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  • 2021-11-06 发布

2020年四川省宜宾市中考数学试题

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宜宾市 2020 年初中学业水平即高中阶段学校招生考试 数学 一、选择题 1.6 的相反数为 ( ) A. -6 B. 6 C. 1 6  D. 1 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义进行求解. 【详解】6 的相反数为:﹣6.故选 A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解答的关键,绝对值相等,符号相反的两 个数互为相反数. 2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先,2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三 号组网卫星,该卫星发射升空的速度是 7100 米/秒,将 7100 用科学记数法表示为( ) A. 7100 B. 40.71 10 C. 271 10 D. 37.1 10 【答案】D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 【详解】7100= 37.1 10 . 故选:D. 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3.如图所示,圆柱的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据主视图是从正面看得到的图形,可得答案. 【详解】解:从正面看圆柱的主视图是矩形, 故选:B. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图. 4.计算正确的是( ) A. 3 2 5a b ab  B.  2 22 4a a   C.  2 2 21 1aa a    D. 3 4 12a a a  【答案】C 【解析】 【分析】 对每个选项进行计算判断即可. 【详解】解:A. 3a 和 2b 不是同类项,不能合并,选项错误; B.  2 22 4a a  ,选项错误; C.  2 2 21 1aa a    ,选项正确; D. 3 4 7a a a  ,选项错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式,熟练掌握整式的运算法则 是解题的关键. 5.不等式组 2 0 2 1 1 x x      的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出各不等式的解集,然后得到不等式组的解集即可得到答案. 【详解】解: 2 0 2 1 1 x x      ① ② , 由①得, 2x  , 由②得, 1x   , ∴不等式组的解集为 1 2x   , 故选:A. 【点睛】本题考查了解不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握解不等式是解题的关键. 6.7 名学生的鞋号(单位:厘米)由小到大是:20,21,22,22,23,23,则这组数据的众数和中位数分别 是( ) A. 20,21 B. 21,22 C. 22,22 D. 22,23 【答案】C 【解析】 【分析】 根据中位数和众数的定义进行求解即可. 【详解】解:数据按从小到大的顺序排列为 20,21,22,22,22,23,23,所以中位数是 22; 数据 22 出现了 3 次,出现次数最多,所以众数是 22. 故选:C. 【点睛】本题考查了众数与中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最 中间的那个数(最中间两个数的平均数);众数是出现次数最多的数据. 7.如图,M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点,若 65 , 45A ANM      ,则 BÐ =( ) A. 20 B. 45 C. 65 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】 由 M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点,可知 MN 为△ABC 的中位线,即可得到 45C   ,从而可 求出∠B 的值. 【详解】解:∵M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点, ∴MN∥BC, ∴∠ANM=∠C, ∵ 45ANM   , ∴ 45C   , 又∵ 65A   ∴ 180 180 65 45 70B A C         ∠ ∠ , 故选:D. 【点睛】本题考查了三角形的中位线,注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键. 8.学校为了丰富学生的知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的 价格多 8 元,已知学校用 15000 元购买科普类图书的本数与用 12000 元购买文学书的本数相等,设文学类 图书平均每本 x 元,则列方程正确的是( ) A. 15000 12000 8x x  B. 15000 12000 8x x  C. 15000 12000 8x x   D. 15000 12000 8x x   【答案】B 【解析】 【分析】 设文学类图书平均每本 x 元,根据购买的书本数相等即可列出方程. 【详解】设文学类图书平均每本 x 元,依题意可得15000 12000 8x x  故选 B. 【点睛】此题主要考查分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 9.如图,AB 是 O 的直径,点 C 是圆上一点,连结 AC 和 BC,过点 C 作CD AB 于 D,且 4, 3CD BD  , 则 O 的周长为( ) A. 25 3  B. 50 3  C. 625 9  D. 625 36  【答案】A 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出 BC,再根据圆周角的性质得到 AC⊥BC,得到 cosB= BD BC BC AB  ,代入即可求出 AB, 故可求出 O 的周长. 【详解】∵CD AB , 4, 3CD BD  , ∴BC= 2 23 4 5  ∵AB 是 O 的直径, ∴AC⊥BC, ∴cosB= BD BC BC AB  即 3 5 5 AB  解得 AB= 25 3 ∴ O 的周长为 25 3  故选 A. 【点睛】此题主要考查圆内线段的求解,解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用. 10.某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶 6 个,市场上有 A 型和 B 型两种分类垃圾桶,A 型分类垃 圾桶 500 元/个,B 型分类垃圾桶 550 元/个,总费用不超过 3100 元,则不同的购买方式有( ) A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 【答案】B 【解析】 【分析】 设购买 A 型分类垃圾桶 x 个,则购买 B 型垃圾桶(6-x),然后根据题意列出不等式组,确定不等式组整数 解的个数即可. 【详解】解:设购买 A 型分类垃圾桶 x 个,则购买 B 型垃圾桶(6-x)个 由题意得: 500 550 6 3100 6 x x x      ( ) ,解得 4≤x≤6 则 x 可取 4、5、6,即有三种不同的购买方式. 故答案为 B. 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用,弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本 题的关键. 11.如图, ,ABC ECD  都是等边三角形,且 B,C,D 在一条直线上,连结 ,BE AD ,点 M,N 分别是线 段 BE,AD 上的两点,且 1 1,3 3BM BE AN AD  ,则 CMN 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明 BCE ACD  ,得到 BE AD ,根据已知条件可得 AN BM ,证明△ △BCM ACN ,得到 =60MCN  ,即可得到结果; 【详解】∵ ,ABC ECD  都是等边三角形, ∴ BC AC ,CE CD , 60BCA DCE    , ∴ +BCA ACE DCE ACE      , ∴ BCE ACD   , 在 BCE 和 ACD△ 中, BC AC BCE ACD CE CD        , ∴  △ △BCE ACD SAS , ∴ BE AD , CBM ACN   , 又∵ 1 1,3 3BM BE AN AD  , ∴ BM AN , 在 BCM 和 ACN△ 中, BM AN CBM ACN BC AC        , ∴  △ △BCM ACN SAS , ∴ BCM ACN   , MC NC , ∴ + 60BCM ACM ACN ACM       , ∴ CMN 是等边三角形. 故答案选 C. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,正确分析题目条件是解题的关键. 12.函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x 轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中 0n  ,以下结论正 确的是( ) ① 0abc  ; ②函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 1, 2x x   处的函数值相等; ③函数 1y kx  的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象总有两个不同的交点; ④函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 3 3x ≤ ≤ 内既有最大值又有最小值. A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意作出函数图像,根据系数与图像的关系即可求解. 【详解】如图,根据题意作图, 故 a<0,b<0,c>0 ∴ 0abc  ,①正确; ∵对称轴为 x=-1 ∴函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 1, 3x x   处的函数值相等,故②错误; 图中函数 1y kx  的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象无交点,故③错误; 当 3 3x ≤ ≤ 时,x=-1 时,函数 2 ( 0)y ax bx c a    有最大值 x=3 时,函数 2 ( 0)y ax bx c a    有最小值,故④正确; 故选 C. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解. 二、填空题 13.分解因式: 3a a  ________________. 【答案】   a a 1 a 1  . 【解析】 【分析】 首先提取公因式 a,再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】 3a a = 2( 1)a a  = ( 1)( 1)a a a  . 故答案为 ( 1)( 1)a a a  . 14.如图,A,B,C 是 O 上的三点,若 OBC 是等边三角形,则 cos A  ________________. 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 由△OBC 是等边三角形、则∠COB =60°,然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可. 【详解】解:∵△OBC 是等边三角形 ∴∠COB=60° ∴∠A= 1 2 COB =30° ∴ cos cos30A  o = 3 2 . 故答案为 3 2 . 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理,掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题 的关键. 15.一元二次方程 2 2 8 0x x   的两根为 1 2,x x ,则 2 1 1 2 1 2 2x xx xx x    ________________ 【答案】 37 2  【解析】 【分析】 根据根与系数的关系表示出 1 2x x 和 1 2x x 即可; 【详解】∵ 2 2 8 0x x   , ∴ 1a  , 2b  , 8c   , ∴ 1 2 =- 2bx x a   , 1 2 = =-8cx x a , ∴ 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2   x x x xx x x xx x x x , =  2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2   x x x x x xx x , =       22 2 8 372 88 2          . 故答案为 37 2  . 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,准确利用知识点化简是解题的关键. 16.如图,四边形 ABCD 中, , , 3, 5, 2,DA AB CB AB AD AB BC P     是 AB 上一动点,则 PC PD 的最小值是________________ 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 作 C 点关于 AB的对称点 C’,连接 C’D,PC PD 的最小值即为 C’D 的长,作 C’E⊥DA 的延长线于点 E, 根据勾股定理即可求解. 【详解】如图,作 C 点关于 AB 的对称点 C’,连接 C’D, PC PD 的最小值即为 C’D 的长, 作 C’E⊥DA 的延长线于点 E, ∴四边形 ABC’E 是矩形 ∴DE=AD+AE=AD+BC’=5, ∴C’D= 2 25 5 5 2  故答案为: 5 2 . 【点睛】此题主要考查对称性的应用,解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用. 17.定义:分数 n m (m,n 为正整数且互为质数)的连分数(其中为整数,且等式右边的每一个分数的分子 都为 1),记作 1 2 1 1 ....n m a a    :例如 7 1 1 1 1 1 ....19 5 1 1 119 2 2 2 22 1 17 7 1 1 15 15 22 2               , 7 19 的 连分数是 1 12 11 12 2    ,记作 7 1 1 1 1 19 2 1 2 2     ,则________________ 1 1 1 1 2 3    . 【答案】 7 10 【解析】 【分析】 根据连分数的定义即可求解. 【详解】依题意可设 a 1 1 1 1 2 3    ∴a= 1 1 1 1 7 1 1 3 10 101+ 1+ 1+1 7 7 72+ 3 3     故答案为: 7 10 . 【点睛】此题主要考查新定义运算,解题的关键是根据题意进行求解. 18.在直角三角形 ABC 中, 90 ,ACB D  是 AB 的中点,BE 平分 ABC 交 AC 于点 E 连接 CD 交 BE 于 点 O,若 8, 6AC BC  ,则 OE 的长是________. 【答案】 9 5 11 【解析】 【分析】 过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点,根据三角形面积公式求出 CE=EG=3,延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F,可得 △ACD≌△BFD,得到 BF=8,再根据△CEO∽△FBO,找到比例关系得到 EO= 3 11 BE,再求出 BE 即可求解. 【详解】过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点, ∵BE 平分 ABC ∴CE=EG, 设 CE=EG=x, ∵ 90ACB   , ∴AB= 2 26 8 10  ∵S△ABC= S△ABE+S△BCE, 故 1 1 1 2 2 2AC BC CE BC AB EG     即 1 1 18 6 6 102 2 2x x        解得 x=3 ∴CE=3, 延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F, ∵D 是 AB 中点 ∴AD=BD 又 AC∥BF ∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF ∴△ACD≌△BFD, ∴BF=AC=8, ∵AC∥BF ∴△CEO∽△FBO, ∴ 3 8 EO EC BO BF   ∴EO= 3 11 BE= 3 11 × 2 23 6 = 9 5 11 , 故答案为: 9 5 11 . 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质 及相似三角形的判定与性质. 三、解答题 19.(1)计算:     1 0 20201 3 3 14            (2)化简: 2 2 2 2 111 1 a a a a        【答案】(1)1;(2)2 【解析】 【分析】 (1)运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可; (2)先算括号里面的,然后进行分式乘除运算即可; 【详解】(1)原式=4-1-3+1, =1. (2)原式= 2 ( 1) 1 1 ( 1)( 1) 1 1 a a a a a a a          , 2 1 1 a a a a    , 2 1 1 a a a a   , =2. 【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简,计算准确是解题的关键. 20.如图,在三角形 ABC 中,点 D 是 BC 上的中点,连接 AD 并延长到点 E,使 DE AD ,连接 CE. (1)求证: ABD ECD   (2)若 ABD 的面积为 5,求 ACE 的面积. 【答案】(1)详见解析;(2)10. 【解析】 【分析】 (1)根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用 SAS 即可证明; (2)先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到 ABD ACDS S 、 ABD ECDS S ,再结合 5ABDS  以及 ACE ACD ECDS S S  解答即可. 【详解】证明:(1)∵D 是 BC 的中点, ∴BD=CD 在△ABD 和△CED 中, BD CD ADB CED AD ED       所以 ABD ECD   ; (2)∵在△ABC 中,D 是 BC 的中点 ∴ ABD ACDS S ABD ECD   ABD ECDS S  ∵ 5ABDS  5 5 10ACE ACD ECDS S S      . 答:三角形 ACE 的面积为 10. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识,其中掌握全等三角形的判定 与性质是解答本题的关键. 21.在疫情期间,为落实停课不停学,某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查,了解到学生 的学习方式有:电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习,参入调查的学生只能选择 一种学习方式,将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图,解答下列问题. (1)本次受调查的学生有________人; (2)补全条形统计图; (3)根据调查结果,若本校有 1800 名学生,估计有多少名学生与任课教师在线辅导? 【答案】(1)60;(2)详见解析;(3)900 【解析】 【分析】 (1)根据 A 得占比和人数已知可得结果; (2)算出 C 的人数,然后补全条形统计图; (3)用总人数乘以在线辅导的学生占比即可; 【详解】(1)由题可知受调查人数 9 15%=60 , 故答案为 60. (2)补全图形如图:C 的人数=60-9-30-6=15, (3)学生数为 301800 90060   答:在线辅导的有 900 人. 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用,准确分析题中数据是解题的关键. 22.如图, ,AB CD 两楼地面距离 BC 为 30 3 米,楼 AB 高 30 米,从楼 AB 的顶部点 A 测得楼 CD 顶部点 D 的仰角为 45 度. (1)求 CAD 的大小; (2)求楼 CD 的高度(结果保留根号). 【答案】(1)75°;(2)30 30 3 【解析】 【分析】 (1)如图:过点 A 作 AE CD 于点 E,在 Rt△ABC 中运用三角函数可得 3tan 3ACB  ,即 30ACB   、进一步可得∠EAC=30°,再结合 45EAD   即可解答; (2)先根据题意求得 DE=AE= 30 3 ,然后在 Rt△ACE 中解直角三角形求得 CE,最后利用 CD=CE+DE 进 行计算即可. 【详解】(1)如图:过点 A 作 AE CD 于点 E, ∵在 Rt△ABC 中, 30 3, 30BC AB  3tan 3 ABACB BC     30ACB   30ACB EAC    ∵AE//BC 45EAD   75CAD CAE DAE       ; (2)∵在RtAED 中,AE=BC= 30 3 ,∠DAE=45° ∴DE=AE= 30 3 ∵在 Rt△ACE 中,∠CAE=30° ∴CE=tan30°·AE=30 30 30 3CD CE DE     . 【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形,灵活应用三角函数知识是解答本题 的关键. 23.如图,一次函数 y kx b  的图像与反比例函数 ( 0)my xx   的图像交于    3, , 1, 3A n B   两点,过 点 A 作 AC OP 于点 P. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求四边形 ABOC 的面积. 【答案】(1) 4y x   ;(2)11 2 【解析】 【分析】 (1)将点 B(-1,-3)代入 my x  ,可得反比例函数解析式 3y x  ,即可求出 A 点的坐标,将 A、B 代入解析 式即可求解; (2)过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E,根据  ABOE ACOQ OBQS S S 关系式可求解; 【详解】解:(1)将点 B(-1,-3)代入 my x  , 解得 3m  所以反比例函数的表达式为 3y x  ; 将点 A(-3,n)代入 3y x  有,n=-1 将 A,B 代入 y kx b  得 3 1 3 k b k b         解得 1, 4k b    所以一次函数表达式为 4y x   ; (2)过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E, 4y x    0, 4Q  ABOE ACOQ OBQS S S    1 1 2 2AO OQ OC OQ BE      1 11 4 3 4 12 2       11 2  答:四边形的面积为11 2 . 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合,准确利用函数性质进行求解是解题的关键. 24.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆上异于 A,B 的一点,连接 BC 并延长至点 D,使得CD BC , 连接 AD 交 O 于点 E,连接 BE. (1)求证: ABD 是等腰三角形; (2)连接 OC 并延长,与 B 以为切点的切线交于点 F,若 4, 1AB CF  ,求 DE 的长. 【答案】(1)详见解析;(2) 4 3DE  【解析】 【分析】 (1)根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可; (2)根据等腰三角形的性质和切线的性质证明  OBF AEB ,可得 8 3AE  ,即可求出 DE. 【详解】(1)证明:因为 AB 是圆 O 的直径, 所以 90ACB   , AC BD  , BC CD , 所以点 C 是 BD 的中点, 所以 AB=AD, 所以三角形 ABD 是等腰三角形. (2)因为三角形 ABD 是等腰三角形, 1 , ,2BAC BAD AB AD BC BD     , 1 2BAC BOC   , BAD BOC   , 因为 BF 是切线, 所以 90FOB   , 因为 AB 是直径, 所以 90AEB OBF     , OBF AEB  , OB OF AE AB   , 4, 3AB OF OC CF    , 8 3AE  , 4 3DE AD AE    . 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用,准确运用相似三角形的性质是解题的关键. 25.如图,已知二次函数图像的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点 F(0,1)作 x 轴的平行 线交二次函数的图像于 M,N 两点 (1)求二次函数的表达式; (2)P 为平面内一点,当 PMN 时等边三角形时,求点 P 的坐标; (3)在二次函数的图象上是否存在一点 E,使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和和点 N,且与直线 1y   相切, 若存在,求出点 E 的坐标,并求 E 的半径;若不存在,说明理由. 【答案】(1) 21 4y x ;(2) (0,1 2 3)P  或 (0,1 2 3)P  ;(3)在二次函数图像上存在点 E,使得以点 E 为圆心,半径为 5 4 的圆,过点 F,N 且与直线 1y   相切. 【解析】 【分析】 (1)由二次函数的顶点是原点,则设二次函数的解析式为 2y ax ,然后将(2,1)代入 2y ax 求得 a 即 可; (2)将 y=1 代入 21 4y x 解得 2x   ,可确定 M、N 的坐标,进而确定 MN 的长度;再根据 PMN 是等 边三角形确定 PM 的长,然后解三角形确定 PF 的长,最后结合 F 点坐标即可解答; (3)先假设这样的点存在,设点 Q 是 FN 的中点,即 Q(1,1) 【详解】解:(1)∵二次函数的顶点是原点 ∴设二次函数的解析式为 2y ax , 将(2,1)代入 2y ax , 21 2a  解得 1 4a  所以二次函数的解析式为 21 4y x ; (2)如图:将 y=1 代入 21 4y x ,得 211 4 x ,解得 2x      2,1 , 2,1M N  4MN  PMN 是等边三角形 ∴点 P 在 y 轴上且 PM=4 ∴ cos30 =2 3PF PM   (0,1)F (0,1 2 3)P  或 (0,1 2 3)P  ; (3)假设在二次函数的图像上存在点 E 满足条件 设点 Q 是 FN 的中点,即 Q(1,1) ∴点 E 在 FN 的垂直平分线上 ∴点 E 是 FN 的垂直平分线 x=1 与 21 4y x 的图像的交点,即 21 114 4y    11, 4E      , ∴  2 21 52 1 (1 )4 4EN       2 21 51 0 (1 )4 4EF      ∴点 E 到直线 y=-1 的距离为  1 514 4    ∴在二次函数图像上存在点 E,使得以点 E 为圆心,半径为 5 4 的圆,过点 F,N 且与直线 1y   相切. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知 识,掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键.