中考数学专题复习练习：梯形 19页

例01．如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中，若，，. ‎ 求：梯形ABCD的面积. ‎ 分析：由已知条件知，梯形ABCD是等腰梯形，由于等腰梯形是一个轴对称图形，由图中的辅助线很容易想到. 在此基础上应用勾股定理，就可以解决问题. ‎ 解答：过点D、C作于E，于F. ‎ 则根据等腰梯形的轴对称性可知：. ‎ ‎∵， ‎ ‎∴四边形CDEF是矩形. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴‎ 在中，根据勾股定理有，‎ ‎∴ . ‎ ‎ 说明 等腰梯形是一个轴对称图形，在计算等腰梯形的有关量时，就要从上底的两个端点作下底的垂线，从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形，然后我们就可以根据等腰梯形的对称性，矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题．‎ 例02．如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O. ‎ 求证：. ‎ 分析 图中有两条线AD和BC是平行的，也就是说一条直线上的各点到另一条直线的距离相等．所以如果出现同底的三角形，就可以保证其面积相等，因此，在这个图形中就能出现面积相等的三角形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴A、D两点到BC的距离相等. ‎ 即中BC边上的高与中BC边上的高相等. ‎ ‎∴ （等底等高）. ‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用. ‎ 例03．如图，已知：AD是的平分线，，，. ‎ ‎（1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. ‎ ‎（2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. ‎ 分析：（1）由角平分线和平行线可得到一些相等的角，如. 从而有，再由推导出，则容易得出结论，∵，∴能证出四边形ADCE是梯形，再由已知条件容易证出，因此有，所以可证出四边形ADCE是等腰梯形. ‎ ‎（2）因为四边形ADCE是等腰梯形，由给出条件容易求出四边形ADCE的周长. ‎ 证明：（1）∵（已知），‎ ‎∴ （两直线平行，内错角相等）‎ 又∵（角平分线定义）， ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴（等角对等边） ‎ ‎∵（已知），‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎∴（等边对等角）‎ 又∵（对顶角相等）， ‎ ‎∴‎ ‎∴（内错角相等，两直线平行）‎ 而， ∴ 四边形ADCE是梯形. ‎ 又∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ （全等三角形的对应边相等）. ‎ ‎∴ 四边形ADCE是等腰梯形. ‎ 解答：（2）∵四边形ADCE是等腰梯形，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 梯形ADCE的周长 而的周长，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∴ 梯形ADCE的周长 说明 等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决．‎ 例04．已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长. ‎ 已知：如图，在梯形ABCD中，，，. ‎ 求：AB的长. ‎ 分析：要求AB的长，也就是求腰长，我们通过作辅助线，将已知条件集中在一个三角形中，过A作交BC于E，得到一个AECD和. 那么由已知条件易知是等边三角形，则由，就可以解决问题了. ‎ 解答：过点A作交BC于E，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴（等腰梯形同一底上的两个角相等）‎ 又∵，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴是等边三角形. ‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 例05．如图，已知：在直角梯形ABCD中，，E为BC边上的一点，且，，. ‎ 求证：‎ 分析：由已知条件，，可得，且，因此是等边三角形，又可知是等腰直角三角形，所以连结AC，则AC就是ED的垂直平分线. 所以只要证或为，问题就解决了. ‎ 证明：连结AC，‎ 则∵,‎ ‎∴‎ 又∵， ‎ ‎∴是等边三角形. ‎ ‎∴A点在ED的垂直平分线上， ‎ ‎∵ ‎ ‎∴是等腰直角三角形. ‎ ‎∴ C点在ED的垂直平分线上. ‎ ‎∴AC是线段ED的垂直平分线. ‎ ‎∴ ‎ ‎∵， ‎ ‎∴ ‎ 例06．如图，四边形ABCD中，，，且AB与CD不平行. ‎ 求证：四边形ABCD是等腰梯形. ‎ 证明：过D作交BC于E. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∵AB与CD不平行，且 ‎∴四边形是等腰梯形. ‎ 说明 本题考查等腰梯形的判定，易错点是证明时忽视AB与CD不平行这个重要步骤，解题关键是平移一腰. ‎ 例07．已知：如图，梯形ABCD中，，，，，. ‎ 求BC的长. ‎ 解法1 如图，延长DA，CB交于F. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ 解法2 如图，作，交DC于E. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ 在中，∵，‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴，‎ ‎∴‎ 分析 本题综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定，易错点是作辅助线后探索不出图中所含的等腰三角形. ‎ 解题关键是作出恰当的辅助线. ‎ 例08．已知梯形ABCD中，，E、F是两底中点的连线. ‎ 求证：. ‎ 错解 如下图，延长BA，CD交于G，连结GE，GF. ‎ ‎∵ . ‎ ‎∵E，F分别为AD，BC的中点，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 正解1 如上图，延长BA，CD交于G，连结GE，GF. ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∵E，F分别为AD，BC的中点，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ GE，GF重合. ‎ ‎∴ ‎ 正解2 如图，过点E作交BC于M，作交BC于N. ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵E，F分别为AD，BC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 正解3 如图，过D作交BC于M，取MC中点N，连结DN，则. ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵F，N分别为BC，MC中点，‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形EFND是平行四边形. ‎ ‎∴. ‎ 说明 错解中忽视了证明GE，GF重合. ‎ 例09．如图，在梯形ABCD中，，两条对角线交于E，，且. ‎ 求证：. ‎ 证明：如图，过A，D分别作BC的垂线，垂足分别为F，G. ‎ ‎∵， ‎ ‎∴‎ ‎∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 则. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 说明 本题综合考查了梯形的性质，等腰梯形的判定和性质，易错点是忽视求出，，而企图直接证. 解题关键是探索出得. ‎ 例10．阅读：下面是某同学证明一道几何题的过程. ‎ 已知四边形ABCD中，. ‎ 求证：四边形ABCD是等腰梯形. ‎ 证明：过D作交BC于E（如图），‎ 则 ①‎ ‎ ②‎ ‎∴ ③‎ ‎∴ ④‎ ‎∴ ⑤‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形. ⑥‎ ‎ ⑦‎ ‎ ⑧‎ ‎ ⑨‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形. ⑩‎ 读后填空：‎ ‎（1）证明过程是否有错误？如有，错在第几步上. 答：_____________. ‎ ‎（2）作的目的是_______________. ‎ ‎（3）有人认为第9步是多余的，你认为是否多余？为什么？答：_________. ‎ ‎（4）判断四边形ABED为平行四边形的依据是______________. ‎ ‎（5）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是_________________. ‎ ‎（6）若题目中没有，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？‎ 答：_______________. ‎ 解答：（1）没有错误；‎ ‎（2）为了证明；‎ ‎（3）不是多余的，否则就不符合梯形的定义；‎ ‎（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；‎ ‎（5）梯形及等腰梯形定义；‎ ‎（6）不一定，因为当时，四边形ABCD是矩形. ‎ 说明 本题考查等腰梯形的判定，易错点是误认为第⑨步是多余的，解题关键是认真阅读解题过程，结合四边形的有关概念和定理准确回答后面的问题. ‎ 选择题 ‎1．等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰与下底的夹角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知梯形的两个对角分别是和，则另两个角分别是（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎3．（北京市昌平县，2001）下列命题中，正确的是（ ）‎ A．矩形的两条对角线互相垂直 B．一组邻角互补的四边形是平行四边形 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．梯形的两条对角线互相平分 ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ A．平行四边形是一种特殊的梯形 B．等腰梯形的两底角相等 C．等腰梯形不可能是直角梯形 D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形 ‎5．下列命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分，其中真命题有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（北京市石景山区，2001）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）‎ A．圆 B．正方形 C．等腰梯形 D．菱形 ‎7．（泉州市，2001）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）‎ A．线段 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 ‎8．（聊城市，2001）等腰梯形的一角为，上底为10，下底为30，则它的腰长为（ ）‎ A．10 B．20 C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 选择题 ‎1．（盐城市，2001）如图，梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于O，则图中面积相等的三角形有（ ）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎2．（荆州市，2001）如图，在梯形ABCD中，，与互余，，，，则该梯形面积是（ ）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎3．（北京市东城区，2001）如图，直角梯形ABCD中，，，，若腰DC上有点P，使，则这样的点（ ）‎ A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个 参考答案：‎ ‎1．C 2．B 3．C 填空题 ‎1．（四川省2001）在四边形ABCD中，给出下列论断：①；②；③. 以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出一个你认为正确的命题_______. ‎ ‎2．（威海市，2001）如图所示，，E为AD上一点，若______，则. （填写要求：在等式，，，，，中，选择2个等式添在横线上）‎ ‎3．等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是________，两腰延长的交点在______上. ‎ ‎4．等腰梯形的对角线长为17，底边长为10和20，则梯形的面积是______. ‎ ‎5．已知梯形的一组对角分别是和，则这个梯形的另两个角的度数为_____. ‎ ‎6．以线段为梯形两底，以为一腰，则另一腰长的范围是_______. ‎ ‎7．如图，是在梯形问题中常用的辅助线：在图（甲）中作两高，把梯形问题转化为______；在图（乙）中平移腰，把梯形问题转化为______；在图（丙）中反向延长两腰交于一点，把梯形问题转化为_____；在图（丁）中平移对角线，把梯形问题转化为_______. ‎ 参考答案：‎ ‎1．①、②③‎ ‎2．，‎ ‎3．上、下底中点连线所在的直线，对称轴 ‎4．120．提示：作梯形的高，利用勾股定理求出梯形的高为8，则 ‎5．和 ‎6．如图，作交BC于E，则，. 在中，的取值范围是. 即. ‎ ‎7．矩形和直角三角形，平行四边形和三角形，三角形，平行四边形和三角形 判断题 ‎1．有两个角相等的梯形是等腰梯形. （ ）‎ ‎2．对角线相等的四边形是等腰梯形. （ ）‎ 参考答案 ‎1．× 2．×‎ 解答题 ‎1．等腰梯形的下底长为，腰长为，腰与下底成角，求梯形面积. ‎ ‎2．等腰梯形ABCD，上底AD等于腰AB，下底BC等于对角线BD，求各内角底数. ‎ ‎3．（宁波市，2000）如图，梯形ABCD中，，，‎ 求证：. ‎ ‎4．（邵阳市，2001）已知直角梯形ABCD的一底角，对角线AC平分，上底米，求梯形的面积（如图）‎ ‎5．求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形. ‎ ‎6．四边形ABCD中，. ‎ 求证：四边形ABCD是等腰梯形. ‎ ‎7．如图，E，F是ABCD的边CD上的两点. ‎ 求证：四边形ABEF是梯形. ‎ ‎8．如图，中，，BD，CE分别为，的平分线. ‎ 求证：四边形EBCD为等腰梯形. ‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．，，,‎ ‎3．证 ‎4．‎ ‎5．略 ‎6．设梯形对角线交于点O，证，‎ 得. ‎ 同理，. ‎ ‎∵，∴. ∴∵，‎ ‎∴四边形ABCD为梯形. ∵，∴梯形ABCD是等腰梯形 ‎7．证，则AF与BE不平行. ‎ ‎8．证明：∵，∴‎ ‎∵BD，CE分别为，的平分线，‎ ‎∴. ‎ ‎∵， ∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵BE与CD相交于点A，‎ ‎∴BE与CD不平行. ‎ ‎∴四边形EBCD是梯形. ‎ ‎∵，∴梯形EBCD是等腰梯形. ‎ 解答题 ‎1．如图，等腰梯形ABCD中，，，且，CH是高. ‎ 求证：. ‎ ‎2．已知：如图，梯形ABCD中，，，，. ‎ 求证：. ‎ ‎3．如图，等腰梯形ABCD中，，，对角线于O. 若，. 求梯形的高. ‎ ‎4．（北京市海淀区，2002）如图，在梯形ABCD中，，，延长CB到E，使，连结AE. ‎ 求证：. ‎ ‎5．（徐州市，2002）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，E为AB中点. ‎ 求证：四边形BCDE是菱形. ‎ ‎6．（泰州市，2002）如图，求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等. （要求完成图形，写出已知、求证，并加以证明）. ‎ ‎7．（河北省，2002）如图，在梯形ABCD中，已知，对角线AC，BD相交于点O. ‎ 求证：. ‎ ‎8．（盐城市，2002）已知：如图，在梯形ABCD中，，E，F为AB上两点，且，，. ‎ 求证：. ‎ ‎9．如图，梯形ABCD中，，E是腰DA的中点，且. ‎ 求证：. ‎ 参考答案：‎ ‎1．作于G或作交AB延长线于E，证 ‎2．证法1：如图，作交DC延长于F. ‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∵，∴. ∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴是等腰直角三角形. ‎ ‎∵，∴E为DF中点. ‎ ‎∴‎ 证法2：如图，作，垂足为F. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴. ∴. ∴ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，均为等腰直角三角形. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 证法3：如图，设AC，BD交于点O. ‎ 同证明2得. ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，均为等腰直角三角形. ‎ ‎∴‎ 同理 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎3． . 提示：过C作交AB延长线于E，过C作于H ‎4．证 ‎5．证，再证 ‎6．证 ‎7．证 ‎8．先证，再证. ‎ ‎9．证明：延长CE交BA的延长线于F点. ‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴. ‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∴. ‎ 解答题 ‎1．如图，已知：直角梯形ABCD中，于A，. ‎ 求证：. ‎ ‎2．（连云港市，2001）已知：如下图（左）矩形ABCD中，，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N. ‎ ‎（1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积；‎ ‎（2）如上图（右），当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合？（只写出满足的条件，不要求证明）‎ ‎（3）在（2）中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的，求的值. ‎ ‎3．（青海省，2001）阅读下题和分析过程，并按要求进行证明. ‎ 已知，四边形ABCD中，. ‎ 求证：四边形ABCD是等腰梯形. ‎ 分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为，故只需证即可；要证，现有下图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明. ‎ ‎4．（北京市朝阳区，2001）根据要求将下面题目改编为一道新题. ‎ 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，，. ‎ 求证：. ‎ 请你将上述题目的条件“在等腰梯形ABCD中，”改为另一种四边形，其余条件都不变，使结论“”仍然成立. 再根据改编后的题目画出图形，写出已知和求证，并进行证明. ‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1．连结BE并延长交AD的延长线于N. 证，从而可证，. 可证，∴‎ ‎2．（1）先证，再证，‎ 从而；‎ ‎（2）；（3）. ‎ ‎3．在题图A中作，由已知可得 ‎ 四边形AECD为平行四边形 ‎ ‎ 四边形ABCD为等腰梯形. ‎ ‎4．已知：在矩形ABCD中，. 求证：. 提示：证. ‎