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- 2021-11-06 发布
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一元二次方程
小结与复习
类型之一 一元二次方程的有关概念
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．5x(x－1)＋7＝5x2－4
2．2017·菏泽关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．
类型之二 一元二次方程的解法
3．一元二次方程x2＋6x－5＝0配方后变形正确的是( )
A．(x－3)2＝14 B．(x＋3)2＝4
C．(x＋6)2＝ D．(x＋3)2＝14
4．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0; (2)x2－6x－6＝0；
(3)6000(1－x)2＝4860;
(4)(10＋x)(50－x)＝800；
(5)3x(x－2)＝2(2－x)．
类型之三 一元二次方程根的判别式
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5．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．2017·凉山州若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．
7．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．
类型之四 一元二次方程根与系数的关系
8．2017·张家界已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________．
9．2017·黄冈已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12＋x22的值．
类型之五 一元二次方程的应用
10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．
11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
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12．如图2－X－1，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另外三边用木栏围成，木栏长40 m.
(1)若养鸡场面积为200 m2，求养鸡场平行于墙的一边长．
(2)养鸡场的面积能达到250 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．
图2－X－1
13．2017·桂林为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？
类型之六 数学活动
14．在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图2－X－2是小华与小芳的设计方案．
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图2－X－2
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图③中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
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1．C [解析] 一元二次方程必须满足三个条件：(1)是整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
2．0 [解析] 由于关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2－k＝0，解得k1＝1，k2＝0.当k＝1时，由于二次项系数k－1＝0，方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1.所以k的值是0.
3．D [解析] 原方程变形为x2＋6x＝5，方程两边都加上32，
得x2＋6x＋32＝14，∴(x＋3)2＝14.
4．(1)x1＝1，x2＝
(2)x1＝3＋，x2＝3－
(3)x1＝1.9，x2＝0.1
(4)x1＝10，x2＝30
(5)x1＝－，x2＝2
5．B [解析] ∵Δ＝b2－4ac＝42－4×3×(－5)＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选B.
6．k≤5且k≠1 [解析] ∵一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，
∴k－1≠0，且b2－4ac＝16－4(k－1)≥0，解得k≤5且k≠1.
7．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3m(m＋1)＋5，
∵方程的一个根为x＝0，
∴m(m＋1)＝0，
∴原式＝3m(m＋1)＋5＝5.
8．17 [解析] ∵m，n是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，
∴m＋n＝3，mn＝－4，
则m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9＋8＝17.
9．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1＞0，
解得k＞－.
(2)当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
10．81 [解析] 设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x＋7，
依题意，得(x＋7＋x)2＝10(x＋7)＋x，
整理得4x2＋17x－21＝0，
解得x1＝1，x2＝－(舍去)，所以x＝1，x＋7＝8，所以这个两位数是81.
11．解：(1)设每件衬衫应降价x元，
根据题意得(40－x)(20＋2x)＝1200，
整理得2x2－60x＋400＝0，
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解得x1＝20，x2＝10.
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价20元．
(2)设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利y元，则y＝(20＋2x)(40－x)
＝－2x2＋60x＋800
＝－2(x2－30x－400)
＝－2[(x－15)2－625]
＝－2(x－15)2＋1250.
所以当x＝15时，y取最大值．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．
12．解：(1)设养鸡场垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(40－2x)m，根据题意得
x(40－2x)＝200，－2x2＋40x－200＝0，
解得x1＝x2＝10，则40－2x＝20.
答：养鸡场平行于墙的一边长为20 m.
(2)假设能达到，根据(1)中所设，根据题意得x(40－2x)＝250，
∴－2x2＋40x－250＝0.
∵b2－4ac＝402－4×(－2)×(－250)＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使养鸡场的面积达到250 m2.
13．解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得5000(1＋x)2＝7200，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.
(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)．
设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，
根据题意得3500m＋2000(1500－m)≤86400000×5%，解得m≤880.
答：最多可购买电脑880台．
14．解：(1)不符合．理由：设小路的宽度均为x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12.
解这个方程得x1＝2，x2＝12.
但x＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2 m.
(2)答案不唯一. 例如：
说明略．
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