线BC－CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段 PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．‎ ‎ （1）若a＝12．‎ ‎ ①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为________；‎ ‎ ②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；‎ ‎ （2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a 的取值范围．‎ ‎（图2）‎ ‎（备用图）‎ ‎（图1）‎ ‎ ‎ ‎{解析}（1）①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程 即可；②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出0＜x ≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12＋20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤ 20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F， 则PM＝x，PN＝x－10，EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝CD＝10，得 出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20－x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40－ 2x，求出梯形AMQP的面积＝（12＋40－2x）x＝－（x－13）2＋169，由二次函数的性质即 可得出结果；‎ ‎（2）P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40－2x，梯形AMQP的面积S＝（a＋40－ 2x）x＝－x2＋x，对称轴x＝10＋，得出10≤10＋≤15，对称轴在10和15之间，得 出10≤x≤20，二次函数图象开口向下，当x＝20时，S最小，得出－202＋×20≥50， a≥5；即可得出答案5≤a≤20． ‎ ‎{答案}（1）①由题意得：PQ＝20 AM＝a＝12‎ S四AMQP＝ 解得x＝3‎ ‎②当P在AD上时，即0≤x≤10，S四AMQP＝‎ S四AMQP＝‎ 当x＝10时，S四AMQP最大值＝160‎ 当P在DG上，即10≤x≤20，S四AMQP＝‎ QP＝40－2x，S四AMQP＝＝－x2＋26x 当x＝13时，S四AMQP最大值＝169‎ 综上：x＝13时，S四AMQP最大值＝169‎ ‎（2）由上知：PQ＝40－2x S四AMQP＝‎ ‎∵10≤x≤20‎ 对称轴为：x＝ 开口向下 ‎∴离对称轴越远取值越小 当≤15时，‎ S四AMQP最小值＝10a≥50 得a≥5‎ ‎∴5≤a≤20‎ 当＞15时 S四AMQP最小值＝40＋a≥50 得a≥20，综上所述：5≤a≤20‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:几何图形最大面积问题}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题目}28． （2019年杨州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与 点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应 点是点B’．‎ ‎（1）如图1，当PB＝4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为______；‎ ‎ （2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；‎ ‎ （3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；‎ ‎（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎（备用图）‎ ‎（图3）‎ ‎（图2）‎ ‎ ‎ ‎（图1）‎ ‎{解析}（1）证明△APB’是等边三角形即可解决问题．‎ ‎（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB’交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB 即可解决问题．‎ ‎（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB’∥AC即可．‎ ‎（4）如图4中，当B’P⊥AC时，△ACB’的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B’E即可解 决问题． ‎ ‎{答案}解：（1）∵折叠∴PB＝PB’＝4‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴∠A＝60°‎ ‎∴△APB’是等边三角形 即∠B’PA＝60° ‎ ‎∴AB’＝AP＝4‎ ‎（2）∵l∥AC ‎∴∠BPB’＝120°∴∠PBB’＝30°‎ ‎∵PB＝5‎ ‎∴BB’＝5‎ ‎（3）‎ 过B作BF⊥AC，垂足为F，过B’作B’E⊥AC，垂足为E ‎∵B与B’关于l对称 ‎∴B’E＝BF＝4‎ ‎∴S△ACB’＝‎ ‎△ACB’面积不变 ‎（4）由题意得：l变化中，B’的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆 过P作B’P⊥AC，交AC于H，此时B’H最长 AP＝2，AH＝1‎ ‎∴PH＝‎ ‎∴B’H＝B’P＋PH＝6＋‎ ‎∴S△ACB’最大值＝（6＋）×8÷2＝24＋4‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:折叠问题}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎