高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-9-1圆锥曲线中求值与证明问题练习理北师大版 15页

‎10.9.1 圆锥曲线中求值与证明问题 核心考点·精准研析 考点一　求值问题 ‎ ‎1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+= (　　)‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为 (　　)‎ A.　 B.1 C.2 D.4‎ ‎3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.‎ 若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.‎ ‎【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,‎ 根据椭圆和双曲线定义:‎ ‎|AB|+|BC|=2a1,‎ ‎|BC|-|AB|=2a2,‎ 可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,设AC=2c,‎ - 15 -‎ 在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,‎ ‎4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2,‎ 即+=2.‎ ‎2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,‎ 由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|),‎ ‎=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|,‎ 又|DE|=|AF|=|DF|,则|EF|=(-1)|DF|,‎ ‎|AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因为S△AFC=2+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.‎ ‎3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.‎ 所以,椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2‎ - 15 -‎ 得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±.‎ 所以直线PB的斜率为或-.‎ ‎1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 ‎(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),‎ P2(x2,y2),则所得弦长:‎ ‎|P1P2|=|x1-x2|=‎ ‎==|y1-y2|.‎ ‎(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).‎ ‎2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可.‎ ‎3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.‎ 秒杀绝招 题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,‎ 则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=;‎ 在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.‎ - 15 -‎ 所以+=+=2.‎ 考点二　证明问题 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).‎ ‎(2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等.‎ ‎2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等.‎ ‎3.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明.‎ ‎2.交汇问题:数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等.‎ 证明数量关系 ‎【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点. ‎ ‎ (1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐标.‎ ‎(3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 根据已知条件求标准方程中的参数值 由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.‎ - 15 -‎ ‎(2)‎ ‎①求AP与AM的关系 将两个三角形面积比转化为AP与AM的关系.‎ ‎②求M的纵坐标 利用向量关系建立坐标的方程求解.‎ ‎(3)‎ ‎①求R点坐标 直线l与x轴的交点 ‎②求P点坐标 联立方程组求解,利用根与系数的关系求得P的坐标 ‎③建立点的坐标之间的关系 利用三点共线——斜率相等建立坐标关系 ‎④证明数量等式 证明两个角的三角函数(正切)值相等,范围相等.‎ ‎【解析】(1)由题意得 解得 因为a2-b2=c2,所以b2=3.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)因为△PAF与△PMF的面积之比为,‎ 所以|AP|=|PM|.所以=.‎ 设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=(6,m),解得x0=-1,y0=.‎ 将其代入+=1,解得m=±9.‎ 所以M的坐标为(4,9)或(4,-9).‎ ‎(3)设M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由题知R(4,0),‎ 若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意.‎ - 15 -‎ 所以m≠0.同理n≠0.‎ 直线AM的方程为y=(x+2).‎ 由 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.‎ Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.‎ 由-2x0=,解得x0=.‎ 所以y0=(x0+2)=.‎ 所以P.‎ ‎①当PF⊥x轴时,‎ 即|m|=3时,|n|=3,=1,‎ 由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.‎ 又因为∠MRF=∠NRF=90°,‎ 所以∠MFR=∠FNR=45°.‎ ‎②当直线PQ与x轴不垂直时,‎ ‎|m|≠3,|n|≠3,‎ 直线FP的斜率kFP==.‎ - 15 -‎ 同理kFQ=.因为P,F,Q三点共线,‎ 所以=.所以mn=-9.‎ 在Rt△MRF和Rt△NRF中,‎ tan∠MFR==,tan∠FNR===,所以tan∠MFR=tan∠FNR.‎ 因为∠MFR,∠FNR均为锐角,‎ 所以∠MFR=∠FNR.‎ 综上,若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR.‎ 数量关系证明的一般方法是什么?‎ 提示:数量关系的证明,一般采用直接法,即直接利用坐标运算进行证明.当然要结合函数的一些性质,如该题就是先证明两个角的正切函数值相等,而且角的范围是正切函数的单调区间,所以两角相等.‎ 证明位置关系 ‎【典例】(2019·大连模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为16.‎ ‎ (1)求椭圆E的方程.‎ ‎(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 求标准方程中的参数 根据已知离心率与三角形的周长列方程组求参数 ‎(2)‎ ‎①求直线OM的斜率 根据点差法,建立弦AB的中点M与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线OM的斜率 - 15 -‎ ‎②求直线ON的斜率 根据点差法,建立弦CD的中点N与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线ON的斜率 ‎③证明三点共线 证明两直线OM,ON斜率相等 ‎【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=,所以c=2,b==2,所以椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;‎ 当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k≠0),‎ 且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).‎ 则 + = 1, + = 1,‎ 相减得 =- ,‎ 所以·=-,即·=-,‎ 即k·kOM=-,所以kO M=-;‎ 同理可得kO N=-,所以kO M=kO N,‎ 所以O,M,N三点共线.‎ 位置关系的证明的一般思路是什么?‎ 提示:位置关系的证明,多通过位置关系的坐标化处理,将其转化为数量关系的证明,故一般多利用直接证明方法,即直接通过代数运算证明.‎ - 15 -‎ ‎1.(2020·济南模拟)已知抛物线W:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在W上,AF的中点坐标为(2,2).‎ ‎(1)求抛物线W的方程.‎ ‎(2)若直线l与抛物线W相切于点P(异于原点),与抛物线W的准线相交于点Q,证明:FP⊥FQ.‎ ‎【解析】(1)由题知F,‎ 设A,因为AF的中点坐标为(2,2),‎ 所以解得:xA=4,p=4.‎ 所以抛物线W的方程为:x2=8y.‎ ‎(2)由y=x2,得y′=x,‎ 设点P(x0≠0),则直线l的方程为y-= x0 (x-x0 ),即为y = x0 x-,‎ 令y=-2,得Q,‎ 所以=,=,‎ 所以·=x0×-4=0,‎ 所以FP⊥FQ.‎ ‎2.(2020·长沙模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.‎ - 15 -‎ ‎(1)若以A,B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程.‎ ‎(2)过A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.‎ ‎【解析】(1)设AB中点为M,A到准线的距离为d1,B到准线的距离为d2,M到准线的距离为d.则d=yM+,由抛物线的定义可知,d1=|AF|,d2=|BF|,‎ 所以d1+d2=|AB|=8,‎ 由梯形中位线可得d==4,‎ 所以yM+=4,而yM=3,所以3+=4,可得p=2,‎ 所以抛物线C的标准方程为x2=4y.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由x2=2py得y=,则y′=,‎ 所以直线l1的方程为y-y1=(x-x1),直线l2的方程为y-y2=(x-x2),‎ 联立得x=,y=,即l1,l2交点坐标为.因为AB过焦点F,‎ 所以设直线AB方程为y-=kx,代入抛物线x2=2py中得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2,‎ 所以==-,所以l1,l2的交点在定直线y=-上.‎ ‎1.过椭圆W:+y2=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A,B两点,其中A(0,1),另一条过F1的直线l2交椭圆于C,D两点(不与A,B重合),且D点在x轴下方且不与点(0,-1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD,BC于E,G.‎ - 15 -‎ ‎(1)求B点坐标和直线l1的方程.‎ ‎(2)求证:|EF1|=|F1G|.‎ ‎【解析】(1)由题意可得直线l1的方程为y=x+1.与椭圆方程联立,得 可求得B.‎ ‎(2)当l2与x轴垂直时,C,D两点与G,E两点重合,由椭圆的对称性,|EF1|=|F1G|.‎ 当l2不与x轴垂直时,设C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程为y=k(x+1)(k≠1).‎ 由 消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 由已知,x2≠0,‎ 则直线AD的方程为y-1=x,令x=-1,得点E的纵坐标yE=.‎ 把y2=k(x2+1)代入得yE=.‎ 由已知,x1≠-,则直线BC的方程为y+=,令x=-1,得点G的纵坐标yG=.‎ - 15 -‎ 把y1=k(x1+1)代入得yG=.‎ yE+yG=+ =‎ ‎=.‎ 把x1+x2=,x1x2=代入到 ‎2x1x2+3(x1+x2)+4中,则 ‎2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0.‎ 即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|.‎ ‎2.(2020·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且椭圆C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)若点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上不同于A,B的动点,直线AP与直线x=a交于点Q,证明:以线段BQ为直径的圆与直线PF相切.‎ - 15 -‎ ‎【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,,解得a=2,b=,c=1,故椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)方法一:①设点P的坐标为(x0,y0),x0≠±2,‎ 因为P在椭圆上,所以+=1,所以=3-,‎ 由A,B两点的坐标为(-2,0),(2,0),所以直线AP的方程为:y=(x+2),‎ 当x=2时y=,则点Q的坐标为,‎ 设线段BQ的中点为T,则点T的坐标为,有|BT|=,‎ 当x0≠1时,直线PF的方程为:y=(x-1),整理为y0x-(x0-1)y-y0=0,‎ 由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2,‎ - 15 -‎ 则点T到直线PF的距离为d=== =,‎ 由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.‎ ‎②当x0=1时,则点P的坐标为或,直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2,-2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又点T到直线PF的距离d=1,‎ 由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.‎ 方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0).‎ 依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y=k(x+2),‎ 设点P的坐标为(x0,y0),由,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.‎ 所以-2+x0=,所以x0=,‎ 所以y0=k(x0+2)=,‎ 所以P的坐标为.‎ 因为直线AP与x=2交点为Q,‎ 所以Q的坐标为(2,4k),B(2,0),‎ 所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为|2k|.‎ - 15 -‎ ‎①当直线PF的斜率存在,即≠1,k2≠时直线PF的方程为y=(x-1),即y=(x-1),整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0,‎ 设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d,则 d====|2k|,‎ 所以以BQ为直径的圆与直线PF相切.‎ ‎②当直线PF的斜率不存在,即k2=时,直线PF的方程为x=1.圆心坐标为(2,±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线PF相切.‎ - 15 -‎