2013年4月长宁中考数学二模试题 10页

长宁 2013 年初三数学教学质量检测（二模）试卷 （考试时间 100 分钟，满分 150 分） 一、单项选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. 下列各数中，无理数是（ ）. A. 2 1 B. 3.14 C. 3 D. 3 8 2. 下列各式中，运算正确的是（ ）. A. 523 aaa  B. aaa 2 3 C. 523 aaa  D. 2 323 aaa  3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 下列图形中，中心对称图形是（ ）. 5. 一次函数 y =3x +1 的图像不经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人射击 10 次，四人射击成绩的平均数都是 8.9 环， 方差分别是 4502 甲 .S ， 5502 乙 .S ， 5002 丙 .S ， 6502 丁 .S ，射击成绩最稳定的是（ ）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 函数 4 3 -xy  的定义域是 . 8. 在实数范围内分解因式： 32 -m = . 9. 不等式组：      021 ，63 x x 的解集是 . 10. 计算：    b-a-a 2 12 = . 11. 已知，△ABC 的重心 G 到 BC 边中点 D 的距离是 2，则 BC 边上的中线长是 . A． B． C． D． 12. 方程： 31 -x 的解是 . 13. 若将抛物线 122  x-xy 沿着 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 2 个单位， 则得到的新抛物线的顶点坐标是 . 14. 如图，某超市的自动扶梯长度为 13 米，该自动扶梯到达的最大高度是 5 米，设自动扶梯 与地面所成的角为 θ，则 tanθ= . 15. 为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的男生体 重（ kg），得到频率分布直方图，从图中可知，这 100 名学生中体重不小于 55.5kg 且小于 65.5kg 的学生人数是 . 16. 若实数 x、y 满足： yx  ，则称：x 比 y 远离 0. 如图，已知 A、B、C、D、E 五点在数轴上对应的实数 分别是 a、b、c、d、e. 若从这五个数中随机选一个数， 则这个数比其它数都远离 0 的概率是 . 17. 如图所示，将边长为 2 的正方形纸片折叠，折痕为 EF， 顶点 A 恰好落在 CD 边上的中点 P 处， B 点落在点 Q 处，PQ 与 CF 交于点 G. 设 C1 为△PCG 的周长，C2 为△PDE 的周长，则 C1 :C2 = . 18. 已知边长为 1 的正方形，按如图所示的方式分割，第 1 次分割后的阴影部分面积 S1= 2 1 ， 第 2 次分割后的阴影部分面积 S2= 4 3 ，第 3 次分割后的阴影部分面积 S3= 8 7 ，…….按照这样的 规律分割，则第 n(n 为正整数)次分割后的阴影部分面积可用 n 表示为 Sn = . 第 14 题图 5米 13米 θ 第 15 题图 0.004 0.012 0.03 0.04 0.05 0.02 0.024 90.585.580.575.570.565.560.555.550.5 体重（kg) 频率 组距 第 1 次分割 第 2 次分割 第 3 次分割 第 4 次分割 第 18 题图 第 16 题图 ed-1 10cba 第 17 题图 G F Q P E D CB A CB O A 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算：   32 230tan3 12 12       - . 20．（本题满分 10 分） 解方程： 33 5 3 11 2 -x x x- x-x x  . 21．（本题满分 10 分） 如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC= 90 ，圆心 O 在△ABC 内部，且⊙O 经过 B、C 两点， 若 BC=8，AO=1，求⊙O 的半径. 22．（本题满分 10 分） 周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从 家出发 0.5 小时后到达 A 地，游玩一段时间后再前往 B 地．小 明和爸爸离家 1.5 小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往 B 地，如图是他们离家的路程 y（千米）与离家时间 t（小时） 的函数图像． （1）根据函数图像写出小明和爸爸在 A 地游玩的时间； （2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度； （3）妈妈出发时，小明和爸爸距离 B 地有多远？ 23．（本题满分 12 分） 如图，△ABC 中，∠ACB= 90 ，D、E 分别是 BC、BA 的中点，联结 DE，F 在 DE 延长线上， 且 AF=AE. （1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形； （2）若四边形 ACEF 是菱形，求∠B 的度数. O y(千米) 30 20 10 t(小时)21.510.5 F E D B CA y xOC B A 24．（本题满分 12 分） 如图，直线 AB 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，O 是坐标原点，A（-3，0）且 sin∠ABO= 5 3 ， 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C 三点，C（-1，0）. （1）求直线 AB 和抛物线的解析式； （2）若点 D（2，0），在直线 AB 上有点 P，使得△ABO 和 △ADP 相似，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，以 A 为圆心，AP 长为半径画⊙A， 再以 D 为圆心，DO 长为半径画⊙D，判断⊙A 和⊙D 的位 置关系，并说明理由. 25．（本题满分 14 分） △ABC 和△DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠B= 90 .，∠BAC= 30 .，BC=6，∠FDE= ， DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边 AC、AB 分别交于点 G、H，且 FG=EH. 设 aDF  ，在射线 DF 上 取一点 P，记： axDP  ，联结 CP. 设△DPC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（1）的条件下，求当 x 为何值时 ABPC // ； （3）如图②，先将△DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着 AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以 线段 AD、FC、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② A(D) B C E F H G F E A(D) C B D O CB A 2013 年初三数学教学质量检测试卷参考答案 一、 单项选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1、C 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7、x≠4 8、(m + 3 )(m - 3 ) 9、x≥2 10、 b2 11、 6 12、x=10 13、(0,-2) 14、 12 5 15、35 16、0 17、4:3 18、1- n2 1 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19、（本题满分 10 分）解：原式= ）32（23 332 -- (8 分，每个化简结果 2 分) = 32432  - = 233 - (结果正确，2 分) 20、（本题满分 10 分） 解：方程两边同时乘以 3x(x-1),得 3(x+1)-(x-1)=x(x+5) (3 分) 整理得 x2+3x-4=0 (x-1) (x+4)=0 (2 分) x1=1 x2=-4 (2 分) 经检验：x1=1 是原方程的增根 (1 分) ∴ x2=4 是原方程的根 (2 分) 21、（本题满分 10 分） 解：联结 BO、CO，联结 AO 并延长交 BC 于 D. (1 分) ∵ 等 腰 直 角 △ ABC 且∠BAC= 90 ∴ AB=AC ∵ O 是圆心 ∴OB=OC ∴直线 OA 是线段 BC 的垂直平分线 ∴ AD⊥BC，且 D 是 BC 的中点 (4 分) 在 Rt△ABC 中，AD=BD= BC2 1 ∵BC=8 ∴ BD=AD = 4 (2 分) ∵AO=1 ∴OD=BD-AO=3 (1 分) ∵AD⊥BC ∴∠BDO= ∴OB= 543 2222  BDOD (2 分) 3 2 1F E D B CA 22、（本题满分 10 分） 解：（1）0.5 (2 分) （2）骑车速度：10 0.5=20 千米/小时 (2 分) 驾车速度：30 0.5=60 千米/小时 (2 分) （3）设小明和爸爸从 A 地前往 B 地时，y=kt+b（k≠0）) 由图可知 t=1 时，y=10；t=2 时，y=30 代入得      bk bk 230 10 解得      10 20 -b k (2 分) 得 y=20t – 10 当 t=1.5 时，y=20， 30-20=10 (1 分) ∴ 妈妈出发时，小明和爸爸离 B 地 10 千米。(1 分) 23、（本题满分 12 分，第（1）题 8 分，第（2）题 4 分） （1）证：∵∠ACB= 90 ， 又∵E 是 BA 的中点 ∴CE=AE=BE ∵AF=AE ∴AF=CE (2 分) 在△BEC 中 ∵BE=CE 且 D 是 BC 的中点 ∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线 ∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠AEC = 180 －∠1－∠2 = －2∠1 (2 分) ∵AF=AE ∴∠F =∠3 ∵∠1=∠3 ∴∠1=∠F =∠3 ∴在△AEF 中 ∠FAE = －∠3－∠F = －2∠1 (2 分) ∴ ∠AEC =∠F AE ∴CE//AF 又∵CE=AF ∴四边形 ACEF 是平行四边形 (2 分) （2）解：∵四边形 ACEF 是菱形 ∴AC=CE 由（1）知 AE=CE ∴AC=CE=AE ∴△AEC 是等边三角形 (2 分) y xOC B A H P B C A(D) E F G H ∴∠4 = 60 在 Rt△ABC 中 ∠B = 90 －∠4= 30 (2 分) 24、（本题满分 12 分，每小题 4 分） 解：（1）据题意得 Rt△ABO 中 sin∠ABO= AB OA = 5 3 又 OA=3 ，所以 AB=5 OB= 22 OA-AB =4， 所以 B（0, 4） (1 分) 设 AB：y=kx+b（k≠0） A（-3，0）、B（0，4）代入得      4 03 b bk- 解得      4 3 4 b k ∴AB 直线解析式： 43 4  xy (1 分) A（-3，0）、C（-1，0）、B（0，4）代入得       4 0 039 c cb-a cb-a 解得       4 3 16 3 4 c b a (1 分) ∴抛物线解析式： 43 162 3 4  xxy (1 分) （2）设 P（x， 43 4 x ） 已知 D（2，0） 据题意，当 PD OB AP AB AD AO  时 DP//BO， DP 4 5 3  ，DP= 3 20 ∴P（2， 3 20 ） (2 分) 当 AP AO AD AB  时， AP 3 5 5  AP=3 222 3）43 4（）3（  xx 解得 5 24，5 6 21 -x-x  （不合题意,舍去） ∴P（ 5 12，5 6- ） (2 分) （3）⊙D 的半径 r=2 当 P（2， ）时，⊙A 的半径 AP= 3 25 AD=5< - 2 ∴两圆内含 (2 分) 当 P（ ）时，⊙A 的半径 AP=3 AD=5=3+2 ∴两圆外切。 (2 分) 25、（本题满分 12 分，第（1）题 4 分，第（2）题 4 分，第（3）题 6 分） 解：（1）如图，过 P 作 PH⊥AB 于 H。 ∵DF=DE ∴ ∠DFE=∠E 又∵FG=EH D A B C E F ∴△DFG≌ △DEH ∴∠FDG =∠EDH ∵∠FDE= 90 且∠FDE=∠FDG +∠EDH+∠BAC ∵∠BAC= 30 ∴∠FDG= (1 分) ∵ DF=4 ∴ 4DF ∵ DFxaxDP  ∴ xDFxaxDPDP 4 (1 分) 在 Rt△DPH 中，∠FDG= ∴PH= 2 1 DP=2x ∠B= .，∠BAC= .，BC=6 ∴AC=12（=DC） y=S△PDC= DC•PH= •••12•2x=12x（x>0） (2 分) （2）∵PC//AB ∴∠BAC=∠DCP ∵ ∠BAC= ∴∠DCP = 由（1）知∠FDG= ∴∠FDG=∠DCP ∴DP=PC 若 PH⊥AB 则 M 是 DC 的中点 DM=6 (2 分) 在 Rt△DPH 中， ∠FDG= 30 cos∠FDG= 2 36  APAP DM ∴AP= 34 (1 分) DP=AP=4x ∴x= 3 (1 分) （3）如图，设 AD=t ，DC=12-t （0