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  • 2021-11-06 发布

【期末冲刺得分】2020-2021学年八年级数学上册期末复习讲义 第十二章 全等三角形(人教版)

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【期末冲刺得分】:2020-2021 学年八年级数学上册期末复习资料 第十二章 全等三角形 知识构建导图 专题归纳复习 探究点一:全等形和全等三角形的概念及对应元素 【类型一】 全等形的认识 2013 年第十二届全运会在辽宁举行,下图中的图形是全运会的会徽, 其中是全等形的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(4) 解析:根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断.由此可以判断选项 D 是正确的. 方法总结:判断两个图形是不是全等形,可以通过平移、翻折、旋转等方法, 将两个图形叠合起来观察,看其是否能完全重合,有时还可以借助网格背景来观 察比较. 【类型二】 全等三角形的对应元素 如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三角形的对应 边;若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角. 解析:结合图形进行分析,分别写出对应边与对应角即可. 解:△BOD 与△COE 的对应边为:BO 与 CO,OD 与 OE,BD 与 CE;△ADO 与△AEO 的对应角为:∠DAO 与∠EAO,∠ADO 与∠AEO,∠AOD 与∠AOE. 方法总结:找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形,另外记全等三 角形时,对应顶点要写在对应的位置上,这样就可以比较容易地写出对应角和对 应边了. 探究点二:全等三角形的性质 【类型一】 应用全等三角形的性质求三角形的角或边 如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF 的度数和 CF 的长. 解析:根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF 的度数和 CF 的长. 解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF =∠B=50°,BC=EF=7,∴CF=BC-BF=7-4=3. 方法总结:本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长, 解决问题的关键是准确识别图形. 【类型二】 全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用 如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°, 求∠ACB 的度数. 解析:根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB =2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB 中利用三角形内角和定理 来求∠ACB 的度数. 解:∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠CAD=10°, ∴∠EAB = ∠EAD + ∠CAD + ∠CAB = 2∠CAB + 10° = 120° , ∴∠CAB = 55°.∵∠B=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°-25°=100°, 即∠ACB 的度数是 100°. 方法总结:本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查,解答问题时 要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来. 探究点二:三角形全等的判定方法——“边边边” 【类型一】 利用“SSS”判定两个三角形全等 如图,AB=DE,AC=DF,点 E、C 在直线 BF 上,且 BE=CF.求证: △ABC≌△DEF. 解析:已知△ABC 与△DEF 有两边对应相等,通过 BE=CF 可得 BC=EF, 即可判定△ABC≌△DEF. 证明:∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ∵ BC=EF, AB=DE, AC=DF, ∴△ABC≌△DEF(SSS). 方法总结:判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 【类型二】 “SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算 如图所示,△ABC 是一个风筝架,AB=AC,AD 是连接点 A 与 BC 中 点 D 的支架,求证:AD⊥BC. 解析:要证 AD⊥BC,根据垂直定义,需证∠1=∠2,∠1=∠2 可由 △ABD≌△ACD 证得. 证 明 : ∵D 是 BC 的 中 点 , ∴BD = CD. 在 △ABD 和 △ACD 中 , ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相 等).∵∠1+∠2=180°,∴∠1=∠2=90°,∴AD⊥BC(垂直定义). 方法总结:将垂直关系转化为证两角相等,利用全等三角形证明两角相等是 全等三角形的间接应用. 【类型三】 利用“边边边”进行尺规作图 已知:如图,线段 a、b、c.求作:△ABC,使得 BC=a,AC=b,AB =c.(保留作图痕迹,不写作法) 解析:首先画 AB=c,再以 B 为圆心,a 为半径画弧,以 A 为圆心,b 为半 径画弧,两弧交于一点 C,连接 BC,AC,即可得到△ABC. 解:如图所示,△ABC 就是所求的三角形. 方法总结:关键是掌握基本作图的方法,结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成基本作图,逐步操作. 【类型四】 利用“SSS”解决探究性问题 如图,AD=CB,E、F 是 AC 上两动点,且有 DE=BF. (1)若 E、F 运动至图①所示的位置,且有 AF=CE,求证:△ADE≌△CBF. (2)若 E、F 运动至图②所示的位置,仍有 AF=CE,那么△ADE≌△CBF 还 成立吗?为什么? (3)若 E、F 不重合,AD 和 CB 平行吗?说明理由. 解析:(1)因为 AF=CE,可推出 AE=CF,所以可利用 SSS 来证明三角形全 等;(2)同样利用三边来证明三角形全等;(3)因为全等,所以对应角相等,可推 出 AD∥CB. 解:(1)∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF.在△ADE 和△CBF 中, ∵ AD=CB, DE=BF, AE=CF, ∴△ADE≌△CBF. (2)成立.∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.在△ADE 和△CBF 中,∵ AD=CB, DE=BF, AE=CF, ∴△ADE≌△CBF. (3)平行.∵△ADE≌△CBF,∴∠A=∠C,∴AD∥BC. 方法总结:解决本题要明确无论 E、F 如何运动,总有两个三角形全等,这 个在图形中要分清. 探究点三:应用“边角边”判定两三角形全等 【类型一】 利用“SAS”判定三角形全等 如图,A、D、F、B 在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且 AE∥BC. 求证:△AEF≌△BCD. 解析:由 AE∥BC,根据平行线的性质,可得∠A=∠B,由 AD=BF 可得 AF=BD,又 AE=BC,根据 SAS,即可证得△AEF≌△BCD. 证明:∵AE∥BC,∴∠A=∠B.∵AD=BF,∴AF=BD.在△AEF 和△BCD 中,∵ AE=BC, ∠A=∠B, AF=BD, ∴△AEF≌△BCD(SAS). 方法总结:判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两 边的夹角. 【类型二】 “边边角”不能证明三角形全等 下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF 的是( ) A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF B.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF C.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF 解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF,应看所给出的条件是不是两边和这 两边的夹角,只有选项 C 的条件不符合,故选 C. 方法总结:判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三角 形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备 SSA 时是不能判 定三角形全等的. 探究点四:全等三角形判定与性质的综合运用 【类型一】 利用全等三角形进行证明或计算 已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=45°, 求∠C 的度数. 解析:利用已知条件易证∠ABC=∠FBE,再根据全等三角形的判定方法可 证明△ABC≌△FBE,由全等三角形的性质即可得到∠C=∠BEF.再根据平行, 可得出∠BEF 的度数,从而可知∠C 的度数. 解 : ∵∠1 = ∠2 , ∴∠ABC = ∠FBE. 在 △ABC 和 △FBE 中 , ∵ BC=BE, ∠ABC=∠FBE, AB=FB, ∴△ABC≌△FBE(SAS),∴∠C=∠BEF.又∵BC∥EF, ∴∠C=∠BEF=∠1=45°. 方法总结:全等三角形是证明线段和角相等的重要工具. 【类型二】 全等三角形与其他图形的综合 如图,四边形 ABCD、DEFG 都是正方形,连接 AE、CG.求证:(1)AE =CG;(2)AE⊥CG. 解析:(1)因为已知条件中有两个正方形,所以 AD=CD,DE=DG,它们的 夹角都是∠ADG 加上直角,可得夹角相等,所以△ADE 和△CDG 全等;(2)再利 用互余关系可以证明 AE⊥CG. 证明:(1)∵四边形 ABCD、DEFG都是正方形,∴AD=CD,GD=ED.∵∠CDG =90°+∠ADG,∠ADE=90°+∠ADG,∴∠CDG=∠ADE.在△ADE 和△CDG 中,∵ AD=CD, ∠ADE=∠CDG, DE=GD, ∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG; (2)设 AE 与 DG 相交于 M,AE 与 CG 相交于 N,在△GMN 和△DME 中,由 (1)得∠CGD=∠AED,又∵∠GMN=∠DME,∠DEM+∠DME=90°,∴∠CGD +∠GMN=90°,∴∠GNM=90°,∴AE⊥CG. 探究点五:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等 【类型一】 应用“ASA”判定两个三角形全等 如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:△ADF≌△CBE. 解析:根据平行线的性质可得∠A=∠C,∠DFE=∠BEC,再根据等式的性 质可得 AF=CE,然后利用 ASA 可证明△ADF≌△CBE. 证明:∵AD∥BC,BE∥DF,∴∠A=∠C,∠DFE=∠BEC.∵AE=CF, ∴AE + EF = CF + EF , 即 AF = CE. 在 △ADF 和 △CBE 中 , ∵ ∠A=∠C, AF=CE, ∠DFA=∠BEC, ∴△ADF≌△CBE(ASA). 方法总结:在“ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两 角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分;在“ASA”中,“边”必须是“两角 的夹边”. 【类型二】 应用“AAS”判定两个三角形全等 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于 E.AD 与 BE 交于 F, 若 BF=AC,求证:△ADC≌△BDF. 解析:先证明∠ADC=∠BDF,∠DAC=∠DBF,再由 BF=AC,根据 AAS 即可得出两三角形全等. 证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠BEA=90°.∵∠AFE= ∠BFD,∠DAC+∠AEF+∠AFE=180°,∠BDF+∠BFD+∠DBF=180°, ∴∠DAC = ∠DBF. 在 △ADC 和 △BDF 中 , ∵ ∠DAC=∠DBF, ∠ADC=∠BDF, AC=BF, ∴△ADC≌△BDF(AAS). 方法总结:在“AAS”中,“边”是“其中一个角的对边”. 【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等 如图,已知 AB=AE,∠BAD=∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添 加一个条件,这个条件可以是______________. 解析:由∠BAD=∠CAE 得到∠BAC=∠EAD,加上 AB=AE,所以当添加 ∠C=∠D 时,根据“AAS”可判断△ABC≌△AED;当添加∠B=∠E 时,根据“ASA” 可判断△ABC≌△AED;当添加 AC=AD 时,根据“SAS”可判断△ABC≌△AED. 方法总结:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有 边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 探究点六:运用全等三角形解决有关问题 已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥ 直线 m,CE⊥直线 m,垂足分别为点 D、E.求证:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE= BD+CE. 解析:(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等,利用同角的余角相等得到 一对角相等,再由 AB=AC,利用 AAS 即可得证;(2)由△BDA≌△AEC,可得 BD=AE,AD=EC,根据 DE=DA+AE 等量代换即可得证. 证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD =90°.∵AB⊥AC,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠ABD=∠CAE.在△BDA 和△AEC 中,∵ ∠ADB=∠CEA=90°, ∠ABD=∠CAE, AB=AC, ∴△BDA≌△AEC(AAS); (2)∵△BDA≌△AEC,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE. 方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,比如线段的相等关系、 和差关系等,解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转 化. 探究点七:应用“斜边、直角边”判定三角形全等 如图,已知∠A=∠D=90°,E、F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O, 且 AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析:由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形,由 BE=CF 可得 BF= CE,然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△DCE 全等. 证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.∵∠A=∠D=90°, ∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形.在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中,∵ BF=CE, AB=CD, ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 方法总结:利用“HL”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三 角形,然后找出对应的斜边和直角边相等即可. 探究点八:“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL”判定线段相等 如图,已知 AD,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,如果 AD =AF,AC=AE.求证:BC=BE. 解析:根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE,得 CD=EF,再根据“HL”证 Rt△ABD≌Rt△ABF,得 BD=BF,最后证明 BC=BE. 证明:∵AD,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,且 AD=AF,AC = AE , ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL) . ∴CD = EF.∵AD = AF , AB = AB , ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即 BC=BE. 方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是 直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住 “直角”这个隐含的已知条件. 【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行 如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2. 解析:要证角相等,可先证明全等.即证 Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角 相等. 证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°,∴△ABC 与△ACD 为直 角三角形.在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中,∵ AB=AD, AC=AC, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL), ∴∠1=∠2. 方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决. 【类型三】 利用“HL”解决动点问题 如图,有一直角三角形 ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条 线段 PQ=AB,P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动, 问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等? 解析:本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌Rt△CBA,此时 AP=BC=5cm, 可据此求出 P 点的位置.(2)Rt△QAP≌Rt△BCA,此时 AP=AC,P、C 重合. 解:根据三角形全等的判定方法 HL 可知:(1)当 P 运动到 AP=BC 时,∵∠C = ∠QAP = 90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 , ∵ AP=BC, PQ=AB, ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP=BC=5cm;(2)当 P 运动到与 C 点 重 合 时 , AP = AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 , ∵ AP=AC, PQ=AB, ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当 AP=5cm 或 10cm 时,△ABC 才能和△APQ 全等. 方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明 全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解. 【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图,CD⊥AB 于 D 点,BE⊥AC 于 E 点,BE,CD 交于 O 点,且 AO 平分∠BAC.求证:OB=OC. 解析:已知 BE⊥AC,CD⊥AB 可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB= 90°,由 AO 平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据 AAS 证得△AOD≌△AOE,根 据 ASA 证得△BOD≌△COE,即可证得 OB=OC. 证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO 平分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD 和△AOE 中,∵ ∠ADC=∠AEB, ∠1=∠2, OA=OA, ∴△AOD≌△AOE(AAS) . ∴OD = OE. 在 △BOD 和 △COE 中 , ∵ ∠BDC=∠CEB, OD=OE, ∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC. 方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL”外,还有:SSS、SAS、ASA、 AAS. 探究点九:角平分线的作法 如图,AB∥CD,以点 A 为圆心,小于 AC 长为半径作圆弧,分别交 AB,AC 于 E,F 两点,再分别以 E、F 为圆心,大于 1 2EF 的长为半径画弧,两 弧交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M.若∠ACD=120°,求∠MAB 的度数. 解析:根据 AB∥CD,∠ACD=120°,得出∠CAB=60°,再根据 AM 是∠CAB 的平分线,即可得出∠MAB 的度数. 解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ACD=120°,∴∠CAB =60°,由作法知,AM 是∠CAB 的平分线,∴∠MAB=1 2 ∠CAB=30°. 方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM是∠BAC 的角平分线是解题的关键. 探究点十:角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图:在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E, F 在 AC 上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB. 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距 离,即 CD=DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB,得 CF=EB;(2)利用角平分线的 性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进 行证明. 证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中,∵ DF=BD, DC=DE, ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB; (2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE.在△ADC 与 △ADE 中,∵ CD=DE, AD=AD, ∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF +EB=AF+2EB. 方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定 要注意是两条“垂线段”相等. 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,S△ABC=7,DE =2,AB=4,则 AC 的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴DF =DE=2,∴S△ABC=1 2×4×2+1 2AC×2=7,解得 AC=3.故选 D. 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面 积公式求出线段的长度是常用的方法. 【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示,D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点.DE⊥AC, DF⊥CG,垂足分别为 E,F.求证:CE=CF. 解析:由角平分线的性质可得 DE=DF,再利用“HL”证明 Rt△CDE 和 Rt△CDF 全等,根据全等三角形对应边相等证明即可. 证明:∵CD 是∠ACG 的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中,∵ CD=CD, DE=DF, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF. 方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等 的主要依据,可作为判定三角形全等的条件. 探究点十一:角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图,BE=CF,DE⊥AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,且 DB= DC,求证:AD 是∠BAC 的平分线. 解析:先判定 Rt△BDE 和 Rt△CDF 全等,得出 DE=DF,再由角平分线的 判定可知 AD 是∠BAC 的平分线. 证明:∵DE⊥AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,∴∠BED=∠CFD, ∴△BDE 与△CDF 是直角三角形.在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,∵ BE=CF, BD=CD, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD 是∠BAC 的平分线. 方法总结:证明一条射线是角平分线的方法有两种:一是利用三角形全等证 明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上. 【类型二】 角平分线性质和判定的综合 如图所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是 E、F,下面给出四个结论,①AD 平分∠EDF;②AE=AF; ③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等;④到 AE、AF 距离相等的点,到 DE、 DF 的距离也相等.其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:由 AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC 可得 DE=DF,由此易得 △ADE≌△ADF,故∠ADE=∠ADF,即①AD 平分∠EDF 正确;②AE=AF 正 确;角平分线上的点到角的两边的距离相等,故③正确;∴④到 AE、AF 距离相 等的点,到 DE、DF 的距离也相等正确;①②③④都正确.故选 D. 方法总结:运用角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程, 可以直接得到线段或角相等. 【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图,已知:△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证: AD 是∠BAC 的平分线. 解析:分别过点 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC,垂足分别为 E、 F、G,然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE=DG,再利用到 角两边距离相等的点在角平分线上证明. 证明:分别过 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC,垂足分别为 E、F、 G,∵BD 平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理 DG=DF,∴DE= DG,∴点 D 在∠EAG 的平分线上,∴AD 是∠BAC 的平分线. 方法总结:在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的 垂线段,利用角平分线的判定或性质解决问题. 探究点十二:三角形的内角平分线 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC 中,点 O 是△ABC 内一点,且点 O 到△ABC 三边的距离相 等.若∠A=40°,则∠BOC 的度数为( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 解析:由已知,O 到三角形三边的距离相等,所以 O 是内心,即三条角平 分线的交点,AO,BO,CO 都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=1 2 ∠ABC, ∠BCO=∠ACO=1 2 ∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB =70°,∠BOC=180°-70°=110°,故选 A. 方法总结:由已知,O 到三角形三边的距离相等,得 O 是内心,再利用三 角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数. 【类型二】 三角形内角平分线的应用 已知:如图,直线 l1,l2,l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔 台,若要求它到三条公路的距离都相等,试问: (1)可选择的地点有几处? (2)你能画出塔台的位置吗? 解析:(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有 4 处.(2)作出相交组成 的角的平分线,平分线的交点就是所求的点. 解:(1)可选择的地点有 4 处,如图: P1、P2、P3、P4,共 4 处. (2)能,如图,根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线,平分 线的交点就是所求的点. 方法总结:三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,反过来,到 三角形三边距离相等的点,即为三角形内角平分线的交点,这一结论在以后的学 习中经常遇到. 中考聚焦训练 1.(2018·广西梧州中考)如图,已知 BG 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,DE=6,则 DF 的长度是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 ∵BG 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF=6. 故选 D. 2. (2018·四川成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下 条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC 已知∠ABC=∠DCB,BC=CB,根据全等三角形的判定,可知添加 夹这组对应角的另一边对应相等或添加另一组角对应相等 均可判定△ABC≌△DCB.添加A,B,D中条件,均能判定△ABC≌ △DCB.添加 C 中条件,不能判定△ABC≌△DCB.故选 C. 3.(2017·山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别 以点 M,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P, 作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD=4,AB=15,则△ABD 的面积 是( ). A.15 B.30 C.45 D.60 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵∠C=90°, ∴DE=CD, ∴△ABD 的面积= 1 2 AB·DE= 1 2 ×15×4=30. 故选 B. 4.(2018·江苏南京中考)如图,AB⊥CD,且 AB=CD,E,F 是 AD 上 的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为 ( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 设 BF 交 CD 于点 M, 则∠BMC=∠DMF, ∴∠B=∠D. 在△ABF 和△CDE 中, ∠ = ∠ , ∠t = ∠t , = , ∴△ABF≌△CDE, ∴AF=CE=a,DE=BF=b, ∴DF=DE-EF=b-c, ∴AD=AF+DF=a+b-c. 5.(2018·黑龙江中考)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=90°,则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 如图,过点 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于点 E. ∵ ∠ DAB= ∠ DCB=90°, ∴ ∠ D+ ∠ ABC=180°= ∠ ABE+ ∠ ABC, ∴∠D=∠ABE. 又∠DAB=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB. 又 AD=AB, ∴△ACD≌△AEB. ∴AC=AE. ∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等. ∵S△ACE= 1 2 5×5=12.5, ∴四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选 B. 6.(2018·四川乐山中考)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:BC=BD. 证明 在△ABC 和△ABD 中, ∵∠3=∠4,∠3+∠ABC=∠4+∠ABD, ∴∠ABC=∠ABD. 又∠1=∠2,AB=AB, ∴△ABC≌△ABD. ∴BC=BD. 7.(2017·湖北中考)如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求 证:∠B=∠ANM. 证明 ∵∠BAC=∠DAM, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC, 即∠BAD=∠NAM. 在△ABD 和△ANM 中, = , ∠ = ∠h , = h , ∴△ABD≌△ANM(SAS). ∴∠B=∠ANM. 8.(2018·四川泸州中考)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠ F=∠C. 证明 ∵DA=EB, ∴DA+AE=EB+AE, 即 DE=AB. 在△DEF 和△ABC 中, t = , tt = , t = , ∴△DEF≌△ABC(SSS), ∴∠F=∠C. 9.(2018·四川南充中考)如图,已知 AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠ DAC. 求证:∠C=∠E. 证明 ∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE. ∴∠BAC=∠DAE. 在△ABC 与△ADE 中, = , ∠ = ∠t , = t , ∴△ABC≌△ADE(SAS). ∴∠C=∠E. 10.(2017·湖北武汉中考)如图,点 C,F,E,B 在一条直线上,∠ CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.写出 CD 与 AB 之间的关系,并 证明你的结论. 解 CD 与 AB 之间的关系为 CD=AB,且 CD∥AB.证明如下: ∵CE=BF,∴CF=BE. 在△CDF 和△BAE 中, t = t , ∠t = ∠t , t = t , ∴△CDF≌△BAE. ∴CD=BA,∠C=∠B, ∴CD∥BA.