- 374.39 KB
- 2021-11-06 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
【期末冲刺得分】:2020-2021 学年八年级数学上册期末复习资料
第十二章 全等三角形
知识构建导图
专题归纳复习
探究点一:全等形和全等三角形的概念及对应元素
【类型一】 全等形的认识
2013 年第十二届全运会在辽宁举行,下图中的图形是全运会的会徽,
其中是全等形的是( )
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(1)(3) D.(1)(4)
解析:根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断.由此可以判断选项
D 是正确的.
方法总结:判断两个图形是不是全等形,可以通过平移、翻折、旋转等方法,
将两个图形叠合起来观察,看其是否能完全重合,有时还可以借助网格背景来观
察比较.
【类型二】 全等三角形的对应元素
如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三角形的对应
边;若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角.
解析:结合图形进行分析,分别写出对应边与对应角即可.
解:△BOD 与△COE 的对应边为:BO 与 CO,OD 与 OE,BD 与 CE;△ADO
与△AEO 的对应角为:∠DAO 与∠EAO,∠ADO 与∠AEO,∠AOD 与∠AOE.
方法总结:找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形,另外记全等三
角形时,对应顶点要写在对应的位置上,这样就可以比较容易地写出对应角和对
应边了.
探究点二:全等三角形的性质
【类型一】 应用全等三角形的性质求三角形的角或边
如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF
的度数和 CF 的长.
解析:根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF 的度数和 CF 的长.
解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF
=∠B=50°,BC=EF=7,∴CF=BC-BF=7-4=3.
方法总结:本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长,
解决问题的关键是准确识别图形.
【类型二】 全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用
如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,
求∠ACB 的度数.
解析:根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB
=2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB 中利用三角形内角和定理
来求∠ACB 的度数.
解:∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠CAD=10°,
∴∠EAB = ∠EAD + ∠CAD + ∠CAB = 2∠CAB + 10° = 120° , ∴∠CAB =
55°.∵∠B=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°-25°=100°,
即∠ACB 的度数是 100°.
方法总结:本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查,解答问题时
要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.
探究点二:三角形全等的判定方法——“边边边”
【类型一】 利用“SSS”判定两个三角形全等
如图,AB=DE,AC=DF,点 E、C 在直线 BF 上,且 BE=CF.求证:
△ABC≌△DEF.
解析:已知△ABC 与△DEF 有两边对应相等,通过 BE=CF 可得 BC=EF,
即可判定△ABC≌△DEF.
证明:∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中,
∵
BC=EF,
AB=DE,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
方法总结:判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,
然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
【类型二】 “SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算
如图所示,△ABC 是一个风筝架,AB=AC,AD 是连接点 A 与 BC 中
点 D 的支架,求证:AD⊥BC.
解析:要证 AD⊥BC,根据垂直定义,需证∠1=∠2,∠1=∠2 可由
△ABD≌△ACD 证得.
证 明 : ∵D 是 BC 的 中 点 , ∴BD = CD. 在 △ABD 和 △ACD 中 ,
∵
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相
等).∵∠1+∠2=180°,∴∠1=∠2=90°,∴AD⊥BC(垂直定义).
方法总结:将垂直关系转化为证两角相等,利用全等三角形证明两角相等是
全等三角形的间接应用.
【类型三】 利用“边边边”进行尺规作图
已知:如图,线段 a、b、c.求作:△ABC,使得 BC=a,AC=b,AB
=c.(保留作图痕迹,不写作法)
解析:首先画 AB=c,再以 B 为圆心,a 为半径画弧,以 A 为圆心,b 为半
径画弧,两弧交于一点 C,连接 BC,AC,即可得到△ABC.
解:如图所示,△ABC 就是所求的三角形.
方法总结:关键是掌握基本作图的方法,结合几何图形的基本性质把复杂作
图拆解成基本作图,逐步操作.
【类型四】 利用“SSS”解决探究性问题
如图,AD=CB,E、F 是 AC 上两动点,且有 DE=BF.
(1)若 E、F 运动至图①所示的位置,且有 AF=CE,求证:△ADE≌△CBF.
(2)若 E、F 运动至图②所示的位置,仍有 AF=CE,那么△ADE≌△CBF 还
成立吗?为什么?
(3)若 E、F 不重合,AD 和 CB 平行吗?说明理由.
解析:(1)因为 AF=CE,可推出 AE=CF,所以可利用 SSS 来证明三角形全
等;(2)同样利用三边来证明三角形全等;(3)因为全等,所以对应角相等,可推
出 AD∥CB.
解:(1)∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF.在△ADE 和△CBF 中,
∵
AD=CB,
DE=BF,
AE=CF,
∴△ADE≌△CBF.
(2)成立.∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.在△ADE 和△CBF
中,∵
AD=CB,
DE=BF,
AE=CF,
∴△ADE≌△CBF.
(3)平行.∵△ADE≌△CBF,∴∠A=∠C,∴AD∥BC.
方法总结:解决本题要明确无论 E、F 如何运动,总有两个三角形全等,这
个在图形中要分清.
探究点三:应用“边角边”判定两三角形全等
【类型一】 利用“SAS”判定三角形全等
如图,A、D、F、B 在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且 AE∥BC.
求证:△AEF≌△BCD.
解析:由 AE∥BC,根据平行线的性质,可得∠A=∠B,由 AD=BF 可得
AF=BD,又 AE=BC,根据 SAS,即可证得△AEF≌△BCD.
证明:∵AE∥BC,∴∠A=∠B.∵AD=BF,∴AF=BD.在△AEF 和△BCD
中,∵
AE=BC,
∠A=∠B,
AF=BD,
∴△AEF≌△BCD(SAS).
方法总结:判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两
边的夹角.
【类型二】 “边边角”不能证明三角形全等
下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF 的是( )
A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
B.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF
C.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF,应看所给出的条件是不是两边和这
两边的夹角,只有选项 C 的条件不符合,故选 C.
方法总结:判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三角
形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备 SSA 时是不能判
定三角形全等的.
探究点四:全等三角形判定与性质的综合运用
【类型一】 利用全等三角形进行证明或计算
已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=45°,
求∠C 的度数.
解析:利用已知条件易证∠ABC=∠FBE,再根据全等三角形的判定方法可
证明△ABC≌△FBE,由全等三角形的性质即可得到∠C=∠BEF.再根据平行,
可得出∠BEF 的度数,从而可知∠C 的度数.
解 : ∵∠1 = ∠2 , ∴∠ABC = ∠FBE. 在 △ABC 和 △FBE 中 ,
∵
BC=BE,
∠ABC=∠FBE,
AB=FB,
∴△ABC≌△FBE(SAS),∴∠C=∠BEF.又∵BC∥EF,
∴∠C=∠BEF=∠1=45°.
方法总结:全等三角形是证明线段和角相等的重要工具.
【类型二】 全等三角形与其他图形的综合
如图,四边形 ABCD、DEFG 都是正方形,连接 AE、CG.求证:(1)AE
=CG;(2)AE⊥CG.
解析:(1)因为已知条件中有两个正方形,所以 AD=CD,DE=DG,它们的
夹角都是∠ADG 加上直角,可得夹角相等,所以△ADE 和△CDG 全等;(2)再利
用互余关系可以证明 AE⊥CG.
证明:(1)∵四边形 ABCD、DEFG都是正方形,∴AD=CD,GD=ED.∵∠CDG
=90°+∠ADG,∠ADE=90°+∠ADG,∴∠CDG=∠ADE.在△ADE 和△CDG
中,∵
AD=CD,
∠ADE=∠CDG,
DE=GD,
∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG;
(2)设 AE 与 DG 相交于 M,AE 与 CG 相交于 N,在△GMN 和△DME 中,由
(1)得∠CGD=∠AED,又∵∠GMN=∠DME,∠DEM+∠DME=90°,∴∠CGD
+∠GMN=90°,∴∠GNM=90°,∴AE⊥CG.
探究点五:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等
【类型一】 应用“ASA”判定两个三角形全等
如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:△ADF≌△CBE.
解析:根据平行线的性质可得∠A=∠C,∠DFE=∠BEC,再根据等式的性
质可得 AF=CE,然后利用 ASA 可证明△ADF≌△CBE.
证明:∵AD∥BC,BE∥DF,∴∠A=∠C,∠DFE=∠BEC.∵AE=CF,
∴AE + EF = CF + EF , 即 AF = CE. 在 △ADF 和 △CBE 中 ,
∵
∠A=∠C,
AF=CE,
∠DFA=∠BEC,
∴△ADF≌△CBE(ASA).
方法总结:在“ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两
角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分;在“ASA”中,“边”必须是“两角
的夹边”.
【类型二】 应用“AAS”判定两个三角形全等
如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于 E.AD 与 BE 交于 F,
若 BF=AC,求证:△ADC≌△BDF.
解析:先证明∠ADC=∠BDF,∠DAC=∠DBF,再由 BF=AC,根据 AAS
即可得出两三角形全等.
证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠BEA=90°.∵∠AFE=
∠BFD,∠DAC+∠AEF+∠AFE=180°,∠BDF+∠BFD+∠DBF=180°,
∴∠DAC = ∠DBF. 在 △ADC 和 △BDF 中 ,
∵
∠DAC=∠DBF,
∠ADC=∠BDF,
AC=BF,
∴△ADC≌△BDF(AAS).
方法总结:在“AAS”中,“边”是“其中一个角的对边”.
【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等
如图,已知 AB=AE,∠BAD=∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添
加一个条件,这个条件可以是______________.
解析:由∠BAD=∠CAE 得到∠BAC=∠EAD,加上 AB=AE,所以当添加
∠C=∠D 时,根据“AAS”可判断△ABC≌△AED;当添加∠B=∠E 时,根据“ASA”
可判断△ABC≌△AED;当添加 AC=AD 时,根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.
方法总结:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS.
注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有
边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
探究点六:运用全等三角形解决有关问题
已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥
直线 m,CE⊥直线 m,垂足分别为点 D、E.求证:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE=
BD+CE.
解析:(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等,利用同角的余角相等得到
一对角相等,再由 AB=AC,利用 AAS 即可得证;(2)由△BDA≌△AEC,可得
BD=AE,AD=EC,根据 DE=DA+AE 等量代换即可得证.
证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD
=90°.∵AB⊥AC,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠ABD=∠CAE.在△BDA 和△AEC
中,∵
∠ADB=∠CEA=90°,
∠ABD=∠CAE,
AB=AC,
∴△BDA≌△AEC(AAS);
(2)∵△BDA≌△AEC,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE.
方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,比如线段的相等关系、
和差关系等,解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转
化.
探究点七:应用“斜边、直角边”判定三角形全等
如图,已知∠A=∠D=90°,E、F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O,
且 AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
解析:由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形,由 BE=CF 可得 BF=
CE,然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△DCE 全等.
证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形.在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中,∵ BF=CE,
AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
方法总结:利用“HL”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三
角形,然后找出对应的斜边和直角边相等即可.
探究点八:“斜边、直角边”判定三角形全等的运用
【类型一】 利用“HL”判定线段相等
如图,已知 AD,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,如果 AD
=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
解析:根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE,得 CD=EF,再根据“HL”证
Rt△ABD≌Rt△ABF,得 BD=BF,最后证明 BC=BE.
证明:∵AD,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,且 AD=AF,AC
= AE , ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL) . ∴CD = EF.∵AD = AF , AB = AB ,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即 BC=BE.
方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是
直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住
“直角”这个隐含的已知条件.
【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行
如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2.
解析:要证角相等,可先证明全等.即证 Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角
相等.
证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°,∴△ABC 与△ACD 为直
角三角形.在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中,∵ AB=AD,
AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴∠1=∠2.
方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决.
【类型三】 利用“HL”解决动点问题
如图,有一直角三角形 ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条
线段 PQ=AB,P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动,
问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等?
解析:本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌Rt△CBA,此时 AP=BC=5cm,
可据此求出 P 点的位置.(2)Rt△QAP≌Rt△BCA,此时 AP=AC,P、C 重合.
解:根据三角形全等的判定方法 HL 可知:(1)当 P 运动到 AP=BC 时,∵∠C
= ∠QAP = 90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 ,
∵ AP=BC,
PQ=AB,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP=BC=5cm;(2)当 P 运动到与 C
点 重 合 时 , AP = AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 ,
∵ AP=AC,
PQ=AB,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当 AP=5cm 或
10cm 时,△ABC 才能和△APQ 全等.
方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明
全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.
【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
如图,CD⊥AB 于 D 点,BE⊥AC 于 E 点,BE,CD 交于 O 点,且 AO
平分∠BAC.求证:OB=OC.
解析:已知 BE⊥AC,CD⊥AB 可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=
90°,由 AO 平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据 AAS 证得△AOD≌△AOE,根
据 ASA 证得△BOD≌△COE,即可证得 OB=OC.
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO
平分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD 和△AOE 中,∵
∠ADC=∠AEB,
∠1=∠2,
OA=OA,
∴△AOD≌△AOE(AAS) . ∴OD = OE. 在 △BOD 和 △COE 中 ,
∵
∠BDC=∠CEB,
OD=OE,
∠BOD=∠COE,
∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.
方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL”外,还有:SSS、SAS、ASA、
AAS.
探究点九:角平分线的作法
如图,AB∥CD,以点 A 为圆心,小于 AC 长为半径作圆弧,分别交
AB,AC 于 E,F 两点,再分别以 E、F 为圆心,大于 1
2EF 的长为半径画弧,两
弧交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M.若∠ACD=120°,求∠MAB 的度数.
解析:根据 AB∥CD,∠ACD=120°,得出∠CAB=60°,再根据 AM 是∠CAB
的平分线,即可得出∠MAB 的度数.
解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ACD=120°,∴∠CAB
=60°,由作法知,AM 是∠CAB 的平分线,∴∠MAB=1
2
∠CAB=30°.
方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM是∠BAC
的角平分线是解题的关键.
探究点十:角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图:在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,
F 在 AC 上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.
解析:(1)根据角平分线的性质,可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距
离,即 CD=DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB,得 CF=EB;(2)利用角平分线的
性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进
行证明.
证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在
Rt△DCF 和 Rt△DEB 中,∵ DF=BD,
DC=DE,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB;
(2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE.在△ADC 与
△ADE 中,∵ CD=DE,
AD=AD,
∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF
+EB=AF+2EB.
方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定
要注意是两条“垂线段”相等.
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,S△ABC=7,DE
=2,AB=4,则 AC 的长是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴DF
=DE=2,∴S△ABC=1
2×4×2+1
2AC×2=7,解得 AC=3.故选 D.
方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面
积公式求出线段的长度是常用的方法.
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示,D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点.DE⊥AC,
DF⊥CG,垂足分别为 E,F.求证:CE=CF.
解析:由角平分线的性质可得 DE=DF,再利用“HL”证明 Rt△CDE 和
Rt△CDF 全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
证明:∵CD 是∠ACG 的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在 Rt△CDE
和 Rt△CDF 中,∵ CD=CD,
DE=DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF.
方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等
的主要依据,可作为判定三角形全等的条件.
探究点十一:角平分线的判定定理
【类型一】 角平分线的判定
如图,BE=CF,DE⊥AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,且 DB=
DC,求证:AD 是∠BAC 的平分线.
解析:先判定 Rt△BDE 和 Rt△CDF 全等,得出 DE=DF,再由角平分线的
判定可知 AD 是∠BAC 的平分线.
证明:∵DE⊥AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE 与△CDF 是直角三角形.在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,∵ BE=CF,
BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD 是∠BAC 的平分线.
方法总结:证明一条射线是角平分线的方法有两种:一是利用三角形全等证
明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
【类型二】 角平分线性质和判定的综合
如图所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是 E、F,下面给出四个结论,①AD 平分∠EDF;②AE=AF;
③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等;④到 AE、AF 距离相等的点,到 DE、
DF 的距离也相等.其中正确的结论有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析:由 AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC 可得 DE=DF,由此易得
△ADE≌△ADF,故∠ADE=∠ADF,即①AD 平分∠EDF 正确;②AE=AF 正
确;角平分线上的点到角的两边的距离相等,故③正确;∴④到 AE、AF 距离相
等的点,到 DE、DF 的距离也相等正确;①②③④都正确.故选 D.
方法总结:运用角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程,
可以直接得到线段或角相等.
【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题
如图,已知:△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证:
AD 是∠BAC 的平分线.
解析:分别过点 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC,垂足分别为 E、
F、G,然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE=DG,再利用到
角两边距离相等的点在角平分线上证明.
证明:分别过 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC,垂足分别为 E、F、
G,∵BD 平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理 DG=DF,∴DE=
DG,∴点 D 在∠EAG 的平分线上,∴AD 是∠BAC 的平分线.
方法总结:在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的
垂线段,利用角平分线的判定或性质解决问题.
探究点十二:三角形的内角平分线
【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC 中,点 O 是△ABC 内一点,且点 O 到△ABC 三边的距离相
等.若∠A=40°,则∠BOC 的度数为( )
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
解析:由已知,O 到三角形三边的距离相等,所以 O 是内心,即三条角平
分线的交点,AO,BO,CO 都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=1
2
∠ABC,
∠BCO=∠ACO=1
2
∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB
=70°,∠BOC=180°-70°=110°,故选 A.
方法总结:由已知,O 到三角形三边的距离相等,得 O 是内心,再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数.
【类型二】 三角形内角平分线的应用
已知:如图,直线 l1,l2,l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔
台,若要求它到三条公路的距离都相等,试问:
(1)可选择的地点有几处?
(2)你能画出塔台的位置吗?
解析:(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有 4 处.(2)作出相交组成
的角的平分线,平分线的交点就是所求的点.
解:(1)可选择的地点有 4 处,如图:
P1、P2、P3、P4,共 4 处.
(2)能,如图,根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线,平分
线的交点就是所求的点.
方法总结:三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,反过来,到
三角形三边距离相等的点,即为三角形内角平分线的交点,这一结论在以后的学
习中经常遇到.
中考聚焦训练
1.(2018·广西梧州中考)如图,已知 BG 是∠ABC 的平分线,DE
⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,DE=6,则 DF 的长度是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
∵BG 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF=6.
故选 D.
2. (2018·四川成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下
条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC
已知∠ABC=∠DCB,BC=CB,根据全等三角形的判定,可知添加
夹这组对应角的另一边对应相等或添加另一组角对应相等
均可判定△ABC≌△DCB.添加A,B,D中条件,均能判定△ABC≌
△DCB.添加 C 中条件,不能判定△ABC≌△DCB.故选 C.
3.(2017·山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点
A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别
以点 M,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,
作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD=4,AB=15,则△ABD 的面积
是( ).
A.15 B.30 C.45 D.60
由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.
∵∠C=90°,
∴DE=CD,
∴△ABD 的面积=
1
2
AB·DE=
1
2
×15×4=30.
故选 B.
4.(2018·江苏南京中考)如图,AB⊥CD,且 AB=CD,E,F 是 AD 上
的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为
( )
A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
设 BF 交 CD 于点 M,
则∠BMC=∠DMF,
∴∠B=∠D.
在△ABF 和△CDE 中,
∠ = ∠
,
∠ t = ∠ t
,
=
,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,DE=BF=b,
∴DF=DE-EF=b-c,
∴AD=AF+DF=a+b-c.
5.(2018·黑龙江中考)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,
∠DAB=∠DCB=90°,则四边形 ABCD 的面积为 ( )
A.15 B.12.5 C.14.5 D.17
如图,过点 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于点 E.
∵ ∠ DAB= ∠ DCB=90°, ∴ ∠ D+ ∠ ABC=180°= ∠ ABE+ ∠
ABC,
∴∠D=∠ABE.
又∠DAB=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠EAB.
又 AD=AB,
∴△ACD≌△AEB.
∴AC=AE.
∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等.
∵S△ACE=
1
2
5×5=12.5,
∴四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选 B.
6.(2018·四川乐山中考)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:BC=BD.
证明 在△ABC 和△ABD 中,
∵∠3=∠4,∠3+∠ABC=∠4+∠ABD,
∴∠ABC=∠ABD.
又∠1=∠2,AB=AB,
∴△ABC≌△ABD.
∴BC=BD.
7.(2017·湖北中考)如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求
证:∠B=∠ANM.
证明 ∵∠BAC=∠DAM,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC,
即∠BAD=∠NAM.
在△ABD 和△ANM 中,
=
,
∠ = ∠ h
,
= h
,
∴△ABD≌△ANM(SAS).
∴∠B=∠ANM.
8.(2018·四川泸州中考)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠
F=∠C.
证明 ∵DA=EB,
∴DA+AE=EB+AE,
即 DE=AB.
在△DEF 和△ABC 中,
t =
,
tt =
,
t =
,
∴△DEF≌△ABC(SSS),
∴∠F=∠C.
9.(2018·四川南充中考)如图,已知 AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠
DAC.
求证:∠C=∠E.
证明 ∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE.
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC 与△ADE 中,
=
,
∠ = ∠ t
,
= t
,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴∠C=∠E.
10.(2017·湖北武汉中考)如图,点 C,F,E,B 在一条直线上,∠
CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.写出 CD 与 AB 之间的关系,并
证明你的结论.
解 CD 与 AB 之间的关系为 CD=AB,且 CD∥AB.证明如下:
∵CE=BF,∴CF=BE.
在△CDF 和△BAE 中,
t = t
,
∠ t = ∠ t
,
t = t
,
∴△CDF≌△BAE.
∴CD=BA,∠C=∠B,
∴CD∥BA.
相关文档
- 新人教版初中数学年级下册章精品导2021-11-0622页
- 初中数学中考复习课件章节考点专题2021-11-0620页
- 初中数学中考总复习课件PPT:24投影2021-11-0614页
- 初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 2021-11-068页
- 初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 2021-11-065页
- 中考数学一轮精品学案:初中数学思想2021-11-062页
- [[初三数学试题]]2008年湘潭初中数2021-11-0610页
- 初中数学青岛九上第1章测试卷2021-11-0613页
- 初中数学中考总复习课件PPT:14三角2021-11-0621页
- 初中数学中考总复习课件PPT:21与圆2021-11-0624页