• 554.00 KB
  • 2021-11-06 发布

2019-2020学年湖南长沙雨花区中九年级(下)第一次段考数学试卷(解析版)

  • 25页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第一次段考数学试卷 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.﹣的绝对值是(  )‎ A.﹣ B. C.2 D.﹣2‎ ‎2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线 ‎ C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线 ‎3.成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为(  )‎ A.46×10﹣7 B.4.6×10﹣7 C.4.6×10﹣6 D.0.46×10﹣5‎ ‎4.下列计算正确的是(  )‎ A.2a+3a=6a B.(﹣3a)2=6a2 ‎ C.(x﹣y)2=x2﹣y2 D.3﹣=2‎ ‎5.如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为(  )‎ A.45° B.48° C.50° D.58°‎ ‎6.在学校的体育训练中,小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示,则这7次成绩的中位数和平均数分别是(  )‎ A.9.7m,9.9m B.9.7m,9.8m C.9.8m,9.7m D.9.8m,9.9m ‎7.如图是一个几何体的三视图,该几何体是(  )‎ A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.棱柱 ‎8.已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过(﹣2,n)和(4,n)两点,则n的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4‎ ‎9.为了迎接体育中考,体育委员到体育用品商店购买排球和实心球,若购买2个排球和3个实心球共需95元,若购买5个排球和7个实心球共需230元,若设每个排球x元,每个实心球y元,则根据题意列二元一次方程组得(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,若BD=6,则CD的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.3‎ ‎11.如图,一艘快艇从O港出发,向东北方向行驶到A处,然后向西行驶到B处,再向东南方向行驶,共经过1小时到O港,已知快艇的速度是60km/h,则A,B之间的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,已知m≠n,函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点,函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点,则a与b的数量关系是(  )‎ A.a=b B.a=b﹣1 C.a=b或a=b+1 D.a=b或a=b﹣1‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.已知二次根式有意义,则满足条件的x的最大值是   .‎ ‎14.分解因式:m2﹣4m+4=   .‎ ‎15.不等式组的解集是   .‎ ‎16.如图,一个可以自由转动的转盘,被分成了6个相同的扇形,转动转盘,转盘停止时,指针落在红色区域的概率等于   .‎ ‎17.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC夹角为150°,AB的长为18cm,BD的长为9cm,则纸面部分BDEC的面积为   cm2.‎ ‎18.如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.则线段OF长的最小值为   .‎ 三.解答题(共8小题)‎ ‎19.计算:‎ ‎20.化简求值:,其中x=.‎ ‎21.某学校为调查学生的兴趣爱好,抽查了部分学生,并制作了如下表格与条形统计图:‎ 频数 频率 体育 ‎40‎ ‎0.4‎ 科技 ‎25‎ a 艺术 b ‎0.15‎ 其它 ‎20‎ ‎0.2‎ 请根据上图完成下面题目:‎ ‎(1)总人数为   人,a=   ,b=   .‎ ‎(2)请你补全条形统计图.‎ ‎(3)若全校有600人,请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少?‎ ‎22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣4,1),B(﹣2,3),C(﹣1,2).‎ ‎(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′,点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对应点.‎ ‎(2)求过点B′的反比例函数解析式.‎ ‎(3)判断A′B′的中点P是否在(2)的函数图象上.‎ ‎23.东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.‎ ‎(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;‎ ‎(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?‎ ‎24.如图,在矩形ABCD中,AD=5,CD=4,点E是BC边上的点,BE=3,连接AE,DF⊥AE交于点F.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△DFA;‎ ‎(2)连接CF,求sin∠DCF的值;‎ ‎(3)连接AC交DF于点G,求的值.‎ ‎25.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形,则称该抛物线为“等边抛物线”.‎ ‎(1)判断抛物线C1:y=x2﹣2x是否为“等边抛物线”?如果是,求出它的对称轴和顶点坐标;如果不是,说明理由.‎ ‎(2)若抛物线C2:y=ax2+2x+c为“等边抛物线”,求ac的值;‎ ‎(3)对于“等边抛物线”C3:y=x2+bx+c,当1<x<m时,二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方,求m的最大值.‎ ‎26.如图,二次函数y=2mx2+5mx﹣12m(m为参数,且m<0)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0).‎ ‎(1)求直线AC的解析式(用含m的式子表示).‎ ‎(2)若m=﹣,连接BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)在(2)的条件下,设点M为AC上方的抛物线上一动点(与点A,C不重合),以M为圆心的圆与直线AC相切,求⊙M面积的取值范围.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.﹣的绝对值是(  )‎ A.﹣ B. C.2 D.﹣2‎ ‎【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.‎ ‎【解答】解:|﹣|=,‎ 故选:B.‎ ‎2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线 ‎ C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线 ‎【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;‎ D、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎3.成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为(  )‎ A.46×10﹣7 B.4.6×10﹣7 C.4.6×10﹣6 D.0.46×10﹣5‎ ‎【分析】本题用科学记数法的知识即可解答.‎ ‎【解答】解:0.0000046=4.6×10﹣6.‎ 故选:C.‎ ‎4.下列计算正确的是(  )‎ A.2a+3a=6a B.(﹣3a)2=6a2 ‎ C.(x﹣y)2=x2﹣y2 D.3﹣=2‎ ‎【分析】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可;‎ ‎【解答】解:2a+3a=5a,A错误;‎ ‎(﹣3a)2=9a2,B错误;‎ ‎(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,C错误;‎ ‎=2,D正确;‎ 故选:D.‎ ‎5.如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为(  )‎ A.45° B.48° C.50° D.58°‎ ‎【分析】根据平行线的性质解答即可.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠B=∠1,‎ ‎∵∠1=∠D+∠E,‎ ‎∴∠D=∠B﹣∠E=75°﹣27°=48°,‎ 故选:B.‎ ‎6.在学校的体育训练中,小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示,则这7次成绩的中位数和平均数分别是(  )‎ A.9.7m,9.9m B.9.7m,9.8m C.9.8m,9.7m D.9.8m,9.9m ‎【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数,利用算术平均数的计算公式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m,因此中位数是9.7m,‎ 平均数为:(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=9.8m,‎ 故选:B.‎ ‎7.如图是一个几何体的三视图,该几何体是(  )‎ A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.棱柱 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ ‎【解答】解:由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体,由俯视图为圆形可得为圆柱.‎ 故选:C.‎ ‎8.已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过(﹣2,n)和(4,n)两点,则n的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4‎ ‎【分析】根据(﹣2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1,再由对称轴的x=即可求解;‎ ‎【解答】解:抛物线y=﹣x2+bx+4经过(﹣2,n)和(4,n)两点,‎ 可知函数的对称轴x=1,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴b=2;‎ ‎∴y=﹣x2+2x+4,‎ 将点(﹣2,n)代入函数解析式,可得n=﹣4;‎ 故选:B.‎ ‎9.为了迎接体育中考,体育委员到体育用品商店购买排球和实心球,若购买2个排球和3个实心球共需95元,若购买5个排球和7个实心球共需230元,若设每个排球x元,每个实心球y元,则根据题意列二元一次方程组得(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元,购买5个排球和7个实心球共需230元”可得.‎ ‎【解答】解:设每个排球x元,每个实心球y元,‎ 则根据题意列二元一次方程组得:,‎ 故选:B.‎ ‎10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,若BD=6,则CD的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.3‎ ‎【分析】由作图过程可得DN是AB的垂直平分线,AD=BD=6,再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解.‎ ‎【解答】解:由作图过程可知:‎ DN是AB的垂直平分线,‎ ‎∴AD=BD=6‎ ‎∵∠B=30°‎ ‎∴∠DAB=30°‎ ‎∴∠C=90°,‎ ‎∴∠CAB=60°‎ ‎∴∠CAD=30°‎ ‎∴CD=AD=3.‎ 故选:D.‎ ‎11.如图,一艘快艇从O港出发,向东北方向行驶到A处,然后向西行驶到B处,再向东南方向行驶,共经过1小时到O港,已知快艇的速度是60km/h,则A,B之间的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据∠AOD=45°,∠BOD=45°,AB∥x轴,△AOB为等腰直角三角形,OA=OB,利用三角函数解答即可.‎ ‎【解答】解:∵∠AOD=45°,∠BOD=45°,‎ ‎∴∠AOD=90°,‎ ‎∵AB∥x轴,‎ ‎∴∠BAO=∠AOC=45°,∠ABO=∠BOD=45°,‎ ‎∴△AOB为等腰直角三角形,OA=OB,‎ ‎∵OB+OA+AB=60km,‎ ‎∵OB=OA=AB,‎ ‎∴AB=,‎ 故选:B.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,已知m≠n,函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点,函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点,则a与b的数量关系是(  )‎ A.a=b B.a=b﹣1 C.a=b或a=b+1 D.a=b或a=b﹣1‎ ‎【分析】根据题意,利用分类讨论的方法可以求得a、b的值,从而可以得到a和b的关系,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:∵函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点,m≠n,‎ ‎∴(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2>0,‎ ‎∴a=2;‎ ‎∵函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点,m≠n,‎ ‎∴当mn=0时,该函数为y=(m+n)x+1与x轴有一个交点,‎ ‎∴b=1;‎ 当mn≠0时,(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2>0,‎ ‎∴b=2;‎ 由上可得,a=b+1或a=b,‎ 故选:C.‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.已知二次根式有意义,则满足条件的x的最大值是  .‎ ‎【分析】二次根式有意义,则被开方数大于等于0,从而得关于x的不等式,解得x范围,则可得答案.‎ ‎【解答】解:∵二次根式有意义 ‎∴3﹣4x≥0‎ ‎∴x≤‎ ‎∴满足条件的x的最大值是.‎ 故答案为:.‎ ‎14.分解因式:m2﹣4m+4= (m﹣2)2 .‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式分解即可.‎ ‎【解答】解:原式=(m﹣2)2,‎ 故答案为:(m﹣2)2‎ ‎15.不等式组的解集是 x≤﹣2 .‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:解不等式≤﹣1,得:x≤﹣2,‎ 解不等式﹣x+7>4,得:x<3,‎ 则不等式组的解集为x≤﹣2,‎ 故答案为:x≤﹣2.‎ ‎16.如图,一个可以自由转动的转盘,被分成了6个相同的扇形,转动转盘,转盘停止时,指针落在红色区域的概率等于  .‎ ‎【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例,根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率.‎ ‎【解答】解:由于一个圆平均分成6个相等的扇形,而转动的转盘又是自由停止的,‎ 所以指针指向每个扇形的可能性相等,‎ 即有6种等可能的结果,在这6种等可能结果中,指针指向红色部分区域的有2种可能结果,‎ 所以指针落在红色区域的概率是=;‎ 故答案为.‎ ‎17.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC夹角为150°,AB的长为18cm,BD的长为9cm,则纸面部分BDEC的面积为 π cm2.‎ ‎【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积.‎ ‎【解答】解:S=S扇形BAC﹣S扇形DAE=﹣=π(cm2).‎ 故答案是:π ‎18.如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.则线段OF长的最小值为 5﹣2 .‎ ‎【分析】连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接OF,FM,OM,证明△EDO≌△FDM,可得FM=OE=2,由条件可得OM=5,根据OF+MF≥OM,即可得出OF的最小值.‎ ‎【解答】解:如图,连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接OF,FM,OM,‎ ‎∵∠EDF=∠ODM=90°,‎ ‎∴∠EDO=∠FDM,‎ ‎∵DE=DF,DO=DM,‎ ‎∴△EDO≌△FDM(SAS),‎ ‎∴FM=OE=2,‎ ‎∵正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,‎ ‎∴OC=,‎ ‎∴OD==5,‎ ‎∴OM==5,‎ ‎∵OF+MF≥OM,‎ ‎∴OF≥5﹣2,‎ ‎∴线段OF长的最小值为5﹣2.‎ 故答案为:5﹣2.‎ 三.解答题(共8小题)‎ ‎19.计算:‎ ‎【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算.‎ ‎【解答】解:原式=﹣2+﹣2×﹣(2﹣)‎ ‎=﹣2+2﹣﹣2+‎ ‎=﹣2.‎ ‎20.化简求值:,其中x=.‎ ‎【分析】根据分式的混合运算先将分式化简,再代入求值即可.‎ ‎【解答】解:原式=•‎ ‎=‎ ‎=﹣x(x+1)‎ ‎=﹣x2﹣x 当x=时,原式=﹣2﹣.‎ ‎21.某学校为调查学生的兴趣爱好,抽查了部分学生,并制作了如下表格与条形统计图:‎ 频数 频率 体育 ‎40‎ ‎0.4‎ 科技 ‎25‎ a 艺术 b ‎0.15‎ 其它 ‎20‎ ‎0.2‎ 请根据上图完成下面题目:‎ ‎(1)总人数为 100 人,a= 0.25 ,b= 15 .‎ ‎(2)请你补全条形统计图.‎ ‎(3)若全校有600人,请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少?‎ ‎【分析】(1)根据“频率=频数÷总数”求解可得;‎ ‎(2)根据频数分布表即可补全条形图;‎ ‎(3)用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得.‎ ‎【解答】解:(1)总人数为40÷0.4=100人,‎ a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15,‎ 故答案为:100、0.25、15;‎ ‎(2)补全条形图如下:‎ ‎(3)估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人.‎ ‎22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣4,1),B(﹣2,3),C(﹣1,2).‎ ‎(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′,点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对应点.‎ ‎(2)求过点B′的反比例函数解析式.‎ ‎(3)判断A′B′的中点P是否在(2)的函数图象上.‎ ‎【分析】(1)首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置,再连接即可;‎ ‎(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=,再代入B′点坐标即可得到k的值,进而可得函数解析式;‎ ‎(3)首先确定点P坐标,根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)如图:‎ ‎(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=,‎ ‎∵B′(2,﹣3),‎ ‎∴﹣3=,‎ ‎∴k=﹣6,‎ ‎∴反比例函数解析式为y=﹣;‎ ‎(3)∵A′(4,﹣1),B′(2,﹣3)‎ ‎∴A′B′的中点P坐标为(3,﹣2),‎ ‎∵3×(﹣2)=﹣6,‎ ‎∴点P在(2)的函数图象上.‎ ‎23.东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.‎ ‎(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;‎ ‎(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?‎ ‎【分析】(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元,根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;‎ ‎(2)设每套悠悠球的售价为y元,根据销售收入﹣成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元,‎ 根据题意得:=1.5×,‎ 解得:x=25,‎ 经检验,x=25是原分式方程的解.‎ 答:第一批悠悠球每套的进价是25元.‎ ‎(2)设每套悠悠球的售价为y元,‎ 根据题意得:500÷25×(1+1.5)y﹣500﹣900≥(500+900)×25%,‎ 解得:y≥35.‎ 答:每套悠悠球的售价至少是35元.‎ ‎24.如图,在矩形ABCD中,AD=5,CD=4,点E是BC边上的点,BE=3,连接AE,DF⊥AE交于点F.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△DFA;‎ ‎(2)连接CF,求sin∠DCF的值;‎ ‎(3)连接AC交DF于点G,求的值.‎ ‎【分析】(1)根据勾股定理求出AE,矩形的性质、全等三角形的判定定理证明;‎ ‎(2)连接DE交CF于点H,根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4,AF=BE=3,证明∠DCH=∠DEC,求出sin∠DEC,得到答案;‎ ‎(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K,根据平行线分线段成比例定理得到=,根据余弦的概念求出EK,计算即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠B=90°,AD∥BC,‎ ‎∴=5,∠AEB=∠DAF,‎ 在△ABE和△AFD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△AFD;‎ ‎(2)连接DE交CF于点H.‎ ‎∵△ABE≌△DFA,‎ ‎∴DF=AB=CD=4,AF=BE=3,‎ ‎∴EF=CE=2.‎ ‎∴DE⊥CF.‎ ‎∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°.‎ ‎∴∠DCH=∠DEC.‎ 在Rt△DCE中,CD=4,CE=2,‎ ‎∴DE=2,‎ ‎∴sin∠DCF=sin∠DEC==.‎ ‎(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K.‎ ‎∴=.‎ 在Rt△CEK中,‎ EK=CE•cos∠CEK=CE•cos∠AEB=2×=.‎ ‎∴FK=FE+EK=.‎ ‎∴==.‎ ‎25.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形,则称该抛物线为“等边抛物线”.‎ ‎(1)判断抛物线C1:y=x2﹣2x是否为“等边抛物线”?如果是,求出它的对称轴和顶点坐标;如果不是,说明理由.‎ ‎(2)若抛物线C2:y=ax2+2x+c为“等边抛物线”,求ac的值;‎ ‎(3)对于“等边抛物线”C3:y=x2+bx+c,当1<x<m时,二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方,求m的最大值.‎ ‎【分析】(1)根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1:y=x2﹣2x是“等边抛物线”;然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标;‎ ‎(2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0),知AB=|x1﹣x2|=|‎ ‎﹣|=||,结合顶点坐标(﹣,)知=,据此求解可得;‎ ‎(3)由(2)中b2﹣4ac=12知c=,结合等边抛物线过(1,1)求得b=﹣6或b=2,依据对称轴位置得b=﹣6,联立,求得x=1或x=6,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣2x是“等边抛物线”.对称轴x=2,顶点坐标为(2,﹣2).理由如下:‎ 由y=x2﹣2x=x•(x﹣2)知,该抛物线与x轴的交点是(0,0),(4,0).‎ 又因为y=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2,‎ 所以其顶点坐标是(2,﹣2).‎ ‎∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4,‎ ‎∴抛物线y=x2﹣2x是“等边抛物线”.‎ 对称轴x=2,顶点坐标为(2,﹣2);‎ ‎(2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0),‎ 令y=ax2+bx+c=0,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴AB=|x1﹣x2|=|﹣|=||=||=||.‎ 又∵抛物线的顶点坐标为(﹣,),‎ ‎∴=.‎ ‎∵4﹣4ac≠0,‎ ‎∴||=,‎ ‎∴ac=﹣2;‎ ‎(3)由(2)得b2﹣4ac=12,‎ ‎∴c=,‎ ‎∴C3:y=x2+bx+,‎ ‎∵1<x<m时,总存在实数b,使二次函数C3的图象在一次函数y=x图象的下方,即抛物线与直线有一个交点为(1,1),‎ ‎∴该等边抛物线过(1,1),‎ ‎∴1+b+=1,‎ 解得b=﹣6或b=2,‎ 又对称轴x=﹣=﹣>1,‎ ‎∴b<﹣2,‎ ‎∴b=﹣6,‎ ‎∴y=x2﹣6x+6,‎ 联立,‎ 解得x=1或x=6,‎ ‎∴m的最大值为6.‎ ‎26.如图,二次函数y=2mx2+5mx﹣12m(m为参数,且m<0)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0).‎ ‎(1)求直线AC的解析式(用含m的式子表示).‎ ‎(2)若m=﹣,连接BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)在(2)的条件下,设点M为AC上方的抛物线上一动点(与点A,C不重合),以M为圆心的圆与直线AC相切,求⊙M面积的取值范围.‎ ‎【分析】(1)由抛物线的解析式求出C点坐标,再用待定系数法求直线AC的解析式;‎ ‎(2)作点B关于y轴的对称点B',连接CB'.证明AB'=CB'便可得结论;‎ ‎(3)过M点ME∥y轴,交AC于点E,设M点的横坐标为m,用m表示MD,再根据二次函数的性质求得MD的最大值,最后根据圆的面积公式便可求得结果.‎ ‎【解答】解:(1)令x=0,得y=2mx2+5mx﹣12m=﹣12m,‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则 ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线AC的解析式为:y=﹣3mx﹣12m;‎ ‎(2)∠CBA=2∠CAB.‎ 理由如下:‎ 如图1,作点B关于y轴的对称点B',连接CB'.‎ ‎∴CB=CB',‎ ‎∴∠CBA=∠CB'O,‎ ‎∵m=﹣时,抛物线的解析式为:,‎ ‎∴C(0,2),‎ ‎∴OC=2,‎ 当y=0,得=0,‎ 解得x=﹣4或,‎ ‎∴A(﹣4,0),B(,0),‎ ‎∴B'(﹣(,0),‎ ‎∴AB'=,CB'=‎ ‎∴AB'=CB',‎ ‎∴∠CAB=∠ACB',‎ ‎∵∠CB'O=∠CAB+∠ACB'=2∠CAB,‎ ‎∴∠CBA=2∠CAB;‎ ‎(3)如图2,以MD为半径做圆,‎ 过M点ME∥y轴,交AC于点E,‎ 则∠MEC=∠ACO,‎ ‎∵A(﹣4,0),以(0,2)‎ ‎∴直线AC的解析式为y=,‎ 设M(m,)(﹣4<m<0),则E(m,),‎ ‎∴,‎ 在Rt△AOC中,OC=2,OA=4,由勾股定理可得AC=2,‎ ‎∴sin∠MED=,‎ ‎∴,‎ 由二次函数的性质知,当m=﹣2时,DE有最大值为:,‎ ‎∴,‎ ‎∴∴⊙M面积的最大值为:π×()2=,‎ ‎∴⊙M面积的取值范围为:0<S⊙M≤,‎