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- 2021-11-06 发布
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圆的概念
一、圆中相关概念的结构示意图
圆
A
B
E
C
O
D
相关概念
二、知识应用
知识点1:有关概念
例题1、如图,圆中弦的条数为( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
说明:弦是圆上任意两点间的线段。
例题2、判断题
(1)直径是弦( ) (2)弦是直径( )
(3)半圆是弧( ) (4)弧是半圆( )
(5)长度相等的两段弧是等弧( ) (6)等弧的长度相等( )
说明:通过原命题和逆命题的对比,深刻理解圆中概念的含意。
例题3、下列说法中:①直径相等的两个圆是等圆;②长度相等的两条弧是等弧;
③圆中最长的弦是通过圆心的弦;④一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧。正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
说明:等弧是指弧的度数和长度都相等的弧,等弧只可能出现在同圆或等圆中。
例题4、画图说明满足下列条件的点的轨迹:
(1)经过点,且半径等于的圆的圆心轨迹;
(2)边,面积为的的顶点的轨迹.
说明:根据给定的条件,探求并确定符合条件的轨迹图形,通常是转化为四个基本轨迹.(圆的轨迹、平行线轨迹、角平分线轨迹、线段中垂线轨迹)。
例题5、已知AB、CD是⊙O的两条直径,则四边形ACBD一定是( )
(A)等腰梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形
说明:问题的关键是①圆的两条直径具备什么性质?②构成特殊四边形的条件。
知识点2:相关计算与证明
例题6、如图,在⊙O中,AB、CD为直径,试说明AC与BD的位置关系。
A
B
C
D
O
说明:同圆的半径相等。因此当圆中有多条直径或半径出现时,就有相等的线段和等腰三角形出现。
D
A
E
B
O
C
例题7、如图,是⊙的直径,,交⊙于,且,求的度数.
说明:因为同圆的半径相等,所以当圆中有两条半径出现,就有等腰三角形出现,于是可根据等腰三角形的性质定理求得,所以连结半径是常用的辅助线.
例题8、已知:如图,两同心圆的直径AC、BD相交于O点.求证:AB=CD.
说明:此题目不难,但它是以“同心圆”为背景的,所以该题目重点不是证明过程,而是“同心圆”具备什么性质和特征。
例题9、求证:菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上.
说明:本题为文字叙述题,所以应先写出已知和求证并画出图形;证点共圆,只须证这些点与定点的距离相等即可.
知识点3:点和圆的位置关系
例题10、导火索长18㎝,爆破时导火索燃烧的速度是每秒0.9㎝,点燃导火索的人需要跑到离爆破点120㎝以外的安全区域,这个人每秒跑6.5m是否安全?
A
B
C
例题11、已知等腰直角三角形ABC(如图),试取斜边AB上的一点为圆心画圆,使点A、B、C分别在所画的圆内、圆外和圆上.
说明:确定一个圆有两个条件:圆心和半径,问题的关键圆心和半径的确定。
例题12、如图, 已知矩形的边,.
(1)以点为圆心,为半径作⊙,则点、、与⊙的位置关系如何?
(2)若以点为圆心作⊙,使、、三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙的半径的取值范围是什么?
说明:要判定平面上一点与圆的位置关系,只须比较该点到圆心的距离与半径的大小.
例题13、⊙O半径为2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P点距离为1,问P点、Q点和⊙O是什么位置关系?为什么?
例题14、如图,在中,,,cm, 以为圆心,cm为半径画圆,指出点与⊙C的位置关系,若要⊙C经过点,则这个圆的半径应有多长.
说明:本题考查点与圆的位置关系,解题关键是分别求出点三点到点的距离;易错点是分不清四点中,哪一点是圆心而导致错误.
作业:
一、填空题(每小题3分,共24分)
1. 已知⊙O的半径为5 cm,P为一点,当OP=5 cm时,点P在 ;当
OP 时,点P在圆内;当OP大于5 cm时,点P在
2. 以点C为圆心,任意画三个圆,则它们是 圆.
3. 一个圆的最大的弦长为10cm,则此圆的半径为 .
4. ⊙的半径为,,那么点与⊙的关系为________
5.点P到⊙的最小距离为4,最大距离为9,则⊙的半径为 。
6.若⊙的半径为,点到圆心的距离为,当点在圆外时,则___________;当点在圆上,则__________;当点在圆内时,则__________.
7.和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是_______________ _ __.
8.如图,图中有______条直径,________条弦,以为一个端点的优弧有_______个,劣弧有_____个.
二、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的是
(A)两个半圆是等弧 (B)同圆中优弧与半圆的差必为劣弧
(C)同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧 (D)由弦和弧组成的图形叫弓形
2. 已知⊙O的直径是6 cm,若P是⊙O内部的一点,则OP的长度的取值范围是( ).
(A) OP<6cm (B) (C) (D)
3. 两个圆的圆心都是,半径分别为和,且,那么点在()
A.⊙内 B.⊙外 C.⊙外,⊙内 D.⊙内,⊙外
4. 是⊙的弦,于,再以为半径作同心圆,称作小⊙,点是上异于、、的任意一点,则点的位置是( )
A.在大⊙上 . B.在大⊙的外部.
C.在小⊙内部 . D.在小⊙外且在大⊙内部.
5.若⊙的半径为,线段.则点与⊙的位置关系是( ).
A.点在⊙外 B.点在⊙上 C.点在⊙内 D.不能确定
6.⊙的半径,圆心到直线的距离,在直线上有一点,且,则点( ).
A.在⊙内 B.在⊙上
C.在⊙外 D.可能在⊙内也可能在⊙外
7.下面四个命题,真命题的个数为( ).
①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧;④弧是半圆
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8
.给出下面四个命题:(1)两个端点重合的弧叫等弧;(2)半圆不是弧;(3)可以画一个圆经过已知矩形的四个顶点;(4)到圆心的距离小于半径的点的集合是圆的内部除圆心外的所有点.其中真命题的个数是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.⊙的半径为,圆心的坐标为,点的坐标为,则点与的位置关系是( ).
A.点在⊙内 B.点在⊙上
C.点在⊙外 D.点在⊙上或在⊙外
10.已知为⊙内部一点,经过作⊙的直径,则可作的直径的条数是( ).
A.1条 B.2条 C.无数条 D.无数条或1条
三、解答题(1小题6分,其余每题8分,共46分)
1.已知如图,是⊙的直径,为弦,交于,且,求的长。
2.有一长和宽分别为、的矩形,以点为圆心作圆,若、、三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求圆的半径的取值范围。
3.点P到圆上的最大距离为8cm,最小距离为6cm,求⊙O的半径。
4.以⊙O的半径OA为边作正方形OABC,求证点B在圆外,点C在圆上,两对角线的交点M在圆内.
5.如图,已知:⊙O中,A、B在圆上,AM=BN.
求证:四边形ABNM为等腰梯形
6.求证:直径是圆中最长的弦.
随堂练习:
1. 以2cm 为半径可以画 个圆,以O为圆心可以画 个圆,以O为圆心,以 2为半径可以画 个圆.
2. ⊙的半径为,点在⊙上,,那么点与⊙的位置关系是_______
3. 直径相交于点,,当、在、上移动时,中点的轨迹为________
4.到的两边距离相等的点的轨迹是____________.
5. 已知⊙的半径为1,点与的距离为,且方程有实数根,则在⊙的________.
6. 在△ABC中,∠C=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心,以cm长为半径画圆,则对A、B、C、M四点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .
7.一个点到一个圆的最短距离是,最长距离是,则这个圆的半径是( ).
A. B. C.或 D.或
8. 图中,⊙中的点、、以及点、、分别在不同的两直线上,图中弦的条数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.在中,,,,以为圆心,以为半径画圆,则点与⊙的位置关系为( ).
A.在⊙上 B.在⊙外
C.在⊙内 D.与⊙的位置无法确定
10.在中,,,,以为圆心,以为半径作⊙,点、及、的中点、与⊙有怎样的位置关系?
11.已知如图,是⊙的直径,是上一点(不同于、),是⊙上一点。求证:.
12.如图,是⊙的任一直径,是⊙中不过圆心的任一条弦.求证:.
13. 如图,已知中,,是两条高.求证:,,,四点在同一个圆周上.