2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练（选择题专项）：轴对称之线段最短问题（一） 18页

2021 年九年级数学中考一轮复习专题突破训练（选择题专项）： 轴对称之线段最短问题（一） 1．在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2）， B（0，4），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（ ） A．2 B．2 C．6 D．3 2．如图，动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AM⊥BM，P 是 CD 边上的一个动点， E 是 AD 边的中点，则线段 PE+PM 的最小值为（ ） A． ﹣1 B． +1 C． D． +1 3．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 上且 BE＝1，F 为对角线 AC 上一动点，则 △BFE 周长的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点 O 为圆心，2 为半径的圆 与 OB 交于点 C，过点 C 作 CD⊥OB 交 AB 于点 D，点 P 是边 OA 上的动点．当 PC+PD 最小时，OP 的长为（ ） A． B． C．1 D． 5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB＝ S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、 B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ） A．2 B．2 C．3 D． 6．如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A（4，4），点 C 在边 AB 上，且 ＝ ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长 最小的点 P 的坐标为（ ） A．（2，2） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（3，3） 7．如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB， BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（ ） A． B．1 C． D．2 8．如图，在锐角三角形 ABC 中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D， M，N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是（ ） A． B．2 C．2 D．4 9．如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6 ，BD＝6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A．6 B．3 C．2 D．4.5 10．如图，∠AOB＝60°，点 P 是∠AOB 内的定点且 OP＝ ，若点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ） A． B． C．6 D．3 11．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，P 为对角线 BD 上的一个动 点，则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是（ ） A．AB B．DE C．BD D．AF 12．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝9，点 E 在 CD 边上，且 DE＝2CE，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是（ ） A．3 B．10 C．9 D．9 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（ ） A． B． C． D．6 14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点， 则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） A．BC B．CE C．AD D．AC 15．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB＝ S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ） A． B． C．5 D． 16．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝4，∠DAC＝30°，点 P、E 分别在 AC、AD 上，则 PE+PD 的最小值是（ ） A．2 B．2 C．4 D． 18．如图，矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上， 且 AE＝CG，BF＝DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为（ ） A．5 B．10 C．10 D．15 19．如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（﹣4，5），D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点， 当△ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是（ ） A．（0， ） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ） 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E 分别是 AB、BC 边上的动 点，则 AE+DE 的最小值为（ ） A． B． C．5 D． 参考答案 1．解：设 C（m，0）， ∵CD＝2， ∴D（m+2，0）， ∵A（0，2），B（0，4）， ∴AC+BD＝ + ， ∴要求 AC+BD 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（n，0），使得点 P 到 M（0，2）和 N（﹣2，4）的距离和最小， 如图 1 中，作点 M 关于 x 轴的对称点 Q，连接 NQ 交 x 轴于 P′，连接 MP′，此时 P′ M+P′N 的值最小， ∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2） P′M+P′N 的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝ ＝2 ， ∴AC+BD 的最小值为 2 ． 故选：B． 2．解：作点 E 关于 DC 的对称点 E'，设 AB 的中点为点 O，连接 OE'，交 DC 于点 P，连接 PE，如图： ∵动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AM⊥BM， ∴点 M 在以 AB 为直径的圆上，OM＝ AB＝1， ∵正方形 ABCD 的边长为 2， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， ∵E 是 AD 的中点， ∴DE＝ AD＝ ×2＝1， ∵点 E 与点 E'关于 DC 对称， ∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'， ∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3， 在 Rt△AOE'中，OE'＝ ＝ ＝ ， ∴线段 PE+PM 的最小值为： PE+PM ＝PE'+PM ＝ME' ＝OE'﹣OM ＝ ﹣1． 故选：A． 3．解：如图，连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴点 B 与点 D 关于 AC 对称， ∴BF＝DF， ∴△BFE 的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF 的周长最小， ∵正方形 ABCD 的边长为 4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°， ∵点 E 在 AB 上且 BE＝1， ∴AE＝3， ∴DE＝ ， ∴△BFE 的周长＝5+1＝6， 故选：B． 4．解：如图，延长 CO 交 ⊙ O 于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，此时 PC+PD 的值最小． ∵CD⊥OB， ∴∠DCB＝90°， 又∠AOB＝90°， ∴∠DCB＝∠AOB， ∴CD∥AO ∴ ∵OC＝2，OB＝4， ∴BC＝2， ∴ ，解得，CD＝ ； ∵CD∥AO， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得，PO＝ 故选：B． 5．解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h． ∵S△PAB＝ S 矩形 ABCD， ∴ AB•h＝ AB•AD， ∴h＝ AD＝2， ∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上， 如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离． 在 Rt△ABE 中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4， ∴BE＝ ＝ ＝2 ， 即 PA+PB 的最小值为 2 ． 故选：A． 6．解：∵在 Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A（4，4）， ∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°， ∵ ＝ ，点 D 为 OB 的中点， ∴BC＝3，OD＝BD＝2， ∴D（2，0），C（4，3）， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2）， ∵直线 OA 的解析式为 y＝x， 设直线 EC 的解析式为 y＝kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线 EC 的解析式为 y＝ x+2， 解 得， ， ∴P（ ， ）， 故选：C． 7．解：如图 ， 作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值 为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N＝AB＝1， ∴MP+NP＝M′N＝1，即 MP+NP 的最小值为 1， 故选：B． 8．解：如图，在 BA 上截取 BE＝BN， 因为∠ABC 的平分线交 AC 于点 D， 所以∠EBM＝∠NBM， 在△BME 与△BMN 中， 所以△BME≌△BMN（SAS）， 所以 ME＝MN． 所以 CM+MN＝CM+ME≥CE． 因为 CM+MN 有最小值． 当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，即 C 到直线 AB 的垂线段时，CE 取最小值为：4×sin60° ＝ ． 故选：C． 9．解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值， 其 PE+PM＝PE′+PM＝E′M， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴点 E′在 CD 上， ∵AC＝6 ，BD＝6， ∴AB＝ ＝3 ， 由 S 菱形 ABCD＝ AC•BD＝AB•E′M 得 ×6 ×6＝3 •E′M， 解得：E′M＝2 ， 即 PE+PM 的最小值是 2 ， 故选：C． 10．解：作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如 图， 则 MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝ ，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC， ∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB ＝120°， ∴此时△PMN 周长最小， 作 OH⊥CD 于 H，则 CH＝DH， ∵∠OCH＝30°， ∴OH＝ OC＝ ， CH＝ OH＝ ， ∴CD＝2CH＝3． 故选：D． 11．解：如图，连接 CP， 由 AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP＝CP， ∴AP+PE＝CP+PE， ∴当点 E，P，C 在同一直线上时，AP+PE 的最小值为 CE 长， 此时，由 AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE， ∴AP+EP 最小值等于线段 AF 的长， 故选：D． 12．解：如图，连接 BE，设 BE 与 AC 交于点 P′， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴点 B 与 D 关于 AC 对称， ∴P′D＝P′B， ∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE 最小． 即 P 在 AC 与 BE 的交点上时，PD+PE 最小，为 BE 的长度． ∵直角△CBE 中，∠BCE＝90°，BC＝9，CE＝ CD＝3， ∴BE＝ ＝3 ． 故选：A． 13．解：如图所示：在 AB 上取点 F′，使 AF′＝AF，过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H． 在 Rt△ABC 中，依据勾股定理可知 BA＝10． CH＝ ＝ ， ∵EF+CE＝EF′+EC， ∴当 C、E、F′共线，且点 F′与 H 重合时，FE+EC 的值最小，最小值为 故选：C． 14．解：如图连接 PC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PE＝PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度， 故选：B． 15．解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h． ∵S△PAB＝ S 矩形 ABCD， ∴ AB•h＝ AB•AD， ∴h＝ AD＝2， ∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离． 在 Rt△ABE 中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE＝ ＝ ＝ ， 即 PA+PB 的最小值为 ． 故选：D． 16．解：过点 C 作 CO⊥AB 于 O，延长 CO 到 C′，使 OC′＝OC，连接 DC′，交 AB 于 P，连接 CP． 此时 DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小． ∵BD＝3，DC＝1 ∴BC＝4， ∴BD＝3， 连接 BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝4， 根据勾股定理可得 DC′＝ ＝ ＝5． 故选：B． 17．解：作 D 关于直线 AC 的对称点 D′，过 D′作 D′E⊥AD 于 E， 则 D′E＝PE+PD 的最小值， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝4，∠DAC＝30°， ∵DD′⊥AC， ∴∠CDD′＝30°， ∴∠ADD′＝60°， ∴DD′＝4， ∴D′E＝2 ， 故选：B． 18．解：作点 E 关于 BC 的对称点 E′，连接 E′G 交 BC 于点 F，此时四边形 EFGH 周长 取最小值，过点 G 作 GG′⊥AB 于点 G′，如图所示． ∵AE＝CG，BE＝BE′， ∴E′G′＝AB＝10， ∵GG′＝AD＝5， ∴E′G＝ ＝5 ， ∴C 四边形 EFGH＝2E′G＝10 ． 故选：B． 19．解：作 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′D 交 y 轴于 E， 则此时，△ADE 的周长最小， ∵四边形 ABOC 是矩形， ∴AC∥OB，AC＝OB， ∵A 的坐标为（﹣4，5）， ∴A′（4，5），B（﹣4，0）， ∵D 是 OB 的中点， ∴D（﹣2，0）， 设直线 DA′的解析式为 y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线 DA′的解析式为 y＝ x+ ， 当 x＝0 时，y＝ ， ∴E（0， ）， 故选：B． 20．解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A′，过点 A′作 A′D⊥AB 交 BC、AB 分别于点 E、D， 则 A′D 的长度即为 AE+DE 的最小值，AA′＝2AC＝2×3＝6， ∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝ ， ∴sin∠BAC＝ ， ∴A′D＝AA′•sin∠BAC＝6× ＝ ， 即 AE+DE 的最小值是 ． 故选：B．