人教版九年级数学上册教案：21_3 实际问题与一元二次方程（2） 4页

1 21.3 实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键 1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况． 2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目． 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张， 每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种 贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，•商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，•则每件平均利 润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ 0.1 x ×100） 解：设每张贺年卡应降价 x 元 则（0.3-x）（500+ 100 0.1 x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元． 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减少 库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应 降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢? 即绝对量与相对量之间的关系． 例 1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元， 那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元，•那么商场平均 每天可多售出 34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每 张降价的绝对量大． 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元； 0.3 0.75 100 0.1 0.25 34   ， 从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这 个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应 2 降价 0.1 元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元， 则：（0.75-y）（200+ 0.25 y ×34）=120 即（ 3 4 -y）（200+136y）=120 整理：得 68y2+49y-15=0 y= 49 6481 2 68    ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） y≈0.23 元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大． 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化 规律． （学生活动）例 2．两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t•乙种药品的成 本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t•乙种 药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评： 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000 元，•乙种药品成本 的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200 元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成 本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x， 则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元． 依题意，得 5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为 y． 则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大． 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销 售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，•平均每天 能售出 8 台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，•商场要想使这两种冰 箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展 例 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，•据市场分析，•若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品 情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润． 3 （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应为多少? 分析：（1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5 元，因此，销售量就减少 5×10kg． （2）销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）×销售量[500-10（x-50）] （3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过 10000 40 =250kg，在这个提前下， •求月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少． 解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750 元 （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000 （3）由于水产品不超过 10000÷40=250kg，定价为 x 元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当 x2=60 时，进货 500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 五、归纳小结 本节课应掌握： 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 六、布置作业 1．教材复习巩固 2 综合运用 7、9． 2．选用作业设计： 一、选择题 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ）． A．12 人 B．18 人 C．9 人 D．10 人 2．某一商人进货价便宜 8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前 x 增加 到（x+10%），则 x 是（ ）． A．12% B．15% C．30% D．50% 3．育才中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年四年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如果 1996 年和 1997 年植树的年增长率相同， 那么该校 1997 年植树的棵数为（ ）． A．600 B．604 C．595 D．605 二、填空题 1．一个产品原价为 a 元，受市场经济影响，先提价 20%后又降价 15%，现价比原价多 _______%． 2．甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后又 将这手股票返卖给甲，但乙损失了 10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖 出，在上述股票交易中，甲盈了_________元． 3．一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多 的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL，•则列出的 方程是________． 三、综合提高题 1．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 4 2．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量， 试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，•如果要使产量增加 15.2%， 那么应多种多少棵桃树? 3．某玩具厂有 4 个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（a>0）个成品，且每个 车间每天都生产 b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个 车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本 周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员 1 天共检验多少个成品?（用含 a、b 的代数式表示） （2）若一名检验员 1 天能检验 4 5 b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 答案： 一、1．C 2．B 3．D 二、1．2 2．1 3．（1- 63 x ）2= 28 63 三、1．甲：设上升率为 x，则 100（1+x）2=121，x=10% 乙：设上升率为 y，则 200（1+y）2=288，y=20%， 那么乙商场年均利润的上升率大． 2．设多种 x 棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%）•，• 整理，•得：•x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0， 解得 x1=20，x2=380 3．（1） 2 2 2 2 a b  =a+2b 或 2 2 5 3 a b  （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同． 所以 a+2b= 2 10 3 a b ，解得：a=4b 所以（a+2b）÷ 4 5 b=6b÷ 4 5 b= 30 4 =7.5（人） 所以至少要派 8 名检验员．