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  • 2021-11-06 发布

中考数学第一轮复习导学案一元二次方程及其应用

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- 1 - 一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1.如果 2 是一元二次方程 x2+bx+2=0 的一个根,那么常数 b 的值为 . 2.方程 042  xx 的解______________. 3.方程 2 40x 的根是( ) A. 2x  B. 2x  C. 1222xx  , D. 4x  4.由于甲型 H1N1 流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原 来每斤 16 元下调到每斤 9 元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率 为 x ,则根据题意可列方程为 . 【参考答案】1.-3 2.x1=0, x2=4 3. C 4. 216(1 ) 9x ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中 0a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化 1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 - 2 - 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的 系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如 )0(2  aax 或 )0()( 2  aabx 的一元二次方程,就可用 直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程  02  aocbxax 的一般步骤是:①化二 次项系数为 1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和 一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化 原方程为 2()x m n的形式,⑤如果是非负数,即 0n  ,就可以用直接开平方 求出方程的解.如果 n<0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的求根公式是 2 2 1,2 4 ( 4 0)2 b b acx b aca      . (4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于 0,得到两个一元一次方程, 解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例 1(湖南长沙)已知关于 x 的方程 2 60x kx   的一个根为 3x  ,则实数 k 的值为( ) A.1 B. 1 C.2 D. 2 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根,所以将 x=3 代入原方程, 原方程成立,即 06332  k 成立,解得 k=1。故选 A。 例 2(湖北仙桃)解方程: 2 4 2 0xx   【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点,可用配方法求解. 【答案】 2 42xx   2 4 4 2 4xx     - 3 - 2( 2) 2x  22x    22x    122 2 2 2xx     , 例 3(广东省)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒 得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑,依题意得: 1+  1 81x x x   ,  21 81x, 19x  或 19x    , 1 8x  或 2 10x  (舍去),    331 1 8 729 700x     . 答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台. 【点评】解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数 的值,是否符合实际意义.凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去. ◆迎考精炼 一、选择题 1.(湖北武汉)已知 2x  是一元二次方程 2 20x mx   的一个解,则 m 的值是( ) A. 3 B.3 C.0 D.0 或3 2.(内蒙古呼和浩特)用配方法解方程 23 6 1 0xx   ,则方程可变形为( ) A. 2 1( 3) 3x  B. 2 13( 1) 3x  C. 2(3 1) 1x  D. 2 2( 1) 3x  3.(河南)方程 2x =x 的解是 ( ) A.x=1 B.x=0 - 4 - C.x1=1 x2=0 D.x1=﹣1 x2=0 4.(湖南衡阳)两圆的圆心距为 3,两圆的半径分别是方程 0342  xx 的两个根,则两 圆的位置关系是 ( ) A.相交 B.外离 C.内含 D.外切 5.(湖北黄石)三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 2 12 35 0xx   的根,则该 三角形的周长为( ) A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对 6.(湖北襄樊)为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面 积由现在的人均约为 210m 提高到 212.1m ,若每年的年增长率相同,则年增长率为 ( ) A.9% B.10% C.11% D.12% 二、填空题 1.(内蒙古赤峰)已知关于 x 的方程 x2-3x+2k=0 的一个根是 1,则 k= 2.(山东威海)若关于 x 的一元二次方程 2 ( 3) 0x k x k    的一个根是 2 ,则另一个根 是______. 3.(浙江温州)方程(x-1)2=4 的解是 . 4.(广西崇左)分解因式: 22 4 2xx   . 5.(山西)请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程: . 6.(江苏省)某县农民人均年收入为 7 800 元,计划到 2010 年,农民人均年收入达到 9 100 元.设人均年收入的平均增长率为 x ,则可列方程 . 三、解答题 1.(山西省)解方程: 2 2 3 0xx   2.(广西梧州)解方程: 0)3(2)3( 2  xxx - 5 - 3.(甘肃庆阳)某企业 2006 年盈利 1500 万元,克服全球金融危机的不利影响,仍实现盈利 2160 万元.从 2006 年到,如果该企业每年盈利的年增长率相同,求: (1)该企业 2007 年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计盈利多少万元? 4.(山东潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD进行绿化和硬化. (1)设计方案如图①所示,矩形 P、Q 为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q 两块绿地周围 的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 1 4 ,求 P、Q 两块绿地 周围的硬化路面的宽. (2)某同学有如下设想:设计绿化区域为相外切的 两 等 圆 , 圆 心 分 别 为 1O 和 2O ,且 到 AB BC AD、 、 的距离与 到 CD BC AD、 、 的 距离都相等,其余为硬化地面,如图②所示,这个 设想是否成立?若成立,求出圆的半径;若不成立, 说明理由. 【参考答案】 一、选择题 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B - 6 - 6.B 解析:本题考查方程解决增长率问题,设年增长率 x ,可列方程  210 1 12.1x ,解 得 1 0.1 10%x  , 2 2.1x  (舍去),所以年增长率 10%,故选 B。 二、填空题 1.1 2.1 3.x1=3,x2=-1 4. 22( 1)x  5.答案不唯一,如 2 1x  6. 27 800( 1) 9100x  三、解答题 1.解:移项,得 2 23xx, 配方,得 214x , ∴ 12x    , ∴ 1213xx  , . 2.解: 0)23)(3(  xxx 0)33)(3(  xx 03 x 或 033 x 即 31 x 或 12 x 3.解:(1)设每年盈利的年增长率为 x , 根据题意,得 21500(1 ) 2160x . 解得 120.2 2.2xx  , (不合题意,舍去). 1500(1 ) 1500(1 0.2) 1800x     . 答:2007 年该企业盈利 1800 万元. (2) 2160(1 0.2) 2592 . 答:预计该企业盈利 2592 万元. 4.解:(1)设 PQ、 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x 米,根据题意,得: 1(60 3 ) (40 2 ) 60 40 4xx      解之,得: 1210 30xx, 经检验, 2 30x  不符合题意,舍去. 所以,两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米. - 7 - (2)设想成立.设圆的半径为 r 米, 1O 到 AB 的距离为 y 米,根据题意,得: 2 40 2 2 60 y yr    解得: 20 10yr, .符合实际. 所以,设想成立,此时,圆的半径是 10 米.