2013年4月黄浦中考数学二模试题 11页

3 2 y=kx+b y x O 黄浦区 2013 年九年级学业考试模拟考 数学试卷 （时间 100 分钟，满分 150 分） 2013.4.11 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. 一件衬衫原价是 90 元，现在打八折出售，那么这件衬衫现在的售价是（ ） （A）82 元 （B）80 元 （C）72 元 （D）18 元 2. 下列二次根式中， 2 的同类根式是（ ） （A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10 3. 方程 0322  xx 实数根的个数是（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 4. 如图，一次函数 y kx b的图像经过点 2,0 与 0,3 ，则关于 x 的不等式 0kx b的解集 是（ ） （A） 2x  （B） 2x  （C） 3x  （D） 3x  （第 4 题） （第 6 题） 5. 我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（ ） （A）有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形 （B）有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形 （C）有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形 （D）有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形 6. 如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 边 BC、CD 的中点，AE、AF 交 BD 于点 G、H，若 △AGH 的面积为 1，则五边形 CEGHF 的面积是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 B C H G D F E A • A B C D O C B A x y O D C B A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 计算： 36 aa  = . 8. 分解因式： 123  xxx = . 9. 下列数据是七年级（3）班第 2 小队 10 位同学上学期参加志愿者活动的次数： 7,6,7,8,5,4,10,7,8,6，那么这组数据的众数是 . 10. 方程 2 11xx   的解是 . 11. 如果反比例函数 2ky x  的图像位于第二、四象限，那么 k 的取值范围是 . 12. 一次函数 26yx的图像与 x 轴的交点坐标是 . 13. 从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这十个数中随机选一个数替代二次根式 2 21x  中的 字母 x，使所得二次根式有意义的概率是 . 14. 下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不 到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老 师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占 30%，而期末成绩占 40%.”小 林核对了语文成绩： 77%3070%4080%3080  ，完全正确，他再核对了英语成 绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林的数学平时成绩是 分. 15. 八边形的内角和为 度. 16. 如图，已知等边△ ABC 的边长为 1，设 n AB BC，那么向量 n 的模 n = . （第 16 题） （第 17 题） （第 18 题） 学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩 语文 80 80 70 77 数学 80 75 78 英语 90 85 90 88 17. 如图，平面直角坐标系中正方形 ABCD，已知 A（1,0），B（0,3）， 则sin COA = . 18. 如图，圆心 O 恰好为正方形 ABCD 的中心，已知 4AB  ，⊙O 的直径为 1.现将⊙O 沿某 一方向平移，当它与正方形 ABCD 的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为 d ， 则 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19. （本题满分 10 分） 计算：   21022 1 2013 tan 60 2 1       . 20. （本题满分 10 分） 解方程组：      065 20 22 22 yxyx yx . 21. （本题满分 10 分，第（1）、（ 2）小题满分各 5 分） 如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是弧 MN 的中点，⊙O 的 弦 AB 交直径 MN 于点 C，且∠ACO=2∠CAO. （1）求∠CAO 的度数； （2）若⊙O 的半径长为 3 ，求弦 AB 的长. C N O M B A 22. （本题满分 10 分，第（1）、（ 2）小题满分各 5 分） 如图，线段 AB、CD 分别是一辆轿车的油箱中剩余油量 1y （升）与另一辆客车的油箱中 剩余油量 2y （升）关于行驶时间 x（小时）的函数图像. （1）分别求 、 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果两车同时从相距 300 千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车 的行驶速度比客车的行驶速度快 30 千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余 的油量恰好相等，求两车的行驶速度. 23. （本题满分 12 分，第（1）、（ 2）小题满分各 6 分） 如图，在梯形 ABCD 中，AD‖BC，AB=CD，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE⊥BC ， 垂足是 E. （1）求证：E 是 BC 的中点； （2）若在线段 BO 上存在点 P，使得四边形 AOEP 为平行四边形，求证：四边形 ABED 是平行四边形. B C O E D A O D C B A y（升） 3 4 60 90 y2 y1 x（小时） 24. （本题满分 12 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 8 分） 已知二次函数 cbxxy  2 的图像经过点 P（0,1）与 Q（2,-3）. （1）求此二次函数的解析式； （2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像 于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，且所得四边形 ABCD 恰为正方形. ①求正方形 ABCD 的面积； ②联结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，求证：△PAD∽△PEA. 25. （本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（ 3）小题满分各 5 分） 如图，在梯形 ABCD 中，AD=BC=10，tanD= 3 4 ，E 是腰 AD 上一点，且 AE∶ED=1∶3. （1）当 AB∶CD=1∶3 时，求梯形 ABCD 的面积； （2）当∠ABE=∠BCE 时，求线段 BE 的长； （3）当△BCE 是直角三角形时，求边 AB 的长. B C D E A 黄浦区 2013 年初三学业模拟考数学试题参考答案与评分标准 一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 二、填空题 7． 3a 8．  211xx 9．7 10． 1x  11． 2k  12． 3,0 13． 3 5 14．80 15．1080 16．1 17． 4 5 18． 3 3 2 22d 三、解答题 19．解：原式=  3 2 2 1 3 2 1     ---------------------------------------------------------（8 分） = 2 ----------------------------------------------------------------------------------（2 分） 20．解：由（2）得：  2 3 0x y x y   ， 则 2xy 或 3xy ，---------------------------------------------------------------------（2 分） 将 2xy 代入（1），得 224 20yy， 则 2y  ， 4x  .-------------------------------------------------------------------------（3 分） 将 3xy 代入（1），得 229 20yy， 则 2y  ， 32x  .-----------------------------------------------------------------（3 分） 所以方程组的解是 1 1 4 2 x y    ， 2 2 4 2 x y    ， 3 3 32 2 x y    ， 4 4 32 2 x y    .--------（2 分） 21．解:（1）点 A 是弧 MN 的中点， 所以∠AOM=∠AON= 1 180 902     ，--------------------------------------------------（2 分） 在△AOC 中，∠AOC+∠ACO+∠CAO=180，---------------------------------------（2 分） 又∠ACO=2∠CAO. 所以∠CAO=  1 180 90 303     .-------------------------------------------------------（1 分） （2）作 OH⊥AB，垂足为 H，由垂径定理得 AB=2AH，----------------------------（2 分） 在 Rt△AOH 中，OA= 3 ,∠CAO=30,∠AHO=90, 则 AH= 33 22OA  ,------------------------------------------------------------------------（2 分） 所以 AB=3. ------------------------------------------------------------------------------------（1 分） 22．解：（1）设 1160y k x， 2290y k x.---------------------------------------------------（1 分） 由题意得 10 4 60k， 20 3 90k.-----------------------------------------------（1 分） 解得 1 15k  ， 2 30k  .----------------------------------------------------------------（1 分） 得 1 15 60yx   ，定义域为04x.-----------------------------------------------（1 分） 2 30 90yx   ，定义域为03x.-----------------------------------------------（1 分） （2）当 12yy 时， 15 60 30 90xx     ， 解得 2x  （小时）. -----------------------------------------------------------------------（1 分） 设轿车的速度为 v 千米/小时，------------------------------------------------------------（1 分） 则  2 30 300vv   ，--------------------------------------------------------------------（1 分） 解得 v=90. -------------------------------------------------------------------------------------（1 分） 答：轿车速度为 90 千米/小时，客车速度为 60 千米/小时. ------------------------（1 分） 23．证：（1）∵在梯形 ABCD 中，AD‖BC，AB=CD， ∴AC=BD，又 BC=CB， ∴△ABC≌△DCB，--------------------------------------------------------------------（3 分） ∴∠ACB=∠DBC， ∵OE⊥BC ，E 是垂足. ∴E 是 BC 的中点. ---------------------------------------------------------------------（3 分） （2）∵四边形 AOEP 为平行四边形， ∴AO‖EP, AO=EP，-------------------------------------------------------------------（1 分） ∵E 是 BC 的中点. ∴ 1 2PE OC .--------------------------------------------------------------------------（2 分） ∵AD‖BC， ∴ 1 2 AD AO PE BC OC OC   .-------------------------------------------------------------（2 分） ∴AD=BE，又 AD‖BE， ∴四边形 ABED 是平行四边形. -------------------------------------------------------（1 分） 24．解：（1）由题意知 1 3 4 2 c bc       ，------------------------------------------------------（2 分） 解得 0 1 b c    ，----------------------------------------------------------------------------（1 分） 所以二次函数解析式是 2 1yx   .-----------------------------------------------（1 分） （2）①设  2,1A a a，则  2,1B a a   .-------------------------------------------（1 分） 由四边形 ABCD 为正方形. 得 221aa   ，---------------------------------------------------------------------（1 分） 解得 12a    （舍负），---------------------------------------------------------（1 分） 所以正方形 ABCD 的面积为  22 12 8 2Sa   . -------------------------（1 分） ②设 AB 交 y 轴于点 H. 则 211 DO a PO    , 12 21PH a AH a    ， 所以 DO PH PO AH ，∠DOP=∠AHP. 所以△DOP∽△AHP，----------------------------------------------------------------（2 分） 则∠DPO=∠HAP，又∠DPO=∠PDA， 所以∠PDA =∠HAP，又∠DPA=∠APE， 所以△PAD∽△PEA.------------------------- -----------------------------------------（2 分） 25．解：（1）作 AH⊥CD，垂足为 H，---------------------------------------------------------------（1 分） 在 Rt△ADH 中，AD=10， 4tan 3D， 设 AH=4k，DH=3k， 则   2224 3 10kk， 解得 k =2， 所以 AH=4k=8，DH=3k=6，---------------------------------------------------------（1 分） 由等腰梯形 ABCD 知，CD=AB+12，又 AB∶CD=1∶3， 得 AB=6，CD=18，--------------------------------------------------------------------（1 分） 所以梯形 ABCD 的面积为  1 962S AB CD AH    .----------------------（1 分） （2）延长 BE、CD 交于点 P， ∵AE∶ED=1∶3，AB‖CD. ∴BE∶EP=1∶3,令 BE=x,则 BP=4x. ---------------------------------------------（1 分） ∵AB‖CD，∴∠ABE=∠P，又 ∠ABE=∠BCE， ∴∠BCE=∠P，又 ∠CBE=∠PBC， ∴△BCE∽△BPC，--------------------------------------------------------------------（2 分） ∴ BC BP BE BC ，即 24 10xx ，----------------------------------------------------（1 分） 解得 x=5，即 BE =5. ------------------------------------------------------------------（1 分） （3）设 AB=a,则 DP=3a ,则 CP=12+4a . 当∠CBE=90时， 在 Rt△BCP 中，BC=10，tan∠BCP=tan∠ADC= 3 4 ， 所以 BP= 4 4010 33 , CP= 2250 3BC BP, 即 50 3 =12+4a，解得 7 6a  .----------------------------------------------------------（2 分） 当∠CEB= 时， 过 E 作底边 CD 的垂线，在底边 AB、CD 上的垂足分别为 M、N， 易知△BME∽△CNE， 又△AME∽△DNE∽△AHD， ∴ME =2， MA = 3 2 , EN =6，DN = 9 2 . 由 BM EN ME NC ，即 3 62 152 2 a a    ， 解得 9 212a    （舍负）.--------------------------------------------------------（3 分） 又∠BCE<∠BCD<90. 所以当△BCE 是直角三角形时，AB= 7 6 或 9 212 .