备战2021年中考数学考点专题训练——专题五：图形的旋转 24页

备战 2021 中考数学考点专题训练——专题五：图形的旋转 1．在图中，是由基本图案多边形 ABCDE 旋转而成的，它的旋转角为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到 正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是 ． 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，M 是 BC 的中点，P 是 A′B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠BAC＝30°，则线段 PM 的最大值 是 ． 4．如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C'，点 C′恰好落在线段 AB 上，连接 BB'．若 AC＝1，AB＝3，则 BC′＝ ． 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC，若点 B 恰好落在 AB 边上 D 处，则∠1＝ °． 6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别 落在点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…， 若点 A（ ，0）、B（0，4），则点 B2020 的横坐标为 ． 7．已知一个直角三角板 PMN，∠MPN＝30°，MN＝2，使它的一边 PN 与正方形 ABCD 的一边 AD 重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点 P 旋转，使点 M 落在直线 BC 上一点 F 处，则 CF 的长为 ． 8．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E 是斜边 BC 上两点，∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时针 90°旋转后，得到△AFB，连接 EF．下列结论中正确的有 ．（填序号） ①∠EAF＝45°；②△ABE∽△CAD；③EA 平分∠CEF；④BE2+DC2＝DE2． 9．已知：如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，将△ABC 绕 A 点按顺时针旋转 60°， 得到△AB'C′，则 CC′＝ ． 10．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转 次，每次旋转 度形成的． 11．如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上， 则∠A 的度数是 ． 12．如图，Rt△OAB 的直角边 OA 在 y 轴上，点 B 在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°，则点 B 的对应点的坐标为 ． 13．如图，一块等腰直角的三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 A′B′C 的位置，使 A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为 ． 14．如图：已知△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE， PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下五个结论： ①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF 是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S 四边形 AEPF＝ S△ABC． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），上述结论中始终正确的序号 有 ． 15．如图，P 是等边△ABC 内的一点，若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′ 的度数为 度． 16．将点（0，1）绕原点顺时针旋转 90°，所得的点的坐标为 ． 17．如图，点 D 是等边△ABC 内一点，将△BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60°，得到△ACE， 连接 BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE 的度数为 ． 18．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转至△DEC 的位 置，点 B 恰好在边 DE 上，则∠θ＝ 度． 19．如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若 PB＝2，则 PP′＝ ． 20．如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到△ AC′B′，则 tanB′的值为 ． 21．如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将△ABO 绕 OA 中点 C 逆时针旋转 90°得到△A′B′O′，则 A′的坐标为 ． 22．如图，将△ABC 的绕点 A 顺时针旋转得到△AED，点 D 正好落在 BC 边上．已知∠C＝80°， 则∠EAB＝ °． 23．已知 A，B，O 三点不共线，点 A，Aʹ关于点 O 对称，点 B，Bʹ关于点 O 对称，那么线段 AB 与 AʹBʹ的关系是 ． 24．如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD 的 大小为 度． 25．如图，已知平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于∠ABC， 把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接 DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠ DA′E′的度数为 ． 26．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN ＝45°．若 BM＝1，CN＝3，则 MN 的长为 ． 27．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°， 得到△AB10，那么点 A1 的坐标为 ． 28．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是 由 Rt△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 60°得到的，则线段 B′C 的长为 ． 29．如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则 ∠AOB′的度数是 ． 30．在直角坐标系中，点 A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ． 31．如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，将△AOB 绕顶点 O 顺时针旋转，旋转 角为θ（0°＜θ＜180°），得到△COD．设 AO 的中点为 E，CD 中点为 P，AO＝a，连接 EP， 当θ＝ °时，EP 长度最大，最大值为 ． 32．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝15，BC＝17，将矩形 ABCD 绕点 D 按顺时针方向旋转得到 矩形 DEFG，点 A 落在矩形 ABCD 的边 BC 上，连接 CG，则 CG 的长是 ． 33．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BA′，则点 A′的坐标为 ． 备战 2021 中考数学考点专题训练——专题五：图形的旋转参考答案 1．在图中，是由基本图案多边形 ABCDE 旋转而成的，它的旋转角为 ． 【答案】解：∵图形是基本图案多边形 ABCDE 旋转而成的， 而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形， ∴它的旋转角为 60°． 2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到 正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是 ． 【答案】解：∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1， ∴A（0，1）， ∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1， ∴A1（ ， ），A2（1，0），A3（ ，﹣ ），…， 发现是 8 次一循环，所以 2019÷8＝252……3， ∴点 A2019 的坐标为（ ，﹣ ）． 故答案为（ ，﹣ ）． 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，M 是 BC 的中点，P 是 A′B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠BAC＝30°，则线段 PM 的最大值 是 ． 【答案】解：如图连接 PC． 在 Rt△ABC 中，∵∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4， ∴A′P＝PB′， ∴PC＝ A′B′＝2， ∵CM＝BM＝1， 又∵PM≤PC+CM，即 PM≤3， ∴PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线）． 故答案为：3． 4．如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C'，点 C′恰好落在线段 AB 上，连接 BB'．若 AC＝1，AB＝3，则 BC′＝ ． 【答案】解：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C'，点 C′恰好落在线段 AB 上， ∴AC′＝AC＝1， ∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2． 故答案为 2． 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC，若点 B 恰好落在 AB 边上 D 处，则∠1＝ °． 【答案】解：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠ACB＝∠B＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝140°， ∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC， ∴∠CDE＝∠B＝70°，BC＝CD， ∴∠B＝∠BDC＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°， 故答案为：100． 6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别 落在点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…， 若点 A（ ，0）、B（0，4），则点 B2020 的横坐标为 ． 【答案】解：由图象可知点 B2020 在第一象限， ∵OA＝ ，OB＝4，∠AOB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝ ， ∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），… ∴B2020（10100，4）． ∴点 B2020 横坐标为 10100． 故答案为 10100 7．已知一个直角三角板 PMN，∠MPN＝30°，MN＝2，使它的一边 PN 与正方形 ABCD 的一边 AD 重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点 P 旋转，使点 M 落在直线 BC 上一点 F 处，则 CF 的长为 ． 【答案】解：∵∠MPN＝30°，MN＝2， ∴AD＝MN•cot∠MPN＝2×cot30°＝2× ＝2 ， ①如图 1，当点 F 在 BC 上，点 N 不在 BC 上时，根据旋转的性质 AF＝AM， 在 Rt△ABF 和 Rt△ADM 中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL）， ∴BF＝DM， 又∵BF＝BC﹣CF，DM＝CD﹣CM， ∴CF＝CM＝CD﹣DM＝2 ﹣2； ②如图 2，△PMN 绕点 P 顺时针旋转 90°时，点 F、B 都在直线 BC 上时， 根据旋转的性质，BF＝MN＝2， 所以，CF＝BC+BF＝2 +2， 综上所述，CF 的长为（2 ﹣2）或（2 +2）． 故答案为：（2 ﹣2）或（2 +2）． 8．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E 是斜边 BC 上两点，∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时针 90°旋转后，得到△AFB，连接 EF．下列结论中正确的有 ．（填序号） ①∠EAF＝45°；②△ABE∽△CAD；③EA 平分∠CEF；④BE2+DC2＝DE2． 【答案】解：∵△ADC 绕点 A 顺时针 90°旋转后，得到△AFB， ∴∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF， 而∠DAE＝45°， ∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴△DAE≌△FAE， ∴∠DEA＝∠FEA，即 EA 平分∠CEF； ∴EF＝ED， 在 Rt△BEF 中，BE2+BF2＝EF2， ∴BE2+DC2＝DE2， ∴①③④正确， 故答案为①③④． 9．已知：如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，将△ABC 绕 A 点按顺时针旋转 60°， 得到△AB'C′，则 CC′＝ ． 【答案】解：连接 CC′，如图所示． 由旋转，可知：AC＝AC′，∠CAC′＝60°， ∴△ACC′为等边三角形， ∴CC′＝AC． 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝ ＝ ， ∴CC′＝ ． 故答案为： ． 10．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转 次，每次旋转 度形成的． 【答案】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转 7 次，每次 旋转 45 度形成的， 故答案为：7；45． 11．如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上， 则∠A 的度数是 ． 【答案】解：∵△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°． 12．如图，Rt△OAB 的直角边 OA 在 y 轴上，点 B 在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°，则点 B 的对应点的坐标为 ． 【答案】解：如图，∵△OA′B′是由△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到， ∴OA′＝OA，A′B′＝AB，且 A′B′⊥OA′， ∵OA＝2，AB＝1， ∴OA′＝2，A′B′＝1， ∴点 B′（﹣2，1）， 即点 B 的对应点的坐标为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 13．如图，一块等腰直角的三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 A′B′C 的位置，使 A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为 ． 【答案】解：根据旋转的性质可知，∠ACB＝∠A′CB′＝45°， 那么旋转角度的大小为∠ACA′＝180°﹣45°＝135° ； 故答案为：135°． 14．如图：已知△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE， PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下五个结论： ①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF 是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S 四边形 AEPF＝ S△ABC． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），上述结论中始终正确的序号 有 ． 【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点 P 是 BC 的中点， ∴∠EAP＝ ∠BAC＝45°，AP＝ BC＝CP． ①在△AEP 与△CFP 中， ∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF， ∴△AEP≌△CFP，∴AE＝CF．正确； ②由①知，△AEP≌△CFP， ∴∠APE＝∠CPF．正确； ③由①知，△AEP≌△CFP， ∴PE＝PF．又∵∠EPF＝90°， ∴△EPF 是等腰直角三角形．正确； ④只有当 F 在 AC 中点时 EF＝AP，故不能得出 EF＝AP，错误； ⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE． ∴S 四边形 AEPF＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△BPE＝ S△ABC．正确． 故正确的序号有①②③⑤． 15．如图，P 是等边△ABC 内的一点，若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′ 的度数为 度． 【答案】解：连接 PP′． 根据旋转的性质，得：∠P′AB＝∠PAC． 则∠P′AB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°， 即∠PAP′＝60°． 故答案为：60． 16．将点（0，1）绕原点顺时针旋转 90°，所得的点的坐标为 ． 【答案】解：将点（0，1）绕原点顺时针旋转 90°， 所得的点在 x 轴的正半轴上，到原点的距离为 1， 因而该点的坐标为（1，0）． 故答案为（1，0）． 17．如图，点 D 是等边△ABC 内一点，将△BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60°，得到△ACE， 连接 BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE 的度数为 ． 【答案】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵△BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60°，得到△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵∠CAE+∠AEB＝∠CBE+∠BCA， 即∠CBD+45°＝∠CBE+60°， ∴∠CBD﹣∠CBE＝60°﹣45°＝15°， 即∠DBE＝15°． 故答案为：15°． 18．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转至△DEC 的位 置，点 B 恰好在边 DE 上，则∠θ＝ 度． 【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°， ∴∠ABC＝65°， 由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA， ∴∠ECB＝50°， ∴∠θ＝50°， 故答案为：50． 19．如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若 PB＝2，则 PP′＝ ． 【答案】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合， ∴∠PBP′＝∠ABC＝90°，PB＝P′B＝2， ∴△PBP′为等腰直角三角形， ∴PP′＝ PB＝2 ． 故答案为 2 ． 20．如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到△ AC′B′，则 tanB′的值为 ． 【答案】解：过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D． 根据旋转性质可知，∠B′＝∠B． 在 Rt△BCD 中，tanB＝ ＝ ， ∴tanB′＝tanB＝ ． 故答案为 ． 21．如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将△ABO 绕 OA 中点 C 逆时针旋转 90°得到△A′B′O′，则 A′的坐标为 ． 【答案】方法一： 解：如图过 A'作 O'B'的垂线交 y 轴于点 N， ∵点 A 到 OB 的距离是 2， ∴点 A'到 O'B'的距离 A'M＝2，故 A'N＝MN﹣A'M＝OB﹣A'M＝3﹣2＝1，由勾股定理得 OA＝ 2 ， ∴A'C＝OC＝ ，由勾股定理 OA'＝ ，在 Rt△OA'N 中，用勾股定理得 ON＝3， ∴A'（1，3）． 方法二： 解：过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，分别过点 A、A'作 AM⊥l、A'N⊥l，垂足分别为 M、N，如 图 2 所示， ∵∠ACA′＝90°， ∴∠ACM+∠A′CN＝90°， ∵∠ACM+∠CAM＝90°， ∴∠CAM＝∠A′CN， 在 Rt△ACM 和 Rt△A′CN 中， ∵∠CAM＝∠A′CN， AC＝A′C， ∴△ACM≌△A′CN， A′N＝CM，CN＝AM， ∵点 C 为 OA 中点，A 点坐标为（4，2） ∴AM＝ ×2＝1，CM＝ ＝2， ∴A′点纵坐标为 2+1＝3， ∵点 A 到 OB 的距离是 2， ∴点 A'到 O'B'的距离是 2， ∵OB＝3， ∴A′点横坐标为 3﹣2＝1， ∴A'（1，3）． 22．如图，将△ABC 的绕点 A 顺时针旋转得到△AED，点 D 正好落在 BC 边上．已知∠C＝80°， 则∠EAB＝ °． 【答案】解：∵△ABC 的绕点 A 顺时针旋转得到△AED， ∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD， ∵点 D 正好落在 BC 边上， ∴∠C＝∠ADC＝80°， ∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°， ∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， ∴∠EAB＝20°． 故答案为：20． 23．已知 A，B，O 三点不共线，点 A，Aʹ关于点 O 对称，点 B，Bʹ关于点 O 对称，那么线段 AB 与 AʹBʹ的关系是 ． 【答案】解：∵点 A′与点 A 关于点 O 对称，点 B′与点 B 关于点 O 对称， ∴线段 AB 与 A′B′关于点 O 对称． ∴AB∥A′B′，且 AB＝A′B′ 故答案为：平行且相等． 24．如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD 的 大小为 度． 【答案】解：∵将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD， ∴∠DOB＝70°， ∵∠AOB＝40°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°， 故答案为：30． 25．如图，已知平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于∠ABC， 把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接 DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠ DA′E′的度数为 ． 【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC， ∴∠ADA′+∠DA′B＝180°， ∴∠DA′B＝180°﹣50°＝130°， ∵AE⊥BE， ∴∠BAE＝30°， ∵△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′， ∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°， ∴∠DA′E′＝130°+30°＝160°． 故答案为 160°． 26．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN ＝45°．若 BM＝1，CN＝3，则 MN 的长为 ． 【答案】解：将△AMB 逆时针旋转 90°到△ACF，连接 NF， ∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3， ∵△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF， 在△MAN 和△FAN 中 ∴△MAN≌△FAN， ∴MN＝NF， ∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°， ∴∠FCN＝90°， ∵CF＝BM＝1，CN＝3， ∴在 Rt△CFN 中，由勾股定理得：MN＝NF＝ ＝ ， 故答案为： ． 27．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°， 得到△AB10，那么点 A1 的坐标为 ． 【答案】解：把点 A 绕点 O 顺时针旋转 90°可得 A1 的坐标为（1，3）． 28．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是 由 Rt△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 60°得到的，则线段 B′C 的长为 ． 【答案】解：如图，作 B′E⊥AC 交 CA 的延长线于 E． ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6， ∴∠ABC＝30°， ∴AC＝ AB＝3， ∵Rt△AB′C′可以看作是由 Rt△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 60°得到的， ∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°， ∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°． ∵B′E⊥EC， ∴∠AB′E＝30°， ∴AE＝3， ∴根据勾股定理得出：B′E＝ ＝3 ， ∴EC＝AE+AC＝6， ∴B′C＝ ＝ ＝3 ． 故答案为：3 ． 29．如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则 ∠AOB′的度数是 ． 【答案】解：∵将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°， ∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°， 故答案是：30°． 30．在直角坐标系中，点 A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 31．如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，将△AOB 绕顶点 O 顺时针旋转，旋转 角为θ（0°＜θ＜180°），得到△COD．设 AO 的中点为 E，CD 中点为 P，AO＝a，连接 EP， 当θ＝ °时，EP 长度最大，最大值为 ． 【答案】解：∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝2a， ∵△AOB 绕顶点 O 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜＜180°）得到△COD， ∴CD＝AB＝2a， 连结 OP， ∵CD 中点为 P， ∴OP＝ CD＝a， 如图 1，PE＜OE+OP， 点 P、O、E 共线时，如图 2，Q 为 AB 的中点， ∵PE＝OE+OP， ∴PE 的最大值为 0.5a+a＝1.5a． ∵QA＝QO， ∴∠AOQ＝∠A＝60°， ∴∠POQ＝120° ∴旋转角θ＝120°． 故答案为 120，1.5a． 32．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝15，BC＝17，将矩形 ABCD 绕点 D 按顺时针方向旋转得到 矩形 DEFG，点 A 落在矩形 ABCD 的边 BC 上，连接 CG，则 CG 的长是 ． 【答案】解：连接 AE，如图所示： 由旋转变换的性质可知，∠ADE＝∠CDG，AD＝BC＝DE＝17，AB＝CD＝DG＝15， 由勾股定理得，CE＝ ＝ ＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9， 则 AE＝ ＝ ＝3 ， ∵ ＝ ，∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE∽△CDG， ∴ ＝ ＝ ， 解得，CG＝ ， 故答案为： ． 33．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BA′，则点 A′的坐标为 ． 【答案】解：作 AC⊥x 轴于 C， ∵点 A、B 的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0）， ∴AC＝2，BC＝3+1＝4， 把 Rt△BAC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△BA′C′，如图， ∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC ＝2， ∴点 A′的坐标为（1，﹣4）． 故答案为（1，﹣4）．