2014年1月金山中考数学一模试题 9页

金山区 2013 学年第一学期期末质量检测 初三数学试卷 （测试时间：100 分钟，满分：150 分） 2014.01 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步 骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．两个相似三角形的面积比为 1∶4，那么这两个三角形的周长比为（ ） （A）1∶2； （B）1∶4； （C）1∶8； （D）1∶16． 2．如果向量 a 与单位向量e 方向相反，且长度为 1 2 ，那么向量 用单位向量 表示为（ ） （A） 1 2ae ； （B） 2ae ； （C） 1 2ae ； （D） 2ae ． 3．将抛物线 2yx= 向右平移1个单位，所得新抛物线的函数解析式是（ ） （A） 2( 1)yx=+； （B） 2( 1)yx； （C） 2 1yx=+； （D） 2 1yx． 4．在 Rt△ ABC 中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍，那么所得到的直角三角形中， ∠B 的正切值（ ） （A）扩大 2 倍； （B）缩小 2 倍； （C）扩大 4 倍； （D）大小不变 ． 5．已知在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠A=a ，BC=m，那么 AB 的长为（ ） （A） sinm  ； （B） cosm  ； （C） sin m  ； （D） cos m  ． 6．在平面直角坐标系中，抛物线  221yx    的顶点是点 P，对称轴与 x 轴相交于点 Q，以点 P 为圆 心，PQ 长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（ ） （A）x 轴与⊙P相离； （B）x 轴与⊙P相切； （C）y 轴与⊙P与相切； （D）y 轴与⊙P相交． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．如果 23xy ，那么 2 2 xy xy   = ． 8．已知在△ ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE//BC， 3 5 DE BC  ，那么 CE AE 的值等于 ． 9．计算：  2 2 3a b b   ． [来源:学*科*网] 10．抛物线 2 2y x x的对称轴是 ． 11．二次函数 22y x t=+的图像向下平移 2 个单位后经过点（1，3），那么t  ． 12．已知在△ ABC 中，∠C=90°，AB=12，点 G 为△ ABC 的重心，那么 CG= ． 13．已知在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，BC= 3 AC，那么∠A= 度． 14．已知在 Rt△ ABC 中，∠C=90°， 1cot 3B  ，BC=3，那么 AC= ． 15．已知内切两圆的圆心距为 6，其中一个圆的半径为 4，那么另一个圆的半径为 ． 16．如果正 n 边形的每一个内角都等于 144°，那么 n= ． 17．正六边形的边长为 a ，面积为 S ，那么 关于 的函数关系式是 ． 18．在 Rt△ ABC 中，∠C=90°， 3cos 5B  ，把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到 Rt△ A'B'C，其中点 B' 正 好落在 AB 上，A'B'与 AC 相交于点 D，那么 BD CD   ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 222sin 60 cos 45 tan 60 cos30 tan30 cot 45   20．（本题满分 10 分, 其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 已知一个二次函数 2y x b x c   的图像经过点（4，1）和（ 1 ，6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴． A C B B' A' D 第 18 题图 21．（本题满分 10 分） 如图，已知 AB 是⊙O 的弦，点 C 在线段 AB 上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O 的半径． 22．（本题满分 10 分） 如图，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，右图是侧面示意图。已知自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4，AB 的长度是 13 米，MN 是二楼楼顶，MN∥PQ，C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点，BC⊥MN， 在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角为 42°，求二楼的层高 BC（精确到 0.1 米）． （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） O C A B M N A B C P Q 23．（本题满分 12 分，每小题各 6 分） 如图，在□ABCD 中，E 是 AB 的中点，ED 和 AC 相交于点 F，过点 F 作 FG∥AB，交 AD 于点 G． （1）求证：AB=3FG； （2）若 AB : AC= 2 : 3 ，求证： 2DF DG DA． 24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分） 已知，二次函数 2y = ax +bx 的图像经过点 ( 5, 0)A  和点 B，其中点 B 在第一象限，且 OA=OB， cot∠BAO=2． （1）求点 B 的坐标； （2）求二次函数的解析式；[来源:学科网 ZXXK] （3）过点 B 作直线 BC 平行于 x 轴，直线 BC 与二次函数图像的另一个交点为 C，联结 AC，如果点 P 在 x 轴上，且△ ABC 和△ PAB 相似，求点 P 的坐标． y x O 1 1 -1 -1 A B A B C D E F G 25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 8 分，第（2）小题 6 分） 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P 是斜边 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合）， 以点 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D，射线 PD 交射线 BC 于点 E． （1）如图 1，若点 E 在线段 BC 的延长线上，设 AP=x，CE=y， ① 求 y关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时，求 AP 的长； （2）设线段 BE 的中点为 Q，射线 PQ 与⊙P 相交于点 I，若 CI=AP，求 AP 的长． A C B A P D C B E 图 1 金山参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．A； 2．C； 3．B； 4．D； 5．C； 6．B． 二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7．2； 8． 3 2 ； 9． 2ab ； 10．直线 1x  ； 11．3； 12．4； 13．60°； 14．9； 15．10； 16．10； 17． 233 2Sa ； 18． 7 20 ． 三、（本大题共 7 题，第 19、20、21、22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分） 19. 解：原式 22 322 223 133 23             ……………………………………（6 分） 6 3 3 ．……………………………………………………………（4 分） 3 ．……………………………………………………………（4 分） 20．解：（1）由题意，得     2 2 4 4 1 1 1 6 bc bc            ． ． ………………………………………………（2 分） 解这个方程组，得 4 1 b c    ． ．…………………………………………（3 分） ∴所求二次函数的解析式是 2 41y x x   ．………………………（1 分） （2）顶点坐标是（2，-3）．…………………………………………（2 分） 对称轴是直线 2x  ．……………………………………………（2 分） 21．解：联结 OA， 过 点 O 作 OD⊥AB， 垂足为点 D．…………………（1 分） ∵AC=4，CB=8，∴AB=12． ∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，…………………………………………（3 分） ∴CH=2．………………………………………………………………（1 分） 在 Rt CHO 中， 90CHO   ，OC=4 ，CH=2， ∴ 23OH  ．…………………………………………………………（2 分） 在 Rt AHO 中， 90AHO  ， 43OA  ．……………………………………………………………（2 分） ∴⊙O 的半径是 ．…………………………………………（1 分） 22．解：延长 CB 交 PQ 于点 D．…………………………………………………（1 分） ∵MN∥PQ， BC⊥MN，∴BC⊥PQ．……………………………………（1 分） ∵自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4，∴ 15 2.4 12 BD AD ．…………………（1 分） 设 5BD k 米， 12AD k 米,则 13AB k 米． ∵AB=13 米，∴ 1k  ，∴ 5BD  米， 12AD  米．…………………（3 分） 在 Rt CHO 中， 90CHO   ， 42CAD   ， ∴ tan 12 0.90 10.8CD AD CAD      米，…………………………（3 分） ∴ 5.8BC  米．………………………………………………………………（1 分）[来源:学.科.网] 答：二楼的层高 BC 约为 5.8 米． 23．证明：（1）在□ ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC， 又∵E 是 AB 的中点，∴ 1 2 AF EF FC ED，………………………………（2 分） ∵FG∥AB， ∴FG∥CD， ∴ 1 3 FG AF CD AC，……………………（2 分） ∴ 1 3 FG AB  ， ∴AB=3FG．………………………………………………（2 分） （2）设 2AB k ， 3AC k ， 则 2 2AE k ， 3 3AF k ． ∴ 2 62 63 kAE AC k ， 3 63 62 kAF AB k ， ∴ 6 6 AE AF AC AB．…………………………………… ………………（1 分） 又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．…………（2 分） ∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF， ∴∠DFG=∠DAF． ………………………………………………………（1 分） 又∵∠FDG=∠ADF， ∴△FDG∽△ADF， ∴ DF DG DA DF ， ∴ 2DF DG DA．…………………………………（2 分） 24． 解：（1）过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为点 D 在 Rt ADB 中， 90ADB   ， cot 2ADBAO BD?=． ………………………………………………………（1 分） 设 BD=x，AD=2x，由题意，得 OA=0B=5，∴OD=2x-5． 在 Rt ODB 中， 2 2 2OD BD OB，∴ 2 222 5 5xx   ， 解得 1 4x  ， 2 0x  （不合题意，舍去）．…………………………………（2 分） ∴BD=4，OD=3， ∴点 B 的坐标是（3，4）． ……………………………（1 分） （2）由题意，得 25 5 0, 9 3 4 ab ab    ．，………………………………………………（2 分） 解这个方程组，得 1 ,6 5 6 a b     ． …………………………………………（1 分） ∴二次函数的解析式是 215 66y x x．…………………………（1 分）[来源:Z.xx.k.Com] （3）∵直线 BC 平行于 x 轴，∴C 点的纵坐标为 4，设 C 点的坐标为（m，4）． 由题意，得 215466mm， 解得 1 3m  （不合题意，舍去）， 2 8m  ． ∴C 点的坐标为（-8，4）， BC=11， AB= 45 ．……………………………（1 分） ∵ ABC BAP   ， ①如果 ABC ∽ BAP ，那么 AB AB BC AP ， ∴AP=11，点 P 的坐标为（6，0）．…………………………………………（1 分）[来源:Zxxk.Com] ②如果 ∽ PAB ，那么 AB AP BC AB ， ∴AP= 80 11 ，点 P 的坐标为（ 25 11 ，0）．……………………………………（1 分） 综上所述，点 P 的坐标为（6，0）或（ ，0）．………………………（1 分） 注：只写出答案没有解题过程得 2 分． 25．解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA． ∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE． ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．…………………………………（1 分） ∴∠ABC=∠DEC， BC DE CE AB ． ∴PB=PE． Rt△ ABC 中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5． 又 AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x， ∴ 35 52yx  ∴ 63 5yx （ 50 2x）．……………………………………………………（3 分） 注：其中 x 取值范围 1 分． ②设 BE 的中点为 Q，联结 PQ． ∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC， ∴ PQ PB BQ AC AB BC，∴ 5 4 5 4 PQ x BQ， ∴ 44 5PQ x ， 33 5BQ x ．……………………………………………（2 分） 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时， 434355x x x    ．……………（1 分） 解得 5 6x  ，即 AP 的长为 5 6 ．……………………………………………（2 分） （2）如果点 E 在线段 BC 延长线上时， 由（1）②的结论可知 494455IQ PQ PI x x x       ，………（1 分） 333355CQ BC BQ x x      ．…………………………………（1 分） 在 Rt△CQI 中， 22 2 2 23 9 18 724 165 5 5 5CI CQ QI x x x x                 ．…（1 分） ∵CI=AP，∴ 218 72 1655x x x   ， 解得 1 20 13x  ， 2 4x  （不合题意，舍去）． ∴AP 的长为 20 13 ．…………………………………………………………（1 分） 同理，如果点 E 在线段 BC 上时， 494455IQ PI PQ x x x       ， 333355CQ BC BQ x x      ． 在 Rt△CQI 中， 22 2 2 23 9 18 724 165 5 5 5CI CQ QI x x x x                 ． ∵CI=AP， ∴ ，解得 （不合题意，舍去）， ． ∴AP 的长为 4．……………………………………………………………（2 分） 综上所述，AP 的长为 20 13 或 4 ． 注：1、只有答案没有过程时写出 得 1 分，写出 4 得 2 分． 2、有过程但没有进行分类讨论就得出 或 得 4 分．