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- 2021-11-06 发布
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宜宾市 2020 年初中学业水平即高中阶段学校招生考试
数学
一、选择题
1.6 的相反数为 ( )
A. -6 B. 6 C. 1
6
D. 1
6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义进行求解.
【详解】6 的相反数为:﹣6.故选 A.
【点睛】本题主要考查相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解答的关键,绝对值相等,符号相反的两
个数互为相反数.
2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先,2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三
号组网卫星,该卫星发射升空的速度是 7100 米/秒,将 7100 用科学记数法表示为( )
A. 7100 B. 40.71 10 C. 271 10 D. 37.1 10
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,
小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝
对值<1 时,n 是负数.
【详解】7100= 37.1 10 .
故选:D.
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n
为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
3.如图所示,圆柱的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图是从正面看得到的图形,可得答案.
【详解】解:从正面看圆柱的主视图是矩形,
故选:B.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.
4.计算正确的是( )
A. 3 2 5a b ab B. 2 22 4a a C. 2 2 21 1aa a D. 3 4 12a a a
【答案】C
【解析】
【分析】
对每个选项进行计算判断即可.
【详解】解:A. 3a 和 2b 不是同类项,不能合并,选项错误;
B. 2 22 4a a ,选项错误;
C. 2 2 21 1aa a ,选项正确;
D. 3 4 7a a a ,选项错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式,熟练掌握整式的运算法则
是解题的关键.
5.不等式组 2 0
2 1 1
x
x
的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出各不等式的解集,然后得到不等式组的解集即可得到答案.
【详解】解: 2 0
2 1 1
x
x
①
② ,
由①得, 2x ,
由②得, 1x ,
∴不等式组的解集为 1 2x ,
故选:A.
【点睛】本题考查了解不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握解不等式是解题的关键.
6.7 名学生的鞋号(单位:厘米)由小到大是:20,21,22,22,23,23,则这组数据的众数和中位数分别
是( )
A. 20,21 B. 21,22 C. 22,22 D. 22,23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义进行求解即可.
【详解】解:数据按从小到大的顺序排列为 20,21,22,22,22,23,23,所以中位数是 22;
数据 22 出现了 3 次,出现次数最多,所以众数是 22.
故选:C.
【点睛】本题考查了众数与中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最
中间的那个数(最中间两个数的平均数);众数是出现次数最多的数据.
7.如图,M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点,若 65 , 45A ANM ,则 BÐ =( )
A. 20 B. 45 C. 65 D. 70
【答案】D
【解析】
【分析】
由 M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点,可知 MN 为△ABC 的中位线,即可得到 45C ,从而可
求出∠B 的值.
【详解】解:∵M,N 分别是 ABC 的边 AB,AC 的中点,
∴MN∥BC,
∴∠ANM=∠C,
∵ 45ANM ,
∴ 45C ,
又∵ 65A
∴ 180 180 65 45 70B A C ∠ ∠ ,
故选:D.
【点睛】本题考查了三角形的中位线,注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键.
8.学校为了丰富学生的知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的
价格多 8 元,已知学校用 15000 元购买科普类图书的本数与用 12000 元购买文学书的本数相等,设文学类
图书平均每本 x 元,则列方程正确的是( )
A. 15000 12000
8x x
B. 15000 12000
8x x
C. 15000 12000
8x x
D. 15000 12000 8x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设文学类图书平均每本 x 元,根据购买的书本数相等即可列出方程.
【详解】设文学类图书平均每本 x 元,依题意可得15000 12000
8x x
故选 B.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.
9.如图,AB 是 O 的直径,点 C 是圆上一点,连结 AC 和 BC,过点 C 作CD AB 于 D,且 4, 3CD BD ,
则 O 的周长为( )
A. 25
3
B. 50
3
C. 625
9
D. 625
36
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出 BC,再根据圆周角的性质得到 AC⊥BC,得到 cosB= BD BC
BC AB
,代入即可求出 AB,
故可求出 O 的周长.
【详解】∵CD AB , 4, 3CD BD ,
∴BC= 2 23 4 5
∵AB 是 O 的直径,
∴AC⊥BC,
∴cosB= BD BC
BC AB
即 3 5
5 AB
解得 AB= 25
3
∴ O 的周长为 25
3
故选 A.
【点睛】此题主要考查圆内线段的求解,解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用.
10.某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶 6 个,市场上有 A 型和 B 型两种分类垃圾桶,A 型分类垃
圾桶 500 元/个,B 型分类垃圾桶 550 元/个,总费用不超过 3100 元,则不同的购买方式有( )
A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买 A 型分类垃圾桶 x 个,则购买 B 型垃圾桶(6-x),然后根据题意列出不等式组,确定不等式组整数
解的个数即可.
【详解】解:设购买 A 型分类垃圾桶 x 个,则购买 B 型垃圾桶(6-x)个
由题意得: 500 550 6 3100
6
x x
x
( )
,解得 4≤x≤6
则 x 可取 4、5、6,即有三种不同的购买方式.
故答案为 B.
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用,弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本
题的关键.
11.如图, ,ABC ECD 都是等边三角形,且 B,C,D 在一条直线上,连结 ,BE AD ,点 M,N 分别是线
段 BE,AD 上的两点,且 1 1,3 3BM BE AN AD ,则 CMN 的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 不等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明 BCE ACD ,得到 BE AD ,根据已知条件可得 AN BM ,证明△ △BCM ACN ,得到
=60MCN ,即可得到结果;
【详解】∵ ,ABC ECD 都是等边三角形,
∴ BC AC ,CE CD , 60BCA DCE ,
∴ +BCA ACE DCE ACE ,
∴ BCE ACD ,
在 BCE 和 ACD△ 中,
BC AC
BCE ACD
CE CD
,
∴ △ △BCE ACD SAS ,
∴ BE AD , CBM ACN ,
又∵ 1 1,3 3BM BE AN AD ,
∴ BM AN ,
在 BCM 和 ACN△ 中,
BM AN
CBM ACN
BC AC
,
∴ △ △BCM ACN SAS ,
∴ BCM ACN , MC NC ,
∴ + 60BCM ACM ACN ACM ,
∴ CMN 是等边三角形.
故答案选 C.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,正确分析题目条件是解题的关键.
12.函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象与 x 轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中 0n ,以下结论正
确的是( )
① 0abc ;
②函数 2 ( 0)y ax bx c a 在 1, 2x x 处的函数值相等;
③函数 1y kx 的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a 图象总有两个不同的交点;
④函数 2 ( 0)y ax bx c a 在 3 3x ≤ ≤ 内既有最大值又有最小值.
A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出函数图像,根据系数与图像的关系即可求解.
【详解】如图,根据题意作图,
故 a<0,b<0,c>0
∴ 0abc ,①正确;
∵对称轴为 x=-1
∴函数 2 ( 0)y ax bx c a 在 1, 3x x 处的函数值相等,故②错误;
图中函数 1y kx 的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a 图象无交点,故③错误;
当 3 3x ≤ ≤ 时,x=-1 时,函数 2 ( 0)y ax bx c a 有最大值
x=3 时,函数 2 ( 0)y ax bx c a 有最小值,故④正确;
故选 C.
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解.
二、填空题
13.分解因式: 3a a ________________.
【答案】 a a 1 a 1 .
【解析】
【分析】
首先提取公因式 a,再利用平方差公式进行二次分解即可.
【详解】 3a a = 2( 1)a a = ( 1)( 1)a a a .
故答案为 ( 1)( 1)a a a .
14.如图,A,B,C 是 O 上的三点,若 OBC 是等边三角形,则 cos A ________________.
【答案】 3
2
【解析】
【分析】
由△OBC 是等边三角形、则∠COB =60°,然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可.
【详解】解:∵△OBC 是等边三角形
∴∠COB=60°
∴∠A= 1
2 COB =30°
∴ cos cos30A o = 3
2
.
故答案为 3
2
.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理,掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题
的关键.
15.一元二次方程 2 2 8 0x x 的两根为 1 2,x x ,则 2 1
1 2
1 2
2x xx xx x
________________
【答案】 37
2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系表示出 1 2x x 和 1 2x x 即可;
【详解】∵ 2 2 8 0x x ,
∴ 1a , 2b , 8c ,
∴ 1 2 =- 2bx x a , 1 2 = =-8cx x a ,
∴
2 2
2 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 x x x xx x x xx x x x
,
= 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2
x x x x x xx x
,
=
22 2 8 372 88 2
.
故答案为 37
2
.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,准确利用知识点化简是解题的关键.
16.如图,四边形 ABCD 中, , , 3, 5, 2,DA AB CB AB AD AB BC P 是 AB 上一动点,则 PC PD
的最小值是________________
【答案】 5 2
【解析】
【分析】
作 C 点关于 AB的对称点 C’,连接 C’D,PC PD 的最小值即为 C’D 的长,作 C’E⊥DA 的延长线于点 E,
根据勾股定理即可求解.
【详解】如图,作 C 点关于 AB 的对称点 C’,连接 C’D, PC PD 的最小值即为 C’D 的长,
作 C’E⊥DA 的延长线于点 E,
∴四边形 ABC’E 是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D= 2 25 5 5 2
故答案为: 5 2 .
【点睛】此题主要考查对称性的应用,解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用.
17.定义:分数 n
m
(m,n 为正整数且互为质数)的连分数(其中为整数,且等式右边的每一个分数的分子
都为 1),记作
1 2
1 1 ....n
m a a
:例如
7 1 1 1 1 1 ....19 5 1 1 119 2 2 2 22 1 17 7 1 1 15 15 22 2
, 7
19
的
连分数是
1
12 11 12 2
,记作 7 1 1 1 1
19 2 1 2 2
,则________________ 1 1 1
1 2 3
.
【答案】 7
10
【解析】
【分析】
根据连分数的定义即可求解.
【详解】依题意可设 a 1 1 1
1 2 3
∴a=
1 1 1 1 7
1 1 3 10 101+ 1+ 1+1 7 7 72+ 3 3
故答案为: 7
10
.
【点睛】此题主要考查新定义运算,解题的关键是根据题意进行求解.
18.在直角三角形 ABC 中, 90 ,ACB D 是 AB 的中点,BE 平分 ABC 交 AC 于点 E 连接 CD 交 BE 于
点 O,若 8, 6AC BC ,则 OE 的长是________.
【答案】 9 5
11
【解析】
【分析】
过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点,根据三角形面积公式求出 CE=EG=3,延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F,可得
△ACD≌△BFD,得到 BF=8,再根据△CEO∽△FBO,找到比例关系得到 EO= 3
11 BE,再求出 BE 即可求解.
【详解】过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点,
∵BE 平分 ABC
∴CE=EG,
设 CE=EG=x,
∵ 90ACB ,
∴AB= 2 26 8 10
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE,
故 1 1 1
2 2 2AC BC CE BC AB EG
即 1 1 18 6 6 102 2 2x x
解得 x=3
∴CE=3,
延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F,
∵D 是 AB 中点
∴AD=BD
又 AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD,
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO,
∴ 3
8
EO EC
BO BF
∴EO= 3
11 BE= 3
11 × 2 23 6 = 9 5
11
,
故答案为: 9 5
11
.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质
及相似三角形的判定与性质.
三、解答题
19.(1)计算:
1
0 20201 3 3 14
(2)化简:
2
2
2 2 111 1
a a
a a
【答案】(1)1;(2)2
【解析】
【分析】
(1)运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可;
(2)先算括号里面的,然后进行分式乘除运算即可;
【详解】(1)原式=4-1-3+1,
=1.
(2)原式= 2 ( 1) 1 1
( 1)( 1) 1 1
a a a
a a a a
,
2
1 1
a a
a a
,
2 1
1
a a
a a
,
=2.
【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简,计算准确是解题的关键.
20.如图,在三角形 ABC 中,点 D 是 BC 上的中点,连接 AD 并延长到点 E,使 DE AD ,连接 CE.
(1)求证: ABD ECD
(2)若 ABD 的面积为 5,求 ACE 的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)10.
【解析】
【分析】
(1)根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用 SAS 即可证明;
(2)先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到 ABD ACDS S 、 ABD ECDS S ,再结合 5ABDS 以及
ACE ACD ECDS S S 解答即可.
【详解】证明:(1)∵D 是 BC 的中点,
∴BD=CD
在△ABD 和△CED 中,
BD CD
ADB CED
AD ED
所以 ABD ECD ;
(2)∵在△ABC 中,D 是 BC 的中点
∴ ABD ACDS S
ABD ECD
ABD ECDS S
∵ 5ABDS
5 5 10ACE ACD ECDS S S .
答:三角形 ACE 的面积为 10.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识,其中掌握全等三角形的判定
与性质是解答本题的关键.
21.在疫情期间,为落实停课不停学,某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查,了解到学生
的学习方式有:电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习,参入调查的学生只能选择
一种学习方式,将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图,解答下列问题.
(1)本次受调查的学生有________人;
(2)补全条形统计图;
(3)根据调查结果,若本校有 1800 名学生,估计有多少名学生与任课教师在线辅导?
【答案】(1)60;(2)详见解析;(3)900
【解析】
【分析】
(1)根据 A 得占比和人数已知可得结果;
(2)算出 C 的人数,然后补全条形统计图;
(3)用总人数乘以在线辅导的学生占比即可;
【详解】(1)由题可知受调查人数 9 15%=60 ,
故答案为 60.
(2)补全图形如图:C 的人数=60-9-30-6=15,
(3)学生数为 301800 90060
答:在线辅导的有 900 人.
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用,准确分析题中数据是解题的关键.
22.如图, ,AB CD 两楼地面距离 BC 为 30 3 米,楼 AB 高 30 米,从楼 AB 的顶部点 A 测得楼 CD 顶部点
D 的仰角为 45 度.
(1)求 CAD 的大小;
(2)求楼 CD 的高度(结果保留根号).
【答案】(1)75°;(2)30 30 3
【解析】
【分析】
(1)如图:过点 A 作 AE CD 于点 E,在 Rt△ABC 中运用三角函数可得 3tan 3ACB ,即
30ACB 、进一步可得∠EAC=30°,再结合 45EAD 即可解答;
(2)先根据题意求得 DE=AE= 30 3 ,然后在 Rt△ACE 中解直角三角形求得 CE,最后利用 CD=CE+DE 进
行计算即可.
【详解】(1)如图:过点 A 作 AE CD 于点 E,
∵在 Rt△ABC 中, 30 3, 30BC AB
3tan 3
ABACB BC
30ACB
30ACB EAC
∵AE//BC
45EAD
75CAD CAE DAE ;
(2)∵在RtAED 中,AE=BC= 30 3 ,∠DAE=45°
∴DE=AE= 30 3
∵在 Rt△ACE 中,∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
30 30 3CD CE DE .
【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形,灵活应用三角函数知识是解答本题
的关键.
23.如图,一次函数 y kx b 的图像与反比例函数 ( 0)my xx
的图像交于 3, , 1, 3A n B 两点,过
点 A 作 AC OP 于点 P.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求四边形 ABOC 的面积.
【答案】(1) 4y x ;(2)11
2
【解析】
【分析】
(1)将点 B(-1,-3)代入 my x
,可得反比例函数解析式 3y x
,即可求出 A 点的坐标,将 A、B 代入解析
式即可求解;
(2)过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E,根据 ABOE ACOQ OBQS S S 关系式可求解;
【详解】解:(1)将点 B(-1,-3)代入 my x
,
解得 3m
所以反比例函数的表达式为 3y x
;
将点 A(-3,n)代入 3y x
有,n=-1
将 A,B 代入 y kx b 得
3 1
3
k b
k b
解得 1, 4k b
所以一次函数表达式为 4y x ;
(2)过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E,
4y x
0, 4Q
ABOE ACOQ OBQS S S
1 1
2 2AO OQ OC OQ BE
1 11 4 3 4 12 2
11
2
答:四边形的面积为11
2
.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合,准确利用函数性质进行求解是解题的关键.
24.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆上异于 A,B 的一点,连接 BC 并延长至点 D,使得CD BC ,
连接 AD 交 O 于点 E,连接 BE.
(1)求证: ABD 是等腰三角形;
(2)连接 OC 并延长,与 B 以为切点的切线交于点 F,若 4, 1AB CF ,求 DE 的长.
【答案】(1)详见解析;(2) 4
3DE
【解析】
【分析】
(1)根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可;
(2)根据等腰三角形的性质和切线的性质证明 OBF AEB ,可得 8
3AE ,即可求出 DE.
【详解】(1)证明:因为 AB 是圆 O 的直径,
所以 90ACB ,
AC BD ,
BC CD ,
所以点 C 是 BD 的中点,
所以 AB=AD,
所以三角形 ABD 是等腰三角形.
(2)因为三角形 ABD 是等腰三角形,
1 , ,2BAC BAD AB AD BC BD ,
1
2BAC BOC ,
BAD BOC ,
因为 BF 是切线,
所以 90FOB ,
因为 AB 是直径,
所以 90AEB OBF ,
OBF AEB ,
OB OF
AE AB
,
4, 3AB OF OC CF ,
8
3AE ,
4
3DE AD AE .
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用,准确运用相似三角形的性质是解题的关键.
25.如图,已知二次函数图像的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点 F(0,1)作 x 轴的平行
线交二次函数的图像于 M,N 两点
(1)求二次函数的表达式;
(2)P 为平面内一点,当 PMN 时等边三角形时,求点 P 的坐标;
(3)在二次函数的图象上是否存在一点 E,使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和和点 N,且与直线 1y 相切,
若存在,求出点 E 的坐标,并求 E 的半径;若不存在,说明理由.
【答案】(1) 21
4y x ;(2) (0,1 2 3)P 或 (0,1 2 3)P ;(3)在二次函数图像上存在点 E,使得以点
E 为圆心,半径为 5
4
的圆,过点 F,N 且与直线 1y 相切.
【解析】
【分析】
(1)由二次函数的顶点是原点,则设二次函数的解析式为 2y ax ,然后将(2,1)代入 2y ax 求得 a 即
可;
(2)将 y=1 代入 21
4y x 解得 2x ,可确定 M、N 的坐标,进而确定 MN 的长度;再根据 PMN 是等
边三角形确定 PM 的长,然后解三角形确定 PF 的长,最后结合 F 点坐标即可解答;
(3)先假设这样的点存在,设点 Q 是 FN 的中点,即 Q(1,1)
【详解】解:(1)∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为 2y ax ,
将(2,1)代入 2y ax ,
21 2a
解得 1
4a
所以二次函数的解析式为 21
4y x ;
(2)如图:将 y=1 代入 21
4y x ,得 211 4 x ,解得 2x
2,1 , 2,1M N
4MN
PMN 是等边三角形
∴点 P 在 y 轴上且 PM=4
∴ cos30 =2 3PF PM
(0,1)F
(0,1 2 3)P 或 (0,1 2 3)P ;
(3)假设在二次函数的图像上存在点 E 满足条件
设点 Q 是 FN 的中点,即 Q(1,1)
∴点 E 在 FN 的垂直平分线上
∴点 E 是 FN 的垂直平分线 x=1 与 21
4y x 的图像的交点,即 21 114 4y
11, 4E
,
∴ 2 21 52 1 (1 )4 4EN
2 21 51 0 (1 )4 4EF
∴点 E 到直线 y=-1 的距离为 1 514 4
∴在二次函数图像上存在点 E,使得以点 E 为圆心,半径为 5
4
的圆,过点 F,N 且与直线 1y 相切.
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知
识,掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键.
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