中考数学专题复习练习：圆周长弧长 7页

‎ 例 半径为4cm，50°的圆心角所对应的弧长是多少？‎ ‎ 解：设弧长为lcm，∵n=50°，‎ R=4，∴l（cm）．‎ 说明：弧长公式的简单应用．‎ 例 已知：弧长为l，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长．‎ ‎ 解：如图，∠AOB=120°，的长=l，‎ 则l，∴R= l，‎ 作OH⊥AB于H，在Rt△AOH中，∠A=30°，‎ ‎∴AH=AO·cos30°=l，∴AB=2AH= l．‎ 答：这条弧所对应的弦长为 l．‎ 说明：（1）灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数；（2）弧长公式l中三个变量l、n、R，知道其中任两个量，就可求出第三个量，其中n没有单位，是圆心角的度数，l与R的单位一致．‎ ‎ ‎ 例 某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm和30cm的钢管，需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧．问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计，结果化简后可用π和根式表示)?‎ ‎ 解： 设大、小管的轮廓线分别为⊙Ol和⊙O2，如图所示．‎ 依题意，两圆外切，设切点为P．两圆的外公切线与⊙Ol和⊙O2分别切于A，B，E，F．连OlA，O2B，作O2C⊥OlA于点C，则 OlC=OlA-CA=OlA-O2B=20，OlO2=30+10=40．‎ ‎ 在Rt△OlO2C中，‎ ‎ ．‎ ‎ ∴AB=．‎ ‎ 又，∴∠A OlO2=60°，∠AOlE=120°．‎ ‎ ∴ 的长=． 的长=．‎ ‎ ∴钢丝的长=2AB+ 的长+的长=‎ ‎ ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要（cm）．‎ ‎ 说明：本题综合应用圆与圆的有关知识．求公切线的长、弧长等知识．‎ ‎ ‎ 例 （福州市，2002）如图：四边形ABCD是正方形，曲线DAlBlClDl……叫做“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按A、B、C、D循环，它们依次连接．取AB=l，则曲线DAlBl…C2D2的长是 (结果保留π)．‎ 分析：的长=，的长=，的长=，的长=，……‎ 找出规律，可求．答案：18π． ‎ ‎ 说明：本题不仅应用弧长公式，更重要地是利用了归纳法．‎ 典型例题五 例 如图，，⊙的半径为，⊙与、、相切于点、、，求的长.‎ 分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可.连结，由⊙与相切知，，，三点共线，因，故只需求即可.为此连结，则为，且，，故易求.‎ 解 连结，.‎ ‎⊙与相切于点在上 ‎.‎ 典型例题六 例 已知如图，⊙与⊙外切于点，它们的外公切线、分别切⊙，⊙于、、、，且公切线、交于点，‎ 求证：⊙的周长等于的长 证明 连结、、‎ ‎、分别切⊙于，，切⊙于、‎ 平分，平分，且，，‎ ‎、、在一条直线上，‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ ‎⊙与⊙外切于，‎ 在⊙上.‎ ‎，设，则.‎ ‎，‎ ‎，‎ 于是的长 又⊙的周长 ‎.‎ 典型例题七 例 圆心角60°，所对的弦长为a，则它所对的弧长为_____.‎ 解 ‎ 说明：本题考查弧长计算公式，解题关键是依题意计算出弦长与半径的关系.‎ 典型例题八 例 如图，两皮带轮⊙与⊙外切于H，它们的半径分别是10和30.（1）求外公切线AB；（2）求皮带轮长.‎ 解 （1）过作于点E，‎ 在Rt中，，‎ 说明：本题考查弧长计算公式，公切线长在实际问题中的应用，解题关键是建立实际问题的几何模型.‎ 典型例题九 例 （1）如图，ABCD是正方形，的圆心在B处，是以AC为直径的半圆，设，则月牙形图的周长是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）如图，两个半径为1的⊙和⊙外切，⊙O与这两个圆都外切，切点分别是，且，则的长为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 解 （1），连结AC，则由勾股定理得，故的长.选B.‎ ‎（2）设⊙O的半径为x，在Rt中，，由勾股定理得，解得.‎ 于是的长，的长＝的长＝.选B.‎ 说明：本题考查弧长的计算，解题关键在综合应用相关知识（如勾股定理等）求解.‎ 选择题 ‎1．已知一弧的度数为，半径为，则该弧长度（精确到）为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若半径为的一段弧长等于半径为的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知弧长，它所对的圆心角为，那么它所对的弧长为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在半径为1的⊙中，弦，则的长是（）‎ A． B． C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1．C 2. D 3. C 4. C 5. C. ‎ 填空题 ‎1. 周长12πcm的⊙O，其内接正六边形的边长是 ．‎ ‎2. 圆心角为30°，半径为R的弧长为 ．‎ ‎3. 圆周长为6π，则60°圆心角所对应的弧长为 ．‎ ‎4. 在半径为1cm的圆中，弧长为的弧所对应的圆周角为 ． ‎ ‎5. 在⊙O中，如果120°的圆心角所对应的弧长为，则⊙O的半径为 ．‎ ‎6. 如果⊙O的半径3cm，其中一弧长2πcm，则这弧所对的弦长为 ．‎ ‎7. 已知的圆心角所对的弧长为，则该圆的半径为________‎ ‎8. 在半径为的圆中，如果圆心角等于度，那么这个角所对的弧长为_______‎ ‎9. 有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径是，圆弧所对的圆心角是，则这段弯道约为（精确到，）‎ ‎10. 扇形的圆心角为，半径为3，那么扇形的弧长为______‎ 参考答案:‎ 1. ‎6 cm ; 2. ; 3. π ; 4. 60° ; 5. 2 ; 6. cm .7. 8. 9. .‎ ‎10. .‎ 解答题 ‎1．计算半径为，圆心角所对的弧长。‎ ‎2．半径为，的弧的长度是多少？‎ ‎3．如图，大⊙的半径是小⊙的直径，⊙的另一半径交⊙于，求证：和的长相等。‎ ‎4．如图，在圆心角为所对应的的两端作切线，相交于点，⊙与、及都相切。求证：⊙的周长等于的长。‎ ‎5. 如图，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6dm和2dm，现用一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长的绳子(不计绳子接头部分)?‎ ‎6. 已知⊙O与⊙O’的半径分别为R=8，r=2，圆心距O1O2=12，若用皮带把两圆连结起来，求皮带的长度． ‎ 参考答案：‎ ‎1． 2．‎ ‎3．连.设，则，设，则，‎ ‎4．设⊙的半径为，⊙的半径为，连，，则，过作于，则，， .⊙的周长，‎ ‎5. dm ; 6. .‎