九年级数学下册第24章圆小专题二垂径定理的有关计算课时作业新版沪科版 5页

小专题(二)　垂径定理的有关计算 由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.‎ 类型1　求半径长 ‎1.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为(B)‎ A.26π B. 13π C.‎96π‎5‎ D.‎‎39‎10‎π‎5‎ ‎2.(乐山中考)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(C)‎ A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸 类型2　求弦长 ‎3.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC=(A)‎ 5‎ A.6‎3‎ B.6‎2‎ C.3‎3‎ D.3‎‎2‎ ‎4.如图,☉O的半径为5,AB为弦,C为AB的中点,若∠ABC=30°,求弦AB的长.‎ 解:连接OA,OC,OC 交AB于点M.‎ 根据垂径定理可知OC垂直平分AB,‎ 因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°,‎ 在Rt△AOM中,sin 60°=AMOA‎=AM‎5‎=‎‎3‎‎2‎,故AM=‎5‎‎3‎‎2‎,即AB=5‎3‎.‎ ‎5.如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.‎ ‎(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.‎ 解:(1)尺规作图如图所示.‎ ‎(2)连接OE交BC于点M,连接OC,CE.‎ 因为∠BAE=∠CAE,所以BE‎=‎EC,‎ 所以OE⊥BC,所以EM=3.‎ 在Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,‎ 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.‎ 在Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30.‎ 所以弦CE的长为‎30‎.‎ 5‎ 类型3　求弦心距 ‎6.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC=(B)‎ A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm ‎7.(衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是(D)‎ A.3 cm B.‎6‎ cm C.2.5 cm D.‎5‎ cm ‎8.如图,D是☉O的弦BC的中点,A是BC上一点,OA与BC交于点E,已知OA=8,BC=12.‎ ‎(1)求线段OD的长;‎ ‎(2)当EO=‎2‎BE时,求△ODE的面积.‎ 解:(1)连接OB.∵OD过圆心,且D是弦BC的中点,‎ 5‎ ‎∴OD⊥BC,BD=‎1‎‎2‎BC=6.‎ 在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,‎ ‎∵OB=OA=8,BD=6,‎ ‎∴OD=OB‎2‎-BD‎2‎‎=‎‎8‎‎2‎‎-‎‎6‎‎2‎=2‎7‎.‎ ‎(2)在Rt△EOD中,OD2+DE2=OE2,‎ 设BE=x,则OE=‎2‎x,DE=6-x,‎ ‎∴(2‎7‎)2+(6-x)2=(‎2‎x)2,‎ 解得x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,∴DE=2.‎ ‎∴S△ODE=‎1‎‎2‎DE·OD=‎1‎‎2‎×2×2‎7‎=2‎7‎.‎ 类型4　平行弦之间的距离 ‎9.已知AB,CD是☉O的两条平行弦,AB=8,CD=6,☉O的半径为5,则弦AB与CD的距离为 (D)‎ A.1 B.7‎ C.4或3 D.7或1‎ 提示:分两条平行弦在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为7或1.‎ 类型5　弓形计算 ‎10.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为(C)‎ A.10 cm B.16 cm C.24 cm D.26 cm 5‎ 类型6　实际应用 ‎11.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100 cm,水面宽AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于　1.6　m. ‎ ‎12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.‎ 解:∵CD⊥AB且过圆心O,‎ ‎∴AD=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎×12=6米,‎ 连接OA,设半径为r米,∴OA=OC=r米,‎ ‎∴OD=CD-OC=(9-r)米,‎ ‎∴在Rt△AOD中,‎ OA2=OD2+AD2,‎ ‎∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.‎ ‎∴☉O的半径为6.5米.‎ 5‎