2013山东莱芜中考数学试题 10页

2013 年山东莱芜市中考试题 数 学 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 第一部分（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把 正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均 记零分，共 36 分）. 1.（2013 山东莱芜，1，3 分）如在 1 2 ， 1 3 ，﹣2，﹣1 这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. ﹣2 D.﹣1 【答案】B 2. （2013 山东莱芜，2，3 分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到 与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为（ ） A. 451×105 B. 45.1×106 C. 4.51×107 D. 0.451×10 【答案】C 3. （2013 山东莱芜，3，3 分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） 球体 圆锥 正方体 圆柱 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案】B 4. （2013 山东莱芜，4，3 分）方程 2 4 2 x x   =0 的解为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 【答案】A 5. （2013 山东莱芜，5，3 分）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位 数分别是（ ） A. 10，10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11，10 【答案】D 6. （2013 山东莱芜，6，3 分）如图所示，将含有 30°角的三角板的直角顶点放在相互平 行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2 的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 25° D.30° 【答案】C 7. （2013 山东莱芜，7，3 分）将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆 心 O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆柱的高为（ ） A. 22 B. 2 C. 10 D. 3 2 【答案】A 8. （2013 山东莱芜，8，3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是 （ ） ①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 【答案】C 9. （2013 山东莱芜，9，3 分）如图，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（ ） A. 135° B. 122.5° C. 115.5° D.112.5° 【答案】D 10. （2013 山东莱芜，10，3 分）下列说法错误．．的是（ ） A.若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分吧必过两圆的圆心 B.2＋ 3 与 2－ 互为倒数 C.若 a＞ b ，则 a＞b D.梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 【答案】D 11. （2013 山东莱芜，11，3 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（1 3 ）， M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ） A.4 B. 5 C. 6 D.8 【答案】C 12. （2013 山东莱芜，12，3 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点， 三角形边上的动点 M 从点 A 出发，沿 A→B→C 的方向运动，到达点 C 时停止.设点 M 运动的 路程为 x，MN2=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） 【答案】B 二、填空题（本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共 20 分）. 13. （2013 山东莱芜，13，4 分）分解因式：2m3－8m= . 【答案】2m（m+2）（ m－2） 14. （2013 山东莱芜，14，4 分）正十二边形每个内角的度数为 . 【答案】150° 15. （2013 山东莱芜，15，4 分）M（1，a）是一次函数 y=3x＋2 与反比例函数 ky x 图象 的公共点，若将一次函数 y=3x＋2 的图象向下平移 4 个单位，则它与反比例函数图象的交点 坐标为 . 【答案】（－1，－5），（ 5 ,33 ） 16. （2013 山东莱芜，16，4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 AD、CD 的 中点，沿 BE 将△ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BF 上，则 AD= . 【答案】 2 17. （2013 山东莱芜，17，4 分）已知 123456789101112…997998999 是由连续整数 1 至 999 排列组成的一个数，在该数种从左往右数第 2013 位上的数字为 . 【答案】7 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步 骤） 18. （2013 山东莱芜，18，9 分）先化简，再求值： 24()44 a aaa   ，其中 a= 3 +2. 【答案】解： 22 4 2 4 4()4 4 4 4 a a a aaa a a a           2 24 4 ( 2) aa a a   1 2a  . 当 a= 32 时，原式 1 1 1 3 .233 2 2 3a     19．（2013 山东莱芜，19，8 分）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主 题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结 果有三种情况：A.从不闯红灯；B.偶尔闯红灯；C 经常闯红灯.德工处将调查的数据进行了 整理，并绘制了尚不完整 的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题. （1）求本次活动共调查了多少名学生； （2）请补全（图二），并求（图一）种 B 区域的圆心角的度数； （3）若该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数. 【答案】解：（1） 36 120 20 200.360 10     本次活动共调查了 200 名学生. （2）补全图二 200－120－20=60. 60360 108 .200   B 区域的圆心角的度数是 108°. （3） 60 20 22400 2400 960.200 5     估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人. 20. （2013 山东莱芜，20，9 分）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调 度中心通知附近两个小岛 A、B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37°方向 C 处，B 岛在南偏东 66°方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里，A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为 及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4） 【答案】解:作 AD⊥BC 的延长线于点 D，在 Rt△ADB 中， AD=AB·cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里） BD=AB·sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）. 在 Rt△ADC 中， 28.8 28.8 36cos cos37 0.8 ADAC DAC    （海里）. CD=AC·sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）. BC=BD－CD=64.8－21.6=43.2(海里). A 岛上维修船需要时间 36 1.820 20A ACt    (小时). B 岛上维修船需要时间 43.2 1.528.8 28.8B BCt    (小时). ∵ At ＜ Bt ,∴调度中心应该派遣 B 岛上的维修船. 21. （2013 山东莱芜，21，9 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 AC 为一边向外作等边三角 形 ACD，点 E 为 AB 的中点，连结 DE. （1）证明 DE∥CB； （2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形. 【答案】解：（1）证明：连结 CE. ∵点 E 为 Rt△ACB 的斜边 AB 的中点， ∴CE= 1 2 AB=AE. ∵△ACD 是等边三角形，∴AD=CD. 在△ADE 与△CDE 中， AD=CD,DE=DE,AE=CE, ∴△ADE≌△CDE. ∴∠ADE=∠CDE=30°. ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°. ∴DE∥CB. (2)∵∠DCB=150°,若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°. ∴∠B=30°. 在 Rt△ACB 中，sinB= AC BC ,sin30°= 1 2 AC BC  ，AC= 1 2 AB 或 AB=2AC. ∴当 AC= 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形. 22. （2013 山东莱芜，22，10 分）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学 校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同. (1)两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳 绳的 6 倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 【答案】解：（1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元. 由题意得： 24 25 xy xy    . 解得： 20 8 x y    .所以长跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元. （2）设学校购买 a 条长跳绳，由题意得： 200 6 20 8(200 ) 2000 aa aa      . 解得: 4128 3373a . ∵a 为正整数，∴a 的整数值为 29，,3,31,32,33. 所以学校共有 5 种购买方案可供选择. 23. （2013 山东莱芜，23，10 分）如图，⊙O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交⊙O 于 C、D 两点，直径 AB⊥CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交 于⊙O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN. (1)当点 M 在⊙O 内部，如图一，试判断 PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； (2)当点 M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； (3)当点 M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积. 【答案】解：（1）PN 与⊙O 相切. 证明：连结 ON,则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN. ∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO. ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°. 即 PN 与⊙O 相切. （2）成立. 证明：连结 ON，则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN. 在 Rt△AOM 中， ∴∠OMA+∠OAM=90°, ∴∠PNM+∠ONA=90°. ∴∠PNO=180°－90°=90°. 即 PN 与⊙O 相切. （3）连结 ON，由（2）可知∠ONP=90°. ∵∠AMO=15°，PM=PN,∴∠PNM=15°, ∠OPN=30°， ∵∠PON=60°，∠AON=30°. 作 NE⊥OD,垂足为点 E,则 NE=ON·sin60°=1× 3 2 = . ONAONAOC CS S S S  阴影 扇形 = 1 2 OC·OA+ 230 11360 2   CO·NE = 1 1 1 3 1 1 31 1 12 12 2 2 2 12 4         . 24. （2013 山东莱芜，24，12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（－3，0）、 B(1,0)、C(－2，1)，交 y 轴于点 M. (1)求抛物线的表达式； (2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与 △MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：由题意可知 9 3 0 0 4 2 1 a b c abc a b c            .解得 1 3 2 3 1 a b c        . ∴抛物线的表达式为 y= 212133xx. （2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1.∴点 M 的坐标为（0,1）. 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 1 3 1. k b     1 30 b kb     .解得 k= 1 3 ，b=1.∴直线 MA 的表达式为 y= x+1. 设点 D 的坐标为（ 2 0 0 0 12,133x x x   ），则点 F 的坐标为（ 00 1,13xx ）. DF= 2 0 0 0 1 2 11 ( 1)3 3 3x x x     = 22 0 0 0 1 1 3 3()3 3 2 4x x x      . 当 0 3 2x  时，DF 的最大值为 3 4 . 此时 2 00 1 2 513 3 4xx    ，即点 D 的坐标为（ 35,24 ）. （3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与△MAO 相似. 在 Rt△MAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限. ① 设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM, ∴ 2121 3( 3)33m m m     ，即 2 11 24 0mm   . 解得 m=－3（舍去）或 m=－8.又－3