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- 2021-11-06 发布
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菏泽市二〇一三年初中学业水平考试
数学试题
注意事项:
1.本试题分为选择题和非选择题两部分,其中选择题 24 分,非选择题 96 分,满分 120 分.考试时间 120
分钟.
2.用黑色、蓝色水笔或圆珠笔答卷,答卷前将密封线内的项目填写清楚.
3.请将选择题的正确答案代号(ABCD)填写在相应的“答题栏”内,将非选择题的答案直接答在试卷上.
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中,只有
一项是正确的,请把正确的选项选出来并填在第三页该题相应的答题栏内.
1.(2013 山东菏泽,1,3 分)如果 a 的倒数是-1,那么 a2013 等于
A.1 B.-1 C.2013 D.-2013
【答案】B.
2.(2013 山东菏泽,2,3 分)如图,把一个长方形的纸片按图示对折两次,然后剪下一部分,为了得到一
个钝角为 120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为
A.15°或 30° B.30°或 45° C.45°或 60° D.30°或 60°
【答案】D.
3.(2013 山东菏泽,3,3 分)下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是
A. B. C. D.
【答案】C.
4.(2013 山东菏泽,4,3 分)在我市举行的中学生春季田径运动会上,参加男子跳高的 15 名运动员的成绩
如下表所示:
成绩(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高的中位数和众数分别是
A.1.70,1.65 B.1.70,1.70 C.1.65,1.70 D.3,4
【答案】A.
5.(2013 山东菏泽,5,3 分)如图,数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c,其中 AB=BC,如
果|a|>|c|>|b|,那么该数轴的原点 O 的位置应该在
A.点 A 的左边 B.点 A 与点 B 之间
C.点 B 与点 C 之间 D.点 C 的右边
cba
A B C
【答案】C.
6.(2013 山东菏泽,6,3 分)一条直线 y=kx+b 其中 k+b=-5、kb=6,那么该直线经过
A.第二、四象限 B.第一、二、三象限
C.第一、三象限 D.第二、三、四象限
【答案】D.
7.(2013 山东菏泽,7,3 分)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别
为 S1、S2,则 S1+S2 的值为
A.16 B.17 C.18 D.19
S2
S1
【答案】B.
8.(2013 山东菏泽,8,3 分)已知 b<0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列四个图像之一.
x
y
-1 1O
x
y
1-1
O x
y
O
x
y
O
试根据图象分析,a 的值应等于
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C.
二、填空题:本大题共同 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 3 分.
9.(2013 山东菏泽,9,3 分)明明同学在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结
果个数约为 4680000,这个数用科学记数法表示为__________.
【答案】4.68×106.
10.(2013 山东菏泽,10,3 分)在半径为 5 的圆中,30°的圆心角所对弧的弧长为__________(结果保留 π).
【答案】 5
3 .
11.(2013 山东菏泽,11,3 分)分解因式:3a2-12ab+12b2=__________.
【答案】3(a-2b)2.
12.(2013 山东菏泽,12,3 分)我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形
的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已
知等边三角形的边长为 2,则它的“面径”长可以是__________(写出 1 个即可).
【答案】 3 .
13.(2013 山东菏泽,13,3 分)如图,□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E, AEB=45°,BD=2,
将∆ABC 沿 AC 所在直线翻折 180°到其原来所在的同一平面内,若点 B 的落点记为 B',则 DB'的长为
_________.
B'
A
C
E
A
C
E
B
D
D
B
【答案】 2 .
14.(2013 山东菏泽,14,3 分)如图所示,在∆ABC 中,BC=6,E、F 分别是 AB、AC 的中点,动点 P 在
射线 EF 上,BP 交 CE 于 D, CBP 的平分线交 CE 于 Q,当 CQ= 1
3
CE 时,EP+BP=______.
QD
FE
B C
A
P
【答案】12.
三、解答题:本大题共 7 个小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(2013 山东菏泽,15,12 分)
(1)计算:2-1-3tan30°+( 2 -1)0+ 12 +cos60°
(2)解不等式
3 -1 5 1
1 242
xx
x x
( )
≥
,并指出它的所有的非负整数解
【答案】(1)原式= 1 3 13 1 2 32 3 2 = 23 .
(2)解3 -1 5 1xx( ) 得 x>-2;解 1 242
x x ≥ 得 x≤ 7
3
,
∴-2<x≤ 7
3
,
∴不等式的所有的非负整数解为 0,1,2.
16.(2013 山东菏泽,16,12 分)
(1)如图,在∆ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,D 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 边上,且 BE=BD,
连结 AE、DE、DC.
①求证:∆ABE≌∆CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC 的度数.
D
E
A
B C
(2)为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、
乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:信息一:
甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天;信息二:乙工厂每天加工的
数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍.根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
【答案】(1)①证明:∵∠ABC=90°,
∴∠DBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°,
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE 和△CBD 中,
∵
AB CB
ABE CBD
EB DB
,
∴△ABE≌△CBD
②解:∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC 是等腰直角三角形,
∴∠ECA=45°.
∵∠CAE=30°,∠BEA=∠ECA+∠EAC,
∴∠BEA=45°+30°=75°.
由①知∠BDC=∠BEA
∴∠BDC=75°.
(2)解:设甲工厂每天加工 x 件新产品,则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品.
依题意列方程得:1200 1200 101.5xx,
解得:x=40,
经检验,x=40 是原方程的解,
∴1.5x=1.5×40=60.
答:甲、乙两个工厂每天分别能加工 40 件和 60 件新产品.
17.(2013 山东菏泽,17,14 分)
(1)已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个实数根,求代数式(m2-m)(m- 2
m
+1)的值.
(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-x 的图象与反比例函数 y= k
x
的图象交于 A、B 两点.
①根据图像求 k 的值;
②点 P 在 y 轴上,且满足以点 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形,试写出点 P 所有可能的坐标.
x
B
A
y
-1 O
【答案】(1)解:方法 1:∵m 是方程 x2-x-2=0 的一个实数根,
∴m2-m-2=0,
∴m2-m=2,m2=m+2.
∴原式=
2 22 mm
m
= 222 mm
m
= 22 m
m
=2×2=4.
方法 2:解 x2-x-2=0 得:x1=-1,x2=2,
∴m=-1 或 m=2.
当 m=-1 时,把 m=-1 代入(m2-m)(m- 2
m
+1)=4;
当 m=2 时,把 m=2 代入(m2-m)(m- 2
m
+1)=4,
∴原式的值为 4.
(2)解:①由图象知点 A 的横坐标为-1,
∵点 A 在一次函数 y=-x 的图象上,
∴点 A 的纵坐标 y=-(-1)=1.
又∵点 A 在反比例函数 y= k
x
的图象上,
∴1=
1
k
,
∴k=-1.
②点 P 所有可能的坐标为 P1(0,2),P2(0,-2),P3(0, 2 ),P4(0,- 2 ).
x
B
A
y
-1
P4
P3
P2
P1
O
18.(2013 山东菏泽,18,10 分)如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上一点.过点 C 作⊙O 的切线,交 BA
的延长线于点 D,取 CD 的中点 E,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P.
(1)求证:AP 是⊙O 的切线;
(2)若 OC=CP,AB=6,求 CD 的长.
E
D
O C PB
A
【答案】(1)证明:如图,连结 AC、AO.
∵BC 是⊙O 的直径,
∴AB⊥AC,
∴△ACD 是直角三角形,
∵点 E 是 CD 中点,
∴AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∵CD 是⊙O 切线,
∴∠DCB=90°,
∴∠ECA+∠OCA=90°,
∴∠EAC+∠OAC=∠OAP=90°,
∴AP 是⊙O 的切线.
E
D
O C
PB
A
(2)解:由(1)知△AOP 是直角三角形,
∵OC=CP,
∴OC=AC,
∵OA=OC,
∴△AOC 是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∠ACD=90°-∠ACB=90°-60°=30°.
在 Rt△ABC 中,∵AB=6,
∴AC= 6 23tan 60 3
AB
,
在 Rt△ACD 中,
CD= 23 4cos30 3
2
AC
.
19.(2013 山东菏泽,19,10 分)“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题.某小区为了改善生态环境,促
进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为三类:厨余、可回收和其他,分别记为 a、b、c,并且设置了
相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为 A、B、C.
(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率;
(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 1000 吨生活垃圾,数据
统计如下(单位:吨):
A B C
a 400 100 100
b 30 240 30
c 20 20 60
试估计“厨余垃圾....”投放正确的概率.
【答案】解:(1)树状图如下:
由树状图可知垃圾投放正确的概率为 31=93
;
(2)“厨余垃圾”投放正确的概率为 400 2=400+100+100 3
.
20.(2013 山东菏泽,20,10 分)已知:关于 x 的一元二次方程 kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k 是整数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2),设 y=x2-x1-2,判断 y 是否为变量 k 的函数?如果
是,请写出函数表达式;若不是,请说明理由.
【答案】解:(1)证明:⊿=(4k+1)2-4k(3k+3)=(2k-1)2,
∵k 是整数,
∴k≠ 1
2
,2k-1≠0,
∴⊿=(2k-1)2>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)解方程得: 24 1 2 1
2
kk
x k
,
∴x=3 或 x=1+ 1
k
.
∵k 是整数,
∴ 1
k
≤1,1+ 1
k
≤2<3,
又∵x1<x2,
∴x1=1+ 1
k
,x2=3,
∴y=3-(1+ 1
k
)-2=- 1
k
,
∴y 是 k 的函数.
21.(2013 山东菏泽,21,10 分)如图,三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点 A、C 分别是一次函
数 y=- 3
4 x+3 的图像与 y 轴、x 轴的交点,点 B 在二次函数 y= 1
8
x2+bx+c 的图像上,且该二次函数
图像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形.
(1)试求 b,c 的值、并写出该二次函数表达式;
(2)动点 P 从 A 到 D,同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动,问:
A B
a
C A B
b
C A B
c
C
①当 P 运动到何处时,有 PQ⊥AC?
②当 P 运动到何处时,四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少?
O
D
CB
A
x
y
【答案】解:(1)由 y=- 3
4 x+3,
令 x=0,得 y=3.∴点 A(0,3);
令 y=0,得 x=4.∴点 C(4,0).
∵△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,
∴点 B 坐标为(-4,0).
∵平行四边形 ABCD,
∴点 D 坐标为(8,3).
将 B(-4,0)、D(8,3)代入二次函数 y= 1
8
x2+bx+c,
得 b=- 1
4
,c=-3,
∴该二次函数的表达式为 y= 1
8
x2- 1
4 x-3.
(2)①设点 P 运动了 t 秒时有 PQ⊥AC,此时 AP=t,CQ=t,AQ=5-t.
∵PQ⊥AC,
∴△APQ∽△CAO,
∴ 5
54
tt ,解得 t= 25
9
,
即当点 P 运动到与点 A 的距离为 25
9
个单位长度时,有 PQ⊥AC.
②∵S 四边形 PDCQ+S△APQ=S△ACD,S△ACD= 1
2
×8×3=12,
∴当△APQ 的面积最大时,四边形 PDCQ 的面积最小,
当动点 P 运动 t 秒时 AP=t,CQ=t,AQ=5-t.
设△APQ 底边 AP 上的高为 h,
作 QH⊥AD 于 H,由△AQH∽△CAO 可得:
(也可由∠HAQ=∠OCA sin∠HAQ=sin∠OCA 得到)
5
35
ht ,
整理得: 3 55ht,
∴S△APQ= 13525tt
23 5 15
10 2 8t
,
∴当 t= 5
2
时,S△APQ 达到最大值 15
8
,此时 S 四边形 PDCQ=12- 15
8
= 81
8
.
综上,当点 P 运动到距 A 点 5
2
个单位长度处时,四边形 PDCQ 面积最小,最小值为 81
8
.
P
O
Q
D
CB
A
x
y
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