人教版八年级数学下册 第十六章 第2--3节同步练习含答案 17页

16.2 二次根式的乘除 一、选择题 1．下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A． 2 1a  B． 8 C． 9 D． 4 2．下列运算正确的是（ ） A． 2 2 2( )a b a b   B． 1 1 x x y y   C． ( 4) ( 9) 4 9       D． 32 62 8a a   3．估计 15 5 25  的运算结果应在（ ）． A．3.0 和 3.5 之间 B．3.5 和 4.0 之间 C．7.0 和 7.5 之间 D．7.5 和 8 之间 4．如果 0, 0ab a b   ，那么给出下列各式① a a b b  ；② a b b a  =1;③ aab ab    ；正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．已知 a<0，那么 4a b  可化简为（ ） A． 2b ab B． 2 abb  C． 2 abb   D． 2 abb  6．下列式子是最简二次根式的是（ ） A． 12 B． 3 C． 9 D． 1 3 7．下列各式：① 2 ，② 1 3 ，③ 8 ，④ 1 ( 0)x x  中，最简二次根式有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．若 a＝ 3 2 3 5  ，b＝2+ 6 10 ，则 a b 的值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 32 1  D． 1 6 10 9．已知 2 2 6a b ab  ，且 a>b>0，则 a b a b   的值为( ) A． 2 B．± 2 C．2 D．±2 10．已知 2 225 15 2x x    ，则 2 225 15x x   的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．观察下列各式：（1） 1 11 23 3   ，（2） 1 12 34 4   ，（3） 1 13 45 5   ，… (1)请用你发现的规律写出第 8 个式子是_____． (2)请用含 n 的式子表示你发现的规律__________ 12．若等式3 2 5 3 10 3x    成立，则 x 的值为__________． 13．等式 1 1 3 3 a a a a    成立的条件是_____． 14．已知 , ,a b c 为 ABC△ 的三边，化简        2 2 2 2a b c a b c b a c c b a           的结果是______. 15．下列二次根式 45a ， 30 ， 12 2 ， 240b ， 54 ，  2 217 a b 中，最为简二次根式的是______. 三、解答题 16．计算 （1） 0 18 ( 3 1) ( 3)    （2） 2(3 2 5) (4 5)(4 5)    （3） 2 154 ( 3) 273 3    （4） 2 2 111 1 1 a a a a               17．小东在学习了 a a bb  后，认为 a a b b  也成立，因此他认为一个化简过程： 20 20 5 4 5 5 5        5 4 5    = 4 2 是正确的． （1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程； （2） 说明 a a b b  成立的条件； （3）问 a a b b    是否成立，如果成立，说明成立的条件． 18．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如 2m n 的化简，只要我们找到两个数 a 、b 使 a b m  ， ab n ， 这样 2 2( ) ( )a b m  ， a b n  ， 那么便有 22 ( ) ( )m n a b a b a b      ． 例如：化简 7 4 3 ． 解：首先把 7 4 3 化为 7 2 12 ，这里 7m  ， 12n  ； 由于 4 3 7  ， 4 3 12  ，即 2 2( 4) ( 3) 7  ， 4 3 12× = ， 27 4 3 7 2 12 ( 4 3) 2 3 + = + = + = + ． 由上述例题的方法化简： （1） 13 2 42 ． （2） 7 40 ． （3） 2 3 ． 19．（1）计算： ①     2 3 0 13 2019 3          ② 1 1 2 2a b a b   ③ 2 2 22 23 3 5   ④  3 3x y x y    （2）分解因式： ① 3 6x x （在实数范围内） ②   2 21 9 1x x   20．有这样一类题目：将 2a b 化简，如果你能找到两个数 m，n，使 m2+n2=a，且 mn= b ，则 a±2 b ，变成 m2+n2+2mn= （m±n）2 开方，从而使得 2a b 化简． 例如：化简 3 2 2 因为 3±2 2 =1+2±2 2 =12+（ 2 ）2+2 2 =（1+ 2 ）2， 所以 3 2 2 = 2(1 2) =|1± 2 |= 2 ±1． 仿照上例化简下列各式： （1） 4 2 3 ； （2） 13 2 42 ． 21．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 5 3 ， 2 3 ， 2 3 1 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 5 5 3 5 3 33 3 3    ， 2 2 3 6 3 3 3 3   ， 2 2 2 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 3 1 3 1 ( 3 1)( 3 1) ( 3) 1            ；以上这种化简的步 骤叫做分母有理化. 2 3 1 还可以用以下方法化简：     2 23 1 3 1 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1            （1）请用不同的方法化简 2 5 3 ；（2）化简： 1 1 1 1 3 1 5 2 7 5 2n 1 2n-1          . 22．仔细阅读以下内容解决问题：第 24 届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为 a ，b ，则面积为 1 2 ab ，四个 直角三角形面积和小于正方形的面积得： 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时取等号．在 2 2 2a b ab  中，若 0a  ， 0b  ， 用 a 、 b 代替 a ，b 得， 2a b ab  ，即 2 a b ab  （*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我 们可以求函数的最大最小值．我们以“已知 xR ，求 2 2 4 1 xy x   的最小值”为例给同学们介绍． 解：由题知 2 2 2 2 1 3 31 1 1 xy x x x        ，∵ 2 1 0x   ， 2 3 0 1x   ， ∴ 2 2 2 2 3 31 2 1 2 3 1 1 y x x x x          ，当且仅当 2 2 31 1 x x    时取等号，即当 2x  时，函数 的最小值为 2 3 ． 总结：利用基本不等式 ( 0, 0)2 a b ab a b    求最值，若 ab 为定值，则 a b有最小值． 请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应 x 的取值． （1）若 0x  ，求函数 22y x x   的最小值； （2）若 2x  ，求 1 2y x x    的最小值； （3）若 0x  ，求函数 4 13 2 x xy x    的最小值． 23．阅读下列材料： 材料 1：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号．如： 3 2 2  2 2 2( 1) ( 2) 2 1 2 ( 1 2) |1 2 | 2 1          ； 材料 2： 配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法。配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方 式来解决问题。它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到。 如： 2 2 2 22 2 3 2 2 ( 2) 1 ( 2) 1x x x x x           ∵ 2( 2) 0x   ，∴ 2( 2) 1 1x    即 2 2 2 3 1x x   ∴ 2 2 2 3x x  的最小值为 1. 根据以上材料解决下列问题： （1）填空： 4 2 3 =________________; 5 2 6 =______________; （2）求 2 4 3 11x x  的最小值； （3）已知 3 13 4 3x    ,求 2 21 (4 2 3) ( 3 1) 54 x y xy     的最大值. 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．C 11． 1 18 910 10   1 1( 1)2 2n nn n     （n≥1，且 n 为整数） 12．16 13．﹣1≤a＜3 14． 4c . 15． 30 ，  2 217 a b . 16．（1） 22 2 3  ；（2）18 12 5 ；（3） 2 6 ；（4） 2a a  ． 17．（1）他的化简不对，正确化简略；（2）a≥0，b＞0；（3）a≤0，b＜0 18．（1） 7 6 ；（2） 5 2 ；（3） 6 2 2  ． 19．（1）①19； ② 2 2 4 4 a a b ；③ 10 5 ； ④ 2 2 2 9x y xy   ；（2）①   6 6x x x  ；②   4 2 1 2x x  ． 20．(1) 3 +1;(2) 7 ﹣ 6 21．（1） 5 3 ；（2） 2 1 1 2 n   . 22．（1） 1x  ， min 4y  ；（2） 3x  ， min 4y  ；（3） 1x  ， min 6y  23．（1） 3 1 ， 2 3 ；（2）最小值为-1；（3）最大值为-4. 16.3 二次根式的加减 一、选择题 1．下列二次根式能与 2 2 合并的是（ ） A． 12 B． 24 C． 18 D． 6 2．计算 8 2 的结果是（ ） A． 6 B．2 C． 2 D．1.4 3．下列运算不正确的是（ ） A． 2 3 6  B． 4 3 3 3 3  C． 27 3 3  D． ( 2 3) ( 2 3) 1    4．下列二次根式的运算：① 2 6 2 3  ，② 18 8 2  ，③ 2 2 5 55  ，④  22 2   ；其中运算正确的 有（ ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．已知 x+y＝﹣5，xy＝4，则 x y x +y x y 的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 6．计算（1﹣ 1 1 1 2 3 4   ）×（ 1 1 2 3  + 1 1 4 5  ）﹣（1﹣ 1 1 1 1 2 3 4 5    ）×（ 1 1 2 3  1 4  ）的 结果等于（ ） A． 1 2 B． 5 5 C． 3 3 D． 2 2 二、填空题 7．计算： 27 3 ＝____________ 8．计算 1 12 242    _______________ 9．计算： 27 48 3   ________ 10．计算： 2( 3 2)( 3 2)   ______ 11．若 a 是 11 的小数部分，则  6a a   _________ 12．已知 1 7a a   ，则 1a a   ___________ 三、解答题 13．计算： （1）  112 6 3 6 2    （2） 2 20201 3 12 1   14．计算： （1） 24 8 12  （2）    2 223 6 63      （3） 12 20 5 3 5   （4）    2 5 2 5 2 3 1    15．先化简，再求值： 2 3 2 1 11x x x x x         ，其中 3 1x   ． 16．已知 3 2a   ， 3 2b   ，分别求下列代数式的值： （1） 2 2a b （2） 2 22a ab b  参考答案 1．C 【详解】 A、 12 2 3 ，不能与 2 2 合并，故本选项不符合题意； B、 24 2 6 ，不能与 2 2 合并，故本选项不符合题意； C、 18 3 2 ，能与 2 2 合并，故本选项符合题意； D、 6 ，不能与 2 2 合并，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．C 【详解】 原式= 2 2 2 2  ， 故选：C． 3．D 【详解】 A． 3 2 3 2 6    ，所以 A 选项正确； B． 4 3 - 3 =（4-1） 3 =3 3 ，所以 B 选项正确； C． 27 3 27 3 9=3    ，所以 C 选项正确； D．       2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1        ，所以 D 选项不正确; 故选择：D． 4．C 【详解】 解： 2 6 2 3  ，故①正确； 18 8 3 2 2 2 2    ，故② 正确； 2 2 5 55  ，故③正确；  22 2  ，故④错误； ∴正确的 3 个； 故选：C． 5．B 【详解】 解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0， ∴x＜0，y＜0， ∴原式＝ 2 2 xy xyx yx y  ＝ xy xyx yx y     ＝﹣2 xy ， ∵xy＝4， ∴原式＝﹣2 4 ＝﹣2×2＝﹣4； 故选：B． 6．B 【详解】 解：设 a＝ 1 1 1+ + 2 3 4 ， 原式＝（1﹣a）（a+ 1 5 ）﹣（1﹣a﹣ 1 5 ）×a ＝a+ 1 5 ﹣a2﹣ 5 a ﹣a+a2+ 5 a ＝ 5 5 ． 7． 2 3 【详解】 解： 27 3 =3 3 3 2 3 ． 故答案为 2 3 ． 8．3 6 【详解】 解： 1 12 242 ´ + 1 12+2 62   6 2 6  3 6. 故答案为：3 6. 9．7 【详解】 27 48 3   3 3 4 3 3  7 3 3  7 ， 故答案为：7． 10． 3 2 【详解】 解： 2( 3 2)( 3 2)  = ( 3 2)( 3 2)( 3 2)   = 2 2( 3) ( 2) ( 3 2)    = 3 2 ． 故答案为： 3 2 ． 11．2 【详解】 解：∵9＜11＜16， ∴3＜ 11 ＜4， ∴ 11 的整数部分是 3， ∴小数部分是 a＝ 11 ﹣3， ∴a（a+6）＝（ 11 ﹣3）（ 11 +3） ＝11﹣9 ＝2． 12． 5 【详解】 21 1 2a a aa        ， ∵ 1 7a a   ， ∴ 21 7 2=5a a       ， ∴ 1 5a a    ， 故填： 5 ． 13．（1）6；（2）3． 【详解】 解：（1）  112 6 3 6 2    = 212 3 6 3 6 2      = 36 18 3 2  = 6 3 2 3 2  =6； （2） 2 20201 3 12 1   = 4 2 3 2 3 1   =3． 14．（1）6 6 ；（2）41；（3）18 55 ，（4）2 3 -1． 【详解】 解：（1） 24 8 12  =2 6 +2 2 2 3 =2 6 +4 6 =6 6 （2）    2 223 6 63      =3+2+36 =41 （3） 12 20 5 3 5   =4 5 - 5 + 3 5 5 =（4-1+ 3 5 ） 5 =18 55 （4）     2 5 2 5 2 3 1    =5-2-3+2 3 -1 =2 3 -1 15． 1 1x  ， 3 3 【详解】 解： 2 3 2 1 11x x x x x              21 1 1 1 x x x x x x     1 1x   当 3 1x   时，原式 1 3 33 1 1     16．（1）12 2 ；（2）8 【详解】 （1）∵ 3 2a   ， 3 2b   ， ∴ 3 2 3 2 6a b      ， 3 2 3 2 2 2a b      ， ∴ 2 2 ( )( )a b a b a b    6 2 2  12 2 ； （2）由（1）知 2 2a b  ， ∴ 2 2 22 ( )a ab b a b    2(2 2) 8 ．