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  • 2021-11-06 发布

冀教九下二次函数的应用

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‎34.4二次函数的应用 教学设计思想:本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题,重点是实际应用题,在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系,在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来,融会贯通,使学生的认识更加深刻。另外,在利用图像法解方程时,图像应画得准确一些,使求得的解更准确,在求解过程中体会数形结合的思想。‎ 教学目标:‎ ‎1.知识与技能 会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。‎ ‎2.过程与方法 通过本节内容的学习,提高自主探索、团结合作的能力,在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。‎ ‎3.情感、态度与价值观 通过学生之间的讨论、交流和探索,建立合作意识和提高探索能力,激发学习的兴趣和欲望。‎ 教学重点:解决与二次函数有关的实际应用题。‎ 教学难点:二次函数的应用。‎ 教学媒体:幻灯片,计算器。‎ 教学安排:3课时。‎ 教学方法:小组讨论,探究式。‎ 教学过程:‎ 第一课时:‎ Ⅰ.情景导入:‎ 师:由二次函数的一般形式y=(a≠0),你会有什么联想?‎ 生:老师,我想到了一元二次方程的一般形式(a≠0)。‎ 师:不错,正因为如此,有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题 来解决。‎ 现在大家来做下面这两道题:(幻灯片显示)‎ ‎1.解方程。‎ ‎2.画出二次函数y=的图像。‎ 教师找两个学生解答,作为板书。‎ Ⅱ.新课讲授 同学们思考下面的问题,可以共同讨论:‎ ‎1.二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标是什么?它与方程的根有什么关系?‎ ‎2.如果方程(a≠0)有实数根,那么它的根和二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标有什么关系?‎ 生甲:老师,由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2;方程的两个根是-1、2,我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。‎ 生乙:我们经过讨论,认为如果方程(a≠0)有实数根,那么它的根等于二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标。‎ 师:说的很好;‎ 教师总结:一般地,如果二次函数y=的图像与x轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。‎ 师:我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标,那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题,我们共同研究下面问题。‎ ‎[学法]:通过实例,体会二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。‎ 问题:已知二次函数y=。‎ ‎(1)观察这个函数的图像(图34-9),一元二次方程=0的两个根分别在哪两个整数之间?‎ ‎(2)①由在0至1范围内的x值所对应的y值(见下表),你能说出一元二次方程=0精确到十分位的正根吗?‎ x ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1‎ y ‎-1‎ ‎-0.89‎ ‎-0.76‎ ‎-0.61‎ ‎-0.44‎ ‎-0.25‎ ‎-0.04‎ ‎-0.19‎ ‎0.44‎ ‎0.71‎ ‎1‎ ‎②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值(见下表),你能说出一元二次方程=0精确到百分位的正根吗?‎ x ‎0.60‎ ‎0.61‎ ‎0.62‎ ‎0.63‎ ‎0.64‎ ‎0.65‎ ‎0.66‎ ‎0.67‎ ‎0.68‎ ‎0.69‎ ‎0.70‎ y ‎-0.040‎ ‎-0.018‎ ‎0.004‎ ‎0.027‎ ‎0.050‎ ‎0.073‎ ‎0.096‎ ‎0.119‎ ‎0.142‎ ‎0.166‎ ‎0.190‎ ‎(3)请仿照上面的方法,求出一元二次方程=0的另一个精确到十分位的根。‎ ‎(4)请利用一元二次方程的求根公式解方程=0,并检验上面求出的近似解。‎ 第一问很简单,可以请一名同学来回答这个问题。‎ 生:一个根在(-2,-1)之间,另一个在(0,1)之间;根据上面我们得出的结论。‎ 师:回答的很正确;我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根,所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第(2)问。‎ 教师分析:我们知道方程的一个根在(0,1)之间,那么我们观看(0,1)这个区间的图像,y值是随着x值的增大而不断增大的,y值也是从负数过渡到正数,而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解,那么同学们想一想,答案是什么呢?‎ 生:通过列表可以看出,在(0.6,0.7)范围内,y值有-0.04至0.19,如果方程精确到十分位的正根,x应该是0.6。‎ 类似的,我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。‎ 对于第三问,教师可以让学生自己动手解答,教师在下面巡视,观察其中发现的问题。‎ 最后师生共同利用求根公式,验证求出的近似解。‎ 教师总结:我们发现,当二次函数(a≠0)的图像与x轴有交点时,根据图像与x轴的交点,就可以确定一元二次方程的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解,对在这两个连续整数之间的x的值进行细分,并求出相应得y值,列出表格,这样就可以得到一元二次方程所要求的精确度的近似解。‎ Ⅲ.练习 已知一个矩形的长比宽多‎3m,面积为6。求这个矩形的长(精确到十分位)。‎ 板书设计:‎ 二次函数的应用(1)‎ 一、导入 总结:‎ 二、新课讲授 三、练习 第二课时:‎ 师:在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例?‎ 生:老师,我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系:圆的面积与它的直径之间的关系等。‎ 师:好,看这样一个问题你能否解决:‎ 活动1:如图34-10,张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆,把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。‎ 回答下面的问题:‎ ‎1.设每个小矩形一边的长为xm,试用x表示小矩形的另一边的长。‎ ‎2.设四个小矩形的总面积为y,请写出用x表示y的函数表达式。‎ ‎3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标,并说出y的最大值吗?‎ ‎4.你能画出这个函数的图像,并借助图像说出y的最大值吗?‎ 学生思考,并小组讨论 解:已知周长为‎40m,一边长为xm,看图知,另一边长为m。‎ 由面积公式得 y=(x·)‎ 化简得 y=‎ 代入顶点坐标公式,得顶点坐标x=4,y=5。y的最大值为5。‎ 画函数图像:‎ 通过图像,我们知道y的最大值为5。‎ 师:通过上面这个例题,我们能总结出几种求y的最值得方法呢?‎ 生:两种;一种是画函数图像,观察最高(低)点,可以得到函数的最值;另外一种可以利用顶点坐标公式,直接计算最值。‎ 师:这位同学回答的很好,看来同学们是都理解了,也知道如何求函数的最值。‎ 总结:由此可以看出,在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时,常常需要根据条件建立二次函数的表达式,在求最大(或最小)值时,可以采取如下的方法:‎ ‎(1)画出函数的图像,观察图像的最高(或最低)点,就可以得到函数的最大(或最小)值。‎ ‎(2)依照二次函数的性质,判断该二次函数的开口方向,进而确定它有最大值还是最小值;再利用顶点坐标公式,直接计算出函数的最大(或最小)值。‎ 师:现在利用我们前面所学的知识,解决实际问题。‎ 活动2:如图34-11,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x,‎ ‎(1)AC=______;‎ ‎(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=_____.‎ ‎(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?‎ ‎(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?‎ 教师讲解:二次函数进行配方为y=,当a>0时,抛物线开口向上,此时当x=时,;当a<0时,抛物线开口向下,此时当x=时,。对于本题来说,自变量x的最值范围受实际条件的制约,应为0≤x≤2。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像,可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真,同时还要考虑到x的取值范围。‎ 解答过程(板书)‎ 解:(1)当BC=x时,AC=2-x(0≤x≤2)。‎ ‎(2)S△CDE=,S△BFG=,‎ 因此,S=+=2-4x+4=2+2,‎ 画出函数S=+2(0≤x≤2)的图像,如图‎34-4-3‎。‎ ‎(3)由图像可知:当x=1时,;当x=0或x=2时,。‎ ‎(4)当x=1时,C点恰好在AB的中点上。‎ 当x=0时,C点恰好在B处。‎ 当x=2时,C点恰好在A处。‎ ‎[教法]:在利用函数求极值问题,一定要考虑本题的实际意义,弄明白自变量的取值范围。在画图像时,在自变量允许取得范围内画。‎ 练习:‎ 如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP,并且交DC与点Q。‎ ‎(1)Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗?为什么?‎ ‎(2)当点P在什么位置时,Rt△ADQ的面积最小?最小面积是多少?‎ 小结:利用二次函数的增减性,结合自变量的取值范围,则可求某些实际问题中的极值,求极值时可把配方为y=的形式。‎ 板书设计:‎ 二次函数的应用(2)‎ 活动1: 总结方法:‎ 活动2: 练习:‎ ‎ 小结:‎ 第三课时:‎ 我们这部分学习的是二次函数的应用,在解决实际问题时,常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。‎ 师:在日常生活中,有哪些量之间的关系是二次函数关系?大家观看下面的图片。‎ ‎(幻灯片显示交通事故、紧急刹车)‎ 师:你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗?‎ 学生思考,讨论。‎ 师:汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,这段距离叫做刹车距离。刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。‎ 请看下面一个道路交通事故案例:‎ 甲、乙两车在限速为‎40km/h的湿滑弯道上相向而行,待望见对方。同时刹车时已经晚了,两车还是相撞了。事后经现场勘查,测得甲车的刹车距离是‎12m,乙车的刹车距离超过‎10m,但小于‎12m。根据有关资料,在这样的湿滑路面上,甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为S甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为S乙=。‎ 教师提问:1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗?甲车是否违章超速?‎ ‎2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗?乙车是否违章超速?‎ 学生思考!教师引导。‎ 对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2:‎ ‎(1)当S甲=12时,我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。‎ ‎(2)当S甲=11时,不经过计算,你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗?‎ ‎(3)由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短,就一定能说明事故责任者是甲车吗?为什么?‎ 生甲:我们能知道甲车刹车前的行驶速度,知道甲车的刹车距离,又知道刹车距离与车速的关系式,所以车速很容易求出,求得x=‎30km,小于限速‎40km/h,故甲车没有违章超速。‎ 生乙:同样,知道乙车刹车前的行驶速度,知道乙车的刹车距离的取值范围,又知道刹车距离与车速的关系式,求得x在‎40km/h与‎48km/h(不包含‎40km/h)之间。可见乙车违章超速了。‎ 同学们,从这个事例当中我们可以体会到,如果二次函数y=(a≠0)的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程=M,确定它所对应得x值,这样,就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了。‎ 下面看下面的这道例题:‎ 当路况良好时,在干燥的路面上,汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示:‎ v/(km/h)‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ s/m ‎2‎ ‎4.2‎ ‎7.2‎ ‎11‎ ‎15.6‎ ‎(1)在平面直角坐标系中描出每对(v,s)所对应的点,并用光滑的曲线顺次连结各点。‎ ‎(2)利用图像验证刹车距离s(m)与车速v(km/h)是否有如下关系:‎ ‎(3)求当s=‎9m时的车速v。‎ 学生思考,亲自动手,提高学生自主学习的能力。‎ 教师提问,学生回答正确答案,教师再进行讲解。‎ 课上练习:‎ 某产品的成本是20元/件,在试销阶段,当产品的售价为x元/件时,日销量为(200-x)件。‎ ‎(1)写出用售价x(元/件)表示每日的销售利润y(元)的表达式。‎ ‎(2)当日销量利润是1500元时,产品的售价是多少?日销量是多少件?‎ ‎(3)当售价定为多少时,日销量利润最大?最大日销量利润是多少?‎ 课堂小结:本节课主要是利用函数求极值的问题,解决此类问题时,一定要考虑到本题的实际意义,弄明白自变量的取值范围。在画图像时,在自变量允许取的范围内画。‎ 板书设计:‎ 二次函数的应用(3)‎ 一、案例 二、例题 分析: 练习:‎ ‎ 总结: ‎